天津市和平区2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析.doc

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1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合 M=x| 0，N=x|x1，则集合x|x3等于（） AMN BMN C R（M N） D R（M N） 2若变量 x，y 满足约束条件，则 z=3x4y 的取值范围是（） A11 ，3 B 11，3 C 3，11 D3，11 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 n 的值为（） A5 B7 C9 D11 4已知 a，b R，且 ab0，那么 “ab”是“lg（ab）0”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件

2、C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5如图，半径为 2 的O 中， AOB=90，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，则线段 DE 的长为（） A B C D 第 2 页（共 21 页） 6若双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则该双曲线的离心率为（） A B C D2 7记实数 x1，x 2，x n 中最小数为 minx1，x 2，x n，则定义在区间0，+ ）上的函数 f（x）=min x2+1，x+3， 13x的最大值为（） A5 B6 C8 D10 8已知函数 f（x）=x|x| mx+1 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（）

3、A （0，2） B （2，+） C （，2） D2，+ ）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9已知 aR，复数（2+ai ）（ 2i）的实部与虚部互为相反数，则 a 的值为 10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为 cm 3 11已知圆 C 的极坐标方程为 =2cos，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数），则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 12在（x ） 9 的展开式中， x5 的系数为 13在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a+b

4、=2 ，C= ，sinA+sinB= sinC，则ABC 的面积为 14如图，在ABC 中，BAC=60，AB=3 ，AC=2，D 是 BC 边上的一点（含端点），则的取值范围是第 3 页（共 21 页）三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（x）=2sin 4sin2 ，xR （1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）的区间，上的最大值和最小值 16在 8 件获奖作品中，有 3 件一等奖，有 5 件二等奖，从这 8 件作品中任取 3 件（1）求取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设 X 为取出的 3 件作品中一等奖的件数，求随机

5、变量 X 的分布列和数学期望 17如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，BAC=90， AB=AA1=2，AC=1，点 M 和 N 分别为 A1B1 和 BC 的中点（1）求证：ACBM ；（2）求证：MN平面 ACC1A1；（3）求二面角 MBNA 的余弦值 18设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a 2+a4=10 （1）求数列a n通项公式；（2）若数列b n满足 + + =1 ，n N*，求数列b n的前 n 项和 Tn 19已知椭圆 C 经过点 A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点 F1、F 2 在 x 轴上（）求椭圆

6、 C 的方程；（）求F 1AF2 的角平分线所在的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点的坐标 20设函数 f（x）=x 3 x2+6x+m （1）对于 xR，f（x）a 恒成立，求 a 的最大值；（2）若方程 f（x）=0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围；第 4 页（共 21 页）（3）当 m=2 时，若函数 g（ x）= + x6+2blnx（b0）在1，2上单调递减，求实数 b 的最大值第 5 页（共 21 页） 2015-2016 学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1已知集合

8、单线性规划【分析】画出不等式组表示可行域，要求线性目标函数的最值，就是直线（目标函数）截距的范围，求解即可【解答】解：不等式组表示的区域如图，其中 A（0，2），B（5，3） C（3，5） z=3x4y 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，当直线经过点 B（5，3）时，z=15 12=3，取最大值为 3，当取得点 C（3，5）时，z=3 20=11，z 取最小值为11，第 6 页（共 21 页）所以目标函数 z=3x4y 的取值范围为 11，3，故选：A 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 n 的值为（） A5 B7 C9 D11 【考点】程序框图【分析】由已

9、知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当 S=1 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3 ，n=5，当 S=3 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=15，n=7，当 S=15 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=105，n=9，当 S=105 时，不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 9，故选：C 4已知 a，b R，且 ab0，那么 “ab”是“lg（ab）0”的（） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】

10、必要条件、充分条件与充要条件的判断第 7 页（共 21 页）【分析】写出“lg（a b）0”的等价命题，结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：“lg（a b）0”“ab1”“ab+1”，当“ab”时， “ab+1” 不一定成立，故“ab”是“ lg（a b）0”的不充分条件；当“ab+1”时， “ab” 一定成立，故“ab”是“ lg（a b）0”的必要条件；故“ab”是“ lg（a b）0”的必要不充分条件；故选：B 5如图，半径为 2 的O 中， AOB=90，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交O 于点 E，则线段 DE 的长为（） A B C D 【考点】与圆有

11、关的比例线段【分析】延长 BO 交O 于点 C，我们根据已知中O 的半径为 2，AOB=90 ，D 为 OB 的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段 DE 的长【解答】解：延长 BO 交O 于点 C，由题设知：，又由相交弦定理知 ADDE=BDDC，得故选 C 第 8 页（共 21 页） 6若双曲线 =1 的一个焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则该双曲线的离心率为（） A B C D2 【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的 a，b，c，解方程可得 p2=16，即有 c=2，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：抛物线

12、 y2=2px 的准线为 x= ，由双曲线 =1 的 a= ，b=| |，可得 c= ，即有 =| |，解得 p2=16，可得 c=2，则离心率 e= = = 故选：A 7记实数 x1，x 2，x n 中最小数为 minx1，x 2，x n，则定义在区间0，+ ）上的函数 f（x）=min x2+1，x+3， 13x的最大值为（） A5 B6 C8 D10 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】在同一坐标系中作出三个函数 y=x+3，y=x 2+1 与 y=x+13 的图象，依题意，由图象即可求得 maxminx2+1，x+3，13x 【解答】解：在同一坐标系中作出三个函数

13、y=x2+1，y=x+3， y=13x 的图象如图：由图可知，minx 2+1，x+3，13x为 y=x+3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC，与直线 y=13x 点 C 下方的部分的组合体，显然，在 C 点时，y=minx 2+1，x+3，13 x取得最大值第 9 页（共 21 页）解方程组得，C（ 5，8）， maxminx 2+1，x+3，13x=8 故选：C 8已知函数 f（x）=x|x| mx+1 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（） A （0，2） B （2，+） C （，2） D2，+ ）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点

14、的判定定理【分析】f（x）=x|x| mx+1 得 x|x|+1=mx 利用参数分离法得 m=|x|+ ，构造函数 g（x） =|x|+ ，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可【解答】解：由 f（x）=x|x| mx+1 得 x|x|+1=mx，当 x=0 时，方程不成立，即 x0，则方程等价为 m=|x|+ 设 g（x）=|x|+ ，当 x0 时，g（x）= x+ 为减函数，当 x0 时，g（x）=x+ ，则 g（x）在（0，1）上为减函数，则（1，+）上为增函数，即当 x=1 时，函数取得极小值同时也是最小值 g（1）=1+1=2，作出函数 g（x）的图象如图：要

15、使 f（x）=x|x| mx+1 有三个零点，则等价为 m=|x|+ 有三个不同的根，即 y=m 与 g（x ）有三个不同的交点，则由图象知 m2，第 10 页（共 21 页）故实数 m 的取值范围是（2， +），故选：B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9已知 aR，复数（2+ai ）（ 2i）的实部与虚部互为相反数，则 a 的值为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部加虚部等于 0 求得 a 值【解答】解：（2+ai）（2i）=（4+a）+（2a 2）i，（2+ai）（2i）的实部与虚部互为相反数，

16、 4+a+2a2=0，解得：a= 故答案为： 10一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则几何体的体积为 12 cm 3 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；函数的零点【分析】由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，根据圆锥和圆柱的体积公式进行求解即可【解答】解：由三视图得到该几何体上面是个圆锥，下面是个圆柱，圆锥的高为 3cm，底面半径 r=2cm，则圆锥的体积为 =4（cm 3），圆柱的高为 2cm，底面半径 r=2cm，则圆柱的体积为 222=8（cm 3），第 11 页（共 21 页）则该几何体的体积为 4+8=12（cm 3），故答案为：12 11已知

17、圆 C 的极坐标方程为 =2cos，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为（t 为参数），则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】求出圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式能求出圆 C 的圆心到直线 l 的距离【解答】解：圆 C 的极坐标方程为 =2cos，即 2=2cos，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y22x=0，圆心 C（1，0），半径 r= =1，直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l 的直角坐标方程为 3x4y4=

18、0 圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= = 故答案为： 12在（x ） 9 的展开式中， x5 的系数为 18 【考点】二项式系数的性质【分析】写出二项展开式的通项，由 x 得指数等于 5 求得 r 值，则答案可求【解答】解：由 = ，令 92r=5，可得 r=2， x 5 的系数为故答案为：18 13在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a+b=2 ，C= ，sinA+sinB= sinC，则ABC 的面积为第 12 页（共 21 页）【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由题意和正弦定理可得 c 值，由余弦定理可得 ab 的值，整体代入三角形的

19、面积公式计算可得【解答】解：在ABC 中，sinA+sinB= sinC，由正弦定理可得 a+b= c，又a+b=2 ，C= ， c=2 ，解得 c=2，由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（a +b） 23ab，代值可得 4=83ab，解得 ab= ， ABC 的面积 S= absinC= = ，故答案为： 14如图，在ABC 中，BAC=60，AB=3 ，AC=2，D 是 BC 边上的一点（含端点），则的取值范围是 6，1 【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标，使用坐标计算【解答】解：以 BC 所在直线为 x

20、轴，以 B 为原点建立平面直角坐标系， BC= = cosB= = = sinB= A（，），B（0，0），C（，0）设 D（a，0），则 =（a ，）， =（，0） = a6 D 是 BC 边上的一点（含端点），0a 当 a=0 时，取得最小值6，当 a= 时，取得最大值 1 第 13 页（共 21 页）故答案为6， 1 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15已知函数 f（x）=2sin 4sin2 ，xR （1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）的区间，上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（

21、1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=2 sin（ + ）2 ，根据三角函数周期公式即可求值得解；（2）由 x ，，可求 + ，，利用正弦函数的图象和性质即可得解【解答】（本题满分为 13 分）解：（1）f（x）=2sin 4sin2 =2sin 2（1cos ） =2 （sin cos +cos sin ）2 =2 sin（ + ）23 分 f（x）的最小正周期 T= =65 分（2）x ，， + ，， 7 分 f（x）在区间，上是增函数，在区间，上是减函数，9 分第 14 页（共 21 页）而 f（）= 2，f （）=2 ，f（）

22、= ，11 分 f（x）的区间，上的最大值为 2 2，最小值为 13 分 16在 8 件获奖作品中，有 3 件一等奖，有 5 件二等奖，从这 8 件作品中任取 3 件（1）求取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率；（2）设 X 为取出的 3 件作品中一等奖的件数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）设 A 为事件“取出的 3 件产品中，一等奖多于二等奖”，利用互斥事件加法公式能求出取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率（2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2

23、，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望【解答】解：（1）设 A 为事件 “取出的 3 件产品中，一等奖多于二等奖”，依题意，则有 P（A）= = ，取出的 3 件作品中，一等奖多于二等奖的概率为（2）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（X=0）= = ， P（X=1）= = ， P（X=2）= = ， P（X=3）= = ，随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P EX= = 17如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直于底面，BAC=90， AB=AA1=2，AC=1，点 M 和 N 分别为 A1B1 和 BC 的

24、中点（1）求证：ACBM ；第 15 页（共 21 页）（2）求证：MN平面 ACC1A1；（3）求二面角 MBNA 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）以 A 为原点， AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 ACBM （2）推导出 =0，由是平面 ACC1A1 的一个法向量，且 MN平面 ACC1A1，能证明 MN平面 ACC1A1 （3）求出平面 MBN 的法向量和平面 ABN 的法向量，利用向量法能求出二面角 MBNA 的余弦值【解答】证明：（1）由题意知 AC、AB、AA

25、 1 两两垂直，如图，以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴，AA 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），M（0，1，2）， =（1，0，0）， =（0，1，2）， =0，， ACBM （2）M（0，1，2），N（），A （0，0，0），B（0，2，0）， =（）， =（0，2，0）， =0， MNAB ，是平面 ACC1A1 的一个法向量，且 MN平面 ACC1A1， MN平面 ACC1A1 解：（3）由（2）得 =（）， =（0，1， 2），设平面 MBN 的法向量为 =（x，y

26、，z），第 16 页（共 21 页）则，取 z=1，得 =（4，2，1），平面 ABN 的法向量 =（0，0，2）， cos = = = ，二面角 MBNA 的平面角是锐角，二面角 MBNA 的余弦值为 18设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a 2+a4=10 （1）求数列a n通项公式；（2）若数列b n满足 + + =1 ，n N*，求数列b n的前 n 项和 Tn 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过设等差数列a n的公差为 d，利用等差中项及 a2+a4=10 可知 a3=5，通过 S4=4S2 可知 4a32d=4（2a 3

27、3d），计算可得 d=2，进而计算即得结论；（2）通过 + + =1 与 + + =1 作差，结合（1）整理可知 bn= （n2），验证当 n=1 时也成立，进而利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，第 17 页（共 21 页） a 2+a4=10， a 3= =5， S 4=4S2， 4a 32d=4（2a 33d），即 202d=4（103d），解得：d=2， a n=a3+2（n3）=2n 1；（2）依题意， + + =1 ，n N*，当 n2 时， + + =1 ，两式相减得： =（1 ）（1 ）= ，由（1）可知 bn= （

28、n2），又b 1=（1 ）a 1= 满足上式， b n= ，nN *，故 Tn= + + ， Tn= + + + ，两式相减得： Tn= +（ + + ） = ， T n=3 第 18 页（共 21 页） 19已知椭圆 C 经过点 A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点 F1、F 2 在 x 轴上（）求椭圆 C 的方程；（）求F 1AF2 的角平分线所在的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（）设椭圆 C 的方程为 =1，ab0，利用待定系数法能求出椭圆 C 的方程（）直线 AF1 的方程为 3x4y+6=0，求出直线 l

29、的方程为 2xyx=0，与椭圆联立，得 19x216x44=0，由此利用韦达定理能求出直线 l 与椭圆 C 的另一个交点坐标【解答】解：（）椭圆 C 经过点 A（2，3）、B（4，0），对称轴为坐标轴，焦点 F1、F 2 在 x 轴上，设椭圆 C 的方程为 =1，ab0，则，解得 a2=16，b 2=12，椭圆 C 的方程为（）椭圆 C 的方程为， F 1（2，0），F 2（2，0），则直线 AF1 的方程为 y= ，即 3x4y+6=0，直线 AF2 的方程为 x=2，由点 A 在椭圆 C 上的位置得直线 l 的斜率为正数，设 P（x，y）为直线 l 上一点，则 =

30、|x2|，解得 2xy1=0 或 x+2y8=0（斜率为负，舍），直线 l 的方程为 2xyx=0，由，整理，得 19x216x44=0，设直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 M（x 0，y 0），第 19 页（共 21 页）则有，解得，，直线 l 与椭圆 C 的另一个交点坐标为（，） 20设函数 f（x）=x 3 x2+6x+m （1）对于 xR，f（x）a 恒成立，求 a 的最大值；（2）若方程 f（x）=0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围；（3）当 m=2 时，若函数 g（ x）= + x6+2blnx（b0）在1，2上单调递减，求实数 b 的

31、最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出 f（x）的导数，得到 3x29x+（6a ）0 恒成立，根据判别式0，求出 a 的范围即可；（2）求出 f（x）的极大值和极小值，从而求出 m 的范围即可；（3）求出 g（x）的导数，问题转化为 b x2 在1，2恒成立，求出 x2 在1，2上的最小值即可【解答】解：（1）f（x）=3x 29x+6， xR，f（x）a 恒成立，即 3x29x+（6a ）0 恒成立， =81 12（6a ）0，解得： a ， a 的最大值是；（2）由 f（x） =3（x1）（x2），令

32、f（x）0，解得： x2 或 x1，令 f（x）0，解得：1x2， f（x）极大值 =f（1）= +m，f （x）极小值 =f（2）=2+m，故 f（2）0 或 f（1）0 时，方程 f（x）=0 仅有 1 个实数根，第 20 页（共 21 页） m 的范围是（，）（ 2，+）；（3）g（x）= + x6+2blnx（b0）， g（x）=2x + ，函数 g（x）在1，2上单调递减，则 g（x）0 在1， 2恒成立，从而 b x2 在 1，2恒成立，令 h（x）= x2，h （x）= 2x0， h（x）在1，2递减，h（x） min=h（2）= ，故 b 的最大值是第 21 页（共 21 页） 2016 年 7 月 31 日

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