1、2014-2015 学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分）将唯一正确答案的代号填在题后的括号内 1把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=40，则2 的度数为（ ） A125 B120 C140 D130 2如图，一副分别含有 30和 45角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中C=90， B=45，E=30，则BFD 的度数是（ ） A15 B25 C30 D10 3如图，ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连 接 DE，则CDE 的周长为（ ） A20 B12 C14 D1
2、3 4如图，等边ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上 一点，若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则ECF 的度数为（ ） A15 B22.5 C30 D45 5下列等式成立的是（ ） A （3） 2 =9 B C （a 12 ） 2=a14 D （a 1 b2 ） 2 =a 2b4 6 （ ） 2013（ ） 2014的计算结果是（ ） A B C D 7如图，已知ABC（ACBC） ，用尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA+PC=BC，则符合要求的 作图痕迹是（ ） A B C D 8化简 的结果是（ ） Ax+1 Bx1
3、Cx Dx 9对于非零实数 a、b，规定 ab= 若 2（2x1）=1，则 x 的值为（ ） A B C D 10将下列多项式分解因式，结果中不含因式 x1 的是（ ） Ax 21 Bx（x2）+（2x） Cx 22x+1 Dx 2+2x+1 11下列运用平方差公式计算，错误的是（ ） A （a+b） （ab）=a 2b 2 B （x+1） （x1）=x 21 C （2x+1） （2x1）=2x 21 D （3x+2） （3x2）=9x 24 12若（x3） （x+4）=x 2+px+q，那么 p、q 的值是（ ） Ap=1，q=12 Bp=1，q=12 Cp=7，q=12 Dp=7，q=12
4、 13关于 x 的方程： 的解是负数，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 且 a0 Ca1 Da1 且 a0 14如图，将一边长为 a 的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为 b 的正方形（其中 ba）拼接在一起，则四边形 ABCD 的面积为（ ） Ab 2+（ba） 2 Bb 2+a2 C （b+a） 2 Da 2+2ab 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 15若 ， ，则 a+b 的值为 16如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量为 a 克，再称得剩余 电线的质量为 b 克，那么原来这卷电线的总长度是 米 17如图，D、E 分别是ABC 的边 AB
5、、AC 上的点，把ADE 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边 形 BCED 内部变为 A时，则A 与1+2 之间存在一种等量关系，则这一等量关系用式 子表示为： 18图（1）是一个长为 2m，宽为 2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线 （对称轴）剪 开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则 中间空的部分的面积是 19如图，点 O、A 在数轴上表示的数分别是 0 和 0.1，将线段 OA 分成 100 等份，其分点 由左向右依次为 M1，M 2，M 99；再将线段 OM1，分成 100 等份，其分点由左向右依次为 N1，N 2，N 99；继续将线段 ON
6、1分成 100 等份，其分点由左向右依次为 P1，P 2，P 99则点 P36所表示的数用科学记数法表示为 三、解答题 20因式分解与化简 （1）因式分解：2n 2（m2）+8（2m） ； （2）化简：（ ） 21解方程： = 1 22已知 x+y=xy，求代数式 + （1x） （1y）的值 23如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC 求证：ABECBD； 若CAE=30，求BDC 的度数 24如图，在ABC 中，BAC=110，点 E、G 分别是 AB、AC 的中点，DEAB 交 BC 于 D，
7、FGAC 交 BC 于 F，连接 AD、AF试求DAF 的度数 25为庆祝 2015 年元旦的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要， 用 700 元购进甲、乙两种花束共 260 朵，其中甲种花束比乙种花束少用 100 元，已知甲种 花束单价比乙种花束单价高 20%，乙种花束的单价是多少元？甲、乙两种花束各购买了多 少朵？ 26小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1） ，在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系， 并说明理由” 小敏与小颖讨论后，进行了如下解答： （1
8、）取特殊情况，探索讨论：当点 E 为 AB 的中点时，如图（2） ，确定线段 AE 与 DB 的大 小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“” ， “”或“=” ） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE DB（填“” ， “”或“=” ） 理由 如下：如图（3） ，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC，若ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果） 2014-2015 学年
9、山东省临沂市莒南县八年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 42 分）将唯一正确答案的代号填在题后的括号内 1把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=40，则2 的度数为（ ） A125 B120 C140 D130 考点： 平行线的性质；直角三角形的性质 分析： 根据矩形性质得出 EFGH，推出FCD=2，代入FCD=1+A 求出即可 解答： 解： EFGH， FCD=2， FCD=1+A，1=40，A=90， 2=FCD=130， 故选 D 点评： 本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出 2=FCD 和得出FCD=1+A 2如图
10、，一副分别含有 30和 45角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中C=90， B=45，E=30，则BFD 的度数是（ ） A15 B25 C30 D10 考点： 三角形的外角性质 专题： 探究型 分析： 先由三角形外角的性质求出BDF 的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论 解答： 解：RtCDE 中，C=90，E=30， BDF=C+E=90+30=120， BDF 中，B=45，BDF=120， BFD=18045120=15 故选 A 点评： 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的 和是解答此题的关键 3如图，ABC 中，AB=AC=10，BC=8，
11、AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连 接 DE，则CDE 的周长为（ ） A20 B12 C14 D13 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质 分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得 ADBC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半可得 DE=CE= AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解 解答： 解：AB=AC，AD 平分BAC，BC=8， ADBC，CD=BD= BC=4， 点 E 为 AC 的中点， DE=CE= AC=5， CDE 的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14 故选：C 点评： 本题考查了直角三角形斜边
12、上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一 的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 4如图，等边ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上 一点，若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则ECF 的度数为（ ） A15 B22.5 C30 D45 考点： 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质 分析： 过 E 作 EMBC，交 AD 于 N，连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF，推出 M 为 AB 中点，求出 E 和 M 关于 AD 对称，根据等边三角形性质求出ACM，即可求出答案 解答： 解： 过 E 作 EMBC，交 AD
13、于 N， AC=4，AE=2， EC=2=AE， AM=BM=2， AM=AE， AD 是 BC 边上的中线，ABC 是等边三角形， ADBC， EMBC， ADEM， AM=AE， E 和 M 关于 AD 对称， 连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF， 则此时 EF+CF 的值最小， ABC 是等边三角形， ACB=60，AC=BC， AM=BM， ECF= ACB=30， 故选 C 点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行 线分线段成比例定理等知识点的应用 5下列等式成立的是（ ） A （3） 2 =9 B C （a 12 ） 2=a14 D （
14、a 1 b2 ） 2 =a 2b4 考点： 负整数指数幂 分析： 根据负整数指数幂等于正整数指数 幂的倒数，幂的乘方，底数不变指数相乘的性 质对各选项分析判断后利用排除法求解 解答： 解：A、 （3） 2 = ，故本选项错误； B、 （3） 2 = ，故本选项正确； C、 （a 12 ） 2=a24 ，故本选项错误； D、 （a 1 b2 ） 2 =a2b4，故本选项错误 故选 B 点评： 本题考查了负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，熟记性质是解题的关键 6 （ ） 2013（ ） 2014的计算结果是（ ） A B C D 考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 分析： 根据积的乘方逆
15、运算以及同底数幂的乘法求出即可求解 解答： 解：（ ） 2013（ ） 2014 =（ ） 2013（ ） 2013 =（ ）（ ） 2013 = 故选：C 点评： 本题考查了同底数幂的乘法法则，正确对已知的式子进行变形是关键 7如图，已知ABC（ACBC） ，用尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA+PC=BC，则 符合要求的 作图痕迹是（ ） A B C D 考点： 作图复杂作图 分析： 要使 PA+PC=BC，必有 PA=PB，所以选项中只有作 AB 的中垂线才能满足这个条件， 故 D 正确 解答： 解：D 选项中作的是 AB 的中垂线， PA=PB， PB+PC=BC， PA+PC=B
16、C 故选：D 点评：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB 8化简 的结果是（ ） Ax+1 Bx1 Cx Dx 考点： 分式的加减法 专题： 计算题 分析： 将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分 解答： 解： = = = =x， 故选：D 点评： 本题考查了分式的加减运算分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不 变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分 母分式，然后再相加减 9对于非零实数 a、b，规定 ab= 若 2（2x1）=1，则 x 的值为（ ） A B C D 考点： 解分式方程 专题： 开放型 分
17、析： 根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果 解答： 解：根据题意得：2（2x1）= =1， 去分母得：2（2x1）=4x2， 去括号得：22x+1=4x2， 移项合并得：6x=5， 解得：x= ， 经检验是分式方程的解 故选 A 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 10将下列多项 式分解因式，结果中不含因式 x1 的是（ ） Ax 21 Bx（x2）+（2x） Cx 22x+1 Dx 2+2x+1 考点： 因式分解-提公因式法；因式分解-运用公式法 专题： 因式分解 分析： 分别将各选项利用公式法
18、和提取公因式法分解因式进而得出答案 解答： 解：A、x 21=（x+1） （x1） ，故 A 选项不合题意； B、x（x2）+（2x）=（x2） （x1） ，故 B 选项不合题意； C、x 22x+1=（x1） 2，故 C 选项不合题意； D、x 2+2x+1=（x+1） 2，故 D 选项符合题意 故选：D 点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解 题关键 11 下列运用平方差公式计算，错误的是（ ） A （a+b） （ab）=a 2b 2 B （x+1） （x1）=x 21 C （2x+1） （2x1）=2x 21 D （3x+2） （3x2）=9x
19、24 考点： 平方差公式 分析： 根据两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，可得答案 解答： 解：（2x+1） （2x1）=（2x） 21，故 C 错误 故选：C 点评： 本题考查了平方差，两数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，注意 D 中 的两数是（3x）与 2 12若（x3） （x+4）=x 2+px+q，那么 p、q 的值是（ ） Ap=1，q=12 Bp=1，q=12 Cp=7，q=12 Dp=7，q=12 考点： 多项式乘多项式 分析： 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到 p、q 的 值 解答： 解：由于（x3） （x+4）=x 2+x1
20、2=x 2+px+q， 则 p=1，q=12 故选 A 点评： 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键 13关于 x 的方程： 的解是负数，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 且 a0 Ca1 Da1 且 a0 考点： 分式方程的解 专题： 计算题；压轴题 分析： 先解关于 x 的分式方程，求得 x 的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求 a 的 取值范围 解答： 解：去分母得，a=x+1， x=a1， 方程的解是负数， a10 即 a1， 又 a0， a 的取值范围是 a1 且 a0 故选 B 点评： 解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做
21、方程的解 14如图，将一边长为 a 的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为 b 的正方形（其中 ba）拼接在一起，则四边形 ABCD 的面积为（ ） Ab 2+（ba） 2 Bb 2+a2 C （b+a） 2 Da 2+2ab 考点： 勾股定理 分析： 先求出 AE 即 DE 的长，再根据三角形的面积公式求解即可 解答： 解：DE=ba，AE=b， S 四边形 ABCD=4SADE +a2=4 （ba）b =b2+（ba） 2 故选：A 点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和 一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 二、填空题（每小题 3 分，共 15
22、 分） 15若 ， ，则 a+b 的值为 考点： 平方差公式 专题： 计算题 分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将 ab 的值代入即可求出 a+b 的值 解答： 解：a 2b 2=（a+b） （ab）= ，ab= ， a+b= 故答案为： 点评： 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 16如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量为 a 克，再称得剩余 电线的质量为 b 克，那么原来这卷电线的总长度是 米 考点： 列代数式（分式） 专题： 计算题 分析： 这卷电线的总长度=截取的 1 米+剩余电线的长度 解答： 解：根据 1 米长的电线，称得它的
23、质量为 a 克，只需根据剩余电线的质量除以 a， 即可知道剩余电线的长度故总长度是（ +1）米 故答案为：（ +1） 点评： 注意代数式的正确书写，还要注意后边有单位，故该代数式要带上括号解决问题 的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系 17如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，把ADE 沿 DE 折叠，当点 A 落在四边 形 BCED 内部变为 A时，则A 与1+2 之间存在一种等量关系，则这一等量关系用式 子表示为： 2A=1+2 考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 根据四边形的内角和是 360和平角的定义求解 解答： 解：A+A+AEA+ADA=360 又1+AEA+
24、2+ADA=360， A+A=1+2， 又A=A， 2A=1+2 故答案为：2A=1+2 点评： 本题考查翻折变换（折叠问题） ，多边形的内角和定理 图形在折叠的过程，会出 现全等的图形相等的线段、相等的角，是隐含的条件，注意运用 18图（1）是一个长为 2m，宽为 2n（mn）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪 开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则 中间空的部分的面积是 （mn） 2 考点： 完全平方公式的几何背景 分析： 先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积 矩形的面积即可得出答案 解答： 解：图（1）是一个
25、长为 2m，宽 为 2n（mn）的长方形， 正方形的边长为：m+n， 由题意可得，正方形的边长为（m+n） ， 正方形的面积为（m+n） 2， 原矩形的面积为 4mn， 中间空的部分的面积=（m+n） 24mn=（mn） 2 故答案为：（mn） 2 点评： 此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键 19如图，点 O、A 在数轴上表示的数分别是 0 和 0.1，将线段 OA 分成 100 等份，其分点 由左向右依次为 M1，M 2，M 99；再将线段 OM1，分成 100 等份，其分点由左向右依次为 N1，N 2，N 99；继续将线段 ON1分成 100 等份，其分点由
26、左向右依次为 P1，P 2，P 99则点 P36所表示的数用科学记数法表示为 3.610 6 考点： 科学记数法表示较小的数；数轴 分析： 根据点 O、A 在数轴上表示的数分别是 0 和 0.1，将线段 OA 分成 100 等份，再将线 段 OM1，分成 100 等份，得出点 P36所表示的数，进而利用科学记数法的表示出即可 解答： 解：由题意可得：点 P36所表示的数为：0.0000036=3.610 6 ， 故答案为：3.610 6 点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 三、解答题
27、 20因式分解与化简 （1）因式分解：2n 2（m2）+8（2m） ； （2）化简：（ ） 考点： 提公因式法与公式法的综合运用；分式的混合运算 专题： 计算题 分析： （1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分即可得到结果 解答： 解：（1）原式=2（m2） （n 24）=2（m2） （n+2） （n2） ； （2）原式= = = = 点评： 此题考查了分式的混合运算，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算 法则是解本题的关键 21 解方程： = 1 考点： 解分式方程 专题： 计算题
28、 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 解答： 解：去分母得：15x12=4x+103x+6， 移项合并得：14x=28， 解得：x=2， 经检验 x=2 是增根，分式方程无解 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 22已知 x+y=xy，求代数式 + （1x） （1y）的值 考点： 分式的化简求值 专题： 计算题 分析： 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值 解答： 解：x+y=xy， + （1x） （1y） = （1xy+xy） =
29、1+x+yxy =11+0 =0 点评： 此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型 23如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC 求证：ABECBD； 若CAE=30，求BDC 的度数 考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质 专题： 证明题 分析： 利用 SAS 即可得证； 由全等三角形对应角相等得到AEB=CDB，利用外角的性质求出AEB 的度数，即可确 定出BDC 的度数 解答： 证明：在ABE 和CBD 中， ， ABECBD（SAS） ； 解：ABECBD， AE
30、B=BDC， AEB 为AEC 的外角， AEB=ACB+CAE=30+45=75， 则BDC=75 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角 形的判定与性质是解本题的关键 24如图，在ABC 中，BAC=110，点 E、G 分别是 AB、AC 的中点，DEAB 交 BC 于 D，FGAC 交 BC 于 F，连接 AD、AF试求DAF 的度数 考点： 线段垂直平分线的性质 分析： 根据三角形内角和定理求出B+C，根据线段垂直平分线求出 AD=BD，AF=CF，推 出BAD=B，CAF=C，即可求出答案 解答： 解：在ABC 中，BAC=110， B+C=
31、180110=70， E、G 分别是 AB、AC 的中点， 又DEAB，FGAC， AD=BD，AF=CF， BAD=B，CAF=C， DAF=BAC（BAD+CAF） =BAC（B+C）=11070=40 点评： 本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注 意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 25为庆祝 2015 年元旦的到来，学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出，根据演出需要， 用 700 元购进甲、乙两种花束共 260 朵，其中甲种花束比乙种花束少用 100 元，已知甲种 花束单价比乙种花束单价高 20%，乙种花束的单价是多少元？甲、乙两种花束
32、各购买了多 少朵？ 考点： 分式方程的应用 分析： 设乙种花束的单价是 x 元，则甲种花束的单价为（1+20%）x 元，根据用 700 元购 进甲、乙两种花束共 260 朵，列方程求解 解答： 解：设乙种花束的单价是 x 元，则甲种花束的单价为（1+20%）x 元， 由题意得， + =260， 解得：x=2.5， 经检验：x=2.5 是原分式方程的解， 则（1+20%）x=3， 则买甲花束为： =100 个，乙种花束为： =160 个 答：乙种花束的单价是 2.5 元，甲、乙两种花束各购买 100 个、160 个 点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
33、 的等量关系，列方程求解，注意检验 26小敏与同桌 小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1） ，在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系， 并说明理由” 小敏与小颖讨论后，进行了如下解答： （1）取特殊情况，探索讨论：当点 E 为 AB 的中点时，如图（2） ，确定线段 AE 与 DB 的大 小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“” ， “”或“=” ） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE = DB（填“” ， “”或“=” ） 理由如下： 如图（3
34、） ，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC，若ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD 的长（请 你画出图形，并直接写出结果） 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 分析： （1）证明D=DEB=30，得到 DB=BE，运用 AE=BE，即可解决问题 （2）如图（3） ，证明EFCDBE，得到 EF=DB；证明 AE=EF，即可解决问题 （3）如图（4）或（5） ，作辅助线，证明BDEFEC，得到 BD=EF；求出 EF 的长
35、度，即 可解决问题 解答： 解：（1）AE=DB （2）如图 3，ABC 为等边三角形，且 EFBC， AEF=ABC=60，AFE=ACB=60，FEC=ECB； EFC=DBE=120； ED=EC， D=ECB，D=FEC；在EFC 与DBE 中， ， EFCDBE（AAS） ， EF=DB； AEF=AFE=60， AEF 为等边三角形， AE=EF，AE=BD （3）如图 4，当点 E 在 AB 的延长线上时， 过点 E 作 EFBC，交 AC 的延长线于点 F； 则DCE=CEF，DBE=AEF； ABC=AEF，ACB=AFE； ACB 为等边三角形， ABC=ACB=60， A
36、EF=AFE=60，DBE=ABC=60， DBE= EFC；而 ED=EC， D=DCE，D=CEF； 在BDE 与FEC 中， ， BDEFEC（AAS） ， BD=EF； AEF 为等边三角形， AE=EF=2，BD=EF=2， CD=1+2=3； 如图 5，当点 E 在 BA 的延长线上时，过点 E 作 EFBC，交 CA 的延长线于点 F；类似上述 解法，同理可证：DB=EF=2，BC=1 CD=21=1 点评： 该题以等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造 而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用等边三角形的性质、全等三角形的判定等几何知 识点来分析、判断、解答
