1、湖北省恩施州恩施市 2014-2015 学年九年级（上）期末数学试 卷（解析版） 一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置 填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题 3 分，计 45 分） 1图案能分成两个全等形且是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列运动形式属于旋转的是（ ） A钟表上钟摆的摆动 B投篮过程中球的运动 C“神十”火箭升空的运动 D传动带上物体位置的变化 3一元二次方程 x2+2x3=0 各项系数之和是（ ） A1 B1 C0 D2 4下列事件中发生的可能性为 0 的是（ ） A今天宜昌市最高气温为 80 B抛一枚均匀硬币，落地后
2、正面朝上 C路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦） D不透明袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球 5用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上 4 的是（ ） Ax 22x=5 Bx 2+4x=5 Cx 2+2x=5 D2x 24x=5 6如图，将直角三角板 60角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与O 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合），则 APB=（ ） A15 B30 C45 D60 7从 n 个苹果和 4 个雪梨中，任选 1 个，若选中苹果的概率是 ，则 n 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 8一元二次
3、方程 x2=1 的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 9如图，已知O 的半径为 13，点 O 到 AB 的距离是 5，则弦 AB 长为（ ） A10 B12 C24 D26 10如图，在直角OAB 中，AOB=30 ，OA=2，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 n得到 OAB，则AOB、OA大小分别为（ ） An，1 Bn，2 Cn 30，1 Dn 30，2 11一个多边形有五条对角线，则这个多边形的边数为（ ） A8 B7 C6 D5 12已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点 M（2
4、，y 1），N（1，y 2），也在该二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是 （ ） Ay 1=y2 By 1y 2 Cy 1y 2 Dy 1y 2 13绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率估计值是 （ ） A0.96 B0.95 C0.94 D0.90 14一个滑轮起重装置如图所示，假设绳索与滑轮之间没有
5、滑动，滑轮的一条半径 OA 绕 轴心 O 按逆时针方向旋转的角度为 54，此时重物上升 3cm，滑轮的半径是（ ） A5cm B10cm C15cm D20cm 15从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 h（米）与小球运动时间 t（秒）的函数关系 式是 y=9.8t4.9t2，那么小球运动中的最大高度为（ ） A9.8 米 B4.9 米 C1 米 D0.6125 米 二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置本大题共有 9 小题，计 75 分） 16解方程：3x=x（x+1） 17如图 44 的正方形网格中，将MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M 1N1P1，试用 尺规作图法确定旋转中心 A
6、 点（保留作图痕迹，标出 A 点） 18y 随 x 变化的部分数值规律如下表： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式 19如图，在 RtABC 中，C=90，AC=10，BC=24，O 的半径为 6，当圆心 O 与 C 重合时，试判断O 与 AB 的位置关系 20如图，点 P、Q 分别为矩形 ABCD 中 AB、BC 上两点， AB=18cm、AD=4cm，AP=2x，BQ=x ，设PBQ 的面积为 y（cm 2） （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）求PBQ 的面积取值范围 21为了解本校留守学生的实际情况，老师对各班留守学生的
7、人数进行了统计，发现全校 各班只有 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个共五种情况，据此制成了如下一幅不完整的条形统 计图初学统计的小冲随后据老师的条形图画出了如下扇形统计图，并标出数据 20% （1）你认为上述扇形统计图中标注的数据 20%是否正确？说明你的理由 （2）某福利机构决定从只有 2 名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用树状 图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自同一班级的概率 22（10 分）（2014 秋 伍家岗区期末）并购重组已成为企业快速发展的重要举措创办 于 2013 年 1 月原始资产为 5000 万元/年均资产增长率为 10%的某汽车制造企业与创办于
8、2014 年 1 月年资产增长率为 x%的某地图导航企业在 2015 年 1 月资产、资源得以完美组合， 数据统计资产达到 7200 万元重组后预计新企业将以高出重组前地图导航企业年资产增长 率 5 个百分点的速度发展，2017 年 1 月资产有望达到 10368 万元 （1）用含 x 的代数式表示 2016 年 1 月新企业的资产； （2）求地图导航企业 2014 年 1 月的原始资产 23（11 分）（2014 秋 伍家岗区期末）已知：如图 1，点 A 在半圆 O 上运动（不与半圆 的两个端点重合），以 AC 为对角线作矩形 ABCD，使点 D 落在直径 CE 上，CE=5，将 ADC 沿
9、 AC 折叠，得到 AD C （1）求证：AD是半圆的切线； （2）如图 2，当 AB 与 CD的交点 F 恰好在半圆 O 上时，连接 OA 求证：四边形 AOCF 是菱形； 求四边形 AOCF 的面积； （3）如图 3，CD与半圆 O 交于点 G，若 AC=2 ，AD=2，求 AD+DG 值 24（12 分）（2014 秋 伍家岗区期末）已知直线 y=x2t 与抛物线 y=a（xt） 2+k（a0，t 0，a，t，k 为已知数），在 t=2 时，直线刚好经过抛物线的顶点 （1）求 k 的值 （2）t 由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当 t 大于正数 m 时，无论自变 量 x 取
10、何值，y=x 2t 的值总小于 y=a（xt） 2+k 的值，试求 a 与 m 的关系式 （3）当 0tm 时，设直线与抛物线的两个交点分别为 A，B ，在 a 为定值时，线段 AB 的长度是否存在最大值？若有，请求出相应的 t 的取值；若没有，请说明理由 2014-2015 学年湖北省恩施州恩施市九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置 填涂符合要求的选项前面的字母代号，每小题 3 分，计 45 分） 1图案能分成两个全等形且是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；全等图形 【分析】
11、根据全等图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是全等图形，也是中心对称图形故正确； B、不是全等图形，也不是中心对称图形故错误； C、是全等图形，不是中心对称图形故错误； D、是全等图形，不是中心对称图形故错误 故选 D 【点评】本题考查了中心对称图形与全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等 图形；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2下列运动形式属于旋转的是（ ） A钟表上钟摆的摆动 B投篮过程中球的运动 C“神十”火箭升空的运动 D传动带上物体位置的变化 【考点】生活中的旋转现象 【分析】根据旋转的定义分别判断得出即可 【解答】解：A、钟摆的摆动，属
12、于旋转，故此选项正确； B、投篮过程中球的运动，也有平移，故此选项错误； C、“神十”火箭升空的运动，也有平移，故此选项错误； D、传动带上物体位置的变化，也有平移，故此选项错误 故选：A 【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键 3一元二次方程 x2+2x3=0 各项系数之和是（ ） A1 B1 C0 D2 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二 次项系数，一次项系数，常数项 【解答】解：一元二次方程 x2+2x3=0 的二次项系数，一次项系数，常数项分别为 1，2，3， 1+23=
13、0 ， 故选，C 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关 键 4下列事件中发生的可能性为 0 的是（ ） A今天宜昌市最高气温为 80 B抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上 C路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦） D不透明袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球 【考点】可能性的大小 【分析】根据事件发生的可能性既不是 0，也不是 100%的事件就是可能发生也可能不发生 的事件，即不确定事件，从而得出答案 【解答】解：A、今天宜昌市最高气温为 80是不可能事件，可能性为 0； B、抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件； C、路边
14、抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）是必然事件，可能性为 1； D、不透明袋子中放了大小相同的兵兵球和金属球，从中去摸取出兵兵球是随机事件； 故选 A 【点评】此题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机 事件的概念必然事件发生的概率为 1，即 P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为 0，即 P（不可能事件）=0 ；如果 A 为不确定事件，那么 0P（A）1 5用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加上 4 的是（ ） Ax 22x=5 Bx 2+4x=5 Cx 2+2x=5 D2x 24x=5 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】配方法的一般步
15、骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 【解答】解：A、因为本方程的一次项系数是 2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的 平方 1；故本选项错误； B、因为本方程的一次项系数是 4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 4；故本 选项正确； C、因为本方程的一次项系数是 2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方 1；故本 选项错误； D、将该方程的二次项系数化为 1x22x= ，所以本方程的一次项系数是 2，所以等式两边 同时加上一次项系数一半的平方 1；故本选项错误； 故选 B 【点评】此题考查了配方法解一元
16、二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用 配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 6如图，将直角三角板 60角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角边分别与O 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合），则 APB=（ ） A15 B30 C45 D60 【考点】圆周角定理 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心 角的一半，即可得出答案 【解答】解：由题意得，AOB=60， 则APB= AOB=30 故选 B 【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定
17、理的内容 7从 n 个苹果和 4 个雪梨中，任选 1 个，若选中苹果的概率是 ，则 n 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 【考点】概率公式 【分析】利用选中苹果的概率公式列出方程求解即可 【解答】解：根据概率公式 = ， 解得：n=4 故选 A 【点评】考查了概率的公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 8一元二次方程 x2=1 的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出0 时，方程有两个不相等的实数根，当 =0 时，方程有两个相等的实数根，当0 时，方程没有实数
18、根确定住 a，b，c 的值， 代入公式判断出的符号 【解答】解：x 2=1， x21=0， =b 24ac=04（ 1）=40， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的应用在中考中是热点问 题，特别注意运算的正确性 9如图，已知O 的半径为 13，点 O 到 AB 的距离是 5，则弦 AB 长为（ ） A10 B12 C24 D26 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】过点 O 作 ODAB 于点 D，则 AB=2AD，再由勾股定理求出 AD 的长，进而可 得出结论 【解答】解：过点 O 作 ODAB 于点 D，则 AB=2AD， O 的
19、半径为 13，点 O 到 AB 的距离是 5， AD= = =12， AB=2AD=24 故选 C 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的 关键 10如图，在直角OAB 中，AOB=30 ，OA=2，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 n得到 OAB，则AOB、OA大小分别为（ ） An，1 Bn，2 Cn 30，1 Dn 30，2 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质得AOA=n，OA=OA=2，然后利用AOB=AOA AOB 求 解 【解答】解：OAB 绕点 O 逆时针旋转 n得到OAB ， AOA =n，OA=OA=2 ， AOB= AOAAOB
20、=n30 故选 D 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等旋转有三要素：旋转中心； 旋转方向； 旋转角度 11一个多边形有五条对角线，则这个多边形的边数为（ ） A8 B7 C6 D5 【考点】多边形的对角线 【分析】根据 n 边形的对角线公式 进行计算即可得解 【解答】解：设多边形的边数为 n，则 =5， 整理得 n23n10=0， 解得 n1=5，n 2=2（舍去） 所以这个多边形的边数是 5 故选：D 【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键 12已知二次函数 y=ax2+bx+c 的
21、图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）若点 M（2，y 1），N（1，y 2），也在该二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是 （ ） Ay 1=y2 By 1y 2 Cy 1y 2 Dy 1y 2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】利用点 A 和点 B 的坐标特征得到抛物线的对称轴为直线 x=2，再加上抛物线过 C 点，则可判断抛物线开口向上，然后通过比较点 M 和点 N 到直线 x=2 的距离远近得到 y1 与 y2 的大小关系 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）， 抛物线的对称轴为直线
22、 x=2，且抛物线开口向上， 点 M（2，y 1）比点 N（1，y 2）离直线 x=2 要远， y 1y 2 故选 C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析 式也考查了二次函数的性质 13绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950 则绿豆发芽的概率估计值是 （ ） A0.96 B0.95 C0.94 D0.9
23、0 【考点】利用频率估计概率 【分析】本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往 误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法 【解答】解： =（96+282+382 +570+948+1912+2850） （100+300+400+600+1000+2000+3000）0.95， 当 n 足够大时，发芽的频率逐渐稳定于 0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值 是 0.95 故选 B 【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为： 频率=所求情况数与总情况数之比 14一个滑轮起重装置如图所示，假设绳索与滑轮之
24、间没有滑动，滑轮的一条半径 OA 绕 轴心 O 按逆时针方向旋转的角度为 54，此时重物上升 3cm，滑轮的半径是（ ） A5cm B10cm C15cm D20cm 【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式求解即可 【解答】解：l= ， r= =10 故选 B 【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式 l= 15从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 h（米）与小球运动时间 t（秒）的函数关系 式是 y=9.8t4.9t2，那么小球运动中的最大高度为（ ） A9.8 米 B4.9 米 C1 米 D0.6125 米 【考点】二次函数的应用 【分析】把抛物线解析式化成顶点式，即可
25、解答 【解答】解：h=9.8t 4.9t2=4.9（t 1） 2+1 当 t=1 时，函数的最大值为 4.9 米， 这就是小球运动最大高度 故选 B 【点评】本题涉及二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型， 难度中等 二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置本大题共有 9 小题，计 75 分） 16解方程：3x=x（x+1） 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】首先移项，进一步利用提取公因式法分解因式求得方程的解即可 【解答】解：3x=x（x+1）， 3xx（x +1）=0， x（3x 1）=0， x（2x） =0， x=0，2 x=0， x1=0，x 2=
26、2 【点评】此题考查利用因式分解法解一元二次方程，掌握提取公因式法是解决本题的关 键 17如图 44 的正方形网格中，将MNP 绕某点旋转一定的角度，得到M 1N1P1，试用 尺规作图法确定旋转中心 A 点（保留作图痕迹，标出 A 点） 【考点】作图-旋转变换 【分析】利用关于点对称图形的性质得出对应点到旋转中心的距离相等，进而作出对应点 连线的垂直平分线进而得出其交点 【解答】解：如图所示；A 点即为所求 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换，利用关于点对称的图形性质得出是解题关键 18y 随 x 变化的部分数值规律如下表： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 求二次函数 y=a
27、x2+bx+c 的解析式 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据待定系数法即可求得函数的解析式即将表中的 x 与 y 的对应的 3 组值代入 y=ax2+bx+c，然后解方程组即可 【解答】解：把（1，0），（ 0，3），（3，0）代入 y=ax2+bx+c，得： ， 解得： ， 所以二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式为： y=x2+2x+3 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的性质，解题的关键是： 正确解出三元一次方程组 19如图，在 RtABC 中，C=90，AC=10，BC=24，O 的半径为 6，当圆心 O 与 C 重合时，试判断O 与 AB 的
28、位置关系 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】作 CDAB 于 D，如图先利用勾股定理计算出 AB=26，再利用面积法计算出 CD= ，当圆心 O 与 C 重合时，OD= ，然后根据直线和圆的位置关系，通过比较 OD 与半径的大小来确定O 与 AB 的位置关系 【解答】解：作 CDAB 于 D，如图， C=90 ，AC=10，BC=24 ， AB= =26， CDAB= ACBC， CD= = ， 当圆心 O 与 C 重合时，OD= 6， 即圆心 O 到 AB 的距离大于圆的半径， AB 与O 相离 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，
29、则直线 l 和O 相交dr；直线 l 和O 相切d=r；直线 l 和O 相离dr 20如图，点 P、Q 分别为矩形 ABCD 中 AB、BC 上两点， AB=18cm、AD=4cm，AP=2x，BQ=x ，设PBQ 的面积为 y（cm 2） （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）求PBQ 的面积取值范围 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）分别表示出 PB、BQ 的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值，从而确定三角形的面 积的最值 【解答】解：（1）S PBQ= PBBQ，PB=AB AP=182x，BQ=x，
30、y= （182x ）x， 即 y=x2+9x（0x4）； （2）由（1）知：y= x2+9x， y=（ x ） 2+ ， 当 0x 时，y 随 x 的增大而增大， 而 0x4， 当 x=4 时，y 最大值 =20， 即PBQ 的取值范围 0x20 【点评】本题考查了矩形的性质及二次函数的应用，二次函数的最值问题，根据题意表示 出 PB、 BQ 的长度是解题的关键 21为了解本校留守学生的实际情况，老师对各班留守学生的人数进行了统计，发现全校 各班只有 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个共五种情况，据此制成了如下一幅不完整的条形统 计图初学统计的小冲随后据老师的条形图画出了如下扇形统计图，并
31、标出数据 20% （1）你认为上述扇形统计图中标注的数据 20%是否正确？说明你的理由 （2）某福利机构决定从只有 2 名留守学生的这些班级中任选两名进行生活资助，请用树状 图或列表的方法，求出所选两名留守学生来自同一班级的概率 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图 【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计的图的关系，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两名留守学生 来自同一班级的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）不正确 理由：因为条形统计图不完整，不知道全校的班级个数，则不能求得扇形统计图中各部分 的百分比； （2）
32、从条形统计图中可知共有 4 个学生，分别用 A1、A 2 表示一个班的两个学生，用 B1、B 2 表示另一个班的两个学生， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，所选两名留守学生来自同一班级的有 4 种情况， 所选两名留守学生来自同一班级的概率为： = 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识 点为：概率=所求情况数与总情况数之比 22（10 分）（2014 秋 伍家岗区期末）并购重组已成为企业快速发展的重要举措创办 于 2013 年 1 月原始资产为 5000 万元/年均资产增长率为 10%的某汽车制造企业与创办于 2014 年 1 月年资产增长率为
33、x%的某地图导航企业在 2015 年 1 月资产、资源得以完美组合， 数据统计资产达到 7200 万元重组后预计新企业将以高出重组前地图导航企业年资产增长 率 5 个百分点的速度发展，2017 年 1 月资产有望达到 10368 万元 （1）用含 x 的代数式表示 2016 年 1 月新企业的资产； （2）求地图导航企业 2014 年 1 月的原始资产 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）根据 2015 年 1 月资产和重组后预计新企业将以高出重组前地图导航企业年 资产增长率 5 个百分点的速度发展，列出代数式即可； （2）根据（1）列出的代数式和 2017 年 1 月资产有望达到 10
34、368 万元，列出方程，求出 x 的值，再列式计算即可 【解答】解：（1）用含 x 的代数式表示 2016 年 1 月新企业的资产为：72001+（x+5）% ； （2）根据题意得： 72001+（x+5）% 2=10368， 解得：x=15 则地图导航企业 2014 年 1 月的原始资产是：72005000（1+10%） 2（1+15%） =1000（万元） 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 23（11 分）（2014 秋 伍家岗区期末）已知：如图 1，点 A 在半圆 O 上运动（不与半圆 的两个端点
35、重合），以 AC 为对角线作矩形 ABCD，使点 D 落在直径 CE 上，CE=5，将 ADC 沿 AC 折叠，得到 AD C （1）求证：AD是半圆的切线； （2）如图 2，当 AB 与 CD的交点 F 恰好在半圆 O 上时，连接 OA 求证：四边形 AOCF 是菱形； 求四边形 AOCF 的面积； （3）如图 3，CD与半圆 O 交于点 G，若 AC=2 ，AD=2，求 AD+DG 值 【考点】圆的综合题 【分析】（1）连接 OA，由折叠的性质得出1=2，由矩形的性质和等腰三角形的性质 得出1+2+3=90 ，即 OAD=90，即可得出结论； （2）由折叠的性质得出1=2，D =ADC=9
36、0，由矩形的性质和等腰三角形的性 质得出3=4，由 ASA 证明AFCAOC，得出对应边相等 AF=OA，得出 AF=CF=OA=OC，即可得出结论； 由弦切角定理得出DAF=1，证出3=4=30 ，得出 OD= OA= ，得出 AD= OD，菱形 AOCF 的面积=OCAD，即可得出结果； （3）由折叠的性质得出 AD=AD=2，CD=CD，由勾股定理求出 CD，得出 CD，再由切 割线定理求出 DG，即可得出结果 【解答】（1）证明：连接 OA，如图 1 所示： 由折叠的性质得：1=2， 四边形 ABCD 是矩形， ADC=90， 1+DCA=90， OA=OC， OAC=DCA， 即1+
37、3=DCA， 1+1+3=90 ， 1+2+3=90 ， 即OAD =90， ADOA ， AD是半圆的切线； （2）证明：如图 2 所示： 由折叠的性质得：1=2，D=ADC=90， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD ， 3=2， 1=3， AF=CF， OA=OC， 2=4， 3=4， 在AFC 和 AOC 中， ， AFC AOC（ASA）， AF=OA， AF=CF=OA=OC， 四边形 AOCF 是菱形； 解：AD 是半圆 O 的切线， DAF=1， DAF=3=4， 四边形 AOCF 是菱形， OACF ， OAD +D =180， OAD =90， 3=4=30， OA=OC
38、= CE= ， OD= OA= ， AD= OD= ， 菱形 AOCF 的面积=OCAD= = ； （3）解：由折叠的性质得：AD=AD=2，CD=CD， ADC=90， CD= = =4， CD=4， 由切割线定理得：AD 2=DGCD， 即 22=DG4， DG=1， AD+D G=2+1=3 【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定方法、折叠的性质、矩形的性质、全等 三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等知识；本题综合性 强，难度较大，特别是（2）中，需要证明三角形全等和运用弦切角定理才能得出结果 24（12 分）（2014 秋 伍家岗区期末）已知直线 y=x
39、2t 与抛物线 y=a（xt） 2+k（a0，t 0，a，t，k 为已知数），在 t=2 时，直线刚好经过抛物线的顶点 （1）求 k 的值 （2）t 由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当 t 大于正数 m 时，无论自变 量 x 取何值，y=x 2t 的值总小于 y=a（xt） 2+k 的值，试求 a 与 m 的关系式 （3）当 0tm 时，设直线与抛物线的两个交点分别为 A，B ，在 a 为定值时，线段 AB 的长度是否存在最大值？若有，请求出相应的 t 的取值；若没有，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）由抛物线的顶点式，可以得知抛物线的对称轴以及顶点坐标，将 t=
40、2 代入直 线，并将抛物线的顶点坐标代入直线中，即可求得 k 的值； （2）将 y=x2t 代入 y=a（xt） 2+k 中，得到关于 x 的一元二次方程，由根的判别式即可得 知 t 的取值范围，从而得出 m 的值； （3）联立（2）中的关于 x 的一元二次方程，当两根之差最大时，线段 AB 长度最大，从 而可得出线段 AB 的长度最大时 t 的值 【解答】解：（1）抛物线 y=a（xt ） 2+k 的对称轴为 x=t，顶点坐标为（t，k） 当 t=2 时，直线 y=x2t=x4 过点（2，k）， k=24 ，即 k=2 （2）将 y=x2t 代入 y=a（xt） 22 中，得： x2t=a（
41、 xt） 2+k，即 ax2（2at+1）x+at 2+2t2=0， 若要 y=x2t 的值总小于 y=a（ xt） 22 的值， 则有=（2at+1） 24a（at 2+2t2）0， 即 4at8a+1， a0， t2+ 当 t 大于正数 m 时，无论自变量 x 取何值，y=x2t 的值总小于 y=a（x t） 2+k 的值， m=2+ （3）过点 A 做 x 轴的平行线 l，过点 B 作 y 轴的平行线交 l 于点 C，则有 BCAC，如图 所示， AB= ，BAC 为定值， 当 AC 最大时，AB 也最大 将 y=x2t 代入 y=a（xt） 22 中，得： ax2（2at+1）x+at
42、 2+2t2=0， 当 0tm 时，0，即方程 ax2（2at+1）x+at 2+2t2=0 有两个不相等的根， 解得 x1= ，x 2= ， AC=x2x1= a 为定值， 当 AB 最大时，=8a+14at 最大， 由=8a+1 4at 在 0tm 内的单调性可知，当 t=0 时，最大 故当 t=0 时，线段 AB 的长度最大 直线 AB 的解析式为 y=x2t，直线 ACx 轴， tanBAC=1 ， BAC=45 当 a=0 时，AC= = ，AB= = 故 a 为定值时，线段 AB 的长度存在最大值 ，此时 t 的取值为 0 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是：（1）找到抛物线的顶点坐标， 代入直线解析式；（2）将 y=x2t 代入 y=a（xt） 2+k 中，得到关于 x 的一元二次方程，令 根的判别式小于 0；（3）将 y=x2t 代入 y=a（xt） 2+k 中，得到关于 x 的一元二次方程， 表示出来两根，找两根之差最大
