1、南昌市三校联考（南昌一中、南昌十中、南铁一中）高二试卷 数 学（文科） 第卷（选择题 共 60分） 一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的一项。 1. 设 i是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a为（ ） A. B. -2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 为纯虚数,则 . 故选 D. 2. 设集合 （ ） A. 1，2，3 B. 4，5 C. 1，2，3，4，5 D. 【答案】B 【解析】 . 故选 B. 3. 已知 则 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 为全称命题，否定为特称，故有 . 故选
2、C. 4. “|x|1,而函数 f(x)=cos(x)1，. 故在区间(3,+)内,函数 f(x)=cos(x)与函数 g(x)=|log2|x1|的图象无交点。 综上所述,函数 f(x)=cos(x)与函数 g(x)=|log2|x1|的图象共有 4 个交点，关于直线 x=1 对称， 函数 f(x)=cos(x)与函数 g(x)=|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为 4. 故选 C. 11. 设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件：存在 ,使 在 上的值域是 则称 为“倍缩函数” ，若函数 为“倍缩 函数” ，则 t的范围是( ) A. B. D. 【答案】A 【解析】函数 f(x
3、)=f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数” ， 且满足存在a,b D,使 f(x)在a,b上的值域是 ， f(x)在a,b 上是增函数； ， 即 ， a,b 是方程 2x +t=0 的两个根， 设 m= ,则 m0,此时方程为 m2m+t=0 即方程有两个不等的实根，且两根都大于 0； ， 解得：00 对 xR 恒成立若“ p q”为假， “p q”为真，求 a的取值范围 【答案】(0,14，) 【解析】试题分析：先解命题，再研究命题的关系，函数 y=ax在 R 上单调递增，由指数函 数的单调性解决；等式 ax2-ax+10 对xR 恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数 成立，可用判断
4、式法解决，若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，两者是一真一假，计算可得答 案 试题解析： 函数 y 在 R上单调递增， p： a1. 不等式 ax2 ax10 对 x R恒成立，且 a0， a24 a0，解得 0a4， q：0 a4 “ p q”为假， “p q”为真， p、 q中必有一真一假 当 p真， q假时， ，得 a4. 当 p假， q真时， ，得 0a1. 故 a 的取值范围为(0,14， ) 18. 函数 f(x)对任意的 m、 nR，都有 f(m n) f(m) f(n)1，并且 x0 时，恒有 f(x) 1. (1)求证： f(x)在 R上是增函数； (2)若 f(3)4，
5、解不等式 f(a2 a5)2. 【答案】 （1）见解析；（2）a (3,2). 【解析】试题分析：（1）定义法：设 x1，x2R ，且 x1x 2，则 f（x2）-f（x1）=f（x2-x1） +x1-f（x1） ，由已知可判断其符号； （2）令 m=n=1 可求得 f（2） ，进而可得 f（1）=2，利用单调性可去掉不等式中的符号“f” ，转 化为具体不等式 试题解析： (1)设 x1 x2， x2 x10. 当 x0 时， f(x)1， f(x2 x1)1. f(x2) f(x2 x1) x1) f(x2 x1) f(x1)1， f(x2) f(x1) f(x2 x1)10 f(x1) f
6、(x2)， f(x)在 R上为增函数 (2) m， nR，不妨设 m n1， f(11) f(1) f(1)1， f(2)2 f(1)1， f(3)4 f(21)4 f(2) f(1)14 3f(1)24 ， f(1)2， f(2)2213， f(a2 a5)2 f(1) f(x)在 R上为增函数， a2 a513 a2，即 a(3,2) 点睛：本题主要考查函数的性质，但是函数是抽象函数，需要采用赋值的手段进行研究， 研究的方向即为利用单调性的定义证明，再由函数的单调性解自变量的不等式即可. 19. 如图，菱形 ABCD的边长为 4，BAD=60，ACBD=O将菱形 ABCD沿对角线 AC折起
7、， 得到三棱锥 BACD，点 M是棱 BC的中点，DM=2 （1）求证：OM平面 ABD （2）求证：平面 DOM平面 ABC 【答案】 （1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理，证出 OMAB，结合线面平行判定 定理，即可证出 OM平面 ABD （2）根据题中数据，算出 DO= BD=2，OM= AB=2，从而得到 OD2+OM2=8=DM2，可得 ODOM结合 ODAC 利用线面垂直的判定定理，证出 OD平面 ABC，从而证出平面 DOM 平面 ABC 试题解析： （1）O 为 AC的中点，M 为 BC的中点，OMAB 又OM平面 ABD，AB平面 ABD
8、，OM平面 ABD （2）在菱形 ABCD中，ODAC，在三棱锥 B-ACD中，ODAC 在菱形 ABCD中，AB=AD=4，BAD=60，可得 BD=4 O 为 BD的中点，DO= BD=2. O 为 AC的中点，M 为 BC的中点，OM= AB=2 因此， ，可得 ODOM AC、OM 是平面 ABC内的相交直线，OD平面 ABC OD平面 DOM，平面 DOM平面 ABC 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 20. 为调查我市某校
9、高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调 查了 50人，结果如下： （I）用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6人，其中男生抽取多少人？ （II）在（I）中抽取的 6人中任选 2人，求恰有一名女生的概率； （III）你能否有 99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？ 下面的临界值表供参考： 独立性检验统计量 K2 ，其中 n=a+b+c+d 【答案】 （1）男生 4人，女生 2人；（2） ；（3）见解析. 【解析】试题分析：（I）根据分层抽样的定义，写出比例式，得到男生抽取人数即可 （II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是利
10、用排列组合写出所有事 件的事件数，及满足条件的事件数，得到概率 （III）计算 K2，同临界值表进行比较，得到有多大把握认为该校高中生是否愿意提供志愿 者服务与性别有关 试题解析： （I）由题意，男生抽取 6 人，女生抽取 6 =2人； （II）在（I）中抽取的 6人中任选 2人，恰有一名女生的概率 P= （III）K2= ，由于 8.3336.635，所以有 99%的把握认为该 校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关 21. 如图所示，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是 DAB60且边长为 a的菱形，侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G为 AD边的
11、中点，求证： BG平面 PAD； (2)求证： AD PB； (3)若 E为 BC边的中点，能否在棱 PC上找到一点 F，使平面 DEF平面 ABCD，并证明 你的结论 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）证明 BGAD，通过平面与平面垂直的性质，即可证明 BG平面 PAD （2）连接 PG，证明 PGAD ，通过 BGAD，证明 AD 平面 PGB，然后证明 ADPB （3）当 F 为 PC 边的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD，证明如下：取 PC 的中点 F， 连接 DE、EF、DF， 通过证明 BGPG ，PGAD， ADBG=G，PG平面
12、 ABCD，即可证明平面 DEF平面 ABCD 试题解析：. (1)证明：在菱形 ABCD中， DAB60， G为 AD的中点， BG AD， 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD. BG平面 PAD. (2)证明：连接 PG，由 PAD为正三角形， G为 AD的中点，得 PG AD， 由(1)知 BG AD， PG BG G， PG 平面 PGB， BG 平面 PGB， AD平面 PGB. PB 平面 PGB， AD PB. (3)当 F为 PC的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD. 取 PC的中点 F，连接 DE， EF， DF， 在 PBC中， FE PB，
13、 EF平面 PBG. 在菱形 ABCD中， GB DE， DE平面 PBG， FE 平面 DEF， DE 平面 DEF， EF DE E，平面 DEF平面 PGB， 由(1)得： PG平面 ABCD，而 PG 平面 PGB，平面 PGB平面 ABCD， 平面 DEF平面 ABCD. 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. （4）证明面面垂直，需转化为线面垂直. 请考生在第（a） 、 （b）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分
14、，把答案填在答题卡上 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知倾斜角为 的直线 l 经过点 P（1，1） （I）写出直线 l 的参数方程； （）设直线 l 与 的值。 【答案】 （1） ；（2）2. 试题解析：解：（）直线 的参数方程为 ，即 4 分 （）将 代入 ，化简整理得： 6 分 所以， 7 分 因为直线 经过圆心，所以， 8 分 所以， = 10 分. 考点：1.直线和圆的方程；2.参数方程和一般方程的转化 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （I）求 的最大值； （）若关于 x 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】 （1）4；（2） . 【解析】试题分析：（）依题意有： ，令 ，由基本不等式， 即可求出 的最大值；（）由（）知， 的最大值为 4，又因为关于 的不等 式 有解，所以， ，解绝对值不等式，即可求出结果. 试题解析：解：（）依题意有： ，令 ， 则 ，所以， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最大值为 4. 5 分 （）由（）知， 的最大值为 4，又因为关于 的不等式 有解， 所以， ，解得， ，即 . 10 分 考点：1.基本不等式的应用；2.恒成立问题；3.绝对值不等式的解法.
