1、安徽省合肥市庐江县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1方程 x（x1 ）=x 的根是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=2， x2=0 Dx 1=2，x 2=0 2抛物线 y=（x+2 ） 2+3 的顶点坐标是（ ） A （2， 3） B （2，3） C （ 2，3） D （2，3） 3下列说法正确的是（ ） A一颗质地均匀的骰子已连续抛投了 2015 次，其中抛掷出 5 点的次数最少，则第 2016 次一定抛 掷出 5 点 B某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖 C天气预报说明天下雨的概率
2、是 50%，所以明天将有一半时间在下雨 D抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 4以下五个图形中，是中心对称的图形共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5已知点 P（2+m，n3）与点 Q（m，1+n）关于原点对称，则 mn 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 6如图，O 中，弦 AB、CD 相交于点 P，若A=30，APD=70 ，则B 等于（ ） A30 B35 C40 D50 7某超市一月份的营业额为 200 万元，已知第一季度的总营业额共 1000 万元，如果平均每月增长 率为 x，则由题意列方程应为（ ） A200（1+x） 2=1000 B200+2002x
3、=1000 C200+200 3x=1000 D2001+（1+x）+（1+x） 2=1000 8如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与 该圆弧相切的是（ ） A点（0，3） B点（2， 3） C点（5，1） D点（6，1） 9如图，数轴上四个点 A， B，C，D 对应的坐标分别是1，1，4，5，任取两点构成线段，则线段 长不大于 3 的概率是（ ） A B C D 10如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，E、F、G 分别是边 AB、BC、CA 的点，且 AE=BF=CG，设EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 与 x 的函
4、数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11已知关于 x 的一元二次方程 x23 x+ k=0 有实数根，则 k 的取值范围是 12一个圆锥的侧面积是底面积的 4 倍，则这个圆锥的侧面展开图的中心角的度数为 13如图，O 过点 B、C圆心 O 在等腰直角 ABC 的内部， BAC=90，OA=1，BC=6 ，则 O 的半径为 14已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论： b24ac0； abc0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 9a+3b+c0 其中，正确结论是 （请把所有正确结论的序号都填上
5、） 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15解方程：4（3x2） （x+1）=3x+3 16已知抛物线 y=x2+mx+7 与 x 轴的一个交点是（3 ，0） ，求 m 的值及另一个交点坐标 四、 （本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17下面给出一列数中的前 5 项：1，3，6，10，15， （1）请你猜想这列数中的第 6 项是 ； （2）55 是这列数中的某一项吗？如果是，它是第几项？ 18如图，CD 为 O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为点 E，AO=1 （1）求C 的大小； （2）求阴影部分的面积 五、 （本题共 2 小题，每
6、小题 10 分，满分 20 分） 19某信息兴趣小组利用电脑成功设计了一个运算程序，这个程序可用如图所示的框图表示小明 同学任取一个自然数 x 输入求值 （1）试写出与输出的数有关的一个必然事件； （2）若输入的数是 2 至 9 这八个连续正整数中的一个，求输出的数是 3 的倍数的概率 20某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加利润，尽 量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天 可多售出 2 件，若商场每天要获利润 1200 元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 六、 （本题满分 12 分） 21如图
7、：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单位长度，ABC 的顶点均 在格点上，三个顶点的坐标分别是 A（2，2） ，B（1，0） ，C（3，1） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的图形 A1B1C1； （2）画出将ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90所得作的 A2B2C2，并求出 C2 的坐标； （3）在旋转过程中，点 A 经过的路径为弧 ，那么 的长为 ； （4）A 1B1C1 与 A2B2C2 成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标 七、 （本题满分 12 分） 22如图在 RtABC 中， C=90，BD 平分ABC，过 D 作 DEBD 交 AB 于点
8、 E，经过 B，D ，E 三点作O （1）求证：AC 与 O 相切于 D 点； （2）若 AD=15，AE=9，求O 的半径 八、 （本题满分 14 分） 23如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若AEF=90，且 EF 交正方形的外 角DCM 的平分线 CF 于点 F （1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一 个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ； （2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合） AE=EF 是否一定成立？说出你的理由； 在如图 2 所示的
9、直角坐标系中抛物线 y=ax2+x+c 经过 A、D 两点，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在此抛物线上，求此时点 F 的坐标 安徽省合肥市庐江县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1方程 x（x1 ）=x 的根是（ ） Ax=2 Bx= 2 Cx 1=2， x2=0 Dx 1=2，x 2=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：由原方程，得 x22x=0， x（ x2）=0， x2=0 或 x=0， 解得，x 1=2，x 2=
10、0； 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的解法因式分解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方 法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 2抛物线 y=（x+2 ） 2+3 的顶点坐标是（ ） A （2， 3） B （2，3） C （ 2，3） D （2，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：抛物线 y=（x+2） 2+3 的顶点坐标是（ 2，3 ） 故选 C 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关 键 3下列说法正确的是（ ） A一颗质地均匀的骰子已连续抛投了 2015
11、次，其中抛掷出 5 点的次数最少，则第 2016 次一定抛 掷出 5 点 B某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖 C天气预报说明天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半时间在下雨 D抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【考点】概率的意义 【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生不确定事件就是随机事件， 即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于 0 并且小于 1 【解答】解：A、一颗质地均匀的骰子已连续抛投了 2015 次，其中抛掷出 5 点的次数最少，则第 2016 次可能抛掷出 5 点，故 A 错误； B、某种彩票中奖的概率是 1
12、%，因此买 100 张该种彩票可能会中奖，故 B 错误； C、天气预报说明天下雨的概率是 50%，明天可能下雨，故 C 错误； D、抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小 4以下五个图形中，是中心对称的图形共有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象 【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解 【解答】解：是中心对称图形的有第二个，第三个和第四个故选 B 【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转 180 度后所得的图形
13、与原图形完全重合 5已知点 P（2+m，n3）与点 Q（m，1+n）关于原点对称，则 mn 的值是（ ） A1 B1 C2 D2 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得 m、n 的值，根据 有理数的减法，可得答案 【解答】解：由点 P（2+m，n3）与点 Q（m，1+n）关于原点对称，得 2+m+m=0，n3+1+n=0 解得 m=1，n=1 mn=11=2， 故选：D 【点评】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵 坐标互为相反数，得出 m、n 的值是解题关键 6如图，O 中，弦 AB、C
14、D 相交于点 P，若A=30，APD=70 ，则B 等于（ ） A30 B35 C40 D50 【考点】圆周角定理；三角形的外角性质 【分析】欲求B 的度数，需求出同弧所对的圆周角C 的度数；APC 中，已知了A 及外角 APD 的度数，即可由三角形的外角性质求出C 的度数，由此得解 【解答】解：APD 是APC 的外角， APD=C+A； A=30，APD=70， C=APDA=40； B=C=40； 故选 C 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质及圆周角定理的应用 7某超市一月份的营业额为 200 万元，已知第一季度的总营业额共 1000 万元，如果平均每月增长 率为 x，则由题意列方程
15、应为（ ） A200（1+x） 2=1000 B200+2002x=1000 C200+200 3x=1000 D2001+（1+x）+（1+x） 2=1000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业 额+三月份的营业额=1000 万元，把相关数值代入即可 【解答】解：一月份的营业额为 200 万元，平均每月增长率为 x， 二月份的营业额为 200（1+x） ， 三月份的营业额为 200（1+x）（1+x）=200（1+x） 2， 可列方程为 200+200（1+x）+200 （1+x）
16、2=1000， 即 2001+（1+x）+ （1+x ） 2=1000 故选：D 【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化 后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b得到第一季度的营业 额的等量关系是解决本题的关键 8如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与 该圆弧相切的是（ ） A点（0，3） B点（2， 3） C点（5，1） D点（6，1） 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理 【专题】压轴题；网格型 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在
17、位置，再根据切线的性质得出，OBD+ EBF=90时 F 点的位置即可 【解答】解：连接 AC，作 AC，AB 的垂直平分线，交格点于点 O，则点 O就是 所在圆的圆心， 三点组成的圆的圆心为：O （2，0） ， 只有 OBD+EBF=90时，BF 与圆相切， 当 BODFBE 时， EF=BD=2， F 点的坐标为：（5，1） ， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1） 故选：C 【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出BOD FBE 时， EF=BD=2，即得出 F 点的坐标是解决问题的关键 9如图，数轴上四个点 A， B，C，D 对应的坐
18、标分别是1，1，4，5，任取两点构成线段，则线段 长不大于 3 的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式；数轴；比较线段的长短 【分析】由四个点中任取两点构成线段，是一个无放回列举法求概率问题，列出线段长不大于 3 的 种数，因而就可求出概率 【解答】解：由四个点中任取两点构成线段，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有 432=6 种可能结果，且每种结果出现的机会相同，其中线段长不大于 3 的有： 线段 AB=2，BC=3，CD=1 共 3 种， 则 P=36= 故选 B 【点评】本题是一个列举法求概率与比较线段的长短相结合的题目；情况较少可用列举法求概率， 采用列举法解题的关
19、键是找到所有存在的情况用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比本题注意：不大于 3 是小于或等于 3 10如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，E、F、G 分别是边 AB、BC、CA 的点，且 AE=BF=CG，设EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 与 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题；探究型 【分析】根据题意可知AEGBEF CFG 三个三角形全等，且在 AEG 中，AE=x，AG=2 x； 可得AEG 的面积 y 与 x 的关系；进而可判断得则 y 关于 x 的函数的图象的大致形状 【解答】解：AE=BF=CG
20、 ，且等边ABC 的边长为 2， BE=CF=AG=2x； AEGBEFCFG 在AEG 中，AE=x，AG=2x， SAEG= AEAGsinA= x（2x） ； y=SABC3SAEG= 3 x（2x）= （ x2 x+1） 其图象为二次函数，且开口向上 故选 C 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出 y 与 x 的函数关系式，另外要求能 根据函数解析式判断函数图象的形状 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11已知关于 x 的一元二次方程 x23 x+ k=0 有实数根，则 k 的取值范围是 k 3 【考点】根的判别式 【分析】根据一元二次
21、方程 x23 x+ k=0 有实数根，则 =b24ac=（3 ） 241 k0，求出 k 的 取值范围即可 【解答】解：一元二次方程 x23 x+ k=0 有实数根， =b24ac=（3 ） 241 k0， k3， 故答案为 k3 【点评】本题考查了根的判别式，总结、一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 12一个圆锥的侧面积是底面积的 4 倍，则这个圆锥的侧面展开图的中心角的度数为 90 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】设圆锥的底面圆的半径为 R，母线长为 l，利用圆锥的侧面展开图为一扇
22、形，这个扇形的 弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到 l2R=4R2，则 l=4R，然后根据 扇形的面积公式得到 4R2= ，再解方程即可 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为 R，母线长为 l， 根据题意得 l2R=4R2， 所以 l=4R， 设这个圆锥的侧面展开图的中心角的度数为 n， 则 4R2= = ， 解得 n=90 故答案为 90 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长 13如图，O 过点 B、C圆心 O 在等腰直角 ABC 的内部， BAC=90，OA=1，BC=6 ，则 O 的半径为
23、 【考点】垂径定理；勾股定理 【专题】计算题 【分析】过 O 作 ODBC，由垂径定理可知 BD=CD= BC，根据ABC 是等腰直角三角形可知 ABC=45，故 ABD 也是等腰直角三角形， BD=AD，再由 OA=1 可求出 OD 的长，在 RtOBD 中利用勾股定理即可求出 OB 的长 【解答】解：过 O 作 ODBC， BC 是 O 的一条弦，且 BC=6， BD=CD= BC= 6=3， OD 垂直平分 BC，又 AB=AC， 点 A 在 BC 的垂直平分线上，即 A，O 及 D 三点共线， ABC 是等腰直角三角形， ABC=45， ABD 也是等腰直角三角形， AD=BD=3，
24、OA=1， OD=ADOA=31=2， 在 RtOBD 中， OB= = = 故答案为： 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键 14已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论： b24ac0； abc0； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 9a+3b+c0 其中，正确结论是 （请把所有正确结论的序号都填上） 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根 据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结
25、论进行判断 【解答】解：由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则=b 24ac0，故正确； 抛物线开口向上，得：a 0； 抛物线的对称轴为 x= =1，b=2a，故 b0； 抛物线交 y 轴于负半轴，得：c0； 所以 abc0； 故正确； 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故 错误； 根据抛物线的对称轴方程可知：（ 1，0）关于对称轴的对称点是（3，0） ； 当 x=1 时，y0，所以当 x=3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故正确； 所以这四个结论中正确 故答案为： 【点评】此题考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及 二次函数与方
26、程之间的转换，根的判别式的熟练运用 三、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15解方程：4（3x2） （x+1）=3x+3 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】首先提取公因式（x+1）可得（x+1） （12x11）=0，然后得到 x+1=0 或 12x11=0，进而解 一元一次方程即可 【解答】解：4（3x 2） （x+1）=3x+3， （ x+1）4 （3x2）3=0， （ x+1） （12x11）=0， x+1=0 或 12x11=0， x1=1，x 2= 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 16已知抛物线 y=x
27、2+mx+7 与 x 轴的一个交点是（3 ，0） ，求 m 的值及另一个交点坐标 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】设抛物线与 x 轴的一个交点是（t，0） ，根据交点式得到抛物线解析式为 y=（x 3+ ） （xt） ，再把解析式化为一般式后可得 m=（3 +t） ， （3 ）t=7 ，然后求出 t，再计算出 m 的值 即可 【解答】解：设抛物线与 x 轴的一个交点是（t，0） ， 设抛物线解析式为 y=（x 3+ ） （xt ） ， 即 y=x2（3 +t）x+ （3 ）t， 所以 m=（3 +t） ， （3 ） t=7， 解得 t=3+ ， m=（3 +3+ ）=6
28、， 所以 m 的值为6，另一个交点坐标，为（3+ ，0） 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：从二次函数的交点式 y=a（xx 1） （x x2） （a，b，c 是常 数，a0）中可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（x 1，0） ， （x 2，0） 四、 （本题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17下面给出一列数中的前 5 项：1，3，6，10，15， （1）请你猜想这列数中的第 6 项是 21 ； （2）55 是这列数中的某一项吗？如果是，它是第几项？ 【考点】一元二次方程的应用；规律型：数字的变化类 【分析】 （1）首先根据各数找到各数之间的规律，利用规律写出第 6
29、项即可； （2）根据规律列出方程求得整数即可，否则不可以 【解答】解：（1）观察发现： 3=1+2， 6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5， 故第 n 个数为 1+2+3+4+n= n（n+1） ， 当 n=6 时， n（n+1 ）= 67=21； （2）根据题意得： n（n+1）=55， 解得：n=10 或 n=11（舍去） 所以 55 是这列数中的第 10 项 【点评】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化类问题，解题的关键是根据提供的数字发现 数字变化的规律，难度不大 18如图，CD 为 O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为点 E，AO=1 （
30、1）求C 的大小； （2）求阴影部分的面积 【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算 【分析】 （1）根据垂径定理可得 = ，C= AOD，然后在 RtCOE 中可求出 C 的度数 （2）连接 OB，根据（1）可求出AOB=120，在 RtAOF 中，求出 AF，OF，然后根据 S 阴影 =S 扇形 OABSOAB，即可得出答案 【解答】解：（1）CD 是圆 O 的直径，CD AB， = ， C= AOD， AOD=COE， C= COE， AOBC， C=30 （2）连接 OB， 由（1）知，C=30， AOD=60， AOB=120， 在 RtAOF 中，AO=1，AOF=6
31、0， AF= ，OF= ， AB= ， S 阴影 =S 扇形 OADBSOAB= = 【点评】本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直角三角形的知识求出 C、 AOB 的度数，难度一般 五、 （本题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19某信息兴趣小组利用电脑成功设计了一个运算程序，这个程序可用如图所示的框图表示小明 同学任取一个自然数 x 输入求值 （1）试写出与输出的数有关的一个必然事件； （2）若输入的数是 2 至 9 这八个连续正整数中的一个，求输出的数是 3 的倍数的概率 【考点】概率公式；随机事件 【分析】 （1）首先由题意可得图示的计算过程为：y
32、= = x（x 1） ，即可得输出的数是整数是 一个必然事件； （2）由当输入的数是 2 至 9 这八个连续正整数中的一个时，可能的结果有： 1，3，6，10，15，21，28，36，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：（1）图示的计算过程为：y= = x（x1） ， x 为自然数， x（x 1）是整数， 输出的数是整数是一个必然事件； （2）当输入的数是 2 至 9 这八个连续正整数中的一个时，可能的结果有： 1，3，6，10，15，21，28，36， 输出的数是 3 的倍数的概率为： 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 20某商场销售一
33、批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加利润，尽 量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天 可多售出 2 件，若商场每天要获利润 1200 元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设每件衬衫应降价 x 元，根据均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加 利润，尽量减少库存，要降价，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场每天 要获利润 1200 元，可列方程求解 【解答】解：设每件衬衫应降价 x 元，据题意得： （40x） =1200， 解
34、得 x=10 或 x=20 因题意要尽快减少库存，所以 x 取 20 答：每件衬衫至少应降价 20 元 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列 方程求解 六、 （本题满分 12 分） 21如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为 1 个单位长度，ABC 的顶点均 在格点上，三个顶点的坐标分别是 A（2，2） ，B（1，0） ，C（3，1） （1）画出ABC 关于 x 轴对称的图形 A1B1C1； （2）画出将ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90所得作的 A2B2C2，并求出 C2 的坐标； （3）在旋转过程中，点 A 经过的路
35、径为弧 ，那么 的长为 ； （4）A 1B1C1 与 A2B2C2 成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标 【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图 -轴对称变换 【专题】计算题；作图题 【分析】 （1）利用关于 x 轴对称的点的坐标特征写出点 A1、B 1、C 1 的坐标，然后描点即可得到 A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A2、B 2、C 2，然后描点即可得到 A2B2C2； （3）先计算出 OA，然后根据弧长公式计算； （4）观察所画的图形，根据中心对称的定义可判断）A 1B1C1 与A 2B2C2 成中心对称，然后写出 对称中心的坐标 【解答】解：（1）如图
36、，A 1B1C1 为所作； （2）如图，A 2B2C2 为所作，并求出 C2 的坐标为（1，3） ； （3）OA= =2 ， 在旋转过程中，点 A 经过的路径为弧 ，那么 的长= = ； （4）A 1B1C1 与 A2B2C2 成中心对称，对称中心的坐标为（ ， ） 故答案为 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线 段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接 得出旋转后的图形也考查了弧长公式 七、 （本题满分 12 分） 22如图在 RtABC 中， C=90，BD 平分ABC，过 D 作 DEBD 交
37、AB 于点 E，经过 B，D ，E 三点作O （1）求证：AC 与 O 相切于 D 点； （2）若 AD=15，AE=9，求O 的半径 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OD，则有1= 2，而2= 3，得到1=3，因此 ODBC，又由于C=90 ，所以 ODAD，即可得出结论 （2）根据 ODAD，则在 RTOAD 中，OA 2=OD2+AD2，设半径为 r，AD=15 ，AE=9，得到 （r+9） 2=152+r2，解方程即可 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图所示： OD=OB， 1=2， 又 BD 平分ABC， 2=3， 1=3， ODBC， 而C=90 ， ODAD， AC
38、 与O 相切于 D 点； （2）解：OD AD， 在 RTOAD 中，OA 2=OD2+AD2， 又 AD=15，AE=9，设半径为 r， （ r+9） 2=152+r2， 解方程得，r=8， 即 O 的半径为 8 【点评】本题考查了圆的切线的判定方法、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理； 熟练掌握切线的判定方法，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键 八、 （本题满分 14 分） 23如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若AEF=90，且 EF 交正方形的外 角DCM 的平分线 CF 于点 F （1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们
39、可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述你的一 个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ； （2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合） AE=EF 是否一定成立？说出你的理由； 在如图 2 所示的直角坐标系中抛物线 y=ax2+x+c 经过 A、D 两点，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在此抛物线上，求此时点 F 的坐标 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）由于AEF=90 ，故FEC= EAB，而 E 是 BC 中点，从而只需取 AB 点 G，连接 EG，则有 AG=CE，BG=BE ， AGE=ECF，易得AGEECF； （2）由于
40、 AB=BC，所以只要 AG=EC 就有 BG=BE，就同样可得AGEECF ，于是截取 AG=EC，证全等即可； 根据 A、D 两点的坐标求出抛物线解析式，设出 F 点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将 F 点 的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标 【解答】解：（1）如图 1，取 AB 的中点 G，连接 EG AGEECF （2）若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE=EF 总成立 证明：如图 2，在 AB 上截取 AG=EC AB=BC， BG=BE， GBE 是等腰直角三角形， AGE=18045=135， CF 平分正方形的外角， ECF=135， AGE=ECF， 而BAE+AEB=CE
41、F+ AEB=90， BAE=CEF， AGEECF， AE=EF 由题意可知抛物线经过 A（0，1） ，D（1，1）两点， ，解得 ， 抛物线解析式为 y=x2+x+1， 过点 F 作 FHx 轴于 H， 由知，FH=BE=CH ，设 BH=a，则 FH=a1， 点 F 的坐标为 F（a ，a 1） ， 点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上， a1=a2+a+1， a= （负值不合题意，舍去） ， 点 F 的坐标为 F（ ， ） 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等等三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析 式等知识点，难度不大，属于中档题在构造全等三角形时，要先明确已经具备哪些相等条件，还 缺什么条件，然后结合全等三角形的判定定理很容易作出辅助线
