1、用心教好每一个学生 第 1 页 共 8 页 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边 上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应角 (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一 对最短边(或最小角)是对应边(或对应角) 要想正确地表示两个三角
2、形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全 等 (5) 斜边、直角边定理( HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直 等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置
3、关系和大 小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 专题 1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： 延长中线构造全等三角形； 利用翻折，构造全等三角形； 引平行线构造全等三角形； 用心教好每一个学生 第 2 页 共 8 页 作连线构造等腰三角形。 常见
4、辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折”。 例 1：如图，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于 点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证 BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD 平分 ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中， 1=2，BE=BE，BEF
5、=BEC=90， BEF BEC，EF=EC，从而 CF=2CE。 又1+F=3+ F=90，故1=3。 在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC ，BAD= CAF=90 ， ABD ACF，BD=CF，BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的 应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联 系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含 着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例
6、2：如图，已知 ABC 中， AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证： ABC 是等腰三角形。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等 条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这一条件， 而且要求证 AB=AC，可倍长 AD 得全等三角形，从而问题得证。 解答过程： 用心教好每一个学生 第 3 页 共 8 页 证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE。 又因为 AD 是 BC 边上的中线，BD=DC 又BDE=CDA BED
7、CAD， 故 EB=AC，E=2， AD 是BAC 的平分线 1=2， 1=E ， AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。 解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再 将端点连结，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用 的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。 例 3：已知，如图，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。 思路分析： 1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。 2）解题思路：因为 AC 是BAD 的平分线，所以可过点
8、C 作BAD 的两边的 垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 解答过程： 证明：作 CEAB 于 E，CFAD 于 F。 AC 平分BAD， CE=CF。 在 RtCBE 和 RtCDF 中， CE=CF，CB=CD， 用心教好每一个学生 第 4 页 共 8 页 RtCBERtCDF， B=CDF， CDF+ADC=180， B+ADC=180。 解题后的思考： 关于角平行线的问题，常用两种辅助线； 见中点即联想到中位线。 （4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例 4：如图，ABC 中，AB=AC，E 是 AB
9、上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于 D，若 EB=CF。 求证：DE=DF。 思路分析： 1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路：因为 DE、DF 所在的两个三角形 DEB 与 DFC 不可能全等，又知 EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E 作 EG/CF，构造中心对称 型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。 解答过程： 证明：过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G， 用心教好每一个学生 第 5 页 共 8 页 则EGB=ACB， 又 AB=AC，B=ACB， B=EGB，EGD=DCF，
10、 EB=EG=CF， EDB=CDF，DGEDCF， DE=DF。 解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法： 例 5：ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。 2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通 过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可 以了。 解答
11、过程： 证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D， ADO=ABC=1806040=80， 又AQO=C+QBC=80， ADO=AQO， 又DAO=QAO，OA=AO， 用心教好每一个学生 第 6 页 共 8 页 ADOAQO， OD=OQ，AD=AQ， 又ODBP， PBO=DOB， 又PBO=DBO， DBO=DOB， BD=OD， 又BPA=C+PAC=70， BOP=OBA+BAO=70， BOP=BPO， BP=OB， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形
12、，即“截长 法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： 如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。 如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPADP 从而得以解决。 用心教好每一个学生 第 7 页 共 8 页 小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造 全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会 构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平 行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换 构造了全等三角形。 （5）截长法与补短法，
13、具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段 相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关 性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例 6：如图甲， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB。 求证： CD=AD+BC。 思路分析： 1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”， 即在 CD 上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问 题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图乙 用心教好每一个学生 第 8 页 共 8 页 FCE BCE（ SAS）， 2=1。 又 AD BC， ADC+ BCD=180， DCE+ CDE=90， 2+3=90，1+4=90， 3=4。 在 FDE 与 ADE 中， FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC。
