1、第一章 概率论的基本概念 （一） 1、多选题: 以下命题正确的是（ ） 。 ; ;ABa)(.ABb则若 ,. ; .c则若 ,d则若 某学生做了三道题， 表示第 题做对了的事件 ，则至少做对了ii )3,21(i 两道题的事件可表示为（ ）. ;.; 1321321321321 AbAAa 321232dc 2、 、 、 为三个事件，说明下述运算关系的含义：BC.)6(.)5(.)4(.)3(.)(.1 ABCCBAA）（ 3、个工人生产了三个零件， 与 分别表示他生产的第 个零iAi)3,21(i 件为正、次品的事件。试用 与 表示以下事件： 全是正品； ii, 至少有一个零件是次品； 恰
2、有一个零件是次品； 至少有两个零件是次品。 4、下列命题中哪些成立，哪些不成立： ； ；BABA ； ；C)( ； 。则若 则若 （二） 1、选择题： 若事件 与 相容，则有（ ）AB ； )()(. PPa ；Ab ； )(1)(. BBAc )(1)(. BPAPd 事件 与 互相对立的充要条件是（ ） ,)(0)(.),()(.AbPa且 BdABc且 2、袋中有 12个球，其中红球 5个，白球 4个，黑球 3个。从中任取 9个， 求此 9球恰好有 4个红球，3 个白球，2 个黑球的概率。 3、 ？同 一 个 月 的 概 率 是 多 少少 有 两 个 同 学 的 生 日 为寝 室 里 的
3、 六 个 同 学 中 至 4、在扑克牌游戏(共 52张牌， “ ”最大)中，求以下事件的概率：A 以“ ”为头的同花顺次五张牌； 其它的同花顺次五张牌；AB 有四张牌同点数； 有三张牌同点数且另两张牌也同点数； 五CDE 张同花； 异花顺次五张牌； 三张同点数且另两张牌不同点数；FH 五张中有两对； 五张中有一对。IJ （三） 1、选择题： 已知 且 ，则（ ）成立。0)(BP21A ； ; |.1Aa )|()|()|(. 2121 BAPBAPb ; 。)|(2c |.d 若 且 ，则（ ）成立。0)(,(BP） )(|(） ； ；)|.Aa|.APBb 相容； 不相容。c, d, 2、知
4、 ，求 。61)|(,41)|(,31)( P)(B 3、种灯泡能用到 3000小时的概率为 0.8，能用到 3500小时的概率为 0.7。求一个已用到了 3000小时的灯泡还可以再用 500小时的概率。 4、某市男性色盲发病率为 7%,女性色盲发病率为 0.5%。今有一人到 医院求治色盲求此人为女性的概率。(设该市性别结构为男 : 女=0.502 : 0.498) 5、有两箱同类型的零件。第一箱装 50只，其中 10只一等品；第二 箱装 30只，其中 18只一等品。今从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中 取零件两次，每次任取一只，做不放回抽样。求 第一次取到的零件是 一等品的概率， 第一次取到
5、的零件是一等品的条件下，第二次取到的 也是一等品的概率。 （四） 1、选择题（可能不止一个选项）： 对于事件 与 ，以下命题正确的是( )，AB 若 互不相容，则 也互不相容; 若 相容，则,a, ,bBA 也相容; BA 若 独立，则 也独立; 若 对立，则,cBA, ,d 也对立; 若事件 与 独立，且 ，则（ ）成立，0)(,)(BP ； ；)(|(.BPAa|.Ab 相容； 不相容。c, d, 2、知 互相独立，证明 也互相独立。C, CB, 3、设 为互相独立的事件，求证 都与 独立。CBA, BA,C 4、一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率 为 ，求此射手每次
6、射击的命中率。810 5、甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目 标的概率分别是 0.4、0.5、0.7。目标被击中一发而冒烟的概率为 0.2，被击 中两发而冒烟的概率为 0.6，被击中一发则必定冒烟，求目标冒烟的概率。 6、袋中有 个黑球， 个白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一个ab 球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率。 7、甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为 172，而 各地每发炮弹命目标的概率分别为 0.05、0.1、0.2。现在目标已被击毁， 试求目标是被甲阵地击毁的概率。 第二章 随机变量及其分布 （一） 1、填空题： . 当 时,
7、是随机变量 的概率分布，c ),21(,/)( NkcXPX 当 时, 是随机变量 的概率分布；),(,/)1(kYY . 当 时, 是随机变量 的概率c )0,21(,!/)( kakP 分布； 设某射手对某一目标进行独立射击,每次射击的命中率均为 ,若以 表示pX 射击进行到击中目标为止时所需的射击次数,则 的分布律为 X ； 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率均为 3/4。用 表示直到试验 获得成功所需的试验次数，则 的分布律为 X ； 把一枚质量均匀的硬币独立地抛掷 次，以 表示此 次抛掷中落地后正nXn 面朝上的次数，则 的分布律为 。 2、只同类型的零件中有只次品，现在从中取次
8、，每次取只， 取后不放回。以 表记取出的只中的次品数，求 的分布律与分布函数。X 3、袋中有 6个球，其中三个球上各印有 1个点，两个球上各印有 2个点， 一个球上印有 3个点。从此袋中随机地取出 3个球，并以 表记取出的三个X 球上点数之和，试求随机变量 的分布律与分布函数及以下概率：X 。 )64(),64(),64(),4( PPX （二） 1、以下函数能否成为某随机变量的概率密度： ； 它其,0cos2)(xxf ； 它其,02cos)(xxf ,它其,02)( 22yxxf （ ） ； （ ） ； （ ） 2、设连续型随机变量 的概率密度为：X4,0,)(xkxf 试求：（1）常数
9、；（2） 的分布函数；（3）概率 。k )3(XP 3、设随机变量 的概率密度为：X它其,02/sin)(xAxf 试求：（1）常数 ；（2） 的分布函数；（3）概率 。A )4/(XP 4、设连续型随机变量 的分布函数为X0,)(xebxF 试求： 常数 ，概率密度 ， 。bf )3ln2(lP （三） 1、设随机变量 的分布律如右。求： ； X1XU ； 的分布律。V22W p0.4 0.3 0.2 0.1 2、已知随机变量 的概率密度为X,21)(xexf 求 的函数 的概率密度。XY2 3、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 (以分计)服从参数为X 的指数分布, 某顾客在窗口等待服务，
10、若超过分钟，他就离开。2.0 他一个月要到银行次。以 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，写出Y 的分布律，并求 。Y)1(P 第三章 多维随机变量及其分布 (一) 1、若随机变量 独立，分布函数分别为 则( )的联合YX, ),(yFxYXX, 分布函数为( )。 a. b. c.);(),(yFxyFYX )(),(yxYX d.x/y 2、设二维随机变量 取数组( ,-1)、(0, )、( )、(0,-1)的概,)Y12132, 率分别为 a、b、 、 试求：136 的联合分布律；(,)XY 确定常数 a和 b，使 和 相互独立；XY 分别关于 和 的边缘分布律。(,) 3、甲、乙两人
11、独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命 中率为 0.5；以 X、Y 分别表示甲、乙的命中次数，试求 X、Y 的联合分布律。 (二) 1、设(X，Y)为二维随机变量，其联合概率密度为： 其 它 1,0),(yxcyxf 试求：(1)常数 c； (2)PX0)的泊松分布，每位乘 客在中途下车的概率为 p(0p1)，乘客中途下车与否相互独立。以 Y表示在 中途下车的人数，求： (1)在发时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布。 4、设随机变量 X、Y 相互独立，X 具有概率密度其 它012)(xxf Y服从0，1内的均匀分布，试求 Z
12、=X+Y的概率密度函数。 5、设随机变量 X与 Y相互独立，其概率密度分别为： ， 0021)(xexf 0031)(yeyYf 试求随机变量 Z=X+Y的概率密度。 6、已知随机向量（X，Y）服从正方形 G=(x,y): 1x3, 1y3上 的均匀分布，试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度 p(u)。 第四章 随机变量的数字特征 （一） 1、选择题（每小题只有一个正确答案，把正确的题号写的括号内）: （1）掷一个均匀的骰子，所得点数的数学期望为（ ） 。 a . 1， b . , c . , d . 66127 （2）已知 100个产品中有 10个次品，从中任意取出 5个产品其中次品数的期
13、 望为（ ）. a .0.5 , b .0.25, c .1 , d .1 2、填空题: （1）连续型随机变量 X具有概率密度 ，0,2)(xexf 则 。EX （2）设随机变量 与 相互独立，且都服从参数为 的两点分布,并记Y25.p = ,Z不 取 奇 数取 奇 数YX,01 则 与 的联合分布为 , 的期望 .XZ EZ 3、游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的 5分钟，25 分钟和 55分钟从底层起行。假设一游客在早八点第 分钟到达底层候梯，且 ，求该游客等候时间的数)60,(U学期望。 4、某工厂生产的某种设备的寿命 （以年计）服从指数分布，其概率密X 度为: 。 0,
14、41)(xexfx 工厂规定，出售的设备在售出一年之内可以调换，若工厂售出一台设备赢利 100元,调换一台设备厂方需花费 300元,试求厂方出售一台设备净赢利的数学 期望。 5、设随机变量 互相独立，且其概率密度分别为:21,X , .0,)(1xexf 0,4)(2xexf 试求：（1） ， （2） .)1E21XE 6、设 在 上服从均匀分布，其中 由 轴， 轴及直线),(YXGGxy 围成，求 ， ， 。1yxE)23(YX)(E 7、设随机变量 相互独立，且 ， 试求随机变量YX, )1,0(),21(NYX 的概率密度函数。32Z （二） 1、选择题 （1） 掷一对均匀的骰子，其点数
15、之和的方差为 （2）概率密度为 的随机变量 的方差为 0,2)(xexf X （3）设 与 的相关系数 =0，则 XY a. 与 相互独立。 b. 与 不一定相关。XY c. 与 必不相关。 d. 与 必相关。 （4）设随机变量 与 的期望和方差存在，且 ，则下XY ,)(DYX 列说法哪个是不正确的 。 a. b. ，,)(DDEXY)( c. 与 不相关， d. 与 独立；XY 2、填空题： （1） 设随机变量 X的分布函数为 ， 1,1arcsin2,0)(xbxF 则 ， 。bD （2） 设随机变量 与 相互独立，并且 ，XY 2,DYXEY 则 。2)(E (3) 设随机变量 取 的
16、概率都是 0.5，那么 关于原点的前四阶矩1与 1= ， 2= ， 3= ， 4= 。 （4）设随机变量 的数学期望X 。 356 d. 1235c. 691b.635.a 。 4d.8c.4b. 1.a ，方差 ，则由契比雪夫不等式有 。EX2DX3XP 3、设随机变量 的概率密度为 求 。 ),(,21)(RexfxD 4、一门大炮不断地对目标进行轰击，假定目标被击中 3次才能摧毁，且 各次轰击相互独立，在每次轰击中击中目标的概率是 2/3，规定在 5次以内轰 击到摧毁目标为止，而轰击 5次后必停止，求总共轰击次数的期望与方差。 5、在每次试验中，事件 发生的概率为 0.5，利用契比雪夫不
17、等式估计：A 在 1000试验中，事件 发生的次数 X在 400600 之间的概率。 6、设 是二维随机变量，已知： ),(YX ,34,20, 2EYEX 试求5.0XY).(),YXD 7、已知随机变量 与 都服从二项分布 B(20，0.1)，并且 与 的相XYXY 关系数 xy=0.5，试求 X+Y的方差及 与 的协方差。XY2 8、设连续型随机变量 的概率密度是偶函数，且 ，试证 与X2EXX 不相关。X 第五章 大数定律与中心极限定理 1、每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为 ，求在 10025.1 次 射击中有 180 到达 220 发炮弹命中目标的概率 2、由 100
18、 个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个 部件能正常工作的概率为 90% 为了使整个系统能正常运行，至少必须有 85%的 部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率 3、设有 30 个同类型的某电子器件 ，若 的3021,D )30,21(i 寿命服从参数为 的指数分布，令 为 30 个器件正常使用的总计时间，1.0T 求 5TP 4、在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同 服从正态分布 ，若以 表示 次称量结果的平均值，问 至少取)2,0(NnXn 多大，使得 5.1|nXP 5、某单位设置一电话总机，共有 200 门电话分机，每门电话分机有 5% 的
19、时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机 至少要配置多少条外线，才能以 90%的概率保证每门分机要使用外线时，有 外线可供使用 第六章 样本及抽样分布 1、设总体 ， 是来自 的样本，求)3.0,(2NX1021,X 4.102iiP 2、设总体 ， 是来自 的样本，求)4,12(NX54321,XX 样本均值与总体值之差的绝对值大于 1 的概率； ； 5),max(4321P 10),min(5432P 3、设总体 ， 是来自 的样本，求)2,0(NX4321,X 24)(0)Z 证明统计量 服从自由度为 2 的 分布 第七章 参数估计 1、设总体 服从负指数分布，
20、其概率密度函数为X0,0)(xexf 其中 ，试求 的矩估计量。0 2、使用同一测量仪器对同一值进行了 12 次独立测量，其结果如下： 232.50，232.48，232.15，232.53，232.45，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩估计法估计测量值的真值和方差（设仪器无系统误差） 。 3、设总体 服从几何分布，它的分布律为X,21,)1(kpkPk 是来自总体 的样本，求 的极大似然估计量和矩估计量。n,21 4、设总体 的概率密度为X其 它,01)1()xxxf 是来自总体 的样本，求分别用矩估计法和极大似然估计法
21、求n,21 的估计量。 5、设总体 服从正态分布 ， 是从此总体中抽取的一个样本。X)1,(N2,X 试验证下面三个估计量： （1） 213 （2） 24 （3） 213X 都是 的无偏估计，并指出哪一个估计量有效。 6、设 和 分别为来自正态总体 和nX,21 mY,21 ),(21N 的样本，其中 ， 已知，试求常数 使 为 的无),(2Ndc,YdX 偏估计量，并使其方差最小。 7、设参数 的无偏估计量为 ， 其方差 依赖于样本容量 。若 ，试证 是 的相合估计量。Dn0limD 8、设总体 为其样本的观测值，试求参数 的置1021,xuNX u 信度为 0.95 的置信区间(其中 )。
22、4.01ii 9、随机地取某种炮弹 9 发作试验，测得炮口速度的样本标准差 1s （米/秒） 。设炮口速度 服从X ，求这种炮弹的炮口速度的标准差和方差的 95%的置信区间。),(2N 10、设两总体 ， ， 相互独立，从 中抽YX,)64,(1N)36,(2YX 取 的样本， =82，从 中抽取 的样本， ，试求751nx502n7y 的 95%的置信区间。)(2 11、设两总体 ，YX, ， 相互独立，从 中抽取 的样本，从),(21NX),(2NYX251n 中抽取 的样本，算得 ， ，试求两总体方差比Y62n96.31s0.42s 的 90%的置信区间。21 12、假定每次试验时，出现
23、事件 的概率 相同但未知。如果在 60 次独Ap 立试验中，事件 出现 15 次，试求 的置信度为 95%的置信区间。A 13、从一批某种型号电子管中抽出容量为 10 的样本，计算的标准差 。设整批电子管寿命服从小 时 ）(45s 正态分布。试求出这批电子管寿命的标准差的置信度为 95%的单侧置信上限。 第 八 章 假设检验 1、某工作人员在某一个星期里,曾经接见访问者 12 次,所有这 12 次的访问 恰巧都是在星期二或星期四.试求该事件的概率.是否可断定他只在星期二或星 期四接见访问者? 若 12 次访问没有一次是在星期日,是否可以断言星期日他根 本不会客? 2、 已知某炼铁厂铁水含碳量服
24、从正态分布 N(4.55,0.1082).现在测定了 9 炉铁水,其平均含碳量为 4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产之铁 水平均含碳量仍为 4.55( )?05.a 3、有一批枪弹,出厂时,其初速 ,其中 ,)(20Nv秒米 /950 ,经过较长时间储存,取 9 发进行测试,得样本值(单位: 米/秒)如下: 秒米 /10 914,920,910,934,953,945,912,924,940。 据检验,枪弹经储存,其初速 仍服从正态分布,且 可认为不变,问是否可v10 认为这批枪弹的初速 显著降低 ?)025.( 4、设在木材中抽出 100 根,测其小头直径,得到样本平均数为
25、,已cmx2.1 知标准差 .问该批木料小头的平均直径能否认为是在 12cm 以上cm620 ?)5.( 5、从一批灯泡中抽取 50 个灯泡的随机样本,算得样本平均数 小时,样190x 本标准差 小时,以 的水平,检验整批灯泡的平均使用寿命是否为490S%1 2000 小时？ 6、某种导线的电阻服从正态分布 ,今从新生产的一批导线中)05.,(2N 抽取 9 根,测其电阻,得 欧姆,对于 ,能否认为这批导线电阻的标08.S 准差仍为 0.005？ 7、两厂生产同一产品，其质量指标假定都服从正态分布，标准规格的为 均值等于 120，现从甲厂抽出 5 件产品，测得其指标值为 119，120，119
26、.2，119.7，119.6 从乙厂抽出 5 件产品，测得其指标值为 110.5，106.3，122.2，113.8，117.2 试根据这些数据判断该两厂产品是否符合规定的规格 120（显著性水平 ） 。0. 8、从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为 9 与 8 的样本进 行测试,得样本含锌平均值及样本方差如下：东支： ;西支： .若东、西两9,137.0,2. nSxn ,1736.0,269. 22nSyn 支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以 看作一样 ?)5.(a 9、两台车床生产同一种滚珠(滚珠直径服从正态分布).从中分别抽取 8 个 和
27、9 个产品，比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异( )?05. 甲车床：15.0,14.5,15.2,15.5,14.8,15.1,15.2,14.8； 乙车床：15.2,15.0,14.8,15.2,15.0,15.0,14.8,15.1,14.8。 10、甲、乙两个铸造厂生产同一种铸件.假设两厂铸件的重量都服从正态 分布,测得重量如下(单位:公斤): 甲厂:93.3,92.1,94.7,90.1,95.6,90.0,94.7 , 乙厂:95.6,94.9,96.2,95.1,95.8,96.3。 问乙厂铸件重量的方差是否比甲厂的小 ?)05.( 11、从总体 中抽取容量为 80 的样本，频数分布如下表X 区间 41,0(21,(43,(1,( 频数 6 18 20 36 试在显著性水平 下检验：总体 的概率密度为25.X其 它01)(xxf 是否可信？ 4、 设 是来自正态总体 的样本， ，921,X X61iiXY ， ， ， 97231iiXY9722)(YSi SYZ)(21 证明统计量 服从自由度为 2 的 分布Zt
