1、广东省惠州市龙门县龙城一中 2015 届九年级上学期期 末数学试卷 一、选择题：（每小题 3 分，共 18 分） 1已知关于 x 的一元二次方程（m 2） 2x2+（2m+1）x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是( ) Am Bm Cm 且 m2 Dm 且 m2 考点：根的判别式 分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件： （1）二次项系数不为零； （2）在有不相等的实数根下必须满足=b 24ac0 解答： 解：根据题意列出方程组 ， 解之得 m 且 m2 故选 C 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系 数不为零这一隐含
2、条件 2如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图为( ) A B C D 考点：简单组合体的三视图 分析：找到从上面看所得到的图形即可 解答： 解：此几何体的俯视图有 2 列，从左往右小正方形的个数分别是 2，2， 故选 A 点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置 3如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径 为( ) A cm B9cm C cm D cm 考点：正多边形和圆 专题：压轴题 分析：已知小正方形的面积即可求得边长，在直角ACE 中，利用勾股定理即可求解 解答： 解：如图，圆心为 A，设大正方形的边长为
3、 2x，圆的半径为 R， 正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧， AE=BC=x，CE=2x； 小正方形的面积为 16cm2， 小正方形的边长 EF=DF =4， 由勾股定理得，R 2=AE2+CE2=AF2+DF2， 即 x2+4x2=（x+4 ） 2+42， 解得，x=4， R= cm 故选 C 点评：本题利用了勾股定理，正方形的性质求解 4二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+b24ac 与反比例函数 y= 在同一坐标系内的图象大致为( ) A B C D 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象 专题：压轴题 分析：本题需要根据
4、抛物线的位置，反馈数据的信息，即 a+b+c，b，b 24ac 的符号，从而 确定反比例函数、一次函数的图象位置 解答： 解：由抛物线的图象可知，横坐标为 1 的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此 a+b+c0； 双曲线 的图象在第二、四象限； 由于抛物线开口向上，所以 a0； 对称轴 x= 0，所以 b0； 抛物线与 x 轴有两个交点，故 b24ac0； 直线 y=bx+b24ac 经过第一、二、四象限 故选：D 点评：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细 心解答 5如图所示，给出下列条件： B=ACD；ADC= ACB； ； AC2=ADAB其中单
5、独能够判定 ABCACD 的个数为( ) A1 B2 C3 D4 考点：相似三角形的判定 分析：由图可知ABC 与ACD 中A 为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应 边成比例即可解答 解答： 解：有三个 B=ACD，再加上A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判 定； ADC=ACB，再加上A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来 判定； 中 A 不是已知的比例线段的夹角，不正确 可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定； 故选：C 点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况 6如图，DEF 是由ABC 经过位 似变
6、换得到的，点 O 是位似中心，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，则DEF 与 ABC 的面积比是( ) A1：2 B1： 4 C1：5 D1：6 考点：位似变换；三角形中位线定理；相似三角形的性质 分析：图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位 似中心的距离之比等于相似比因为 D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，根据三角形 的中位线定理可知：DF= AC，即DEF 与ABC 的相似比是 1：2，所以面积的比是 1：4 解答： 解：D、F 分别是 OA、OC 的中点， DF= AC， DEF 与ABC 的相似比是 1：2， DEF 与ABC
7、的面积比是 1：4 故选：B 点评：本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平 方 二、填空题：（每小题 3 分，共 27 分） 7点 P（3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，2） 考点：关于原点对称的点的坐标 分析：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x， y） ，记忆方法是 结合平面直角坐标系的图形记忆 解答： 解：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x， y） ， 点 P（3， 2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，2） 故答案为：（3，2） 点评：本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基
8、本问题 8某服装原价 200 元，连续两次涨价后，售价为 242 元则每次涨价的平均百分率为 10% 考点：一元二次方程的应用 专题：增长率问题 分析：本题主要考查百分率的问题，应理解“价格上调”的含义一般用增长后的量=增长前 的量（1+增长率） 设每次调价的百分率是 x，则第一次调价后的价格是 200（1+x） ，第 二次后的价格是 200（1+x） 2，据此即可列出方程从而求解 解答： 解：设每次涨价的平均百分率为 x，则第一次涨价后的价格为 200（1+x） ， 那么第二次涨价后的价格用代数式表示为 200（1+x） （1+x） ， 所以可列方程为：200 （1+x） 2=242， 解得
9、：x 1=0.1=10%，x 2=2.1， x 0， x=10% 每次涨价的平均百分率为 10% 点评：考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b 9如右图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方形顶点， O 的半径为 1，P 是O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 sinAPB 等于 考点：圆周角定理；特殊角的三角函数值 专题：网格型 分析：由题意可得AOB=90，然后由圆周角定理，可求得APB=45，继而求得 sinAPB 的值 解答： 解：四个边长为 1 的小正方形拼成一个
10、大正方形， A、B 、O 是小正方形顶点， AOB=90， APB= AOB=45， sinAPB=sin45= 故答案为： 点评：此题考查了圆周角定理以及特殊角的三角函数值此题难度不大，注意掌握数形结 合思想的应用 10李老师要从包括小明在内的四名班委中，随机抽取 2 名学生 参加学生会选举，抽取到 小明的概率是 考点：概率公式 分析：根据概率求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的 比值就是其发生的概率 解答： 解：由题意可得：设四名同学代号分别为（小明代号为） 在四人中随机抽取两人，可能情况有和 ， 和，和， 和，和 ，和共 6 种情况 其中小明被抽到的情况为 3 种，
11、 因而小明被抽到的概率为 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其 中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 11如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 cm2 考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算 分析：易得圆锥的底面直径为 2cm，高为 3cm，根据勾股定理可得圆锥 的底母线长，根据 圆锥的侧面积= 底面半径 母线长，把相应数值代入即可求解 解答： 解：易得此几何体为圆锥，底面直径为 2cm，高为 3cm， 则圆锥的底面半径为 22=1c m， 由勾股定理可得圆锥的母线长为 = cm， 故这个几何体的侧面积为 1
12、= （cm 2） 故这个几何体的侧面积是 cm2 故答案为： 点评：考查了由三视图判断几何体，圆锥侧面积的求法；关键是得到该几何体的形状 12如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 = = ，则 SADE：S 四边 形 BCED 的值为 1：3 考点：相似三角形的判定与性质 分析：首先根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，证得ADEACB，再由相 似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案 解答： 解：在ADE 与ACB 中， = = ， A=A， ADEACB， SADE：S ACB=（AE：AB） 2=1：4， SADE：S 四边形 BCED=1：3 故答案是
13、：1：3 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质注意相似三角形的面积的比等于相似比的平 方 13如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于 E，CDB=30 ，O 的半径为 cm，则劣 弧 的长为 cm 考点：弧长的计算；圆周角定理 分析：连接 OD，求出圆心角COD，然后根据弧长公式求解 解答： 解：连接 OD， AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，CDB=30， OCD=30， COD=120， 由 l=r 知， 劣弧 的长为 点评：本题主要考查弧长的计算，知道弧长的计算公式 l=r 是解题关键 14如图，在 RtABC 中， C=90，AC=4，BC=2，分别以 AC、BC 为直
14、径画半圆，则图 中阴影部分的面积为 4（结果保留 ） 考点：扇形面积的计算 专题：压轴题 分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积，然后利用三角形的面积计算 即可 解答： 解： 设各个部分的面积为：S 1、S 2、S 3、S 4、S 5，如图所示， 两个半圆的面积和是：S 1+S5+S4+S2+S3+S4， ABC 的面积是 S3+S4+S5，阴影部分的面积 是：S 1+S2+S4， 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积 即阴影部分的面积= 4+ 1422= 4 点评：此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积 15如图，点 P 在双曲线 y= 上
15、，以 P 为圆心的 P 与两坐标轴都相切，E 为 y 轴负半轴 上的一点，PFPE 交 x 轴于点 F，则 OFOE 的值是 2 考点：反比例函数综合题；*平面向量 专题：压轴题 分析：利用 P 点在双曲线 y= 上且以 P 为圆心的 P 与两坐标轴都相切求出 P 点，再利用 向量的垂直时的性质列出 OE 与 OF 之间的关系即可 作过切点的半径，构造全等三角形，寻找与结论或条件中有关联的等量线段，从而逐步探 究未知结果 解答： 解：法一：设 E（0y） ，F（x，0）其中 y0，x0 点 P 在双曲线 y= 上，以 P 为圆心的P 与两坐标轴都相切 P（ ， ） 又 PFPE 由向量垂直性质
16、可得 （ y）+ （ x）=0 x+y=2 又 OE=|y|=y，OF=x OFOE=x+y=2 法二：设P 与 x 和 y 轴分别相切于点 A 和点 B，连接 PA、PB 则 PAx 轴，PB y 轴并设P 的半径为 R PAF=PBE=APB=90， PFPE， FPA=EPB=90APE， 又 PA=PB， PAFPBE（ASA） ， AF=BE OFOE=（OA+AF ）（BE OB）=2R， 点 P 的坐标为（R，R） ， R= ， 解得 R= 或 （舍去） ， OFOE=2 故答案为：2 点评：本题主要考查反比例函数及向量的综合运用，同学们要熟练掌握 三、解答题： 16在同一时刻两
17、根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB=2 米，它的影子 BC=1.6 米，木竿 PQ 的影子有一部分落在墙上，PM=1.2 米，MN=0.8 米，求木竿 PQ 的长 度 考点：相似三角形的应用 专题：应用题 分析：此题考查了平行投影的知识，在同一时刻物高与影长成正比例；还考查了相似三角 形的性质，相似三角形对应边成比例 解答： 解：过 N 点作 NDPQ 于 D， 可得ABCQDN， ， 又 AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8， ， PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米） 答：木竿 PQ 的长度为 2.3 米 点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三
18、角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程， 通过解方程求出木竿 PQ 的长度 17如图，某同学在楼房的 A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为 30，荷塘另一端 D 与点 C、B 在同一直线上，已知 AC=32 米，CD=16 米，求荷塘宽 BD 为多少米？（取 ，结果保留整数） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：根据已知条件转化为直角三角形 ABC 中的有关量，然后选择合适的边角关系求得 BD 的长即可 解答： 解：由题意知：CAB=60，ABC 是直角三角形， 在 RtABC 中，tan60 = ， 即 = ， BC=32 BD=32 1639 答：荷塘宽 BD 为 39 米 点
19、评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关 量转化为直角三角形 ABC 中的有关元素 18如图，在ABC 中，AC BC，D 是 BC 延长线上的一点，E 是 AC 上的一点，连接 ED， A=D （1）求证：ABCDEC； （2）若 AC=3，AE=1，BC=4，求 DE 长 考点：相似三角形的判定与性质 分析：（1）利用两角法即可判断出ABC DEC； （2）由 AC=3，AE=1，得出 CE=2，根据勾股定理求得 AB=5，再利用ABCDE C 得 出 AB：DE=BC：CE 得出结论即可 解答： （1）证明：AC BC， ACB=DCE=90， 又A=
20、 D， ABCDEC （2）解：AC=3，AE=1，BC=4， CE=2，AB= =5， ABCDEC， ， 即 ， DE= 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题，注意相似三角形的判定可以是： 两角法，两边及其夹角法，三边法 19有三张正面分别标有数字：1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将 它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数 字 （1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种） ，表示两次抽出卡片上的数字的所有结 果； （2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标 x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标 y，求点 （x，y）落在双曲
21、线上 y= 上的概率 考点：列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征 专题：图表型 分析：（1）画出树状图即可得解； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上 y= 上的情况数，然后根据概 率公式列式计算即可得解 解答： 解：（1）根据题意画出树状图如下： ； （2）当 x=1 时，y= =2， 当 x=1 时，y= =2， 当 x=2 时，y= =1， 一共有 9 种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上 y= 上的有 2 种情况， 所以，P= 点评：本题考查了列表法与树状图法，反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况数之比 20如图所示，
22、AC 与 O 相切于点 C，线段 AO 交 O 于点 B过点 B 作 BDAC 交 O 于点 D，连接 CD、OC，且 OC 交 DB 于点 E若CDB=30，DB=5 cm （1）求O 的半径长； （2）求由弦 CD、BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积 （结果保留 ） 考点：扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三 角形 专题：几何综合题 分析：（1）根据切线的性质定理和平行线的性质定理得到 OCBD，根据垂径定理得到 BE 的长，再根据圆周角定理发现 BOE=60，从而根据锐角三角函数求得圆的半径； （2）结合（1）中的有关结论证明DCE BOE，则它
23、们的面积相等，故阴影部分的面积 就是扇形 OBC 的面积 解答： 解：（1）AC 与O 相切于点 C， ACO=90 BDACBEO=ACO=90， DE=EB= BD= （cm） D=30， O=2D=60， 在 RtBEO 中，sin60 = OB=5，即O 的半径长为 5cm （2）由（1）可知，O=60，BEO=90， EBO=D=30 又CED=BEO，BE=ED， CDEOBE ， 答：阴影部分的面积为 点评：本题主要考查切线的性质定理、平行线的性质定理、垂径定理 以及全等三角形的判 定方法能够熟练解直角三角形 21实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 小时内其血液中酒精
24、含量 y（毫克/百 毫升）与时间 x（时）的关系可近似地用二次函数 y=200x2+400x 刻画；1.5 小时后（包括 1.5 小时）y 与 x 可近似地用反比例函数 y= （k0）刻画（如图所示） （1）根据上述数学模型计算： 喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ 当 x=5 时， y=45，求 k 的值 （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升时属于“酒 后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 20：00 在家喝完半斤低 度白酒，第二天早上 7：00 能否驾车去上班？请说明理由 考点：二次函数的应用；反比例函数的应用
25、专题：应用题；数形结合 分析：（1）利用 y=200x2+400x=200（x1） 2+200 确定最大值； 直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）求出 x=11 时，y 的 值，进而得出能否驾车去上班 解答： 解：（1）y= 200x2+400x=200（x1） 2+200， x=1 时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为 200（毫克 /百毫升） ； 当 x=5 时，y=45，y= （ k0） ， k=xy=455=225； （2）不能驾车上班； 理由：晚上 20：00 到第二天早上 7：00，一共有 11 小时， 将 x=11 代入 y= ，则 y= 20， 第二天早上 7：
26、00 不能驾车去上班 点评：此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关 键 22如图，矩形 ABCD 中，ACB=30，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC，BD 的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边 AB，BC 所在的直线相交，交点分别为 E，F （1）当 PEAB，PFBC 时，如图 1，则 的值为 ； （2）现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （060）角，如图 2，求 的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当 60 90，且使 AP：PC=1：2 时，如图 3， 的 值是否变化？证明你的结论 考点：几何变换综
27、合题 专题：压轴题 分析：（1）证明APEPCF，得 PE=CF；在 RtPCF 中，解直角三角形求得 的值； （2）如答图 1 所示，作辅助线，构造直角三角形，证明PMEPNF，并利用（1）的结 论，求得 的值； （3）如答图 2 所示，作辅 助线，构造直角三角形，首先证明APMPCN，求得 的值； 然后证明PMEPNF，从而由 求得 的值与（1） （2）问相比较， 的值发生 了变化 解答： 解：（1）矩形 ABCD， ABBC，PA=PC； PEAB，BC AB， PEBC， APE=PCF； PFBC，ABBC， PFAB， PAE=CPF 在 APE 与PCF 中， APEPCF（AS
28、A） ， PE=CF 在 RtPCF 中， =tan30= ， = （2）如答图 1，过点 P 作 PMAB 于点 M，PN BC 于点 N，则 PMPN 0 30时 PMPN，PEPF， EPM=FPN， 又PME=PNF=90 ， PMEPNF， 由（1）知， = ， = 同理 3060 时， = （3）答：变化 证明：如答图 2，过点 P 作 PMAB 于点 M，PN BC 于点 N，则 PMPN，PMBC，PN AB PMBC，PN AB， APM=PCN，PAM= CPN， APMPCN， ，得 CN=2PM 在 RtPCN 中， =tan30= ， = PMPN，PEPF， EPM
29、=FPN， 又PME=PNF=90 ， PMEPNF， = 的值发生变化 点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的 判定与性质、解直角三角形等知识点本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅 助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题 23如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，过 A、B 两点的抛物线为 y=x2+bx+c点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CDx 轴于点 C，交抛物线于点 E （1）求抛物线的解析式 （2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积 （3）连接 BE
30、，是否存在点 D，使得DBE 和 DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若不 存在，说明理由 考点：二次函数综合题 专题：压轴题 分析：（1）首先求出点 A、 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，根据已知条件求出点 E 坐标为（m，8+m） ；由于点 E 在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值在计算四边形 CAEB 面积时，利用 S 四边形 CAEB=SACE+S 梯形 OCEBSBCO，可以简化计算； （3）由于ACD 为等腰直角三角形，而DBE 和 DAC 相似，则 DBE 必为等腰直角三 角形分两种情况讨论，要点是求出点
31、E 的坐标，由于点 E 在抛物线上，则可以由此列出 方程求出未知数 解答： 解：（1）在直线解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=4， A（ 4， 0） ，B（0，4） 点 A（ 4，0） ，B（0，4）在抛物线 y=x2+bx+c 上， ， 解得：b= 3，c=4 ， 抛物线的解析式为：y= x23x+4 （2）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，则 OC=m，AC =4+m OA=OB=4，BAC=45， ACD 为等腰直角三角形，CD=AC=4+m， CE=CD+DE=4+m+4=8+m， 点 E 坐标为（m，8+m ） 点 E 在抛物线 y=x23x+
32、4 上， 8+m=m23m+4，解得 m1=m2=2 C（ 2，0） ，AC=OC=2，CE=6， S 四边形 CAEB=SACE+S 梯形 OCEBSBCO= 26+ （6+4 ）2 24=12 （3）设点 C 坐标为（m，0） （m0） ，则 OC=m，CD=AC=4+m，BD= OC= m，则 D（m，4+m） ACD 为等腰直角三角形，DBE 和 DAC 相似 DBE 必为等腰直角三角形 i）若BED=90，则 BE=DE， BE=OC=m， DE=BE=m， CE=4+mm=4， E（ m，4） 点 E 在抛物线 y=x23x+4 上， 4=m2 3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=3， D（ 3， 1） ； ii）若EBD=90，则 BE=BD= m， 在等腰直角三角形 EBD 中，DE= BD=2m， CE=4+m2m=4m， E（ m，4m） 点 E 在抛物线 y=x23 x+4 上， 4m=m23m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=2， D（ 2， 2） 综上所述，存在点 D，使得DBE 和DAC 相似，点 D 的坐标为（3，1）或（2，2） 点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系 数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点第（3）问需要分类讨 论，这是本题的难点
