1、2014-2015 学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题：（本大题共 8 题，每题 2 分，满分 16 分） 1函数 y= 自变量 x 的取值范围是（ ） A x3 B x3 C x3 D x3 2下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 3以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（ ） A 32，4 2，5 2 B C D 4已知 a、b、c 是常数，且 a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是（ ） A b24ac0 B b24ac0 C b24ac0 D b24ac0 5已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）
2、是直线 y=3x 上的两点，且 x1x 2，则 y1 与 y2 的大小关系 是（ ） A y1y 2 B y1y 2 C y1=y2 D 以上都有可能 6下列说法正确的是（ ） A 三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系 B 长方形的面积一定时，它的长和宽满足正比例关系 C 正方形的周长与边长满足正比例关系 D 圆的面积和它的半径满足正比例关系 7如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 直角三角形 8下列说法错误的是（ ） A 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是
3、这个角的平分线 B 到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1cm 的圆 C 到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线 D 等腰ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 9化简： = 10方程：x（x1）=2x 的根是 11在实数范围内分解因式：x 2x3= 12已知函数 ，则 f（3）= 13已知一次函数的图象 y=kx+3 与直线 y=2x 平行，则实数 k 的值是 14反比例函数 y= 的图象，当 x0 时，
4、y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 15已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上的数字与十位上的数 字的平方和比这个两位数小 4，设个位上的数字为 x，列出关于 x 的方程： 16如图，AD 是ABC 的角平分线，若 ABC 的面积是 48，且 AC=16，AB=12 ，则点 D 到 AB 的距离是 17已知三角形三个内角的度数之比 3：2：1，若它的最大边长是 18，则最小边长是 18如图，CD 是ABC 的 AB 边上的高，CE 是 AB 边上的中线，且 ACD=DCE=ECB，则B= 19某种货物原价是 x（元） ，王老板购货时买入价按原价扣去 25%，王老
5、板希望对此货物 定一个新价 y（元） ，以便按新价八折销售时仍然可以获得原价 25%的利润，则新价 y 与原 价 x 的函数关系式是 20如图，已知长方形 ABCD 纸片，AB=8，BC=4 ，若将纸片沿 AC 折叠，点 D 落在 D， 则重叠部分的面积为 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 48 分） 21用配方法解方程：x 24x96=0 22已知 ，求 的值 23化简： 24弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在 010 千克范围内） ，测得一弹簧的长度 y（厘米） 与所挂物体的质量 x（千克）有如下关系： x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（厘米） 12 12.5 13 1
6、3.5 14 14.5 15 15.5 16 （1）此弹簧的原长度是 厘米； （2）物体每增加一千克重量弹簧伸长 厘米； （3）弹簧总长度 y（厘米）与所挂物体的重量 x（千克）的函数关系式是 25等腰直角三角形 ABC 中， A=90，B 的平分线交 AC 于 D，过点 C 向 BD 做垂线， 并与 BD 延长线交于点 E，求证：BD=2CE 26已知等边ABC 的两个顶点坐标是 A（0，0） ，B（ ，3） （1）求直线 AB 的解析式； （2）求ABC 的边长，直接写出点 C 的坐标 27 （12 分） （2014 秋 长宁区期末）如图，已知 ABC（ABAC） ，在BAC 内部的点 P
7、 到BAC 两边的距离相等，且 PB=PC （1）利用尺规作图，确定符合条件的 P 点（保留作图痕迹，不必写出作法） ； （2）过点 P 作 AC 的垂线，垂足 D 在 AC 延长线上，求证：ABAC=2CD ； （3）当BAC=90 时，判断PBC 的形状，并证明你的结论； （4）当BAC=90 时，设 BP=m，AP=n，直接写出ABC 的周长和面积（用含 m、n 的代 数式表示） 2014-2015 学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：（本大题共 8 题，每题 2 分，满分 16 分） 1函数 y= 自变量 x 的取值范围是（ ） A x3 B
8、 x3 C x3 D x3 考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0，列不等 式求解 解答： 解：根据题意得：3x0， 解得 x3故选 D 点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 2下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 考点： 同类二次根式 分析： 先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答 解答： 解：
9、A、 与 被开方数相同，故是同类二次根式； B、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式； C、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式； D、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式； 故选 A 点评： 此题考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式 的定义是解决问题的关键 3以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（ ） A 32，4 2，5 2 B C D 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个 三角形就是直角三角形最长边所对的角为直角由此判定即可 解答： 解：A、因为（3 2） 2
10、+（4 2） 2（5 2） 2 所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为 22+（ ） 213（ ） 2 所以三条线段能组成直角三角形； C、因为（ 1） 2+（ 1） 2=（ ） 2，所以三条线段能组成直角三角形； D、因为（ ） 2+（ ） 2（ ） 2，所以三条线段不能组成直角三角形； 故选：C 点评： 此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三 边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算 4已知 a、b、c 是常数，且 a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是（ ） A b24ac0 B b24ac0 C b24
11、ac0 D b24ac0 考点： 根的判别式 分析： 根据关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a 0）有实数根的条件是0 即可得出正确的选 项 解答： 解：a、b、c 是常数，且 a0， 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有实数根的条件是：b 24ac0， 故选 C 点评： 本题考查了根的判别式，当0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两 个相等的实数根；当0，方程没有实数根 5已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线 y=3x 上的两点，且 x1x 2，则 y1 与 y2 的大小关系 是（ ） A y1y 2 B y1y 2 C y1=y2 D 以上都有可能 考点：
12、 一次函数图象上点的坐标特征 专题： 数形结合 分析： 根据正比例函数的增减性即可作出判断 解答： 解：y=3x 中30， y 随 x 的增大而减小， x1 x2， y1 y2 故选 B 点评： 此题考查了正比例函数的增减性，根据 k 的取值判断出函数的增减性是解题的关 键 6下列说法正确的是（ ） A 三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系 B 长方形的面积一定时，它的长和宽满足正比例关系 C 正方形的周长与边长满足正比例关系 D 圆的面积和它的半径满足正比例关系 考点： 正比例函数的定义 分析： 分别利用三角形、矩形、圆的面积公式得出函数关系，进而判断得出即可 解答：
13、 解：A、三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足反比例关系，故 此选项错误； B、长方形的面积一定时，它的长和宽满足反比例关系，故此选项错误； C、正方形的周长与边长满足正比例关系，正确； D、圆的面积和它的半径满足二次函数关系，故此选项错误； 故选：C 点评： 此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握各函数的定义是解题关键 7如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等边三角形 D 直角三角形 考点： 线段垂直平分线的性质 分析： 根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答 解答： 解：如图，CA、CB
14、的中点分别为 D、E，CA、CB 的垂直平分线 OD、OE 相交于 点 O，且点 O 落在 AB 边上， 连接 CO， OD 是 AC 的垂直平分线， OC=OA， 同理 OC=OB， OA=OB=OC， A、 B、C 都落在以 O 为圆心，以 AB 为直径的圆周上， C 是直角 故选 D 点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据题意画出图形利用数形结合求解是解答 此题的关键 8下列说法错误的是（ ） A 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 B 到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1cm 的圆 C 到直线 l 距离等于
15、 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线 D 等腰ABC 的底边 BC 固定，顶点 A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线 考点： 轨迹 分析： 根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即 可 解答： 解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分 线，A 正确； 到点 P 距离等于 1 cm 的点的轨迹是以点 P 为圆心，半径长为 1cm 的圆，B 正确； 到直线 l 距离等于 2 cm 的点的轨迹是两条平行于 l 且与 l 的距离等于 2cm 的直线，C 正确； 等腰ABC 的底边 BC 固定，顶点
16、A 的轨迹是线段 BC 的垂直平分线（BC 的中点除外） ， D 错误， 故选：D 点评： 本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的 性质是解题的关键 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分） 9化简： = 3 考点： 二次根式的性质与化简 分析： 把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可 解答： 解：原式= =3 故答案为：3 点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关 键 10方程：x（x1）=2x 的根是 0 或 3 考点： 解一元二次方程-因式分解法 分析： 先移项，然后利用提取公因式法对等式
17、的左边进行因式分解，最后解方程即可 解答： 解：由原方程，得 x（x1 2）=0，即 x（x3）=0， 所以 x=0 或 x3=0， 解得 x1=0，x 2=3， 故答案是：0 或 3 点评： 本题考查了解一元二次方程因式分解法 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 移项，使方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解 11在实数范围内分解因式：x 2x3= 考点： 实数范围内分解因式 分析： 首先解一元二次方程 x2x3=0，即可直接写出分解的结果 解答： 解：解方程 x2x3=0， 得
18、 x= ， 则：x 2x3= 故答案是： 点评： 本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式若 是关于一个字母的二次三项式分解，可以利用一元二次方程的求根公式进行分解，在实数 范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止 12已知函数 ，则 f（3）= +1 考点： 函数值 分析： 根据函数关系式，把 x 的值代入，即可解答 解答： 解：f（3）= = = = ； 故答案为： +1 点评： 本题考查了函数关系式，解决本题的关键是用代入法求解 13已知一次函数的图象 y=kx+3 与直线 y=2x 平行，则实数 k 的值是 2 考点： 两条直线相交或平行问题
19、分析： 由平行直线的特征可求得 k 的值 解答： 解：一次函数的图象 y=kx+3 与直线 y=2x 平行， k=2 故答案为：2 点评： 本题主要考查平行直线的特征，掌握平行直线的比例系数 k 相等是解题的关键 14反比例函数 y= 的图象，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是 k3 考点： 反比例函数的性质 专题： 探究型 分析： 先根据当 x0 时，y 随 x 的增大而增大判断出 k3 的符号，求出 k 的取值范围即 可 解答： 解：反比例函数 y= 的图象，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大， k30 ，解得 k3 故答案为：k3 点评： 本题考查的是反比例
20、函数的性质，即反比例函数 y= （k0）的图象是双曲线，双 曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 15已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位上的数字与十位上的数 字的平方和比这个两位数小 4，设个位上的数字为 x，列出关于 x 的方程： x 2+（x+4） 2=x+10（ x+4）4 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题： 数字问题 分析： 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为 x+4，那么这两位数为：10（x+4） +x，这两个数的平方和为：x 2+（x+4 ） 2，再根据两数的值相差 4 即可得出答案 解答： 解：依题意得：十位
21、数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x 2+（x+4） 2， 两数相差 4， x2+（x+4） 2=x+10（x+4 ）4 故答案为：x 2+（x+4 ） 2=x+10（x+4）4 点评： 本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的 方程求解 16如图，AD 是ABC 的角平分线，若 ABC 的面积是 48，且 AC=16，AB=12 ，则点 D 到 AB 的距离是 考点： 角平分线的性质 分析： 过 D 作 DEAB 与 E，过 D 作 DFAC 于 F，由 AD 是ABC 的角平分线，根据角 平分线的性质，可得 DE=DF，又由
22、ABC 的面积等于 48，AC=12，AB=16 ，S ABC=S ABD+SACD，即可求得答案 解答： 解：过 D 作 DEAB 与 E，过 D 作 DFAC 于 F， AD 是 ABC 的角平分线，DEAB，DFAC， DE=DF， ABC 的面积等于 48，AC=12，AB=16 ， SABC=SABD+SACD= ABDE+ ACDF= ABDE+ ACDE= DE（AB+AC） ， 即 DE（12+16）=48 ， 解得：DE= 故答案为： 点评： 此题考查了角平分线的性质以及三角形的面积问题，正确的作出辅助线是解题的关 键 17已知三角形三个内角的度数之比 3：2：1，若它的最大
23、边长是 18，则最小边长是 9 考点： 含 30 度角的直角三角形 分析： 先根据三角形三个内角之比为 1：2：3 求出各角的度数判断出三角形的形状，再根 据特殊角的三角函数值求解 解答： 解：先根据三角形三个内角之比为 1：2：3， 设三角形最小的内角为 x，则另外两个内角分别为 2x， 3x， x+2x+3x=180， x=30，3x=90 ， 此三角形是直角三角形， 它的最小的边长，即 30 度角所对的直角边长为： 18=9， 故答案是：9 点评： 本题考查的是三角形内角和定理，含 30 度角的直角三角形解答此题的关键是根 据三角形三个内角度数的比值判断出三角形的形状 18如图，CD 是
24、ABC 的 AB 边上的高，CE 是 AB 边上的中线，且 ACD=DCE=ECB，则B= 30 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 分析： 过 E 作 EFBC 于 F，证出ADC EDC，得到 AD=DE，根据 CE 是 AB 边上的 中线，得到 AE=BE，根据角平分线的性质得到 EF=DE，由于 sinB= = ，于是得到结 论 解答： 解：过 E 作 EFBC 于 F， CDAB， ADC=EDC=90， 在ADC 与 EDC 中， ， ADCEDC， AD=DE， CE 是 AB 边上的中线， AE=BE， DCE=ECB， EF=DE， DE= AE= BE=
25、EF， sinB= = ， B=30 故答案为：30 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质等腰三角形的性质，三角形的高线和中线， 角平分线的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键 19某种货物原价是 x（元） ，王老板购货时买入价按原价扣去 25%，王老板希望对此货物 定一个新价 y（元） ，以便按新价八折销售时仍然可以获得原价 25%的利润，则新价 y 与原 价 x 的函数关系式是 考点： 根据实际问题列一次函数关系式 分析： 根据题意可得：新价八折=买入价+利润，根据等量关系代入数据进行计算即可 解答： 解：由题意得：y 80%=（1 25%）x+25%x， 整理得：y
26、= x 故答案为： 点评： 此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，关键是正确理解题意，掌握售价、 进价、利润的关系 20如图，已知长方形 ABCD 纸片，AB=8，BC=4 ，若将纸片沿 AC 折叠，点 D 落在 D， 则重叠部分的面积为 10 考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 过点 F 作 FEAC，垂足为 E，由勾股定理得：AC=4 ，然后证明 ACF 为等腰 三角形，由等腰三角形的性质可求得 AE 的长，接下来证明AEFABC，从而可求得 EF 的长为 ，最后根据三角形的面积公式求得ACF 的面积即可 解答： 解：如图所示：过点 F 作 FEAC，垂足为 E 由勾股定理得：AC
27、= =4 DCAB， DCA=CAB 由翻折的性质可知：DCA=DCA FAC=FCA AF=CF 又 FEAC AE=CE=2 EAF=BAC， FEA=CBA=90， AEFABC ，即 EF= =10 故答案为：10 点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、翻折变换，证得ACF 为 等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得 AE 的长是解题的关键 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 48 分） 21用配方法解方程：x 24x96=0 考点： 解一元二次方程-配方法 分析： 移项，配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 解答： 解：x 24x96=0 x24
28、x+4=96+4， 配方得：（x2 ） 2=100， 开方得：x2= 10， 解得 x1=12，x 2=8 点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配 方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 22已知 ，求 的值 考点： 二次根式的化简求值 分析： 先将已知化简，再代入即可 解答： 解：x= = =3 ， 原式= = = = = 点评： 本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简再代入是解答此题的关键 23化简： 考点： 二次根式的性质与化简 分析： 先根据二次根式的性质，确定 a 的取值范围为 a0，再进行化简，即可
29、解答 解答： 解：根据题意得 a0， 原式=6 a+（12a）+ （a） =74a 点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是确定 a 的取值范围 24弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在 010 千克范围内） ，测得一弹簧的长度 y（厘米） 与所挂物体的质量 x（千克）有如下关系： x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 （1）此弹簧的原长度是 12 厘米； （2）物体每增加一千克重量弹簧伸长 0.5 厘米； （3）弹簧总长度 y（厘米）与所挂物体的重量 x（千克）的函数关系式是 y=0.5x
30、+12 考点： 函数关系式 分析： （1）观察表格，当所挂物体质量为 0 时，即是弹簧不挂物体时的长度； （2）根据当 x=1 时，y=12.5，即可解答； （3）根据表格数据可得 y 与 x 成一次函数关系，设 y=kx+b，取两点代入可得出 y 与 x 的 关系式； 解答： 解：（1）弹簧的原长度是 12 厘米，故答案为 12； （2）x=1 时，y=12.5 ， 物体每增加一千克重量弹簧伸长 12.512=0.5（厘米） ， 故答案为：0.5； （3）设 y=kx+b， 将点（0，12） ， （2，13）代入可得 解得： 则 y=0.5x+12 故答案为：y=0.5x+12 点评： 本题
31、考查了函数关系式及函数值的知识，解答本题的关键是观察表格中的数据，得 出 y 与 x 的函数关系式 25等腰直角三角形 ABC 中， A=90，B 的平分线交 AC 于 D，过点 C 向 BD 做垂线， 并与 BD 延长线交于点 E，求证：BD=2CE 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题： 证明题 分析： 根据已知条件，易证BFE BCE，所以 BF=BC，所以 F=BCE，根据等腰三角 形三线合一这一性质可得：CE=FE，再证明ABD ACF，证得 BD=CF，从而证得 BD=2CE 解答： 证明：延长 CE，交 BA 延长线于点 F BE 平分ABC， ABD=DBC，
32、又 BEEC， BEC=BEF=90， 在BEF 和BEC 中， ， BEFBEC， EF=EC， 即 CF=2EC， AB=AC，BAC=90 CAF=90 RtABD 中，ABD+ ADB=90， RtAEF 中，ABD+ F=90， ADB=F， 在ABD 和 ACF 中， ， ABDACF， BD=CF， CF=2EC， BD=2CE 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练应用 等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质 26已知等边ABC 的两个顶点坐标是 A（0，0） ，B（ ，3） （1）求直线 AB 的解析式； （2）求ABC 的边长，直接写出
33、点 C 的坐标 考点： 待定系数法求一次函数解析式 分析： （1）因为直线过（0，0） ，因此此函数是正比例函数，设解析式：y=kx（k0） ， 把 B 代入可解出 k 的值，进而可得答案； （2）根据 A、B 两点坐标可得 AB 的长，再由三角形是等边三角形可得 C 点坐标 解答： 解：（1）设直线 AB 的解析式：y=kx（k0） ， 把 B 代入得： ， 解得 AB 直线的解析式为 （2）A（0， 0） ，B （ ， 3） ， ， ABC 是等边三角形， 和 C（0，6） 点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及等边三角形的判定，关键是掌 握凡是经过原点的直线都是正比例函数
34、 27 （12 分） （2014 秋 长宁区期末）如图，已知 ABC（ABAC） ，在BAC 内部的点 P 到BAC 两边的距离相等，且 PB=PC （1）利用尺规作图，确定符合条件的 P 点（保留作图痕迹，不必写出作法） ； （2）过点 P 作 AC 的垂线，垂足 D 在 AC 延长线上，求证：ABAC=2CD ； （3）当BAC=90 时，判断PBC 的形状，并证明你的结论； （4）当BAC=90 时，设 BP=m，AP=n，直接写出ABC 的周长和面积（用含 m、n 的代 数式表示） 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形 分析： （1）作BAC 的平分线和线段
35、BC 的垂直平分线，两线交于点 P，则点 P 即为所 求； （2）如图 2，作 PEAB 于点 E，联结 PB、PC，由点 P 在BAC 的平分线上，得到 PD=PE，证得 RtPEBRtPDC，得到 BE=CD，推出 RtAEPRtADP，得到 AE=AD， 由于 AE=ABBE，AD=AC+CD ，即可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论； （4）由（3）证得BPC 是等腰直角三角形，推出AEP 是等腰直角三角形，求得 AE= AP，即 AE= n，由于 AE=AD，BE=CD，于是得到 AB+AC=AE+AD= n，求得 ABC 的周长= （m+n ） ，根据 R
36、tPEBRtPDC，得到 SABC=S 四边形 ABPCS BPC= n2= m2 解答： 解：（1）如图 1 所示，点 P 即为所求作的点； （2）如图 2，作 PEAB 于点 E，联结 PB、PC， 点 P 在BAC 的平分线上， PD=PE， 在 RtPEB 和 RtPDC 中， ， RtPEBRtPDC， BE=CD， 在 RtAEP 和 RtADP 中， ， RtAEPRtADP， AE=AD， AE=ABBE，AD=AC+CD， ABBE=AC+CD， 又 BE=CD， ABAC=2CD； （3）BAC=90， EAP=PAC=45， 在 RtAEP 中， EAP+EPA=90，
37、EPA=45， 同理APD=45 ， EPD=90=EPC+CPD， 由（2）知 RtPEBRtPDC， BPE=CPD， BPE+EPC=90，即BPC=90， 又 BP=PC， BPC 是等腰直角三角形； （4）由（3）证得BPC 是等腰直角三角形， BC= PB， PB=m， BC= m， AP 平分BAC， CAB=90， EAP=45， AEP 是等腰直角三角形， AE= AP， AP=n， AE= n， AE=AD，BE=CD， AB+AC=AE+AD= n， ABC 的周长= （m+n） ， RtPEBRtPDC， S 四边形 ABPC=S 四边形 AEPD=AE2= n2， SABC=S 四边形 ABPCSBPC= n2= m2 点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性 质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，正确的作出辅助线是解题的关 键
