1、第 1 页（共 22 页） 2015-2016 学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题 1复数 为纯虚数，则实数 a=（ ） A2 B C2 D 2 “不等式 x2x+m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） Am B0m1 Cm 0 Dm1 3下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ） Af（x）=3 x Bf（x）= Cf（x）=x 23x Df （x）= |x| 4阅读如图程序框图，其中 n0N若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数 n0 的所有可能的值为（ ） A2，3，4 B2 C2， 3 D3，4 5设函数 f（x）= ，则满足 f（x
2、） 2 的 x 的取值范围是（ ） A1， 2 B0，2 C1，+） D0，+ ） 第 2 页（共 22 页） 6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2，则正（主）视图的面积等于（ ） A2 B C D3 7 （x+ ） （2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 x2 项为（ ） A0 B80x 2 C80x 2 D160x 2 8已知两点 A（1，0） ，B（1， ） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC=120， 设 =2 ， （R） ，则 等于（ ） A1 B2 C1 D2 9已知函数 f（x）=sin x+cosx（0）在（ ，）上单调递减，则
3、的取值范围是 （ ） A ， B ， C （0， D （0，2 10已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC， ，AB=1 ，AC=2，BAC=60，则球 O 的表面积为 （ ） A4 B12 C16 D64 11已知 F1，F 2 分别是双曲线 =1 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 两支分别交于 A、B 两点若ABF 2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 12已知函数 f（x）=x 33x，过点 A（1，m） （m 2）可作曲线 y=f（x）的三条切线，则 m 的取值范围（ ） A （3， 2） B （ 2，3）
4、C （ 2，1） D （1，1） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 第 3 页（共 22 页） 13若抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 5，则点 M 的横坐标为 14袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 1 只白球，2 只红球，2 只黄球，从中一次随 机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 15x，y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为 16若 tan=3tan37，则 的值是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）. 17已知等差数列a n
5、的前 n 项和为 Sn，公差 d=2，S 10=120 （1）求 an； （2）若 bn= ，求数列b n的前 n 项和为 Tn 18在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，若 B= ，且 a2b2c2= bc （1）求 cosC 的值 （2）若 a=5，求ABC 的面积 19某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （）求 y 关于 t
6、的线性回归方程； （）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = 20如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD 且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点 （1）求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 （2）在线段 AN 上是否存在点 F，使得 FE 与平面 AMN 所成角为 30，若存在，求线段 AF 的长；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 22 页） 21已知椭圆 C
7、的左、右焦点分别为 F1，F 2，椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦，且 ，求PF 1Q 内切圆面积最大时实数 的值 22已知函数 f（x）=（2 a）x2lnx +a2，g（x）=xe 1x （1）若函数 f（x）在区间（ 0， ）无零点，求实数 a 的最小值 （2）若对任意给定的 x0（ 0，e ，方程 f（x）=g（x 0）在（0，e上总存在两个不等的实 根，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 22 页） 2015-2016 学年山西省运城市高三（上）期末数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1复数
8、为纯虚数，则实数 a=（ ） A2 B C2 D 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 【解答】解：复数 = = 为纯虚数， 2a1=0，2+a 0， 解得 a= 故选：D 2 “不等式 x2x+m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） Am B0m1 Cm 0 Dm1 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】根据“不等式 x2x+m0 在 R 上恒成立”，令 f（x）=x 2x+m，开口向上，根据判别 式0，求出 m 的范围，根据充分必要条件的定义，进行求解； 【解答】解：“不等式 x2x+m0 在 R 上恒成立”， =（
9、1） 24m0，解得 m ， A、A 是充要条件，故 A 错误； B、因为 m 推不出 0m1，故 B 错误； C、m m0，反之不能推出，故 C 正确； D、m1m ，所以 m1 是“不等式 x2x+m0 在 R 上恒成立”的充分不必要条件， 故 D 错误； 故选 C； 第 6 页（共 22 页） 3下列四个函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ） Af（x）=3 x Bf（x）= Cf（x）=x 23x Df （x）= |x| 【考点】函数单调性的判断与证明 【分析】根据一次函数、二次函数及增函数的定义便可判断每个选项函数在（0，+）上 的单调性，从而找出正确选项 【解答】解：Af（x）=
10、3x 在（0，+）上为减函数，该选项错误； Bx（0，+） ，x 增大时， 减小， 增大，即 f（x）增大； 在（0，+）上为增函数，该选项正确； Cf（x）=x 23x 的对称轴为 x= ，x 在（0， ）上单调递减； 该函数在（0，+）上不是增函数，该选项错误； Dx0 时，f（x）=|x|= x； f（x）在（0，+）上为减函数， 该选项错误 故选：B 4阅读如图程序框图，其中 n0N若输出的结果中，只有三个自然数，则输入的自然数 n0 的所有可能的值为（ ） 第 7 页（共 22 页） A2，3，4 B2 C2， 3 D3，4 【考点】程序框图 【分析】根据程序框图，理解程序框图的功能
11、进行判断即可 【解答】解：若 m= N，则 m=10，5，4，2， 若 n0=1，则 n 从 2 开始，此时 =10， =5， =4， =2，输，4 个整数，满足条件， 若 n0=2，则 n 从 3 开始，此时 =5， =4， =2，输出 3 个整数，满足条件， 若 n0=3，则 n 从 4 开始，此时 =5， =4， =2，输出 3 个整数，满足条件， 若 n0=4，则 n 从 5 开始，此时 =4， =2，输出 2 个整数，不满足条件， 故输入的自然数 n0 的所有可能的值为 2，3， 故选：C 5设函数 f（x）= ，则满足 f（x） 2 的 x 的取值范围是（ ） A1， 2 B0，2
12、 C1，+） D0，+ ） 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【分析】分类讨论：当 x1 时； 当 x1 时，再按照指数不等式和对数不等式求解， 最后求出它们的并集即可 【解答】解：当 x1 时，2 1x2 的可变形为 1x1，x 0， 0x1 当 x1 时，1log 2x2 的可变形为 x ， x1， 故答案为0，+） 故选 D 6某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 2，则正（主）视图的面积等于（ ） 第 8 页（共 22 页） A2 B C D3 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为 x，底面是直角梯形且自己梯形 的两底边分别为 1，2
13、，高为 2，根据几何体的体积是 2 求出 x，再根据正视图为直角三角 形求出其面积 【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为 x，底面是直角梯形且自己 梯形的两底边分别为 1，2，高为 2， 几何体的体积 V= 2x=2x=x=2 正（主）视图的面积 S= 22=2 故选 A 7 （x+ ） （2x ） 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 x2 项为（ ） A0 B80x 2 C80x 2 D160x 2 【考点】二项式系数的性质 【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为 2，故可以令 x=1，建立 a 的方程，解出 a 的值，然后写出（2x ） 5 的展开式的通
14、项，进一步求得展开式中含 x2 项 【解答】解：令 x=1，则有 1+a=2，得 a=1，故二项式为（x+ ） （2x ） 5， （2x ） 5 的展开式的通项为 = ， 则展开式（x+ ） （2x ） 5 中含 x2 项为 故选：A 8已知两点 A（1，0） ，B（1， ） ，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC=120， 设 =2 ， （R） ，则 等于（ ） A1 B2 C1 D2 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【分析】根据已知条件可以求出 C 点坐标 C（ ） ，再根据AOC=120 ，便 有 tan120= = ，所以解得 =1 【解答】解： ； 即 ，又AOC=120
15、所以： 第 9 页（共 22 页） ，解得 =1 故选 C 9已知函数 f（x）=sin x+cosx（0）在（ ，）上单调递减，则 的取值范围是 （ ） A ， B ， C （0， D （0，2 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】求出 f（x）的单调减区间 A，令（ ，）A，解出 的范围 【解答】解：f（x）= sin（x+ ） ，令 ，解得 x ，k Z 函数 f（x）=sin x+cosx（0）在（ ，）上单调递减， ，解得 +2k，kZ当 k=0 时， 故选 A 10已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC， ，AB=1 ，AC=2
16、，BAC=60，则球 O 的表面积为 （ ） A4 B12 C16 D64 【考点】球的体积和表面积 【分析】由三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC， ，AB=1 ，AC=2，BAC=60，知 BC= ，ABC=90 故ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 r= =1，由此能求出球 O 的半径，从而能求出球 O 的表面积 【解答】解：如图，三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA平面 ABC， ，AB=1 ，AC=2，BAC=60 ， BC= = ， ABC=90 第 10 页（共 22 页） ABC 截球 O 所得的圆 O的半径 r= =1， 球
17、 O 的半径 R= =2， 球 O 的表面积 S=4R2=16 故选 C 11已知 F1，F 2 分别是双曲线 =1 的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右 两支分别交于 A、B 两点若ABF 2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A2 B C D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】根据双曲线的定义算出AF 1F2 中，|AF 1|=2a，|AF 2|=4a，由ABF 2 是等边三 角形得F 1AF2=120，利用余弦定理算出 c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线 C 的离心率 【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF 1|BF2|=2a， ABF 2 是等边三角
18、形，即|BF 2|=|AB| |BF 1|BF2|=2a，即|BF 1|AB|=|AF1|=2a 又|AF 2|AF1|=2a， |AF 2|=|AF1|+2a=4a， AF 1F2 中，|AF 1|=2a，| AF2|=4a，F 1AF2=120 |F 1F2|2=|AF1|2+|AF2|22|AF1|AF2|cos120 即 4c2=4a2+16a222a4a（ ）=28a 2，解之得 c= a， 由此可得双曲线 C 的离心率 e= = 故选：B 第 11 页（共 22 页） 12已知函数 f（x）=x 33x，过点 A（1，m） （m 2）可作曲线 y=f（x）的三条切线，则 m 的取值
19、范围（ ） A （3， 2） B （ 2，3） C （ 2，1） D （1，1） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究 函数的极值 【分析】先将过点 A（1，m） （m 2）可作曲线 y=f（x）的三条切线转化为：方程 2x33x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记 g（x）=2x 33x2+m+3，g（x）=6x 26x=6x（x1） ， 下面利用导数研究函数 g（x）的零点，从而求得 m 的范围 【解答】解：由题意得：f（x）=3x 23，设切点为（x 0，y 0） ， 则切线的斜率 k=3x023= = ， 即 2x033x02+m+3，由条
20、件知该方程有三个实根， 方程 2x33x2+m+3=0（*）有三个不同实数根， 记 g（x）=2x 33x2+m+3，g（ x）=6x 26x=6x（x 1） 令 g（x）=0， x=0 或 1， 则 x，g（x） ，g（x）的变化情况如下表 x （，0 ） 0 （0，1） 1 （1，+） g（x） + 0 0 + g（x） 递增 极大 递减 极小 递增 当 x=0，g（x）有极大值 m+3；x=1，g（x）有极小值 m+2， 由题意有，当且仅当 即 时， 函数 g（x）有三个不同零点， 第 12 页（共 22 页） 此时过点 A 可作曲线 y=f（x）的三条不同切线故 m 的范围是（3， 2
21、） 故选 A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 5，则点 M 的横坐标为 4 【考点】抛物线的简单性质 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可 【解答】解：抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=1， 抛物线 y2=4x 上点到焦点的距离等于 5， 根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离， 可得所求点的横坐标为 4 故答案为：4 14袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 1 只白球，2 只红球，2 只黄球，从中一次随 机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 【考点】列举法
22、计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】这 2 只球颜色不同的对立事件是两只球颜色不同，由此能求出这 2 只球颜色不同 的概率 【解答】解：袋中有形状、大小都相同的 5 只球，其中 1 只白球，2 只红球，2 只黄球， 从中一次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n= =10， 这 2 只球颜色不同的对立事件是两只球颜色不同， 这 2 只球颜色不同的概率： p=1 = 故答案为： 15x，y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为 2 或1 【考点】简单线性规划 【分析】由题意作出其平面区域，将 z=yax 化为 y=ax+z，z 相当于直线 y=ax+z
23、的纵截距， 由几何意义可得 【解答】解：由题意作出其平面区域， 第 13 页（共 22 页） 将 z=yax 化为 y=ax+z，z 相当于直线 y=ax+z 的纵截距， 由题意可得，y=ax+z 与 y=2x+2 或与 y=2x 平行， 故 a=2 或 1； 故答案为：2 或1 16若 tan=3tan37，则 的值是 2 【考点】三角函数的化简求值 【分析】由条件利用诱导公式，同角三角函数的基本关系化简所给的式子，求得要求式子 的值 【解答】解：tan=3tan37，则 = = = = =2， 故答案为：2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
24、程）. 17已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，公差 d=2，S 10=120 （1）求 an； （2）若 bn= ，求数列b n的前 n 项和为 Tn 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式 第 14 页（共 22 页） 【分析】 （1）通过公差 d=2 可知 S10=10a1+ 2=120，进而可知数列a n是以 3 为首 项、2 为公差的等差数列，计算即得结论； （2）通过（1）可知 an=2n+1，通过分母有理化、裂项可知 bn= （ ） ，并项 相加即得结论 【解答】解：（1）依题意，S 10=10a1+ 2=120， 解得：a 1=3， 数列a n是以 3 为首项、2 为公差
25、的等差数列， a n=3+2（n 1）=2n+1； （2）由（1）可知 an=2n+1， b n= = = = （ ） ， T n= （ + + ） = （ ） 18在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别是 a，b，c，若 B= ，且 a2b2c2= bc （1）求 cosC 的值 （2）若 a=5，求ABC 的面积 【考点】余弦定理；正弦定理 【分析】 （1）由余弦定理可得：cosA= ，可得 sinA= ，可得 cosC=cos（A+ B）=cosAcosB sinAsinB （2）由（1）可得：sinC= ，在ABC 中，由正弦定理可得： ，可得 c= ，可得 sinB 【解答】解
26、：（1）在ABC 中，由余弦定理可得：cosA= = ， 第 15 页（共 22 页） sinA= = ， cosC= cos（ A+B）=cosAcosB sinAsinB= = （2）由（1）可得：sinC= = ， 在ABC 中，由正弦定理可得： ，可得 c= =8， sinB= =10 19某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （）求 y 关于 t
27、 的线性回归方程； （）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 的变化情况，并预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = 【考点】线性回归方程 【分析】 （）根据题目中的数据，计算 、 与 和 （t i ） （y i ）的值， 利用公式求出 与 的值，写出线性回归方程； （）根据线性回归方程中 =0.50，得出结论是人均纯收入逐年增加以及平均每年增加 的值， 将 2017 年的年份 t 的值代人线性回归方程，求出 的值，即可预测该地区 2017 年的农村 家庭人均纯收入 【解答】解
28、：（）根据题目中的数据，得； = （1+2+3+4+5+6+7）=4 ， 第 16 页（共 22 页） = （2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， =9+4+1+0+1+4+9=28， （t i ） （y i ）=（ 3）（ 1.4）+（2）（1）+（ 1）（ 0.7） +00.1+0.5+20.9+31.6=14； = = =0.5， = =4.30.54=2.3， y 关于 t 的线性回归方程是 =0.5t+2.3； （）根据（）中的线性回归方程， =0.50， 得出 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元
29、， 将 2017 年的年份 t=11 代人线性回归方程，得 =0.511+2.3=7.8， 预测该地区 2017 年农村居民家庭人均纯收入为 7.8 千元 20如图所示，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD 且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点 （1）求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 （2）在线段 AN 上是否存在点 F，使得 FE 与平面 AMN 所成角为 30，若存在，求线段 AF 的长；若不存在，请说明理由 【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角 【分析】 （1）以 D 为坐标原点， DA、DC 、DM 所在直线分别为
30、x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 （2）假设在线段 AN 上存在点 F，使 FE 与平面 AMN 所成角为 30，设 = =（0，） ， （01） ，利用向量法推导出 与 01 矛盾，从 而在线段 AN 上不存在点 F，使得 FE 与平面 AMN 所成角为 30 第 17 页（共 22 页） 【解答】解：（1）如图，以 D 为坐标原点，DA、DC 、 DM 所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ，M（0，0，1） ， C（0，1，0） ，B（1，1，0） ，
31、N （1，1，1） ，E（ ，1，0） ， ， =（1，0，1） ， =（ ，0，1） ， =（ 1，0，1） ， |cos |= = = ， 异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值为 （2）不存在 F，使 EF 与平面 AMN 所成角为 30， 假设在线段 AN 上存在点 F，使 FE 与平面 AMN 所成角为 30， 设 = =（0，） ， （01） ， 又 =（ ） ， = =（ ） ， 设平面 AMN 的一个法向量 =（x，y，z） ， =（1 ，0，1） ， =（0，1，1） ， 则 ，取 z=1，得 =（1，1，1） ， 点 F 使得 FE 与平面 AMN 所成角为 30， si
32、n30 =|cos |= = ， 解得 与 01 矛盾， 在线段 AN 上不存在点 F，使得 FE 与平面 AMN 所成角为 30 第 18 页（共 22 页） 21已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F 2，椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦，且 ，求PF 1Q 内切圆面积最大时实数 的值 【考点】椭圆的应用 【分析】 （1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 ，结合 a2=b2+c2，求出 a2=4，b 2=3，从而可求椭圆 C 的标准方程； （2）分类讨论，确定当直线 PQ 与 x 轴垂直时 最大
33、，进而可求PF 1Q 内切圆面 积最大时实数 的值 【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为 （ab0） ，则 椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点 ， ， ， 又 a2=b2+c2， a 2=4，b 2=3， （2）显然直线 PQ 不与 x 轴重合 当直线 PQ 与 x 轴垂直时，|PQ|=3 ，|F 1F2|=2， ； 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设直线 PQ：x=ky +1，k0 代入椭圆 C 的标准方程， 整理，得（3+4k 2）y 2+6ky9=0， 令 t=3+4k2， ， 第 19 页（共 22 页） 由上，得 当直线 PQ 与 x 轴垂直时 最大，且最大面积为 3 设PF 1Q 内
34、切圆半径 r，则 S=4r3， 即 ，此时直线 PQ 与 x 轴垂直，PF 1Q 内切圆面积最大 22已知函数 f（x）=（2 a）x2lnx +a2，g（x）=xe 1x （1）若函数 f（x）在区间（ 0， ）无零点，求实数 a 的最小值 （2）若对任意给定的 x0（ 0，e ，方程 f（x）=g（x 0）在（0，e上总存在两个不等的实 根，求实数 a 的取值范围 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （1）f（x）0 时不可能恒成立，所以要使函数在（0， ）上无零点，只需要对 x（0， ）时 f（x）0 恒成立，列出不等式解出 a 大于一个函数，利用导数得到函数
35、的 单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到 a 的最小值； （2）求出 g（x） ，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出 g（x）的值域，而 当 a=2 时不合题意；当 a2 时，求出 f（x）=0 时 x 的值，根据 x（0，e列出关于 a 的 不等式得到，并根据此时的 x 的值讨论导函数的正负得到函数 f（x）的单调区间，根据 单调区间得到和，令 中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导 函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出恒 成立和解出得到，联立 和即可解出满足题意 a 的取值范围 【解答】解：（1）因为 f（x ）
36、0 在区间（0， ）上恒成立不可能， 故要使函数 f（x）在（0， ）上无零点， 只要对任意的 x（0， ） ， f（x）0 恒成立，即对 x（0， ） ，a2 恒成立 令 l（x）=2 ，x（0， ） ，则 l（x）= ， 再令 m（x）=2lnx+ 2，x（0， ） ， 第 20 页（共 22 页） 则 m（x）= 0，故 m（x）在（0， ）上为减函数，于是 m（x）m （ ） =22ln20， 从而，l（x）0，于是 l（x）在（0， ）上为增函数，所以 l（x）l（ ）=24ln2 ， 故要使 a2 恒成立，只要 a24ln2，+） ， 综上，若函数 f（x）在（0， ）上无零点，则
37、 a 的最小值为 24ln2； （2）g（x）=e 1xxe1x=（1x）e 1x， 当 x（0，1）时，g（x） 0，函数 g（x）单调递增； 当 x（1，e时， g（x）0，函数 g（x）单调递减 又因为 g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee 1e0， 所以，函数 g（x）在（0，e上的值域为（0，1 当 a=2 时，不合题意； 当 a2 时，f （x）=2 a = ，x（0，e 当 x= 时，f（x）=0 由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故 0 e，即 a2 此时，当 x 变化时，f（x） ，f （x）的变化情况如下： x （0， ） （ ，e f（x） 0 + f（x） 最
38、小值 又因为，当 x0 时，2 a0，f （x） +， f（ ）=a 2ln ，f（e）=（2a ） （e1） 2， 所以，对任意给定的 x0（0 ，e ，在（0，e上总存在两个不等的实根，使得 f（x） =g（x 0）成立， 第 21 页（共 22 页） 当且仅当 a 满足下列条件： 即 ， 令 h（a）=a2ln ，a （，2 ） ， 则 h（a ）=1 2ln2ln（2 a）=1 = ， 令 h（a ）=0 ，得 a=0 或 a=2， 故当 a（，0）时，h（a ）0，函数 h（a ）单调递增； 当 a（0，2 ）时，h（a ）0，函数 h（a ）单调递减 所以，对任意 a（，2 ） ，有 h（a ）h（0）=0 ， 即对任意 a（，2 ）恒成立 由式解得：a 2 综合可知，当 a（， 2 时，对任意给定的 x0（0，e， 在（0，e上总存在两个不同的两个不等的实根使 f（x） =g（x 0）成立 第 22 页（共 22 页） 2016 年 8 月 4 日
