1、第 1 页（共 15 页） 2014-2015 学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1 （2015 春 道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A B C D 考点： 二元一次方程组的定义 分析： 根据含有两个未知数，且每个为指数的次数都是 1 的方程式二元一次方程，两个二元一次方 程组成的方程组，可得答案 解答： 解：A 是二元二次方程组，故 A 不是二元一次方程组； B 是三元一次方程组，故 B 不是二元一次方程组； C 是二元一次方程组，故 C 是二元一次方程组； D 不是整式方程，故 D 不
2、是二元一次方程组； 故选：C 点评： 本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个为指数的次数都是 1 的方程式二元一 次方程，两个二元一次方程组成的方程组 2 （2015 春 道外区期末）若 ab，则下列不等式中正确的是（ ） A 3+a3+b B ab0 C a b D 2a2b 考点： 不等式的性质 分析： 不等式加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数， 不等号的方向改变 解答： 解：A、不等式两边都减 3，不等号的方向不变，故 A 错误； B、小数减大数，差为负数，故 B 错误； C、不等式两边都乘 ，不等号的方向不变，故 C 错误； D、不等式
3、两边都乘2，不等号的方向改变，故 D 正确； 故选：D 点评： 不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 第 2 页（共 15 页） 3 （2015 春 道外区期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ） A 1cm，2cm，3cm B 4cm，6cm，8cm C 12cm，5cm，6cm D 2cm，3cm，6cm 考点： 三角形三边关系 分析： 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解 解答： 解：
4、A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误； B、4+6=108，能组成三角形，故本选项正确； C、5+6=1112，不能够组成三角形，故本选项错误； D、2+3=5 6，不能组成三角形，故本选项错误 故选 B 点评： 本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条 就能够组成三角形 4 （2015 春 道外区期末）已知样本数据为 1，2，3，4，5，则它的方差为（ ） A 10 B C 2 D 考点： 方差 专题： 计算题 分析： 先计算出数据的平均数，然后根据方差公式计算即可 解答： 解：平均数 = （1+2+3+4+5）=3 ， 所以 s2= （1 3
5、） 2+（23） 2+（33） 2+（43） 2+（53） 2=2 故选 C 点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的 方差，计算公式是：s 2= （x 1x） 2+（x 2x） 2+（x nx） 2 5 （2015 春 道外区期末）在 ABC 中，已知A=2 B=3C，则三角形是（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 形 状无法确定 考点： 三角形内角和定理 分析： 根据比例设A、B、C 分别为 3k、2k、k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求 出 k 值，再求出最大的角A 即可得解 解答： 解：设A、B、C 分别为
6、3k、2k、k， 则 k+2k+3k=180， 解得 k=30， 所以，最大的角A=330=90， 所以，这个三角形是直角三角形 故选 B 点评： 该题主要考查了角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关 键 第 3 页（共 15 页） 6 （2015 春 道外区期末）不等式 无解，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a2 D a2 考点： 不等式的解集 分析： 由不等式解集的四种情况可知，大大小小解不了，判断 a 与 2 的大小 解答： 解：不等式组 无解， x2，或 xa， a2， 故选：C 点评： 此题主要考查的是已知不等式组的解集，求不等式的
7、公共解，要遵循以下原则：同大取较大， 同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 7 （2015 春 道外区期末）A 市至 B 市的航线长 1200 千米，一架飞机从 A 市顺风飞往 B 市，需 要 2 小时 30 分，从 B 市逆风飞往 A 市需要 3 小时 20 分，则无风时飞机的速度是（ ）千米/小 时 A 60 B 110 C 370 D 420 考点： 二元一次方程组的应用 分析： 根据题意可知，无论飞机是顺风还是逆风行驶飞行的距离是不变的， （飞机无风飞行的速度+ 风的速度）2.5 小时=1200 千米， （飞机无风飞行的速度风的速度） 小时=1200 千米，列方程组 求解 解答：
8、 解：设飞机无风飞行的速度为 x 千米/时，风的速度为 y 千米/ 时 由题意，得 ， 解得 故选：D 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关 系，列出方程组 8 （2015 春 道外区期末）一个正多边的内角和是外角和的 3 倍，这个正多边形的边数是（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 考点： 多边形内角与外角 第 4 页（共 15 页） 分析： 设多边形有 n 条边，则内角和为 180（n2） ，再根据内角和等于外角和 3 倍可得方程 180（n2）=360 3，再解方程即可 解答： 解：设多边形有 n 条边，由题意得： 180（n2）=
9、360 3， 解得：n=8， 故选：B 点评： 此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为 180（n2） 9 （2015 春 道外区期末）如图，在 RtACD 和 RtBEC 中，若 AD=BE，DC=EC ，则不正确的 结论是（ ） A RtACD 和 RtBCE 全等 B OA=OB C E 是 AC 的中点 D AE=BD 考点： 全等三角形的判定与性质 分析： 根据 HL 证 RtACDRt BCE 即可判断 A；根据以上全等推出 AE=BD，再证AOE BOD，即可判断 B 和 D，根据已知只能推出 AE=BD，CE=CD，不能推出 AE=CE，即可判断 C 解答：
10、解：A、C=C=90， ACD 和BCE 是直角三角形， 在 RtACD 和 RtBCE 中 ， RtACDRtBCE（HL） ，正确； B、RtACDRtBCE， B=A，CB=CA ， CD=CE， AE=BD， 在AOE 和 BOD 中 ， AOE BOD（AAS） ， AO=OB，正确，不符合题意； 第 5 页（共 15 页） AE=BD，CE=CD，不能推出 AE=CE，错误，符合题意； D、Rt ACDRtBCE， B=A，CB=CA ， CD=CE， AE=BD，正确，不符合题意 故选 C 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，但是一道比
11、较容易出错的题目 10 （2015 春 道外区期末）下列说法中： 三角形中至少有 2 个角是锐角； 各边都相等的多 边形是正多边形；钝角三角形的三条高交于一点；两个等边三角形全等； 三角形两个内角 的平分线的交点到三角形三边的距离相等，正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 命题与定理 分析： 根据三角形内角和定理对进行判断；根据正多边形的定义对进行判断；根据三角形三 条高线相交于一点对进行判断；根据全等三角形的判定方法对进行判断；根据角平分线的性 质对进行判断 解答： 解：三角形中至少有 2 个角是锐角，所以正确； 各边都相等，各内角也相等的多边形是正多边形，所以错误；
12、钝角三角形的三条高交于一点，所以正确； 边长相等的两个等边三角形全等，所以错误； 三角形两个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，所以正确 故选 B 点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部 分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 形 式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 11 （2015 春 道外区期末）把方程 y3x=5 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式，则 y= 3x+5 考点： 解二元一次方程 专题： 计算题
13、分析： 把 x 看做已知数求出 y 即可 解答： 解：方程 y3x=5， 解得：y=3x+5， 故答案为：3x+5 点评： 此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将 x 看做已知数求出 y 12 （2015 春 道外区期末）将“3 与 a 的差是负数”用不等式表示为 3a0 第 6 页（共 15 页） 考点： 由实际问题抽象出一元一次不等式 分析： 首先表示 3 与 a 的差为 3a，再表示“是负数” 可得 3a0 解答： 解：由题意得：3a 0， 故答案为：3a0 点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于） 、 不超过（不低于） 、是正数（负数
14、） ”“至少” 、 “最多”等等，正确选择不等号 13 （2015 春 道外区期末）在方程 3xay=8 中，如果 是它的一个解，那么 a 的值为 1 考点： 二元一次方程的解 专题： 方程思想 分析： 知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数 a 的一元一次方程，从而 可以求出 a 的值 解答： 解：把 代入方程 3xay=8， 得 9a=8， 解得 a=1 点评： 解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 a 为未知数的方程 一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值 14 （2015 春 道外区期末）如图，一副三角板
15、 AOC 和BCD 如图摆放，则AOB= 165 考点： 三角形的外角性质 分析： 根据邻补角求出ADO 的度数，再利用外角的性质，即可解答 解答： 解：BDC=60， ADO=180 BDC=120， OAD=45 ， AOB=OAD+ADO=165 故答案为：165 点评： 本题考查了三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和充分利用 三角板中的特殊角进行计算 第 7 页（共 15 页） 15 （2015江都市模拟）如果关于 x 的不等式（a+1）xa+1 的解集为 x1，那么 a 的取值范围 是 a1 考点： 解一元一次不等式 分析： 本题是关于 x 的不等式，应先只把
16、 x 看成未知数，求得 x 的解集，再根据数轴上的解集，来 求得 a 的值 解答： 解：（a+1）xa+1 的解集为 x1， a+10， a1 点评： 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号 的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时 乘以或除以同一个负数不等号的方向改变 16 （2015 春 道外区期末）n 边形的每个外角都为 36，则边数 n 为 10 考点： 多边形内角与外角 分析： 根据多边形的外角和等于 360 度得到 36n=360，然后解方程即可 解答： 解：n 边形的每个外角都为 36， 36
17、n=360 ， n=10 故答案为：10 点评： 本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n2） 80 （n3）且 n 为整数） ；多 边形的外角和等于 360 度 17 （2015 春 道外区期末）一组数据 1，0，4，5，8，x 的平均数是 3，则 x= 2 考点： 算术平均数 分析： 首先根据这组数据1， 0，4，5，8，x 的平均数是 3，求出这组数据的和是多少，然后用这 组数据的和减去1，0，4，5 ，8 的和，求出 x 的值是多少即可 解答： 解：3 6（1+0+4+5+8） =1816 =2， 即 x 的值是 2 故答案为：2 第 8 页（共 15 页） 点评： 此题主要
18、考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平均数 是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数它是反映数据集中趋势的一项指标 18 （2015 春 道外区期末）如图，在 ABC 中，B=30 ，C=70 ，AD 平分BAC，交 BC 于 F，DE BC 于 E，则D= 20 考点： 三角形内角和定理 分析： 根据三角形内角和定理易求BAC 的度数，因为 AD 平分BAC，进而可求出CAF 的度 数，再根据三角形内角和定理可求出AFC 的度数，由对顶角相等和垂直的性质即可求出D 的度 数 解答： 解：B=30，C=70， BAC=80 AD 平分BAC， FAC=40，
19、AFC=180 7040=70， EFD=70 ， DEBC 于 E， DEF=90 ， D=90 70=20， 故答案为 20 点评： 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 180，是基础题，准确识别图形是解题的关 键 19 （2015 春 道外区期末）一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，这个三角形的周长是 17 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 专题： 计算题 分析： 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两 条边长为 3 和 7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验 证能否组成三角形 解答： 解
20、：（1）若 3 为腰长，7 为底边长， 由于 3+37，则三角形不存在； （2）若 7 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边 所以这个三角形的周长为 7+7+3=17 故答案为：17 第 9 页（共 15 页） 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类 讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成 三角形的好习惯，把不符合题意的舍去 20 （2015 春 道外区期末）如图：在平面直角坐标系中，点 A 的坐标（2，4） ，点 B 的坐标 （0，4） ，将AOB 绕点 O 旋转 90至 COD 位置（其中点
21、 C 与点 A 是对应点，点 D 与点 B 是对 应点） ，OD 落在 x 轴上，则点 C 的坐标是 （4， 2） ， （4，2） 考点： 坐标与图形变化-旋转 分析： 根据旋转的性质得到对应边相等从而得到点到坐标轴的距离，即可得到结果 解答： 解：A 的坐标（2 ，4） ，点 B 的坐标（0，4） ， OB=4，AB=2， AOB 绕点 O 顺时针旋转 90至COD 位置，如图 1， 根据旋转的性质得：OD=OB=4，CD=AB=2， C（4，2） ； AOB 绕点 O 逆时针旋转 90至COD 位置，如图 2， 根据旋转的性质得：OD=OB=4，CD=AB=2， C（4，2） ； 综上所述
22、：C（4， 2） ， （4，2） 故答案为：（4，2） ， （ 4，2 ） 第 10 页（共 15 页） 点评： 本题考查了坐标与图形的变换旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 三、解答题（共 7 小题，满分 60 分） 21 （7 分） （2015 春 道外区期末） （1）解方程组 （2）解不等式组，并用数轴表示解集 考点： 解一元一次不等式组；解二元一次方程组；在数轴上表示不等式的解集 分析： （1）由得出 x=2y，代入 能求出 y=1，把 y 的值代入 求出 x 即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可 解答： 解：（1） 由得：x=2y ，
23、 把代入得：6y5y=1， 解得：y=1， 把 y=1 代入 得：x=2， 所以原方程组的解为 ； （2） 解不等式得：x2， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为 x1， 在数轴上表示不等式组的解集为： 点评： 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用， 解（1）小题的关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程，解（2）小题的关键是能根据不等 式的解集求出不等式组的解集 22 （7 分） （2015 春 道外区期末）如图方格纸中每个小正方形的边长均为 1，点 A，B 在小正方形 的顶点上 （1）在图 1 中画出等腰钝角ABC（点 C 在小正方形的顶点上
24、） ，使ABC 的面积为 2； （2）在图 2 中画出等腰直角ABC（点 C 在小正方形的顶点上） ，使ABC=90 第 11 页（共 15 页） 考点： 作图应用与设计作图 分析： （1）直接利用等腰三角形的性质结合三角形的面积求法得出即可； （2）直接利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质得出即可 解答： 解：（1）如图 1 所示：ABC 即为所求； （2）如图 2 所示：ABC 即为所求 点评： 此题主要考查了应用设计与作图，正确利用等腰三角形的性质得出是解题关键 23 （8 分） （2015 春 道外区期末）某校学生会干部对校学生会倡导的“ 助残”自愿捐款活动进行抽 样调查，得到一组
25、学生捐款情况的数据，根据这组数据绘制成如图所示的统计图 （1）这一组学生平均每人捐款多少元？ （2）这组数据的众数是 20 ，中位数是 14.5 ； （3）请估计该校 2000 名学生中捐款为 20 元的人数 考点： 条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数 分析： （1）利用加权平均数公式计算即可； （2）根据众数和中位数的定义解答即可； （3）计算出样本中捐款为 20 元的同学所占的百分比，然后再乘以全校学生总数即可 解答： 解：（1） = =14.5； （2）众数是 20 元；中位数 15 元； （3）2000 =800 第 12 页（共 15 页） 点评： 本题主要考查的平均数、众数、
26、中位数等知识点，掌握相关定义和公式是解题的关键 24 （8 分） （2015 春 道外区期末）在四边形 ABCD 中，ABC+ADC=180，CB=CD求证： AC 平分BAD 考点： 全等三角形的判定与性质 专题： 证明题 分析： 首先作 CEAB，CF AD 的延长线，垂足分别为 E、F，利用ADC+ABC=180 ，得出 ABC=CDF ，证得 CBECDF ，得出结论即可 解答： 证明：如图，作 CEAB，CF AD 的延长线，垂足分别为 E、F， BEC=DFC=90 ， ADC+ABC=180 ，ADC+CDF=180， ABC=CDF ， 在CBE 和CDF 中， ， CBE C
27、DF（AAS） ， CF=CE AC 平分BAD 点评： 此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，作出辅助线 CEAB，CF AD 的延 长线是解决问题的关键 25 （10 分） （2015 春 道外区期末）某商店欲购进 A，B 两种商品，若购进 A 种商品 5 种和 B 种 商品 4 件需 300 元，购进 A 种商品 6 件和 B 种商品 8 件需 440 元 （1）求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若该商店每销售 1 件 A 种商品可获利 8 元，每销售 1 件 B 种商品可获利 6 元，该商店准备购 进 A、B 两种商品共 50 件，且这两种商品全部售出后总获
28、利超过 344 元，则至少购进多少件 A 商 品？ 考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 第 13 页（共 15 页） 分析： （1）设 A 种进价为 x 元，B 种进价为 y 元由购进 A 种商品 5 件和 B 种商品 4 件需 300 元和购进 A 种商品 6 件和 B 种商品 8 件需 440 元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以； （2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品（50a ）件根据获得的利润不低于 344 元，建立不 等式求出其解就可以了 解答： 解：（1）设 A 种进价为 x 元，B 种进价为 y 元由题意，得 ， 解得： 答：A 种进价为 40
29、 元，B 种进价为 25 元 （2）设购进 A 种商品 a 件，则购进 B 种商品（50a ）件由题意，得 8a+6（50 a）344， 解得：a22 答：至少购进 A 种商品 22 件 点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等 式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键 26 （10 分） （2015 春 道外区期末）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC ，D=C=90，点 E 在 DC 上，且 AE，BE 分别平分BAD 和ABC （1）求证：点 E 为 CD 中点； （2）当 AD=2，BC=
30、3 时，求 AB 的长 考点： 直角梯形；角平分线的性质 分析： （1）过点 E 作 EF AB 于 F，利用已知条件可证明 ADEAFE，由全等三角形的性质 可得 DE=FE，同理可证明 EF=EC，所以 DE=EF=CE，即点 E 为 CD 中点； （2）由（1）可知 AF=AD， BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC=5，问题得解 解答： （1）证明：过点 E 作 EFAB 于 F， AFE=90 ， D= AFE=90 AE 平分BAD， DAE=FAE， 在ADE 和 AFE 中， 第 14 页（共 15 页） ， ADE AFE（AAS） ， DE=FE， 同理可得：EF
31、=EC ， DE=EF=CE， 即点 E 为 CD 中点； （2）ADEAFE， AF=AD=2，BC=BF=3， AB=AF+BF=AD+BC=5 点评： 本题考查了直角梯形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是 作出高线，构造全等三角形 27 （10 分） （2015 春 道外区期末）在平面直角坐标中，点 A 坐标（0，4） ，点 C 坐标（6，0） ， 点 B 在 x 轴负半轴上，点 P 从点 C 出发，以 1 个单位/秒的速度沿 x 轴负方向运动，且 SAOC=3S AOB （1）求点 B 的坐标； （2）点 P 的运动时间为 t，三角形 AOP 的面积为 S，
32、用含 t 的代数式表示 S； （3）若点 D 在 y 轴上，是否存在点 P，使以 D、O 、P 为顶点的三角形与 AOB 全等？若存在，直 接写出点 D 坐标；若不存在，请说明理由 考点： 全等三角形的判定；坐标与图形性质；三角形的面积 专题： 动点型 分析： （1）ABO 和ACO 是同高的三角形，由 SAOC=3SAOB 可知 CO=3BO，根据 C 点坐标 可得 B 点坐标； （2）根据 P 的运动速度和时间可得 CP=t，进而可得 PO=6t，然后再利用三角形的面积公式可得 S= 4（6 t）=122t； （3）此题要分两种情况进行讨论，当 OP=OA 时，当 PO=BO 时，分别表示
33、出点 D 坐标 第 15 页（共 15 页） 解答： 解：（1）点 C 坐标（ 6，0） ，S AOC=3SAOB B（2，0） ； （2）点 P 从点 C 出发，以 1 个单位/ 秒的速度沿 x 轴负方向运动， 点 P 的运动时间为 t 时，PO=6t ， 点 A 坐标（0，4） ， 三角形 AOP 的面积 S= 4（6t）=12 2t； （3）存在， 当 OP=OA 时，D（0，2） ， （0，2） ， 当 PO=BO 时，D（0，4） ， （0，4） 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA 、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两 边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
