1、第 1 章 机械振动 章末总结 一、简谐运动的图像及作用 简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律从图像中可以确定位移、速度、 加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律 例 1 如图 1 所示，下列说法正确的是( ) 图 1 A振动图像上的 A、B 两点振动物体的速度相同 B在 t0.1 s 和 t0.3 s 时，质点的加速度大小相等，方向相反 C振动图像上 A、B 两点的速度大小相等，方向相反 D质点在 t0.2 s 和 t0.3 s 时的动能相等 解析 A、B 两点位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此 A 错，C 对在 t0.1 s 和 t0.3 s 时，质点离开平衡位置
2、的位移最大，方向相反，由 Fkx，a 可知 B kxm 对t0.2 s 时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大，而 t0.3 s 时，物体在最大位 移处，速度为零，动能最小，故 D 错 答案 BC 二、简谐运动的周期性和对称性 1周期性 做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个全振动的形式，所以 做简谐运动的物体具有周期性做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物 体的位移相同而速度可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题 2对称性 (1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率 (2)加速度和回复力的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有
3、等大反向的加速度和 回复力 (3)时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等振动过程中通过任 意两点 A、B 的时间与逆向通过的时间相等 例 2 物体做简谐运动，通过 A 点时的速度为 v，经过 1 s 后物体第一次以相同速度 v 通 过 B 点，再经过 1 s 物体紧接着又通过 B 点，已知物体在 2 s 内所走过的总路程为 12 cm， 则该简谐运动的周期和振幅分别是多大？ 解析 物体通过 A 点和 B 点时的速度大小相等，A、B 两点一定关于平衡位置 O 对称依 题意作出物体的振动路径草图如图甲、乙所示，在图甲中物体从 A 向右运动到 B，即图中 从 1 运动到 2，时间
4、为 1 s，从 2 运动到 3，又经过 1 s，从 1 到 3 共经历了 0.5T，即 0.5T2 s，T4 s,2A12 cm，A6 cm. 在图乙中，物体从 A 先向左运动，当物体第一次以相同的速度通过 B 点时，即图中从 1 运 动到 2 时，时间为 1 s，从 2 运动到 3，又经过 1 s，同样 A、B 两点关于 O 点对称，从图中 可以看出从 1 运动到 3 共经历了 1.5T，即 1.5T2 s ，T s，1.54A12 cm，A2 cm. 43 答案 T4 s， A6 cm 或 T s，A2 cm 43 针对训练 如图 2 所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块 B 相连
5、，木块 A 放在 木块 B 上两木块的质量均为 m.竖直向下的力 F 作用在 A 上，A、B 均静止将力 F 瞬间 撤去后，A、B 共同运动到最高点时，B 对 A 的支持力多大？ 图 2 答案 mgF/2 解析 撤去力 F 后，A、B 将共同沿竖直方向做简谐运动撤去力 F 的瞬间，A、B 整体受 到回复力的大小为 F，方向竖直向上；A、B 处在振动过程中位移的大小等于振幅由牛顿 第二定律可得，此时 A 受到的回复力大小为 F/2，方向竖直向上由回复力的对称性可知， 在最高点时 A(位移的大小也等于振幅，与撤去外力 F 时的位置对称) 受到的回复力 F 回 的大 小也为 F/2，方向竖直向下又因
6、为 A 受到的回复力是其重力与 B 对它的支持力 N 的合力， 所以在最高点处，对 A 有 F 回 mg N，得 NmgF 回 mgF/2. 三、单摆周期公式的应用 单摆的周期公式 T2 是在当单摆的最大偏角小于 5，单摆的振动是简谐运动的条件下 lg 才适用的，单摆的周期与振幅无关，与质量也无关，只与摆长和重力加速度有关另外由 公式的变形式 g 还可以测重力加速度 42lT2 例 3 一个摆长为 l1 的单摆，在地面上做简谐运动，周期为 T1，已知地球质量为 M1，半 径为 R1.另一摆长为 l2 的单摆，在质量为 M2，半径为 R2 的星球表面做简谐运动，周期为 T2.若 T12T 2，l
7、 14l 2，M 14M 2，则地球半径与星球半径之比 R1R 2 为( ) A21 B23 C12 D32 解析 在地球表面单摆的周期 T12 . l1g 在星球表面单摆的周期 T22 . l2g 又因为 g ， GM1R21 G g M2R2 由联立得 . R1R2 M1M2 l2l1T1T2 21 答案 A 1一质点做简谐运动的图像如图 3 所示，下列说法正确的是( ) 图 3 A质点振动频率是 4 Hz B在 10 s 内质点经过的路程是 20 cm C第 4 s 末质点的速度为零 D在 t1 s 和 t3 s 两时刻，质点位移大小相等，方向相同 答案 B 解析 振动图像表示质点在不同
8、时刻相对平衡位置的位移，由题图可看出，质点运动的周 期 T4 s，其频率 f 0.25 Hz，A 错误；10 s 内质点运动了 T，其运动路程为 1T 52 s T4 A 42 cm20 cm ，B 正确；第 4 s 末质点在平衡位置，其速度最大，C 错； 52 52 t1 s 和 t3 s 两时刻，由题图可看出，位移大小相等，方向相反， D 错 2关于简谐运动的周期，下列说法正确的是( ) A间隔一个周期的两个时刻，物体的振动情况完全相同 B间隔半个周期奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同 C半个周期内物体动能的变化一定为零 D一个周期内物体势能的变化一定为零 答案 ACD 解析
9、 根据周期的意义知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，所以 A、D 正确；当间隔半个周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等、方向相反，故 B 选项错误；由于间隔半个周期各矢量大小相等，所以物体的动能必定相等，没有变化，所 以 C 也正确 3站在升降机里的人发现，升降机中摆动的单摆周期变大，以下说法正确的是( ) A升降机可能加速上升 B升降机一定加速上升 C升降机可能加速下降 D升降机一定加速下降 答案 C 解析 由单摆周期公式 T2 知，周期变大，则等效重力加速度 g变小，故升降机的 lg 加速度方向向下，故可能加速下降，也可能减速上升，故选项 C 正确 4光滑水平面上的弹
10、簧振子，质量为 50 g，在弹簧振子被拉到最大位移处释放并开始计时， 在 t0.2 s 时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为 4 m/s.则在 t1.2 s 末，弹簧的弹性 势能为_J，该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为_Hz,1 min 内，弹 簧弹力对弹簧振子做正功的次数为_次 答案 0.4 2.5 150 解析 根据其周期性及对称性，则有周期 T0.8 s，振子的最大速度为 4 m/s，则最大动能 Ekmax mv2 0.4 J；根据振子振动的周期性判定在 t1.2 s 末，振子在最大位移处，据机 12 械能守恒有 EpE kmax0.4 J，物体的振动周期为 0.8 s，则其动
11、能的变化周期为 0.4 s， T2 所以动能的变化频率为 2.5 Hz；在物体振动的 1 个周期内 (向平衡位置运动时弹力做正功)， 弹力两次做正功，根据其周期性可求得 1 min 内弹力做正功的次数为 n 2 次150 600.8 次 5摆长为 1 m 的单摆，如图 4 甲所示挂在天花板上静止时摆球刚好与竖直墙壁接触而不 相互挤压将摆球拉离竖直墙壁很小角度后释放，则摆球会在竖直墙壁和开始释放处之间 做周期性的往复运动，设摆球与墙壁碰撞后按原速率弹回且碰撞时间极短(可以忽略) (1)求振动的周期 (2)取碰撞处为坐标原点，试画出两个周期的振动图像 图 4 答案 (1)1 s (2)见解析 解析 (1)此振动装置的周期应为单摆周期的 .所以 T T 1 s. 12 12 lg (2)取向右为正，摆球摆动将没有负位移，其图像如图所示
