1、第四节 机械能守恒定律 课前自主预习 1.机械能概念： 、 和 统称为机械能，机械能的表 达式为 。 2.机械能守恒定律的内容：在 的条件 下，物体的 和 相互转化，物体机械能的总量 。 3.机械能守恒定律常见的表达式： （物体初末状态 的机械能不变） ； （势能的变化量等于动能的变化量） 。 4.下列物体中，机械能守恒的是（ ） A做竖直上抛运动的物体 B被匀速吊起的集装箱 C一物体从斜面上匀速滑下 D在粗糙水平面上运动的物体 解析：做竖直上抛的物体仅受重力作用，故机械能守恒，答案 A 正确；被匀速吊起的集装 箱除受重力外还受一个竖直向上，大小等于重力的力作用，故机械能在增加，物体从斜面 匀
2、速下滑表明还受一个沿斜面向上的力；故机械能不守恒；粗糙水平面上运动的物体摩擦 力做负功，机械能不守恒。故答案选 A。 答案：A 5.关于机械能，以下说法正确的是( ) A在平衡力作用下物体运动，其机械能不变 B作用在物体上的合力不做功，物体机械能一定守恒 C当作用在物体上的动力做功等于物体克服阻力做的功，物体的机械能保持不变 D物体在运动过程中只有重力做功，受到的其他外力不做功，物体的机械能守恒 解析：在平衡力作用下物体的运动机械能不一定守恒，如匀速上升的物体，故答案 A、 B、C 错误，答案 D 所述即为机械能守恒的条件。可知答案 D 正确。 答案：D 答案：1动能，重力势能，弹性势能，E=
3、E K+EP 2只有重力和系统内弹力做功，动能， 势能，保持不变 3E k1+Ep1=Ek2+Ep2 ， E k=-E p 课堂互动探究 知识点 1 动能与势能之间的相互转化 新知探究 如图 4-4-1 所示，蹦极是非常刺激的户外休闲活动，深受年轻人的喜 爱跳跃者站在约 40 米以上高度的桥梁、塔顶、高楼甚至热气球上人在 蹦极时可在空中享受几秒钟的“自由落体” 当人体下落到一定高度时，橡 皮绳被拉开、绷紧，阻止人体继续下落，当到达最低点时橡皮绳再次弹起， 人被拉起，随后，又落下，这样反复多次直到橡皮绳的弹性消失为止，这就 是蹦极的全过程 从能量转化的角度上看，人从最高点下落到绳恰好伸直的过程：
4、 转 化为 从绳恰好伸直到绳的弹力 Fmg 的过程： 转化为 和 从绳的弹力 Fmg 到最低点的过程中： 和 转化为 整个过程可看 成 与 间的相互转化 答案：重力势能，动能，重力势能，动能，弹性势能，重力势能，动能，弹性势能， 重力势能，弹性势能 重点归纳 对动能与势能之间的相互转化的理解 由动能定理可知，所有外力做功都会改变动能，即动能的改变等于合外力的功。但重 力势能的变化仅由重力做功决定，重力做多少功，重力势能就减少多少；重力做多少负功， 图 4-4-1 重力势能就增加多少。弹性势能的改变仅由弹簧弹力做功决定，与其他任何外力做功均无 关。 这样，在只有重力做功的情况下，仅有动能与重力势
5、能的相互转化；在只有弹力做功 的情况下，仅有动能和弹性势能的相互转化。 例 1将质量为 m 的物体以初速度 竖直上抛，忽略空气阻力，g 取smv10 ,则：2/10s （1）物体上升的最大高度是多少？ （2）上升过程中，何处重力势能与动能相等？ 解析：物体在竖直上抛过程中，只有重力做功，物体的机械能守恒。 （1）物体上升过程中机械能守恒，则有 ，则20max1vgh 。mgvh5020max （2）设物体在 h 高处，物体的重力势能与动能相等，即 ,又由机械能守恒KEgh 定律得 ，联立两式可得201vEgK mvh5.210420 答案：见解析。 触类旁通 1.如果在离地面 15m 高的阳台
6、上，将物体以初速度 竖直向上抛出，忽略sv/0 空气阻力，g 取 ，则物体落到地面时的速度为多少？2/10sm 解析：选取抛出点所在平面为零势能面，根据机械能守恒定律得： ，解得：2201vhvsm/20 知识点 2 机械能守恒定律 新知探究 如图 4-4-2 所示的蹦极就是目前户外活动中刺激度排行榜名列 榜首的运动。跳跃者站在 40 米以上（相当于 10 层楼高）高度的桥 梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡 皮条绑在足关节处，然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去。虽 然惊险刺激，但不必担心安全问题，因为设计者已经充分考虑到了 安全问题。 设计者在考虑安全问题时的依据是
7、跳跃者往下跳时重力势能转 化为动能再转化为橡皮条的弹性势能。这些能量在转化的过程中总 量 ，而这些能量都统称为 ，所以这也是物理规 律中的 定律。 答案：不变，机械能，机械能守恒 图 4-4-2 重点归纳 对机械能守恒定律的理解 1. 机械能是否守恒的判断 （1）从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能) 转 化，则系统机械能守恒如果物体间发生相互碰撞或相对运动，又有相互间的摩擦作用时 有内能的增加，机械能一般不守恒 （2）从机械能的定义看：若动能与势能之和不变化，则机械能守恒如果一个物体沿 斜面匀速( 或减速)滑下，动能不变(或减小) ，势能减小，则机械能减小；一
8、个物体沿水平方 向匀速运动时机械能守恒，沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒 （3）从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功，系统机械能守恒具体表现在： a.只受重力(或系统内的弹力) 作用如：所有做抛体运动的物体(不计阻力) b.还受其他力，但只有重力(或系统内的弹力 )做 功如图 443 甲所示 c.有系统的内力做功，但是做功代数和为零如图 442 乙所示，A、B 间及 B 与地面之间均光滑，A 自 B 的上端自由下滑时，B 沿地面滑动，A、B 之间的弹力 做功，对 A 或 B 机械能均不守恒，但对 A、B 组成的系 统机械能守恒 2. 机械能守恒定律的三种表达式 (1)Ek1 Ep1E k2
9、E p2，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和，选 用该表达式时，应恰当选取参考平面 (2)EkE p 或 EpE k，即动能( 或势能)的增加量等于势能(或动能) 的减少量 (3)EA EB，即 A 物体机械能的增加量等于 B 物体机械能的减少量 3. 机械能守恒定律和动能定理的比较 机械能守恒定律 动能定理 应用范围 只有重力和弹力做功时 无条件限制 物理意义 其他力( 重力、弹力以外)所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量 度 关注角度 守恒的条件和始末状态机械能的形式 及大小 动能的变化及改变动能方式(合外力做 功情况) 说明 等号右边表示动能增加量
10、时，左边表 示势能的减少量， “mgh”表示重力势能 (或重力势能的变化) 等号左边是合外力的功，右边是动能 的增量， “mgh”表示重力做的功 例 2（单选）不计弹性势能， 物体在下列运动中机械能一定守恒的是 （ ） A自由落体运动 B竖直方向上做匀变速运动 C竖直方向上做匀速直线运动 D在水平面上做匀加速直线运动 解析：不计弹性势能时，机械能守恒的条件是：“只有重力做功，只存在重力势能和 动能的转化” 。自由落体运动满足此条件，故机械能守恒；在竖直方向上做匀变速运动时， 并不一定只受重力作用，可能有重力以外的力作用并做功，所以机械能不一定守恒；在竖 直方向做匀速直线运动时，物体的动能不变，
11、可重力势能在变化，所以机械能不守恒；在 水平面上做匀加速直线运动时，物体的重力势能不变，可动能在增加，所以机械能不守恒。 答案：A。 触类旁通 2. （单选）下列有关机械能守恒的说法中正确的是( C ) A物体的重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能一定守恒 B物体克服重力做功，重力势能增加，动能减小，机械能一定守恒 C物体以 g 加速下落，重力势能减小，动能增加，机械能一定守恒 图 443 D物体以 加速下落，重力势能减小，动能增加，机械能可能守恒 g2 解析：物体的重力做功时，物体下落，重力势能一定减小，物体克服重力做功，说明 物体重力做负功，物体势能增加，若只有重力做功，机械能守恒，若
12、还有其他力如阻力做 功，则机械能不守恒，选项 A、B 均错；物体以 g 加速下落且重力势能减小时，说明只有 重力做功，机械能守恒，C 对；以 加速下落且重力势能减小时，说明物体除有重力做功外， g2 还有其他力做功，机械能一定不守恒，D 错 答案：C 例 3 (单选) 如图 444 所示，一个小孩从粗糙的滑梯上加速滑 下，对于其机械能的变化情况，下列判断正确的是( ) A重力势能减小，动能不变，机械能减小 B重力势能减小，动能增加，机械能减小 C重力势能减小，动能增加，机械能增加 D重力势能减小，动能增加，机械能不变 解析：下滑时高度降低，则重力势能减小，加速运动，动能增加， 摩擦力做负功，机
13、械能减小，选项 B 对，A、C、D 错 答案：B 触类旁通 3. 下列运动不满足机械能守恒条件的是( ) A跳伞运动员在空中匀速下降 B物体以初速度 v0 沿光滑斜面滑动 C子弹向空中射出沿弹道轨道运动 D小球竖直下落后压缩弹簧 解析： 跳伞运动员在空中匀速下降，可知运动员除受重力作用外，还受到与重力方向 相反的外力作用，且对运动员做了负功，因此不满足机械能守恒条件；而子弹沿弹轨道运 动说明阻力不能忽略，对子弹做了负功，不满足守恒条件 答案：AC 方法技巧易错易混实验透视 易错易混 系统机械能守恒问题 1.对于相互作用的整体，在进行能量转化时，单独一个物体机械能一般不守恒，但系 统机械能守恒，
14、可利用机械能守恒定律对系统列方程求解相关量。 2.对于绳索、链条、液体、长杆等这类研究对象，不能当成质点处理时，正确确定其 重心位置是解决此类问题的关键，一般情况下，先分段考虑系统各部分的重力势能后再求 和，而参考平面的选取，以系统初、末状态的重力势能便于表达为宜。 例 4 (双选)如图 445 所示，质量分别为 m 和 2m 的两个小球 A 和 B，中间用轻 质杆相连，在杆的中点 O 处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释 放，在 B 球顺时针摆动到最低位置的过程中( ) AB 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械 能守恒 BA 球的重力势能增加，动能也增加， A 球和地球
15、组成的系统机 械能不守恒 CA 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒 DA 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒 错因：认为杆施的力沿杆方向，拉力不做功，只有重力做功，A、B 球的机械能都守 恒 图 444 图 445 正解：B 球从水平位置下摆到最低点过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力方向 待定下摆过程中重力势能减少，动能增加，但机械能是否守恒不确定A 球在 B 下摆过 程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加由于 A、B 系统只有重力做功，系统机械 能守恒，A 球机械能增加，B 球机械能一定减少所以 B、C 选项正确( 杆施力的方向并 不总指向沿杆的方向，本题中就是如此杆对 A、B
16、球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直 的切向力所以杆对 A、B 球施的力都做功，A 球、B 球的机械能都不守恒) 答案：BC 触类旁通 4. 长为 L 的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的 1/4 垂在桌边，如图 4- 4-6 所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为 多大？ 解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用 机械能守恒定律求解。设整根链条质量为 m，则单位长度质量（质量线密度）为 mL 设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得 解 得 点评：求解这类题目时，一是注意零势点的选取，应尽可能使 表达式简化，该题如选链
17、条全部滑下时的最低点为零势能点，则初 始势能就比较麻烦。二是灵活选取各部分的重心，该题最开始时的 势能应取两部分（桌面上和桌面下）势能总和，整根链条的总重心便不好确定，最后刚好 滑出桌面时的势能就没有必要再分，可对整根链条求出重力势能。 随堂练习 一、单项选择题 1. 不计弹性势能， 物体在下列运动中机械能一定守恒的是 （ ） A自由落体运动 B竖直方向上做匀变速运动 C竖直方向上做匀速直线运动 D在水平面上做匀加速直线运动 解析：不计弹性势能时，机械能守恒的条件是：“只有重力做功，只存在重力势能和 动能的转化” 。自由落体运动满足此条件，故机械能守恒；在竖直方向上做匀变速运动时， 并不一定只
18、受重力作用，可能有重力以外的力作用并做功，所以机械能不一定守恒；在竖 直方向做匀速直线运动时，物体的动能不变，可重力势能在变化，所以机械能不守恒；在 水平面上做匀加速直线运动时，物体的重力势能不变，可动能在增加，所以机械能不守恒。 答案：A。 2. 物体在斜面上做加速运动时，下列说法正确的是( ) A它的动能一定增大，重力势能也一定增大 B它的动能一定增大，重力势能一定减小 C它的动能一定增大，重力势能一定发生变化 D如果加速度逐渐减小，物体的动能也逐渐减小 解析：物体在斜面做加速运动，速度一定增大，但题目并未说明是否有其他外力作用， 因此无法判断重力势能是增加还是减小，但可知物体的高度差必然
19、变化，重力势能一定变 化，故选项 A、B、D 错，C 对 答案：C 3在高为 h 处的物体做自由落体运动，当物体下落到某一位置时，其动能与重力势能 相等( 设地面为零势能面)，则物体下落的高度 h为( ) Ah h Bh h 12 13 2184LgvLgm gLv165 图 4-4-6 Ch h Dh h 14 23 解析：物体做自由落体运动，机械能守恒地面为零势能面，物体具有的机械能为 Emgh ，当动能与重力势能相等时， mg(hh) mv2，而 mgh mv2，得 h . 12 12 h2 答案：A 二双项选择题 4. 下列运动不满足机械能守恒条件的是( ) A跳伞运动员在空中匀速下降
20、 B物体以初速度 v0 沿光滑斜面滑动 C子弹向空中射出沿弹道轨道运动 D小球竖直下落后压缩弹簧 解析： 跳伞运动员在空中匀速下降，可知运动员除受重力作用外，还受到与重力方向 相反的外力作用，且对运动员做了负功，因此不满足机械能守恒条件；而子弹沿弹轨道运 动说明阻力不能忽略，对子弹做了负功，不满足守恒条件 答案：AC 5如图 447 所示，一个质量为 m 的物体在距地面 h 高处以初速度 v0 斜向上抛出， 物体上升到最高点时垂直上升高度为 H，取抛出点所在的水平面为 零势能面，不计空气阻力，则下列描述正确的是( ) A物体上升到最高点时，机械能为 mgH B物体上升到最高点时，机械能为 mg
21、(Hh) C物体上升到最高点时，机械能为 mv 12 20 D物体在落地前任一时刻的机械能均为 mv 12 20 解析：由题意可知物体仅受重力做功，机械能守恒，又因为选取抛出点为零势能面， 因此物体总的机械能为 E mv ，故选项 C、D 对；而物体在最高点时，速度不为零，选 12 20 项 A、B 错 答案：CD 6如图 448 所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上其正 上方 A 位置有一个小球，小球从静止开始下落，在 B 位置接触弹簧的上端， 在 C 位置小球所受弹力大小等于重力，在 D 位置小球速度减少到零小球 在下降过程中，下列说法正确的是( ) A在 B 位置小球动能最大 B在
22、C 位置小球动能最大 C从 AC 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加 D从 BD 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 解析：小球动能的增加用合外力做功来量度，AC 小球受的合力一直向下，对小球做 正功，使动能增加；CD 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减少，所以 B 正确；A C 小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以 C 正确；从 BD 小球重力势能的减少和小球动能的减少之和等于弹簧弹性势能的增加，D 错 答案：BC 课后巩固提升 一、单项选择题 1. 1(2011 年佛山一中期末 )如图 449 所示，小球从高处下落 图 447 图 448 图
23、449 到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于小球和弹簧的能量 叙述中正确的是( ) A重力势能和动能之和总保持不变 B重力势能和弹性势能之和总保持不变 C动能和弹性势能之和总保持不变 D重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变 解析：整个过程中，小球的机械能守恒，即小球的重力势能和动能以及弹簧的弹性势 能总和保持不变，故 A、B、C 错误， 答案：D 2如图 4410 所示，在水平桌面上的 A 点有一个质量 为 m 的物体以初速度 v0 被抛出，不计空气阻力，当它到达 B 点时， 其动能为( ) A. mv mgH B. mv mgh 12 20 12 20 CmgHm
24、gh D. mv mg(Hh) 12 20 解析：小球在运动的过程中机械能守恒，选取 B 点为零势能 面，可知 A 点的机械能为. mv mgH，到 B 点时重力势能为- mgh， 但 12 20 机械能仍为 mv mgH 12 20 答案：B 3如图 4411 所示，m 1m2，滑轮光滑，且细绳质量不计，忽略 空气阻力，在 m1 下降距离 d(m2 未升高到与滑轮接触) 的过程中( ) Am 2 的机械能守恒 Bm 1 的机械能增加 Cm 1 和 m2 总的机械能减少 Dm 1 和 m2 总的机械能守恒 解析：对于 m1 或 m2 在运动过程中，除受重力做功外还受绳的拉力做功，而对系统 m1
25、、m 2，仅受重力做功，故选项 D 对 答案：D 4从地面竖直向上抛出一个物体，当它的速度减为初速度 v0 的一半时，上升的高度 为(空气阻力不计)( ) A. B. v202g v204g C. D. v208g 3v208g 解析：由 mv m 2mgh 得 h . 12 20 12 (v02) 3v208g 答案：D 二、双项选择题 5下列运动过程中满足机械能守恒的是( ) A物体做平抛运动的过程 B物体沿斜面匀速下滑的过程 C物体沿粗糙圆弧以一定的初速度向上滑行的过程 D小孩在秋千上荡秋千的过程 (不计空气阻力) 解析：机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，平抛运动只有重力做功，故 A
26、 选项 正确；物体沿斜面匀速下滑的过程受一个沿斜面向上的摩擦力，摩擦力做负功，物体沿粗 糙圆弧向上滑行的过程中摩擦力也做负功，都有机械能损失，故答案 BC 错误；小孩子在 图 4410 图 4411 荡千秋虽受重力、拉力、等，但只有重力做功，故机械能守恒，答案 D 正确。 答案：AD 6如图 4-4-12 所示，木块均在固定的光滑 斜面上运动，在这四个图示运动过程中机械能守 恒的是( ) 解析：图 A 中 F 做正功，图 B 中 F 时刻与 位移垂直，不做功，只有重力中做功；图 C 也只 有重力做功；图 D 中 F 也做正功。故机械能守恒 的只有 BC。 答案：BC 7两个质量不同的物块 A
27、和 B 分别从高度 相同的光滑斜面和弧形曲面的顶点滑向底部，如 图 4413 所示，它们的初速度为零，则下列 说法正确的是( ) A下滑过程中重力所做的功相等 B它们到达底部时，动能相等 C它们到达底部时，速率相等 D物块 A 在最高点时的机械能和它到达最低点时的机械能相等 解析：重力做功为 mgh，两者高度差一样但质量不同，故重力做功不一样，两者的机 械能也不一样，故答案 AB 错误；根据机械能守恒有 ，可知答案 CD 正确。21mvgh 答案：CD 8一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块 A 并留在 A 中，A 、 B 用一根弹性良好的弹簧连在一起，如图 4414 所 示，则在子弹打击木
28、块 A 并压缩弹簧的整个过程中，对子弹、 两木块和弹簧组成的系统( BD ) A系统机械能守恒 B系统机械能不守恒 C仅对 A、B 组成的系统机械能守恒 D子弹穿入木块 A 并相对 A 静止后，系统的机械能守恒 解析：子弹射入木块 A 中的同时弹簧被压缩，子弹受到摩擦力做功，摩擦力做功转化 为热量，故在整个过程中，系统机械能不守恒；当子弹相对 A 静止时，摩擦力不做功，只 有动能与弹簧的弹性势能相互转化，故系统机械能守恒 答案：BD 9如图 4415 所示，一轻弹簧固定于 O 点，另一端系一 重物，将重物从与悬点 O 在同一水平面且弹簧保持原长的 A 点无 初速度地释放，让它自由摆下，不计空气
29、阻力，在重物由 A 点摆 向最低点的过程中( ) A重物的重力势能减少 B重物的机械能不变 C重物的机械能增加 D重物、弹簧和地球所组成的系统机械能守恒 解析：重物在往下摆的过程中重力做正功，弹簧的弹力做负 功，故重物的重力势能和机械能都在减小，故答案 A 正确，答案 BC 错误；重物、弹簧和地球所组成的系统机械能守恒。故答案 D 正确。 答案：AD 三非选择题 10. 10如图 4416 所示，固定在地面上的光滑圆弧 图 4-4-12 图 4-4-13 图 4-4-14 图 4415 图 4416 面与车 C 的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个滑块 A，其质量为 mA2 kg，在距车的水 平
30、面高 h1.25 m 处由静止下滑，已知滑块 A 和 B 与车 C 的动摩擦因数均为 ，取 g10 m/s2.求滑块 A 滑到圆弧面末端时的速度大小 解：设滑块 A 滑到圆弧末端时的速度大小为 v，由机械能守恒定律有 mAgh mAv2 12 代入数据解得 v 5 m/s.2gh 答案：5 m/s 11如图 4417 所示，固定在竖直平面内的光滑圆轨道，半径 为 R，一质量为 m 的小球沿逆时针方向在轨道上做圆周运动，在最低点 时，小球对轨道的压力为 8mg，当 m 运动到最高点 B 时，对轨道的压 力大小是多少？(小球可看做质点 ) 解：小球在 A 点时，由牛顿第二定律 FNAmg mv2A
31、R FNA8mg 小球在竖直光滑的圆轨道运动时只有重力做功，机械能守恒，则 mg2R mv mv 12 2A 12 2B 在 B 点时有 FNBmg mv2BR 联立解得 FNB2mg 由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为 2mg. 答案：2mg. 12如图 4418，半径 R0.9 m 的四分之 一圆弧形光滑轨道竖直放置，圆弧最低点 B 与长 为 L1 m 的水平面相切于 B 点，BC 离地面高 h0.45 m，C 点与一倾角为 30的光滑斜面 连接，质量 m1.0 kg 的小滑块从圆弧顶点 D 由 静止释放，已知滑块与水平面间的动摩擦因数 0.1，g 取 10 m/s2.求： (1)小滑
32、块刚到达圆弧的 B 点时对圆弧的压 力 (2)小滑块从 C 点运动到地面所需的时间. 解：(1)设小滑块运动到 B 点的速度为 vB，由机械能守恒定律有 mgR mv 12 2B 由牛顿第二定律有 Fmgm v2BR 联立解得小滑块在 B 点所受支持力 F30 N 由牛顿第三定律知小滑块在 B 点对圆弧的压力为 30 N (2)设小滑块运动到 C 点的速度为 vC，由动能定理有： 图 4417 图 4418 mgRmgL mv 12 2C 解得小滑块在 C 点的速度为 vC4 m/s 小滑块平抛到地面的水平距离为 sv Ctv C 1.2 m 2hg 斜面底宽 dhcot 0.78 m 因为 sd ，所以小滑块离开 C 点后不会落到斜面上. 因此，小滑块从 C 点运动到地面所需的时间即为小滑块平抛运动所用时间为 t 0.3 s. 2hg 答案：见详解过程
