1、第 1 页（共 25 页） 2015-2016 学年山东省德州市夏津县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1下列事件是必然事件的为（ ） A明天太阳从西方升起 B掷一枚硬币，正面朝上 C打开电视机，正在播放“ 夏津新闻” D任意一个三角形，它的内角和等于 180 2一元二次方程 x22x=0 的根是（ ） Ax 1=0，x 2=2 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=2 Dx 1=0，x 2=2 3二次函数 y= （x 1） 2+2 的图象可由 y= x2 的图象（ ） A向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 B向左平移 1 个单位，再
2、向上平移 2 个单位得到 C向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 D向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 4如图，在ABC 中，DE BC，AD=6 ，DB=3 ，AE=4，则 EC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 5如图，在O 中，直径 CD弦 AB，则下列结论中正确的是（ ） AC= BOD BAC=AB CC=B D A=BOD 6如图，点 P 是ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的 三角形有（ ） 第 2 页（共 25 页） A0 对 B1 对 C2 对 D3 对 7二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所
3、示，则下列关系式错误的是（ ） Aa0 Ba+b+c0 Cb 24ac0 Db0 8如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4） ，B（6，2） ，以原点 O 为位似中心， 在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 和 D 的坐标分别为（ ） A （2，2） ， （3，2） B （2 ，4） ， （3，1） C （2，2） ， （3，1） D （3，1） ， （2，2） 9若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形” 这五种图形中随机抽取一种 图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A B C D 10如图，AB 为 O 的直径，C 为O
4、 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点 E，AB=6 ，AD=5，则 DE 的长为（ ） A2.2 B2.5 C2 D1.8 第 3 页（共 25 页） 11若函数 y=mx2+（m+2 ）x+ m+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为（ ） A0 B0 或 2 C2 或 2 D0，2 或2 12如图，将ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A1 处，称为 第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1；还原纸片后，再将ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕
5、 D1E1 到 BC 的距离记 为 h2；按上述方法不断操作下去，经过第 2016 次操作后得到的折痕 D2015E2015 到 BC 的 距离记为 h2016，到 BC 的距离记为 h2016若 h1=1，则 h2016 的值为（ ） A B1 C D2 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 13方程（x+2） （x 3）=x+2 的解是 14二次函数 y=x22x+3 的最小值是 15如图，ABC 与DEF 位似，位似中心为点 O，且ABC 的面积等于DEF 面积的 ， 则 AB：DE= 16如图，A，B，C 三点在 O 上，且 AB 是O 的直径，半径 ODAC，垂足为 F，若 A
6、=30，OF=3，则 BC= 第 4 页（共 25 页） 17如图，在ABC 中， C=90，AC=BC，斜边 AB=2， O 是 AB 的中点，以 O 为圆心， 线段 OC 的长为半径画圆心角为 90的扇形 OEF，弧 EF 经过点 C，则图中阴影部分的面积 为 三、解答题（共 64 分） 18阅读材料：如果是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，那么 x1+x2= ，x 1x2= ，这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题： 已知 m 与 n 是方程 2x26x+3=0 的两根 （1）填空：m+n= ，mn= ； （2）计算 与 m2+n2 的值 19为了参加中考体育
7、测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随 机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传 球三次 （1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况； （2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率； （3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？ 20据某市车管部门统计，2013 年底全市汽车拥有量为 150 万辆，而截至到 2015 年底， 全市的汽车拥有量已达 216 万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变 （1）求年平均增长率； （2）如果不加控制，该市 2017 年底汽车拥有量将达多少万辆？ 21如图，在ABC 中，AB=AC
8、，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过 点 D 作O 的切线 DF，交 AC 于点 F （1）求证：DF AC； （2）若O 的半径为 4，CDF=22.5 ，求阴影部分的面积 第 5 页（共 25 页） 22某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发 现，当这种面包的单价定为 7 角时，每天卖出 160 个在此基础上，这种面包的单价每提 高 1 角时，该零售店每天就会少卖出 20 个考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是 5 角 设这种面包的单价为 x（角） ，零售店每天销售这种面包所获得的利润为 y（角） （1）用含 x 的代数式分
9、别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多 少？ 23如图，在ABC 中，AB=AC ，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD= B （1）求证：ACCD=CP BP； （2）若 AB=10，BC=12 ，当 PDAB 时，求 BP 的长 24如图，二次函数 y=ax2+bx3 的图象与 x 轴交于 A（1 ，0） ，B （3，0）两点，与 y 轴交 于点 C，该抛物线的顶点为 M （1）求该抛物线的解析式及点 M 的坐标； （2）判断BCM 的形状，并说明理由
10、； （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点 P、A、C 为顶点的三角形与 BCM 相似？若 存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2015-2016 学年山东省德州市夏津县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1下列事件是必然事件的为（ ） A明天太阳从西方升起 B掷一枚硬币，正面朝上 C打开电视机，正在播放“ 夏津新闻” D任意一个三角形，它的内角和等于 180 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件 【解答】解：A、明天
11、太阳从西方升起是不可能事件，故 A 错误； B、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 B 错误； C、打开电视机，正在播放“ 夏津新闻”是随机事件，故 C 错误； D、任意一个三角形，它的内角和等于 180 是必然事件，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件 的概念必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定 不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事 件 2一元二次方程 x22x=0 的根是（ ） Ax 1=0，x 2=2 Bx 1=1，x 2=2 Cx 1=1，x 2=2
12、 Dx 1=0，x 2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x 22x=0， x（x2） =0， x=0，x 2=0， x1=0，x 2=2， 故选 D 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一 元一次方程，难度适中 3二次函数 y= （x 1） 2+2 的图象可由 y= x2 的图象（ ） 第 8 页（共 25 页） A向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 B向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 C向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 D向
13、右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律 【解答】解：y= x2 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到二次函数 y= （x 1） 2+2 的图象 故选 D 【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 4如图，在ABC 中，DE BC，AD=6 ，DB=3 ，AE=4，则 EC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答 【解答】解：DEBC， ， 即 ， 解得：EC=2， 故选：B 【点评】
14、本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解 题的关键 5如图，在O 中，直径 CD弦 AB，则下列结论中正确的是（ ） AC= BOD BAC=AB CC=B D A=BOD 【考点】垂径定理 第 9 页（共 25 页） 【分析】根据垂径定理，可得 BE 与 AE 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得 AOD=BOD，根据圆周角定理，可得 C= AOD，再根据等量代换，可得答案 【解答】解：连接 AO，如图： 由垂径定理，得 AE=BE 在AEO 和 BEO 中， ， AEOBEO（SAS） ， AOD=BOD 由圆周角定理，得 C= AOD 由等量代换，得 C
15、= BOD，故 A 正确 故选：A 【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出 BE 与 AE 的关系是解题关键，又利用 了全等三角形的判定与性质，圆周角定理 6如图，点 P 是ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的 三角形有（ ） A0 对 B1 对 C2 对 D3 对 【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质 【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，ADBC， EAPEDC，EAP CPB， EDCCBP， 故有 3 对相似三角形 故选：D 第 10 页（共 25
16、页） 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形 的判定方法是解题关键 7二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ） Aa0 Ba+b+c0 Cb 24ac0 Db0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关 系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：A、抛物线开口方向向下，则 a0，故本选项错误； B、当 x=1 时，y0， a+b+c0，故本选项正确； C、抛物线与 x 轴有 2 个交
17、点，则 b24ac0，故本选项错误； D、对称轴在 y 轴的右侧，则 a、b 异号，即 b0，故本选项错误 故选：B 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物 线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 8如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4） ，B（6，2） ，以原点 O 为位似中心， 在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 C 和 D 的坐标分别为（ ） A （2，2） ， （3，2） B （2 ，4） ， （3，1） C （2，2） ， （3，1） D （3，1） ，
18、 （2，2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【专题】压轴题 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 得出即可 【解答】解：线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（4，4） ，B （6，2） ， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD， 第 11 页（共 25 页） 端点的坐标为：（2，2） ， （3，1） 故选：C 【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键 9若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形” 这五种图形中随机抽取一种 图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A B C D 【考点】概率
19、公式；中心对称图形 【专题】计算题 【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于 是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率 【解答】解：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形， 所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率= 故选 C 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数除以 所有可能出现的结果数也考查了中心对称图形 10如图，AB 为 O 的直径，C 为O 上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点 E，AB=6 ，AD=5，则 DE 的长为（ ） A2
20、.2 B2.5 C2 D1.8 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】连接 BD、CD，由勾股定理先求出 BD 的长，再利用ABDBED，得出 = ，可解得 DE 的长 【解答】解：如图 1，连接 BD、CD， ， AB 为O 的直径， ADB=90， BD= = = ， 弦 AD 平分BAC ， 第 12 页（共 25 页） CD=BD= ， CBD=DAB， 在ABD 和 BED 中， ABDBED， ，即 ， 解得 DE= 故选 A 【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出 ABDBED 11若函数 y=mx2+（m+2 ）x+ m+1
21、 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为（ ） A0 B0 或 2 C2 或 2 D0，2 或2 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】分类讨论 【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可 【解答】解：分为两种情况： 当函数是二次函数时， 函数 y=mx2+（m+2）x+ m+1 的图象与 x 轴只有一个交点， =（m+2） 24m（ m+1）=0 且 m0， 解得：m=2， 当函数是一次函数时，m=0， 此时函数解析式是 y=2x+1，和 x 轴只有一个交点， 故选：D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目 比较好，
22、但是也比较容易出错 12如图，将ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A1 处，称为 第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1；还原纸片后，再将ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记 为 h2；按上述方法不断操作下去，经过第 2016 次操作后得到的折痕 D2015E2015 到 BC 的 距离记为 h2016，到 BC 的距离记为 h2016若 h1=1，则 h2016 的值为（ ） 第 13 页（共 25 页） A B1 C D2 【考点】
23、翻折变换（折叠问题） 【专题】规律型 【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得 DA=DA=DB，从而可得 ADA=2B，结合折 叠的性质可得ADA=2 ADE，可得ADE=B，继而判断 DEBC，得出 DE 是ABC 的 中位线，证得 AA1BC，得到 AA1=2，求出 h1=21=1，同理 h2=2 ，h 3=2 =2 ，于 是经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn1En1 到 BC 的距离 hn=2 ，求得结果 h2016=2 【解答】解：连接 AA1 由折叠的性质可得：AA 1DE，DA=DA 1， 又 D 是 AB 中点， DA=DB， DB=DA1， BA1D=B， ADA1=2B，
24、又ADA 1=2ADE， ADE=B， DEBC， AA1BC， AA1=2， h1=21=1， 同理，h 2=2 ，h 3=2 =2 第 14 页（共 25 页） 经过第 n 次操作后得到的折痕 Dn1En1 到 BC 的距离 hn=2 h2016=2 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定 理，找出规律是解题的关键 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 13方程（x+2） （x 3）=x+2 的解是 x 1=2，x 2=4 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先移项，再提取公因式，求出 x 的值即可 【解答】解：原式可化为（x
25、+2） （x3）（x+2）=0， 提取公因式得， （x+2） （x 4）=0， 故 x+2=0 或 x4=0，解得 x1=2，x 2=4 故答案为：x 1=2，x 2=4 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解 答此题的关键 14二次函数 y=x22x+3 的最小值是 2 【考点】二次函数的最值 【分析】把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答 【解答】解：二次函数 y=x22x+3 可化为 y=（x1） 2+2 的形式， 二次函数 y=x22x+3 的最小值是 2 【点评】本题由于函数的二次项系数较小，所以可把函数解析式化为顶点式即 y=a（x+h） 2
26、+k 的形式解答 15如图，ABC 与DEF 位似，位似中心为点 O，且ABC 的面积等于DEF 面积的 ， 则 AB：DE= 2：3 第 15 页（共 25 页） 【考点】位似变换 【分析】由ABC 经过位似变换得到 DEF，点 O 是位似中心，根据位似图形的性质，即 可得 ABDE，即可求得 ABC 的面积：DEF 面积= ，得到 AB：DE 2：3 【解答】解：ABC 与DEF 位似，位似中心为点 O， ABCDEF， ABC 的面积：DEF 面积 =（ ） 2= ， AB：DE=2： 3， 故答案为：2：3 【点评】此题考查了位似图形的性质注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似
27、比，其对应的面积比等于相似比的平方 16如图，A，B，C 三点在 O 上，且 AB 是O 的直径，半径 ODAC，垂足为 F，若 A=30，OF=3，则 BC= 6 【考点】三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值 【分析】根据垂径定理和 30的角易得圆的半径为 2OF，即可求得直径；易得 C 为 90， 那么 BC 等于直径 AB 的一半 【解答】解：OD AC，垂足为 F AFO 是直角三角形， A=30 OA=2OF=23=6 AB=26=12 又 AB 是圆的直径， ACB 为圆周角 ACB=90 在 RtABC 中，A=30 BC= AB= 12=6 【点评】本题涉
28、及面较广，涉及垂径定理以及特殊角的三角函数 17如图，在ABC 中， C=90，AC=BC，斜边 AB=2， O 是 AB 的中点，以 O 为圆心， 线段 OC 的长为半径画圆心角为 90的扇形 OEF，弧 EF 经过点 C，则图中阴影部分的面积 为 第 16 页（共 25 页） 【考点】扇形面积的计算 【分析】连接 OC，作 OMBC，ONAC，证明 OMGONH，则 S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN，求得扇形 FOE 的面积，则阴影部分的面积即可求得 【解答】解：连接 OC，作 OMBC，ONAC CA=CB，ACB=90，点 O 为 AB 的中点， OC= AB=1，四边形 O
29、MCN 是正方形，OM= 则扇形 FOE 的面积是： = OA=OB，AOB=90，点 D 为 AB 的中点， OC 平分BCA， 又 OMBC，ON AC， OM=ON， GOH=MON=90， GOM=HON， 则在OMG 和ONH 中， ， OMGONH（AAS ） ， S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN=（ ） 2= 则阴影部分的面积是： 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明 OMGONH，得到 S 四边形 OGCH=S 四边形 OMCN 是解题的关键 第 17 页（共 25 页） 三、解答题（共 64 分） 18阅读材料：如果是
30、一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根，那么 x1+x2= ，x 1x2= ，这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题： 已知 m 与 n 是方程 2x26x+3=0 的两根 （1）填空：m+n= 3 ，mn= ； （2）计算 与 m2+n2 的值 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】 （1）直接根据根与系数的关系求解； （2）先利用代数式变形得到） = ，m 2+n2=（m+n） 22mn，然后利用整体代入的方 法计算 【解答】解：（1）m+n= =3，mn= ； 故答案为 3， ； （2） = = =2； m2+n2=（m+n ） 22mn=322 =6 【
31、点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两 根时，x 1+x2= ，x 1x2= 19为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随 机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传 球三次 （1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况； （2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率； （3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？ 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）画出树状图， （2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解； （3）分别求出球回到
32、甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可 【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下： 第 18 页（共 25 页） 由树形图可知三次传球有 8 种等可能结果； （2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率= ； （3）由（1）可知球回到甲脚下的概率= ，传到乙脚下的概率= ， 所以球回到乙脚下的概率大 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件 20据某市车管部门统计，2013 年底全市汽车拥有量为 150 万辆，而截至到 2015 年底， 全市的汽车拥有量已达 216 万辆，假定
33、汽车拥有量年平均增长率保持不变 （1）求年平均增长率； （2）如果不加控制，该市 2017 年底汽车拥有量将达多少万辆？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】 （1）假设出平均增长率为 x，可以得出 2013 年该市汽车拥有量为 150（1+x） ， 2015 年为 150（1+x） （1+x ）=216 ，即 150（1+x） 2=216，进而求出具体的值； （2）结合上面的数据 2017 应该在 2015 年的基础上增长，而且增长率相同，同理，即为 216（1+20%） 2 【解答】解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x 根据题意，得 150（1+x） 2=216 解得：x=0.2 或
34、x=2.2（不合题意，舍去） 年平均增长率为 20% （2）216（1+20%） 2=311.04（万辆） 答：如果不加控制，该市 2017 年底汽车拥有量将达 311.04 万辆 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及增长率问题，正确表示出每一年的拥 有汽车辆数，是解决问题的关键 21如图，在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 分别与 BC，AC 交于点 D，E，过 点 D 作O 的切线 DF，交 AC 于点 F （1）求证：DF AC； （2）若O 的半径为 4，CDF=22.5 ，求阴影部分的面积 第 19 页（共 25 页） 【考点】切线的性质；扇形面积的计算 【分
35、析】 （1）连接 OD，易得ABC=ODB，由 AB=AC，易得ABC=ACB，等量代换得 ODB=ACB，利用平行线的判定得 ODAC，由切线的性质得 DFOD，得出结论； （2）连接 OE，利用（1）的结论得 ABC=ACB=67.5，易得BAC=45 ，得出AOE=90 ， 利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论 【解答】 （1）证明：连接 OD， OB=OD， ABC=ODB， AB=AC， ABC=ACB， ODB=ACB， ODAC， DF 是 O 的切线， DFOD， DFAC （2）解：连接 OE， DFAC， CDF=22.5， ABC=ACB=67.5， BAC=45
36、， OA=OE， AOE=90， O 的半径为 4， S 扇形 AOE=4，S AOE=8 ， S 阴影 =48 【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等， 作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键 第 20 页（共 25 页） 22某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发 现，当这种面包的单价定为 7 角时，每天卖出 160 个在此基础上，这种面包的单价每提 高 1 角时，该零售店每天就会少卖出 20 个考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是 5 角 设这种面包的单价为 x（角） ，零售店每天
37、销售这种面包所获得的利润为 y（角） （1）用含 x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式； （3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多 少？ 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】 （1）设每个面包的利润为（x5）角 （2）依题意可知 y 与 x 的函数关系式 （3）把函数关系式用配方法可解出 x=10 时 y 有最大值 【解答】解：（1）每个面包的利润为（x5）角 卖出的面包个数为160（x7 ） 20） （2）y=（x 5）=20x 2+400x1500 即 y=20x2+400x150
38、0 （3）y= 20x2+400x1500=20（ x10） 2+500 当 x=10 时，y 的最大值为 500 当每个面包单价定为 10 角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为 500 角 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配 方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法本题难度一般 23如图，在ABC 中，AB=AC ，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且APD= B （1）求证：ACCD=CP BP； （2）若 AB=10，BC=12 ，当 PDAB 时，求 BP 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）易证APD= B
39、=C，从而可证到ABPPCD，即可得到 = ，即 ABCD=CPBP，由 AB=AC 即可得到 ACCD=CPBP； 第 21 页（共 25 页） （2）由 PDAB 可得APD= BAP，即可得到BAP= C，从而可证到BAPBCA，然 后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长 【解答】解：（1）AB=AC，B=C APD=B， APD=B=C APC=BAP+B，APC=APD+DPC ， BAP=DPC， ABPPCD， = ， ABCD=CPBP AB=AC， ACCD=CPBP； （2）PDAB，APD= BAP APD=C， BAP=C B=B， BAPBCA， = AB=10，
40、BC=12， = ， BP= 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、 三角形外角的性质等知识，把证明 ACCD=CPBP 转化为证明 ABCD=CPBP 是解决第 （1）小题的关键，证到BAP= C 进而得到BAPBCA 是解决第（2）小题的关键 24如图，二次函数 y=ax2+bx3 的图象与 x 轴交于 A（1 ，0） ，B （3，0）两点，与 y 轴交 于点 C，该抛物线的顶点为 M （1）求该抛物线的解析式及点 M 的坐标； （2）判断BCM 的形状，并说明理由； （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点 P、A、C 为顶点的三角形与 BCM
41、相似？若 存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 22 页（共 25 页） 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）已知抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式； （2）根据 B、C、M 的坐标，可求得 BCM 三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾 股定理即可； （3）假设存在符合条件的 P 点；首先连接 AC，根据 A、C 的坐标及（2）题所得BDC 三边的比例关系，即可判断出点 O 符合 P 点的要求，因此以 P、A、C 为顶点的三角形也 必与COA 相似，那么分别过 A、C 作线段 AC 的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符 合点 P 点要求，可根
42、据相似三角形的性质（或射影定理）求得 OP 的长，也就得到了点 P 的坐标 【解答】解：（1）二次函数 y=ax2+bx3 的图象与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， ， 解得： ， 则抛物线解析式为 y=x22x3； （2）BCM 为直角三角形，理由为： 对于抛物线解析式 y=x22x3=（x 1） 24，即顶点 M 坐标为（1，4） ， 令 x=0，得到 y=3，即 C（0， 3） ， 根据勾股定理得：BC=3 ， BM=2 ，CM= ， BM2=BC2+CM2， BCM 为直角三角形； （3）若APC=90 ，即 P 点和 O 点重合，如图 1， 第 23 页（共 25 页
43、） 连接 AC， AOC=MCB=90，且 = ， RtAOCRtMCB， 此时 P 点坐标为（0，0） 若 P 点在 y 轴上，则PAC=90 ，如图 2，过 A 作 AP1AC 交 y 轴正半轴于 P1， RtCAP1RtCOARtBCM， = ， 即 = ， 点 P1（0， ） 若 P 点在 x 轴上，则PCA=90 ，如图 3，过 C 作 CP2AC 交 x 轴正半轴于 P2， RtP2CARtCOARtBCM， 第 24 页（共 25 页） = ， 即 = ，AP 2=10， 点 P2（9，0） 符合条件的点有三个：O（ 0，0） ，P 1（0， ） ，P 2（9， 0） 【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角 形的判定、相似三角形的判定和性质等知识， （3）题中能够发现点 O 是符合要求的 P 点， 是解决此题的突破口 第 25 页（共 25 页） 2016 年 3 月 6 日
