1、第 1 页（共 27 页） 2016-2017 学年湖南省娄底市娄星区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，满分 36 分请把表示正确答案的字母 填入下表中对应的题号下 ） 1已知： ，那么下列式子中一定成立的是（ ） A2x=3y B3x=2y Cx=6y Dxy=6 2关于 x 的一元二次方程（ a1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 B1 C1 或1 D 3对于函数 y= ，下列说法错误的是（ ） A它的图象分布在二、四象限 B它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D当 x0
2、 时，y 的值随 x 的增大而减小 4二次函数 y=ax2+bx1（ a0）的图象经过点（1，1） ，则 a+b+1 的值是（ ） A 3 B1 C2 D3 5如图将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，则 下到结论不一定成立的是（ ） AAD=BC BEBD= EDB CABECBD DsinABE= 6如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得 第 2 页（共 27 页） BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为（ ） A100 米 B50 米 C 米 D50 米 7如图，
3、以点 O 为位似中心，将 ABC 放大得到DEF若 AD=OA，则ABC 与DEF 的面积之比为（ ） A1 ：2 B1：4 C1：5 D1：6 8某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果 如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A6.2 小时 B6.4 小时 C6.5 小时 D7 小时 9某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ）
4、 A 11 B2 C1 D 5 10如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，AC=6，AB=9 ，则 AD 的长是（ ） 第 3 页（共 27 页） A6 B5 C4 D3 11已知函数 y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程 x2+x+k1=0 根的存在情 况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 12如图，在ABC 中， DEBC ，AD ：DB=1 ：2，则 SADE ：S ABC =（ ） A1 ：2 B1：4 C1：8 D1：9 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13若关于 x 的方程 x2+（k 2）x
5、+k2=0 的两根互为倒数，则 k= 14在ABC 中，C=90，若 tanA= ，则 sinA= 15将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 第 4 页（共 27 页） 16已知双曲线 y= 经过点（ 1，3） ，如果 A（a 1，b 1） ，B（a 2，b 2）两点在该 双曲线上，且 a1a 20，那么 b1 b 2（选填“ ”、 “=”、 “”） 17某校图书馆的藏书在两年内从 5 万册增加到 7.2 万册，设平均每年藏书增 长的百分率为 x，则依据题意可得方程 18二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论： 2a+b=0；a+cb；抛物线与 x 轴的另一个交点
6、为（3，0） ；abc0其 中正确的结论是 （填写序号） 三、综合与应用（每小题 7 分，共 28 分） 19计算：2 2（ ） 0+|3| cos60 20已知关于 x 的一元二次方程 x22kx+k2+2=2（1x）有两个实数根 x1，x 2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若方程的两实根 x1，x 2 满足|x 1+x2|=x1x21，求 k 的值 21某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得 数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低 值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到 1cm）： 第 5 页（共 27 页） （1）请根据
7、所提供的信息计算身高在 160165cm 范围内的学生人数，并补全 频数分布直方图； （2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？ （3）如果上述样本的平均数为 157cm，方差为 0.8；该校八年级学生身高的平 均数为 159cm，方差为 0.6，那么 （填“七年级”或“八年级” ）学生的身高比 较整齐 22如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 （k 为常数，且 k0） 的图象都经过点 A（m，2） （1）求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当 x0 时，y 1 和 y2 的大小 四、实践与应用（每小题 9 分，共 18 分） 23某商品的进价为每件 30
8、 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件，如果每件涨价 1 元（售价不可以高于 45） ，那么每星期少卖出 10 件，设每 件涨价 x 元，每星期销量为 y 件 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）如何定价才能使每星期的利润为 1560 元？每星期的销量是多少？ 24如图，平台 AB 高为 12m，在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45，底 部点 C 的俯角为 30，求楼房 CD 的高度（ =1.7） 第 6 页（共 27 页） 六、探究与应用（每小题 10 分，共 20 分） 25如图，顶点 M 在 y 轴上的抛
9、物线与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM 的形状，并说明理由 26如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=10，将MPN 的顶点 P 在矩形 ABCD 的边 AD 上滑动，在滑动过程中，始终保持MPN=90，射线 PN 经过点 C，射 线 PM 交直线 AB 于点 E，交直线 BC 于点 F （1）求证：AEPDPC； （2）在点 P 的运动过程中，点 E 与点 B 能重合吗？如果能重合，求 DP 的长； （3）是否存在这样的点 P 使DPC 的面积等于AEP 面积的 4
10、倍？若存在，求 出 AP 的长；若不存在，请证明理由 第 7 页（共 27 页） 2016-2017 学年湖南省娄底市娄星区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 12 小题，满分 36 分请把表示正确答案的字母 填入下表中对应的题号下 ） 1已知： ，那么下列式子中一定成立的是（ ） A2x=3y B3x=2y Cx=6y Dxy=6 【考点】等式的性质 【分析】根据等式的性质，在等式两边同时加、减、乘、除同一个数或式子， 结果仍相等可得出答案 【解答】解：A、根据等式的性质 2，等式两边同时乘以 6，即可得 2x=3y； B、根据等式性质 2，等式两
11、边都乘以 9，应得 3x= y； C、根据等式性质 2，等式两边都乘以 3，应得 x= y； D、根据等式性质 2，等式两边都乘以 3y，应得 xy= y2； 故选 A 2关于 x 的一元二次方程（ a1）x 2+x+a21=0 的一个根是 0，则 a 的值为（ ） A1 B1 C1 或1 D 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再 根据一元二次方程的定义即可求解 【解答】解：根据题意得：a 21=0 且 a10， 解得：a=1 第 8 页（共 27 页） 故选 B 3对于函数 y= ，下列说法错误的是（ ） A它的图象分布在二
12、、四象限 B它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大 D当 x0 时，y 的值随 x 的增大而减小 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数 y= 的性质：当 k0，双曲线的两支分别位于第二、 第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，图象既是轴对称图形又是中心 对称图形进行判断即可 【解答】解：A、它的图象分布在二、四象限，说法正确； B、它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； C、当 x0 时，y 的值随 x 的增大而增大，说法正确； D、当 x0 时，y 的值随 x 的增大而减小，说法错误； 故选：D 4二次函数 y
13、=ax2+bx1（ a0）的图象经过点（1，1） ，则 a+b+1 的值是（ ） A 3 B1 C2 D3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把（1，1）代入解析式可得到 a+b 的值，然后计算 a+b+1 的值 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象经过点（1，1） ， a +b1=1， a +b=2， 第 9 页（共 27 页） a +b+1=3 故选 D 5如图将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，则 下到结论不一定成立的是（ ） AAD=BC BEBD= EDB CABECBD Ds
14、inABE= 【考点】翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质；相似三角形的判定 【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正 确答案 【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正确 B、CBD=EDB，CBD=EBD ，EBD=EDB 正确 D、sinABE= ， EBD= EDB BE=DE sin ABE= 故选 C 6如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得 BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为（ ） 第 10 页（共 27 页） A100 米 B50 米 C 米 D50 米
15、 【考点】解直角三角形的应用 【分析】过 B 作 BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30，再根 据等角对等边可得 BC=AC，然后再计算出CBM 的度数，进而得到 CM 长，最 后利用勾股定理可得答案 【解答】解：过 B 作 BMAD， BAD=30 ，BCD=60， ABC=30 ， AC=CB=100 米， BM AD， BMC=90 ， CBM=30 ， CM= BC=50 米， BM= CM=50 米， 故选：B 7如图，以点 O 为位似中心，将 ABC 放大得到DEF若 AD=OA，则ABC 与DEF 的面积之比为（ ） 第 11 页（共 27 页） A1 ：2 B1：
16、4 C1：5 D1：6 【考点】位似变换 【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比 【解答】解：以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到DEF，AD=OA ， OA：OD=1：2， ABC 与DEF 的面积之比为：1：4 故选：B 8某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果 如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A6.2 小时 B6.4 小时 C6.5 小时 D7 小时 【考点】加权平均数 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式（510+615+720+85
17、） 50，再进行计算即可 【解答】解：根据题意得： （510 +615+720+85）50 =（ 50+90+140+40）50 =32050 =6.4（小时） 故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时 故选：B 9某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 第 12 页（共 27 页） y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ） A 11 B2 C1 D 5 【考点】二次函数的图象 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案 【解答】解：由函数图象关
18、于对称轴对称，得 （1 ，2 ） ， （0，1） ， （1 ， 2）在函数图象上， 把（1，2 ） ， （0，1） ， （1，2）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 函数解析式为 y=3x2+1 x=2 时 y=11， 故选：D 10如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D，AC=6，AB=9 ，则 AD 的长是（ ） A6 B5 C4 D3 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】直角三角形斜边上的高线把直角三角形分的得两个三角形与原三角形 相似 【解答】解：RtABC 中，ACB=90 ，CDAB 于点 D 第 13 页（共 27 页） ACDABC AC：AB=AD：AC
19、 AC=6，AB=9 AD=4 故选 C 11已知函数 y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程 x2+x+k1=0 根的存在情 况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系 【分析】先根据函数 y=kx+b 的图象可得；k0，再根据一元二次方程 x2+x+k1=0 中，=1 241（k1）=54k0，即可得出答案 【解答】解：根据函数 y=kx+b 的图象可得；k0，b0， 则一元二次方程 x2+x+k1=0 中，=1 241（k1 ）=54k0， 则一元二次方程 x2+x+k1=0 根的存在情况是有两个
20、不相等的实数根， 故选：C 12如图，在ABC 中， DEBC ，AD ：DB=1 ：2，则 SADE ：S ABC =（ ） 第 14 页（共 27 页） A1 ：2 B1：4 C1：8 D1：9 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】已知 DEBC，可得出的条件是ADEABC；已知了 AD、DB 的比 例关系，可得出 AD、AB 的比例关系，也就求出了两三角形的相似比，根据相 似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出两三角形的面积比 【解答】解：AD ：DB=1：2，则 = ； DEBC， ADE ABC； S ADE ：S ABC =1：9 故选 D 二、填空题（每小题 3 分，共 1
21、8 分） 13若关于 x 的方程 x2+（k 2）x +k2=0 的两根互为倒数，则 k= 1 【考点】根与系数的关系 【分析】根据已知和根与系数的关系 x1x2= 得出 k2=1，求出 k 的值，再根据原 方程有两个实数根，求出符合题意的 k 的值 【解答】解：x 1x2=k2，两根互为倒数， k 2=1， 解得 k=1 或1； 方程有两个实数根，0， 当 k=1 时，0，舍去， 故 k 的值为 1 第 15 页（共 27 页） 故答案为：1 14在ABC 中，C=90，若 tanA= ，则 sinA= 【考点】同角三角函数的关系 【分析】根据正切函数数对边比邻边，可得 BC 与 AC 的关
22、系，根据勾股定理， 可得 AB 的长，再根据正弦函数是对边比斜边，可得答案 【解答】解：设 tanA= = = ， 由勾股定理，得 AB= =5a sinA= = = ， 故答案为： 15将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】设 AC=BC=x，则 CD= = = x，证 ABCD 得ABEDCE，即 可知 = = = 【解答】解：设 AC=BC=x， 则 CD= = = x， BAC=ACD=90， BAC+ACD=180 ， ABCD， 第 16 页（共 27 页） ABEDCE， = = = ， 故答案为： 16已知双曲线 y= 经过点（ 1
23、，3） ，如果 A（a 1，b 1） ，B（a 2，b 2）两点在该 双曲线上，且 a1a 20，那么 b1 b 2（选填 “” 、 “=”、 “”） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质 【分析】根据反比例函数的增减性解答 【解答】解：把点（1， 3）代入双曲线 y= 得 k=30， 故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大 而增大， A（a 1，b 1） ，B（a 2，b 2）两点在该双曲线上，且 a1a 20， A、B 在同一象限， b 1b 2 故答案为： 17某校图书馆的藏书在两年内从 5 万册增加到 7.2 万册，设平均每年藏书
24、增 长的百分率为 x，则依据题意可得方程 5（1 +x） 2=7.2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】利用平均增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ， 参照本题，如果设平均每年增长的百分率为 x，根据 “某校图书馆的藏书在两年 内从 5 万册增加到 7.2 万册” ，即可得出方程 【解答】解：设平均每年增长的百分率为 x； 第一年藏书量为：5（1+x ） ； 第 17 页（共 27 页） 第二年藏书量为：5（1+x ） （1+x）=5（1+x ） 2； 依题意，可列方程：5（1+x ） 2=7.2 故答案为：5（1+x） 2=7.2 18二次函数 y=ax2+b
25、x+c（a0）的图象如图所示，下列结论： 2a+b=0；a+cb；抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0） ；abc0其 中正确的结论是 （填写序号） 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据抛物线对称轴方程对进行判断；根据自变量为 1 时对应的函数 值为负数可对进行判断；根据抛物线的对称性，由抛物线与 x 轴的一个交点 为（2，0）得到抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0） ，则可对进行判断； 由抛物线开口方向得到 a0，由对称轴位置可得 b0，由抛物线与 y 轴的交点 位置可得 c 0，于是可对进行判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x= =1， 2a+b=0，所以正确； x=
26、1 时，y 0， a b+c0， 即 a+cb，所以错误； 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 4，0 ） ，所以错误； 抛物线开口向上， 第 18 页（共 27 页） a 0 ， b=2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c0， abc0，所以正确 故答案为 三、综合与应用（每小题 7 分，共 28 分） 19计算：2 2（ ） 0+|3| cos60 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计 算，第三项利用绝对值的
27、代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计 算即可得到结果 【解答】解：原式= 1+3 =2 20已知关于 x 的一元二次方程 x22kx+k2+2=2（1x）有两个实数根 x1，x 2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若方程的两实根 x1，x 2 满足|x 1+x2|=x1x21，求 k 的值 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【分析】 （1）根据方程有两个实数根可以得到0，从而求得 k 的取值范围； （2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求 k 的值即可 【解答】解：x 22kx+k2+2=2（1x） ， 整理得 x2（2k2）x+k 2=0 （1）方程有两个实
28、数根 x1，x 2 = （ 2k2） 24k20， 第 19 页（共 27 页） 解得 k ； （2）由根与系数关系知： x1+x2=2k2，x 1x2=k2， 又|x 1+x2|=x1x21，代入得， |2k2|=k21， k ， 2k 20， |2k 2|=k21 可化简为：k 2+2k3=0 解得 k=1（不合题意，舍去）或 k=3， k=3 21某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得 数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低 值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到 1cm）： （1）请根据所提供的信息计算身高在 160165cm
29、 范围内的学生人数，并补全 频数分布直方图； （2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？ （3）如果上述样本的平均数为 157cm，方差为 0.8；该校八年级学生身高的平 均数为 159cm，方差为 0.6，那么 八年级 （填“七年级”或“八年级” ）学生的 第 20 页（共 27 页） 身高比较整齐 【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数；中位数；方差 【分析】 （1）根据 155160 的频数和百分比求总数从而求出 160165 的频数， 根据数据正确补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的确定方法求解； （3）利用方差的意义判断 【解答】解：（1）总数为：3232%=10
30、0，则 160165 的频数为： 1006121832104=18 或 10018%=18 根据数据正确补全频数分布直方图，如下图： （2）第 50 和 51 个数的平均数在 155160cm 的范围内，所以样本的中位数在 155160cm 的范围内； （3）方差越小，数据的离散程度越小，所以八年级学生的身高比较整齐 故答案为：八年级 22如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 （k 为常数，且 k0） 的图象都经过点 A（m，2） （1）求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当 x0 时，y 1 和 y2 的大小 第 21 页（共 27 页） 【考点】反比
31、例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）将 A 点代入一次函数解析式求出 m 的值，然后将 A 点坐标代入反 比例函数解析式，求出 k 的值即可得出反比例函数的表达式； （2）结合函数图象即可判断 y1 和 y2 的大小 【解答】解：（1）将 A 的坐标代入 y1=x+1， 得：m+1=2 ， 解得：m=1， 故点 A 坐标为（1，2） ， 将点 A 的坐标代入： ， 得：2= ， 解得：k=2， 则反比例函数的表达式 y2= ； （2）结合函数图象可得： 当 0x1 时，y 1y 2； 当 x=1 时，y 1=y2； 当 x1 时，y 1y 2 四、实践与应用（每小题 9 分，共 18
32、分） 23某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件，如果每件涨价 1 元（售价不可以高于 45） ，那么每星期少卖出 10 件，设每 件涨价 x 元，每星期销量为 y 件 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ； （2）如何定价才能使每星期的利润为 1560 元？每星期的销量是多少？ 第 22 页（共 27 页） 【考点】一元二次方程的应用 【分析】 （1）依据题意易得出平均每天销售量（y）与涨价 x 之间的函数关系式 为 y=15010x； （2）一个商品原利润为 4030=10 元，每件涨价 x 元，现在利润为（
33、10+x）元； 根据题意，销售量为 15010x，由一个商品的利润销售量=总利润，列方程求 解 【解答】解：（1）如果售价每涨 1 元，那么每星期少卖 10 件， 每件涨价 x 元（x 为非负整数） ，每星期销量为： y=15010x； （2）设每件涨价 x 元，依题意得 （10+x）=1560， 解这个方程，得 x1=2，x 2=3， 售价不高于 45 元， x 1=2，x 2=3 均符合题意， 当 x1=2 时，每星期的销量是 150102=130（件） ； 当 x2=3 时，每星期的销量是 150103=120（件） ； 答：该商品每件定价 42 元或 43 元才能使每星期的利润为 15
34、60 元，此时每星期 的销量是 130 件或 120 件 24如图，平台 AB 高为 12m，在 B 处测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45，底 部点 C 的俯角为 30，求楼房 CD 的高度（ =1.7） 第 23 页（共 27 页） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形， 应利用其公共边构造关系式求解 【解答】解：如图，过点 B 作 BECD 于点 E， 根据题意，DBE=45 ， CBE=30 ABAC，CDAC ， 四边形 ABEC 为矩形 CE=AB=12m 在 RtCBE 中，cotCBE= ， BE=C
35、Ecot30=12 =12 在 RtBDE 中，由DBE=45， 得 DE=BE=12 CD=CE+DE=12（ +1）32.4 答：楼房 CD 的高度约为 32.4m 六、探究与应用（每小题 10 分，共 20 分） 25如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM 的形状，并说明理由 第 24 页（共 27 页） 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （1）由条件可分别求得 A、B 的坐标，设出抛物线解析式，利用待定 系数法可求得抛物线解
36、析式； （2）结合（1）中 A、B、C 的坐标，根据勾股定理可分别求得 AB、AM、BM ， 可得到 AB2+AM2=BM2，可判定ABM 为直角三角形 【解答】解：（1）A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A（1 ，0） ， 又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， B（2，3） ， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=ax2+c， 把 A、B 两点坐标代入可得 ， 解得 ， 抛物线解析式为 y=x21； （2）ABM 为直角三角形理由如下： 由（1）抛物线解析式为 y=x21，可知 M 点坐标为（0，1） ， AM 2=12+12=2，AB 2=（
37、2+1） 2+32=18，BM 2=22+（3+1） 2=20， AM 2+AB2=2+18=20=BM2， ABM 为直角三角形 第 25 页（共 27 页） 26如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=10，将MPN 的顶点 P 在矩形 ABCD 的边 AD 上滑动，在滑动过程中，始终保持MPN=90，射线 PN 经过点 C，射 线 PM 交直线 AB 于点 E，交直线 BC 于点 F （1）求证：AEPDPC； （2）在点 P 的运动过程中，点 E 与点 B 能重合吗？如果能重合，求 DP 的长； （3）是否存在这样的点 P 使DPC 的面积等于AEP 面积的 4 倍？若存在，求 出
38、 AP 的长；若不存在，请证明理由 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）根据矩形的性质，推出D=A=90，再由直角三角形的性质，得 出PCD+DPC=90，又因CPE=90，推出EPA+DPC=90，PCD=EPA ， 从而证明CDP PAE； （2）利用当 B，E 重合时，利用已知得出ABPDPC，进而求出 DP 的长即可； （3）假设存在满足条件的点 P，设 DP=x，则 AP=10x，由CDP PAE 知，求 出 DP 即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， D=A=90，CD=AB=6， PCD+DPC=90， 又CPE=90， EPA+DPC=90， PCD=EPA， AEPDPC 第 26 页（共 27 页） （2）假设在点 P 的运动过程中，点 E 能与点 B 重合， 当 B，E 重合时， BPC=90， APB+DPC=90， DPC+DCP=90， DCP=APB， A=D ， ABPDPC ， = ， 即： = ， 解得：DP=1 或 9， B，E 重合时 DP 的长为 1 或 9； （3）存在满足条件的点 P， CDP PAE， 根据使DPC 的面积等于 AEP 面积的 4 倍，得到两三角形的相似比为 2， =2， 即 =2， 解得 AP=1.5； 第 27 页（共 27 页） 2017 年 2 月 12 日
