1、第六章 万有引力与航天 第二、三节 太阳与行星间的引力 万有引力定律 哥白尼说：“太阳坐在它的皇位上，管理着围绕着它的一切星球”，那么是什么原因使行 星绕太阳运动呢？伽利略、开普勒以及法国数学家笛卡尔都提出过自己的解释然而，只有牛顿 才给出了正确的解释 1知道行星绕太阳运动的原因及行星绕太阳做圆周运动的向心力来源 2了解万有引力定律的发现过程，会用其公式解决有关问题，注意公式的适用条件 3知道万有引力常量的测定方法及其在物理学上的重要意义 1太阳与行星间的引力 (1)太阳对行星的引力 假设行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对行星的引力就为做匀速圆周运动的行 星提供向心力 设行星的质量为
2、m，线速度为 v，行星到太阳的距离为 r，太阳的质量为 M.由向心力公式 Fm r 和开普勒第三定律 k，得 F4 2k . 4 2T2 r3T2 mr2 这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量 m 成正比，与行星和太阳间距离的二次 方成反比，即 F mr2 (2)行星对太阳的引力 如图所示，太阳对行星的引力 F 与行星的质量成正比，即与受力物体的质量成正比由牛 顿第三定律知，太阳吸引行星，则行星也必然吸引太阳，且吸引力应该与太阳质量 M 成正比，与 行星和太阳间距离的二次方成反比，即 F Mr2 (3)太阳与行星间的引力 太阳与行星之间的引力大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离
3、的二次方成 反比，即 F ，写成公式就是 FG . Mmr2 Mmr2 太阳与行星间引力的方向沿二者的连线 2月一地检验 (1)牛顿的思考：太阳对地球的引力、地球对月球的引力以及地球对地面上物体的引力都是 同一种性质的力，其大小可由公式 FG 计算 Mmr2 (2)月地检验：如果猜想正确，月球在轨道上运动的向心加速度与地面重力加速度的比值， 应该等于地球半径平方与月球轨道半径平方之比，即 . 13 600 (3)检验的过程： 理论分析：设地球半径为 r 地 ，地球和月球间距离为 r 地月 天文观测 (4)检验的结果：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力， 遵从相同的
4、规律 3万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与 物体的质量 m1和 m2的乘积成正比、与它们之间距离 r 的平方成反比 (2)公式：FG m1m2r2 (3)引力常量：英国物理学家卡文迪许较准确地得出了 G 的数值，现在通常取 G6.6710 11 Nm2/kg2. 物理中常用的思想方法 一、常用方法 1理想化模型法 在研究物理问题时，忽略次要因素，关注主要因素，根据实际物体或实际过程抽象出来理 想化模型，是中学物理中用的一种方法，前面接触的质点、匀速直线运动等都是理想化模型 2类比法 由一类事物所具有的某种属性，推测出与其类似的事物也
5、应具有这种属性的推理方法在 引入一些十分抽象的，看不见、摸不着的物理量时，经常用到类比法 3等效法 在保证效果相同的前提下，将陌生的、复杂的、难处理的问题转换成熟悉的、容易的、易 处理的问题的一种方法等效法可分为等效原理、等效概念、等效方法、等效过程等 4控制变量法 物理中对于多因素的问题，常常采用控制因素的方法，把多因素的问题变成多个单因素的 问题每一次只改变其中的某一个因素，而控制其余几个因素不变，从而研究被改变的这个因素 对问题的影响 二、典例剖析 有一质量为 M、半径为 r，密度均匀的球体，在距离球心 O 为 2r 的地方有一质量为 m 的 质点，现在从 M 中挖去一半径为 的球体，如
6、图所示，求剩下部分对 m 的万有引力 F 为多大？ r2 点拨：仔细观察球体挖去部分及完整球体的形状特点，可知，完整部分与质点 m 以及挖去 部分与质点 m 间万有引力均可用公式计算，由此联想到利用等效割补的方式先将剩余部分还原为 完整体，计算出万有引力，然后计算出割去部分与质点 m 间的万有引力，两者之差即为所求 解析：设被挖小球的质量为 M，其球心到质点间的距离为 r. 由题意，知 M ，r r. M8 32 由万有引力定律，得 F1G ， Mm（ 2r） 2 GMm4r2 F2G G ， M mr 2 M8m (32r)2 GMm18r2 所以剩下部分对 m 的万有引力为 FF 1F 2
7、 . 7GMm36r2 答案： 7GMm36r2 1太阳对行星的引力提供了行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，这个向心力大小(D) A与行星距太阳间的距离成正比 B与行星距太阳间的距离成反比 C与行星运动的速率的平方成正比 D与行星距太阳的距离的平方成反比 2已知地球半径为 R，将一物体从地面移到离地高为 h 处时，物体所受万有引力减少到原 来的四分之一，则 h 为(A) AR B2R C. R D( 1)R2 2 3如图所示，两球间距离为 r，而球质量分布均匀，大小分别为 m1、m 2，则两球间的万有 引力的大小为(D) AG BG m1m2r2 m1m2（ r r1） 2 CG DG m1m
8、2（ r r2） 2 m1m2（ r r1 r2） 2 4两个大小相同、用同种材料制成的均匀球体紧靠在一起，它们之间的万有引力为 F，若 用上述同种材料制成的两个半径为原来球半径 2 倍的小球靠在一起，它们之间的万有引力为(球的 体积公式为 V r 3，r 为球的半径)(D) 43 A4F B. F 14 C. F D16F 12 一、选择题 1太阳对行星的引力与行星对太阳的引力大小相等，其依据是(C) A牛顿第一定律 B牛顿第二定律 C牛顿第三定律 D开普勒第三定律 2在万有引力定律的公式 F 中，r 是(AC) G1m2r2 A对行星球绕太阳运动而言，是指运行轨道的半径 B对地球表面的物体
9、与地球而言，是指物体距离地面的高度 C对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离 D对人造地球卫星而言，是指卫星到地球表面的高度 解析：公式中的 r 对星球之间而言，是指运行轨道的半径，A 对；对地球表面的物体与地 球而言，是指物体到地球球心的距离，B 错；对两个均匀球而言，是指两个球心间的距离，C 对； 对人造地球卫星而言，是指卫星到地球球心的距离，D 错 3甲、乙两个质点间的万有引力大小为 F，若甲物体的质量不变，乙物体的质量增加到原 来的 2 倍，同时，它们之间的距离减为原来的 1/2，则甲、乙两个物体的万有引力大小将变为(C) AF BF/2 C8F D4F 4一名宇航员来到一个星球上，如
10、果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球 直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的(C) A. 倍 B. 倍 14 12 C2 倍 D4 倍 解析：F 地 ，F 引 GM0m/ GMmr2 12 (12r0)2 2 2F 地 5在离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度的大小是地球表面处的(D) A2 倍 B1 倍 C. 倍 D. 倍 12 14 解析：由 mgG 知，g ，则有 g0 ，g ，当 hR 时，g g0. mMr2 1r2 1R2 1（ R h） 2 14 6紫金山天文台将他们发现的第 2752 号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半
11、径为 16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体小行星的密度与地球相同已知地球半径 R6 400 km，地球表面重力加速度为 g，这个小行星表面的重力加速度为(B) A400g B. g 1400 C20g D. g 120 解析：由 g 和 M R 3，可得 ，由题意得 ，所以 g g GMR2 43 3g4 GR 3g4 GR 3g4 Gr rR g. 1400 7在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已 知太阳质量约为月球质量的 2.7107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道 半径的 400 倍关于太阳和月球对地球上相同质量
12、海水的引力，以下说法正确的是(AD) A太阳引力远大于月球引力 B太阳引力与月球引力相差不大 C月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析：根据 FG ，可得 ，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力， MmR2 F太 阳F月 则 A 正确，B 错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，则 D 正确，C 错 误 8把行星运动近似看成匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为 T2 ，则可推得(C) r3k A行星受太阳的引力为 Fk mr2 B行星受太阳的引力都相同 C行星受太阳的引力为 F 4 2kmr2 D质量越大的行星受太阳的引力一定
13、越大 二、非选择题 9人造卫星在其轨道上受到的地球引力是它在地球表面上所受引力的一半，那么此人造卫 星的轨道离地表的高度是地球半径的_倍；如果人造卫星的轨道半径 r2R 0(R0是地球半径)， 则它的向心加速度 a0_m/s 2(g 取 9.8 m/s2) 解析：已知 ，又因为 g ，所以 ，解得 h( 1)R 0. mgmg gg 12 GMr2 gg 12 2 当 r2R 0时，卫星的向心加速度即为此时的重力加速度，所以 ，g 取 9.8 m/s2， a0g 得 a02.45 m/s 2. 答案：( 1) 2.452 10已知地球质量大约是 M6.010 24 kg，地球平均半径为 R6
14、370 km，地球表面的重 力加速度 g 取 9.8 m/s2.求： (1)地球表面一质量为 10 kg 的物体受到的万有引力； (2)该物体受到的重力； (3)比较(1)(2)的结果，说明原因 解析：(1)由万有引力定律得：FG ， MmR2 代入数据得：F98.6 N. (2)Gmg98.0 N. (3)比较结果是万有引力比重力大原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力 和自转所需的向心力 答案：(1)98.6 N (2)98.0 N (3)见解析 11已知月球质量是地球质量的 ，月球半径是地球半径的 ，在离月球表面 14 m 处让 181 13.8 质量为 m60 kg 的物体自
15、由下落，求： (1)物体下落到月球表面所用的时间； (2)物体在月球上的质量和“重力”与在地球上是否相同(已知地球表面的重力加速度为 g 地 9.8 m/s 2) 解析：(1)设月球表面的重力加速度为 g 月 ，由物体在月球表面受到的重力等于月球对物体 的万有引力，可得：G mg 月 ， 同理，由物体在地球表面受到的重力等于地球对物体的万有引力，可得：G mg 地 由可得： . g月g地 3.8281 即 g 月 9.8 m/s21.75 m/s2.与物体在地球表面上下落一样，在月球表面上物体的 3.8281 下落也是匀加速运动根据 h gt2， 12 得 t s4 s. 2hg 2141.7
16、5 (2)在月球和地球上，物体的质量都是 60 kg.物体在月球上的“重力”和在地球上的重力 分别为： G 地 mg 地 609.8 N588 N. G 月 mg 月 601.75 N105 N. 答案：见解析 12离地面某一高度 h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的二分之一，则高度 h 是地 球半径的多少倍？ 解析：地球表面上物体所受重力约等于地球对物体的引力，则有 mgG ，式中 G 为引力 MmR2 常量，M 为地球质量，m 为物体质量，R 为轨道半径 离地面高度为 h 处，mg hG . Mm（ R h） 2 由题意知 gh g， 12 mgG ， MmR2 解得 h( 1)R.2 即高度 h 是地球半径的( 1)倍2 答案： 1 倍2
