1、. . 概率论与数理统计习题及答案 习题二 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解】 352435,1()0.C.()0.6XPX 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) .133,1,12222PXPX 【解】 315231350,.C()().CPX 故 X 的
2、分布律为 X 0 1 2 P 235235135 . . （2） 当 x0 时 00()()ded2x xFf 1ex 故其分布函数 1e,02(),xFx (2) 由 12011()ddbfbx 得 b=1 即 X 的密度函数为 2,01(),fxx其 他 当 x0 时 F（ x）=0 当 01 时 2(1)Xy 2 12yyP (1)/2dyXfx 故 d11()()42YY XyyfyFffy (1)/412e, (3) (0)PY 当 y0 时 ()0YFPy . . 当 y0 时 ()|)()YFPXyXy dyfx 故 d()()()YYXfyffy2/e,0y 31.设随机变量
3、XU（0,1） ，试求： （1） Y=eX 的分布函数及密度函数； （2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数. 【解】 （1） (01)P 故 eX 当 时y()0YFy 当 1()01YyFy 故 2 ,()Yyfy 51.设随机变量 X 的密度函数为 fX(x)= ,)12 . . 求 Y=1 的密度函数 fY(y). 3x 【解】 33()1)(1)FyPXPy 332(1)(1)3darctg)arctg(yyxy 故 26(1)()Yyf 52.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N（t）服从参数为 t 的泊松分布. （1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率
4、分布； （2） 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q.（1993 研考） 【解】 （1） 当 t t与N(t )=0等价，有()1)1()01etTPNt 即 e,(0tTFt 即间隔时间 T 服从参数为 的指数分布。 （2） 168e(16|8)(16)/(8)QPPT 53.设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=1=1/8，P X=1=1/4.在事件 1X1出现的条 件下，X 在 1，1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求 X 的 分布函数 F（x ）= PXx. (1997 研考) 【解】显然当 x1 时 F（x ）=0；而 x
5、1 时 F（x）=1 由题知 5()84 当1 x1 时， |)2 此时 ()FPXx ,1)(,1)(,1)(|5()28168PXxPXxx: . . 当 x=1 时， 1()()8FxPXx 故 X 的分布函数 0,51()(),-x68,x 54. 设随机变量 X 服从正态分 N（ 1,12),Y 服从正态分布 N( 2,22)，且 P|X- 1| P|Y- 2|1，试比较 1 与 2 的大小. (2006 研考) 解： 依题意 ， ，则1(0,):2(0,1)Y: ，11XPXP .22YY 因为 ，即121PXP ，1112XYP 所以有 ，即 .12 单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
