1、第 1 页（共 29 页） 2016-2017 学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分每小题只有一个 正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内） 1下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ） A B C D 2若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值是（ ） Am 1 Bm1 Cm1 Dm 1 3已知抛物线的解析式为 y=（x 2） 2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A （ 2，1） B （2，1） C （2， 1） D （1，2） 4如图，在O 中，AB 为直径，点
2、C 为圆上一点，将劣弧 沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连接 CD如果 BAC=20，则BDC=（ ） A80 B70 C60 D50 5用配方法解一元二次方程 x2+4x5=0，此方程可变形为（ ） A （x +2） 2=9 B （x2） 2=9 C （x+2） 2=1 D （x2） 2=1 6如图，已知在ABCD 中，AEBC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ABC，把BAE 顺时针旋转，得到BAE，连接 DA若ADC=60， AD=5， DC=4 则 DA的大小为（ ） 第 2 页（共 29 页） A1 B C D2 7如图，圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD
3、相切，且 DE 与圆 O 相切于 E 点若圆 O 的半径为 5，且 AB=11，则 DE 的长度为何？（ ） A5 B6 C D 8下列事件中是必然发生的事件是（ ） A打开电视机，正播放新闻 B通过长期努力学习，你会成为数学家 C从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 D某校在同一年出生的有 367 名学生，则至少有两人的生日是同一天 9如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率 为（ ） A B C D 10当 ab0 时，y=ax 2 与 y=ax+b 的图象大致是（ ） A B C D 第 3 页（共 29 页） 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3
4、分，共 24 分请把答案填在题中的 横线上 ） 11关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2+x+m21=0 有一根为 0，则 m= 12设抛物线 y=x2+8xk 的顶点在 x 轴上，则 k= 13如图，AB 是O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作O 的切线， 切点为 C，若 A=25 ，则D= 度 14将直角边长为 5cm 的等腰直角ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后，得到 ABC，则图中阴影部分的面积是 cm 2 15不透明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、3 个绿球和 4 个蓝球，这些 球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 16
5、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形 中一共有 6 个小圆圈，第个图形中一共有 9 个小圆圈，第个图形中一共有 12 个小圆圈， ，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为 三、解答题：本大题共 10 个小题，满分 102 分，解答时应写出必要的计算过程、 推理步骤或文字说明 17解方程：（x3） 2+4x（x3）=0 第 4 页（共 29 页） 18如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为 1 个单 位长度正方形 ABCD 顶点都在格点上，其中，点 A 的坐标为（1，1） （1）将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 90画出旋转后的图形；
6、 （2）若点 B 到达点 B1，点 C 到达点 C1，点 D 到达点 D1，写出点 B1、C 1、D 1 的 坐标 19如图，点 A，B 在O 上，直线 AC 是O 的切线，OCOB ，连接 AB 交 OC 于点 D求证： AC=CD 20甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6 的 4 张牌做抽 数学游戏游戏规则是：将这 4 张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一 张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗 匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位 数若这个两位数小于 45，则甲获胜，否则乙获胜你认为这个游戏公平吗？ 请
7、运用概率知识说明理由 21已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A，点 G、E 分别在线段 AD、AB 上，若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接 DG，在旋转的 过程中，你能否找到一条线段的长与线段 DG 的长度始终相等？并说明理由 第 5 页（共 29 页） 22如图是函数 y= 与函数 y= 在第一象限内的图象，点 P 是 y= 的图象上一 动点，PA x 轴于点 A，交 y= 的图象于点 C，PBy 轴于点 B，交 y= 的图象 于点 D （1）求证：D 是 BP 的中点； （2）求四边形 ODPC 的面积 23如图，已知二次函数 y= +bx+c 的
8、图象经过 A（2，0） 、B （0，6）两 点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求ABC 的面积 24如图，Rt ABC 中，ABC=90，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是半圆O 的切线 第 6 页（共 29 页） （2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 25某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 （平面图如图 ABCD 所示） 由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超 过 16 米如果池的外围墙建造单价为每米 4
9、00 元，中间两条隔墙建造单价为每 米 300 元，池底建造单价为每平方米 80 元 （池墙的厚度忽略不计）当三级污 水处理池的总造价为 47200 元时，求池长 x 26在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx4 经过 A（ 4，0） ，C（2，0） 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面 积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，点 B 是抛物线与 y 轴交点判断有几个位置能够使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行
10、四边 形，直接写出相应的点 Q 的坐标 第 7 页（共 29 页） 第 8 页（共 29 页） 2016-2017 学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分每小题只有一个 正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内） 1下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（ ） A B C D 【考点】中心对称 【分析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解 【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，
11、不符合题意 故答案为：A 2若关于 x 的一元二次方程 x22x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值是（ ） Am 1 Bm1 Cm1 Dm 1 【考点】根的判别式 【分析】方程没有实数根，则0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范 围 【解答】解：由题意知，=44m0， m1 第 9 页（共 29 页） 故选：C 3已知抛物线的解析式为 y=（x 2） 2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A （ 2，1） B （2，1） C （2， 1） D （1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标 【解答】解：因为 y=（x 2） 2+1 为抛物线的顶点式
12、， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，1） 故选 B 4如图，在O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧 沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连接 CD如果 BAC=20，则BDC=（ ） A80 B70 C60 D50 【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题） 【分析】连接 BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB ，根据直角三角形 两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据 ACD 等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角可得出DAC 的度数，由三 角形外角的性质即可得出结论 【解答】解：如图，连接 BC， AB 是直径， ACB=9
13、0 ， BAC=20 ， B=90BAC=90 20=70 第 10 页（共 29 页） 根据翻折的性质， 所对的圆周角为B， 所对的圆周角为 ADC， ADC+B=180， B= CDB=70 ， 故选 B 5用配方法解一元二次方程 x2+4x5=0，此方程可变形为（ ） A （x +2） 2=9 B （x2） 2=9 C （x+2） 2=1 D （x2） 2=1 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可 【解答】解：x 2+4x5=0， x2+4x=5， x2+4x+22=5+22， （x+2） 2=9， 故选：A 6如图，已知在ABCD 中，AEBC
14、 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ABC，把BAE 顺时针旋转，得到BAE，连接 DA若ADC=60， AD=5， DC=4 则 DA的大小为（ ） A1 B C D2 【考点】旋转的性质；平行四边形的性质 第 11 页（共 29 页） 【分析】过 A作 AFDA 于点 F，由旋转的性质可得求得 AB，在 RtABE 中可 求得 BE，则可求得 AE，则可求得 DF 和 AF，在 RtAFD 中由勾股定理可求得 AD 【解答】解： 四边形 ABCD 为平行四边形， AB=CD=4，ABC=ADC=60， BE= AB=2，AE=AF= AB=2 ， 取旋转角等于ABC，把BAE 顺时
15、针旋转，得到BAE ， AB 在线段 BC 上，且 AB=AB=5， AE=ABBE=52=3， AF=AE=3， DF=DAAF=5 3=2， 在 RtAFD 中，由勾股定理可得 AD= = = ， 故选 C 7如图，圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切，且 DE 与圆 O 相切于 E 点若圆 O 的半径为 5，且 AB=11，则 DE 的长度为何？（ ） A5 B6 C D 【考点】切线的性质；正方形的性质 第 12 页（共 29 页） 【分析】求出正方形 ANOM，求出 AM 长和 AD 长，根据 DE=DM 求出即可 【解答】解： 连接 OM、ON， 四边形 ABCD
16、是正方形， AD=AB=11，A=90， 圆 O 与正方形 ABCD 的两边 AB、AD 相切， OMA=ONA=90=A ， OM=ON， 四边形 ANOM 是正方形， AM=OM=5， AD 和 DE 与圆 O 相切，圆 O 的半径为 5， AM=5，DM=DE， DE=115=6 ， 故选 B 8下列事件中是必然发生的事件是（ ） A打开电视机，正播放新闻 B通过长期努力学习，你会成为数学家 C从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 D某校在同一年出生的有 367 名学生，则至少有两人的生日是同一天 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【解
17、答】解：A、B、C 选项可能发生，也可能不发生，是随机事件故不符合 第 13 页（共 29 页） 题意； D、是必然事件 故选 D 9如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率 为（ ） A B C D 【考点】几何概率 【分析】根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与 总面积的比值 【解答】解：观察这个图可知：阴影部分占四个小正方形，占总数 36 个的 ， 故其概率是 故选 A 10当 ab0 时，y=ax 2 与 y=ax+b 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据题意，ab 0，即 a、b 同号
18、，分 a0 与 a0 两种情况讨论，分 析选项可得答案 【解答】解：根据题意，ab0，即 a、b 同号， 当 a0 时，b0，y=ax 2 与开口向上，过原点，y=ax+b 过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 第 14 页（共 29 页） 当 a0 时，b0，y=ax 2 与开口向下，过原点，y=ax+b 过二、三、四象限； 此时，D 选项符合， 故选 D 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分请把答案填在题中的 横线上 ） 11关于 x 的一元二次方程（m 1）x 2+x+m21=0 有一根为 0，则 m= 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程
19、的解的定义，将 x=0 代入原方程，列出关于 m 的方 程，通过解关于 m 的方程即可求得 m 的值 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（ m1）x 2+x+m21=0 有一根为 0， x=0 满足关于 x 的一元二次方程（m1）x 2+x+m21=0，且 m10， m 21=0，即（m1） （m+1）=0 且 m10， m+1=0， 解得，m=1； 故答案是：1 12设抛物线 y=x2+8xk 的顶点在 x 轴上，则 k= 16 【考点】二次函数的性质 【分析】顶点在 x 轴上，所以顶点的纵坐标是 0 【解答】解：根据题意得 =0， 解得 k=16 故答案为：16 13如图，AB 是O 的
20、直径，点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作O 的切线， 第 15 页（共 29 页） 切点为 C，若 A=25 ，则D= 40 度 【考点】切线的性质 【分析】连接 OC，先根据圆周角定理得DOC=2A=40，再根据切线的性质 定理得OCD=90，则此题易解 【解答】解：连接 OC， A=25， DOC=2A=50 ， 又OCD=90， D=40 14将直角边长为 5cm 的等腰直角ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后，得到 ABC，则图中阴影部分的面积是 cm 2 【考点】解直角三角形；旋转的性质 【分析】阴影部分为直角三角形，且CAB=30，AC=5 ，解此三角形求出短直 角边后计算
21、面积 【解答】解：等腰直角ABC 绕点 A 逆时针旋转 15后得到ABC， CAC=15， 第 16 页（共 29 页） CAB=CAB CAC=45 15=30，AC=AC=5 ， 阴影部分的面积= 5tan305= 15不透明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、3 个绿球和 4 个蓝球，这些 球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 【考点】概率公式 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况 数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解：共 4+3+2=9 个球，有 2 个红球， 从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为 ， 故答案为
22、： 16下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形 中一共有 6 个小圆圈，第个图形中一共有 9 个小圆圈，第个图形中一共有 12 个小圆圈， ，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为 24 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】由图形可知：第 1 个图形有 3+31=6 个圆圈，第 2 个图形有 3+32=9 个圆圈，第 3 个图形有 3+33=12 个圆圈，由此得出第 n 个图形有 3+3n 个圆圈，进一步代入求得答案即可 【解答】解：第 1 个图形有 3+31=6 个圆圈， 第 2 个图形有 3+32=9 个圆圈， 第 3 个图形有 3+33=12 个圆圈， 第 1
23、7 页（共 29 页） 第 n 个图形有 3+3n 个圆圈 则第个图形中小圆圈的个数为 3+37=24， 故选：24 三、解答题：本大题共 10 个小题，满分 102 分，解答时应写出必要的计算过程、 推理步骤或文字说明 17解方程：（x3） 2+4x（x3）=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】方程的左边提取公因式 x3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法 求解 【解答】解：原式可化为：（x3） （x3+4x）=0 x3=0 或 5x3=0 解得 18如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，每个小方格的边长为 1 个单 位长度正方形 ABCD 顶点都在格点上，其中，点 A 的
24、坐标为（1，1） （1）将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 90画出旋转后的图形； （2）若点 B 到达点 B1，点 C 到达点 C1，点 D 到达点 D1，写出点 B1、C 1、D 1 的 坐标 【考点】作图-旋转变换 第 18 页（共 29 页） 【分析】 （1）分别画出 B、C 、D 三点绕点 A 顺时针方向旋转 90后的对应点 B1、C 1、D 1 即可 （2）根据图象写出坐标即可 【解答】解：（1）正方形 ABCD 绕点 A 顺时针方向旋转 90，旋转后的图形如 图所示 （2）B 1（2 ，1） ，C 1（4，0） ，D 1（3，2） 19如图，点 A，B 在O 上，直线
25、AC 是O 的切线，OCOB ，连接 AB 交 OC 于点 D求证： AC=CD 【考点】切线的性质；垂径定理 【分析】AC 为圆的切线，利用切线的性质得到 OAC 为直角，再由 OC 与 OB 垂直，得到BOC 为直角，由 OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利 用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证 【解答】直线 AC 与O 相切， OAAC， OAC=90，即OAB+CAB=90 ， 第 19 页（共 29 页） OCOB， BOC=90， B+ODB=90 ， 而ODB=ADC， ADC+B=90， OA=OB， OAB= B， ADC=CAB， A
26、C=CD 20甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6 的 4 张牌做抽 数学游戏游戏规则是：将这 4 张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一 张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗 匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位 数若这个两位数小于 45，则甲获胜，否则乙获胜你认为这个游戏公平吗？ 请运用概率知识说明理由 【考点】游戏公平性 【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双 方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包 含的情况数目是否相等 【解答】解：这个游戏不
27、公平，游戏所有可能出现的结果如下表： 第二次第一次 3 4 5 6 3 33 34 35 36 4 43 44 45 46 5 53 54 55 56 6 63 64 65 66 第 20 页（共 29 页） 表中共有 16 种等可能结果，小于 45 的两位数共有 6 种 P （甲获胜） = ，P （乙获胜） = ， 这个游戏不公平 21已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A，点 G、E 分别在线段 AD、AB 上，若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，连接 DG，在旋转的 过程中，你能否找到一条线段的长与线段 DG 的长度始终相等？并说明理由 【考点】正方形的
28、性质；全等三角形的判定与性质 【分析】观察 DG 的位置，找包含 DG 的三角形，要使两条线段相等，只要找到 与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段 【解答】解：连接 BE，则 BE=DG 理由如下： 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形， AB=AD，AE=AG ，BAD=EAG=90， BADBAG=EAG BAG，即DAG=BAE， 则 ， BAEDAG（SAS） ， BE=DG 第 21 页（共 29 页） 22如图是函数 y= 与函数 y= 在第一象限内的图象，点 P 是 y= 的图象上一 动点，PA x 轴于点 A，交 y= 的图象于点 C，PBy 轴于点 B，交 y
29、= 的图象 于点 D （1）求证：D 是 BP 的中点； （2）求四边形 ODPC 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得 P、D 点坐标，根据 线段中点的定义，可得答案； （2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案 【解答】 （1）证明：点 P 在函数 y= 上， 设 P 点坐标为（ ，m ） 点 D 在函数 y= 上，BPx 轴， 设点 D 坐标为（ ，m ） ， 由题意，得 BD= ，BP= =2BD， 第 22 页（共 29 页） D 是 BP 的中点 （2）解：S 四边形 OAPB= m=6， 设 C 点坐标为（x，
30、 ） ，D 点坐标为（ ，y） ， SOBD = y = ， SOAC = x = ， S 四边形 OCPD=S 四边形 PBOASOBD SOAC =6 =3 23如图，已知二次函数 y= +bx+c 的图象经过 A（2，0） 、B （0，6）两 点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求ABC 的面积 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）二次函数图象经过 A（2，0） 、B （0，6）两点，两点代入 y= +bx+c，算出 b 和 c，即可得解析式 （2）先求出对称轴方程，写出 C 点 的坐标，计算出 AC，然后由面积公式计
31、算值 【解答】解：（1）把 A（2，0） 、B （0，6）代入 y= +bx+c， 得： 第 23 页（共 29 页） 解得 ， 这个二次函数的解析式为 y= +4x6 （2）该抛物线对称轴为直线 x= =4， 点 C 的坐标为（ 4，0 ） ， AC=OCOA=42=2， S ABC = ACOB= 26=6 24如图，Rt ABC 中，ABC=90，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是半圆O 的切线 （2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OD，OE，由 AB 为圆的直径
32、得到三角形 BCD 为直角三角形， 再由 E 为斜边 BC 的中点，得到 DE=BE=DC，再由 OB=OD，OE 为公共边，利用 SSS 得到三角形 OBE 与三角形 ODE 全等，由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD 垂直，即可得证； （2）在直角三角形 ABC 中，由 BAC=30 ，得到 BC 为 AC 的一半，根据 BC=2DE 求出 BC 的长，确定出 AC 的长，再由C=60，DE=EC 得到三角形 EDC 为等边三角形，可得出 DC 的长，由 ACCD 即可求出 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，OE，BD， 第 24 页（共 29 页） AB 为圆 O 的
33、直径， ADB=BDC=90， 在 RtBDC 中，E 为斜边 BC 的中点， DE=BE， 在OBE 和ODE 中， ， OBEODE （SSS） ， ODE=ABC=90 ， 则 DE 为圆 O 的切线； （2）在 Rt ABC 中，BAC=30， BC= AC， BC=2DE=4， AC=8， 又C=60 ，DE=CE， DEC 为等边三角形，即 DC=DE=2， 则 AD=ACDC=6 25某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池 （平面图如图 ABCD 所示） 由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超 第 25 页（共 29 页） 过 16 米如果池的
34、外围墙建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每 米 300 元，池底建造单价为每平方米 80 元 （池墙的厚度忽略不计）当三级污 水处理池的总造价为 47200 元时，求池长 x 【考点】一元二次方程的应用 【分析】本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200 元，由此可列方程求解 【解答】解：根据题意，得 2（x + 400）+2 300+20080=47200， 整理，得 x239x+350=0 解得 x1=25， x2=14 x=25 16， x=25 不合题意，舍去 x=14 16， = 16， x=14 符合题意 所以，池长为 14 米 26在平面
35、直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx4 经过 A（ 4，0） ，C（2，0） 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面 积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，点 B 是抛物线与 第 26 页（共 29 页） y 轴交点判断有几个位置能够使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边 形，直接写出相应的点 Q 的坐标 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，然后把点 A、B 、C 的坐
36、标代入函 数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二 次函数的最值，然后即可得解； （3）利用直线与抛物线的解析式表示出点 P、Q 的坐标，然后求出 PQ 的长度， 再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于 x 的一元二次方程即可得 解 【解答】解：（1）将 A（ 4，0） ，C（2，0）两点代入函数解析式，得 解得 所以此函数解析式为：y= x2+x4； （2）M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上， M 点的坐标为：（m， m2+m4） ， S=S AOM+SOBM SAOB 第 27 页（共 29 页） = 4
37、（ m2+m4）+ 4（m） 44 =m22m+82m8 =m24m =（m+2） 2+4， 4 m0， 当 m=2 时， S 有最大值为：S=4+8=4 答：m=2 时 S 有最大值 S=4 （3）点 Q 是直线 y=x 上的动点， 设点 Q 的坐标为（ a，a） ， 点 P 在抛物线上，且 PQy 轴， 点 P 的坐标为（ a， a2+a4） ， PQ=a （ a2+a4）= a22a+4， 又OB=0（4）=4， 以点 P，Q ， B，O 为顶点的四边形是平行四边形， |PQ|=OB， 即| a22a+4|=4， a22a+4=4 时，整理得，a 2+4a=0， 解得 a=0（舍去）或 a=4， a=4， 所以点 Q 坐标为（ 4，4） ， 第 28 页（共 29 页） a22a+4=4 时，整理得， a2+4a16=0， 解得 a=22 ， 所以点 Q 的坐标为（ 2+2 ，22 ）或（ 22 ，2+2 ） 综上所述，Q 坐标为（4，4）或（ 2+2 ，2 2 ）或（2 2 ，2+2 ）时， 使点 P，Q ， B，O 为顶点的四边形是平行四边形 第 29 页（共 29 页） 2017 年 2 月 9 日
