1、2005-2006 学年第一学期期末考试题 高 三 数 学 命题人：江苏省兴化市周庄高级中学 张乃贵 邮编 225711 测试范围：2005 年高考大纲要求的全部内容 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。 第卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知映射 ,其中 ,对应法则 若对实数BAf： R，： 22xyxf ,在集合 A 中不存在原象,则 的取值范围是 ( )Bkk A B C D111k1k 2 的展开式中 的系数为 （ ）35x3x A B
2、 C D6699 3.在等差数列 中，若 ，则 的值为 ( ) na48102aa13a A14 B15 C16 D17 4已知 ，则 的值为 ( ) 3si()5xsi2x A B C D1925161425725 5设地球的半径为 ，若甲地位于北纬 东经 ，乙地位于南纬 东经 ，则R010 甲、乙两地的球面距离为 （ ） A B C D366R3R 6若 是常数，则“ ”是“对任意 ，有 ”cba、 0402caba且 x02cxba 的 ( ) A充分不必要条件. B必要不充分条件. C充要条件. D既不充分也不必要条件. 7双曲线 的左、右顶点分别为 、 ， 为其右支上一点，且2082
3、yx 1A2P ，则 等于 （ ）1214P21A 0.3 0.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 视力 频 率组 距A 无法确定 B C D3618128已知直线 ( 不全为 )与圆 有公共点,且公共点的横、纵01byaxa,0502yx坐标均为整数,那么这样的直线有 ( )A.66 条 B.72 条 C.74 条 D.78 条9. （文科做） 从 8 名女生，4 名男生中选出 6 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 （ ）A B C D428C 384C 12 428A（理科做）为了解某校高三学生的视力情况，随
4、机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4 组的频数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为b，则 a, b 的值分别为（ ）A0,27,78 B0,27,83C2.7,78 D2.7,83 10 (理科做) （ ）221()()ii A B C1 Di i 1 （文科做）如图,函数 的图象是中心在原点,焦点在 轴上的椭圆的两段弧,则不)(xfy x 等式 的解集为 （ ）xff)( A. 2,02| x或 B. |x或 C. 2,2| x或 D.0,2| xx且 11
5、.用正偶数按下表排列 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 28 26 则 2006 在第 行第 列. A第 251 行第 3 列 B第 250 行第 4 列 C第 250 行第 3 列 D第 251 行第 4 列 12.半径为 4 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点，且 AB， AC， AD 两两互相垂直，则 、ABC 、 面积之和 的最大值为 （ ）DACBSS A8 B16 C32 D64 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16
6、 分。把答案填在答题卡相 应位置。 13 （理科做） 22lim_(1)nnC 13 （文科做）命题“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题是_ ba,ba 14函数 的定义域是 .lg02xy 15定义一种运算“ ”对于正整数满足以下运算性质： （1） ；（2） ,则 的值是 61()2063()206nn8206 16如果直线 与圆 相交于 两点,且点 关kxy4mykxNM、 、 于直线 对称,则不等式组 所表示的平面区域的面积为_.0yx01ymkx 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分，第一、第二、第三小
7、问满分各 4 分) 已知函数 .1()lgxf (1)求 的定义域;x (2)求该函数的反函数 ;1()fx (3)判断 的奇偶性.1()fx 18 （本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）某港口水的深度 y（米）是时间t（ ，单位：时）的函数，记作y=f （t），下面是某日水深的数据：024t t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数 的图象.sinyAtb （）试根据以上数据，求出函数 的近似表达式；)(tfy （）一般情
8、况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船 舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米. 如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进 出港所需的时间） 19. （文科做本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）已知某种从太空飞船中带回 的植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的13 发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种 子没有发芽，则称该次实验是失败的 (1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； (2) 第二小
9、组进行试验，到成功了 4 次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有 两次连续失败的概率 19 （理科做本小题满分 12 分第一、第二小问满分各 6 分）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游 景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景 点互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝 对值. （）求 的分布及数学期望； （）记“函数 f(x) x23 x1 在区间2， 上单调递增”为事件 A，求事件 A 的) 概率. 20 （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分） 如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面
10、 AA1B1B底面 ABC，侧棱 AA1与底面 ABC 成 600 的角， AA1= 2底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，其重心为 G 点。E 是线段 BC1上一点， 且 BE= BC1 3 （）求证： GE侧面 AA1B1B ； （）求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小 21 （本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二、第三小问满分各 5 分）设函数 （ a、 b、 c、 dR）图象关于原点对称，且 x=1 时，dcxbaxf2)(3 取极小值 . （1）求 a、 b、 c、 d 的值； （2）当 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证1,x
11、 明你的结论； （3）若 时，求证： .,21 34|)(|21xff 22 （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分）过抛物线 的对称2(ypx0) 轴上的定点 ，作直线 与抛物线相交于 两点. (,0)MmAB,AB （1）试证明 两点的纵坐标之积为定值；AB （2）若点 是定直线 上的任一点，试探索三条直线 的斜率之间N:lx,NM 的关系，并给出证明. 中学试卷网 2005-2006 学年第一学期期末考试题 高三数学参考答案与评分标准 第一卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题意
12、要求的. 1. 已知映射 ,其中 ,对应法则 若对实数BAf： R，： 22xyxf ,在集合 A 中不存在原象,则 的取值范围是 ( B )Bkk A B C D111k1k 提示：设 ,据题意知此方程应无实根kx22 ， ，故选 B0402 2 的展开式中 的系数为 （ B ）351x 3x A B C D699 提示： 3235 11x 642xx 展开式中 的系数为 故选 B332 3.在等差数列 中，若 ，则 的值为 ( C ) na468102aa913a A14 B15 C16 D17 提示：设等差数列 的公差为 ， 由等差数列的性质知：nd885204a ,选 C9191991
13、32()()63d 4已知 ，则 的值为 (D )si()5xsix A B C D2621425725 提示：由已知得 ，两边平方得 ，求得 3(cosin)x9(sin)x7sin25x 或令 ，则 ，所以4xi5siin)co12x 5.设地球的半径为 ，若甲地位于北纬 东经 ，乙地位于南纬 东经 ，则R451010 甲、乙两地的球面距离为（ D ） A B C D366R23R 提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，AOB=120， A、B 两点间的球面距离为 2R= . 选 D31 6若 是常数，则“ ”是“对任意 ，有 ”cba、 040caba且 x0
14、2cxba 的 (A) A充分不必要条件. B必要不充分条件. C充要条件. D既不充分也不必要条件. 提示：易知 对任意 恒成立。0402caba且 02cxbRx 反之， 对任意 恒成立不能推出xR0402caba且 反例为当 时也有 对任意 恒成立c且 2cxbx “ ”是“对任意 ，有 的充分不必要条件,选0402caba且 x0a A 7双曲线 的左、右顶点分别为 、 ， 为其右支上一点，且82yx 1A2P ，则 等于 （D ）21214AP21 A 无法确定 B C D361812 提示：设 ， ，过点 作 轴的垂线 ，垂足为 ，则),(yx0PxH （ 其中 ）,tan1aHP
15、ayA2tn0821tt 221xA21 设 ， 则xPxHPA52 ， 即 ， 故选 D25x11 8已知直线 ( 不全为 )与圆 有公共点,且公共点的横、纵0byaa,0502yx 坐标均为整数,那么这样的直线有 ( B. ) A.66 条 B.72 条 C.74 条 D.78 条 提示：先考虑 时,圆上横、纵坐标均为整数的点有 、 、 ，依圆yx )7,1(,)1,7( 的对称性知,圆上共有 个点横纵坐标均为整数,经过其1243 中任意两点的割线有 条,过每一点的切线共有 12 条,又6C 考虑到直线 不经过原点,而上述直线中经过原点0byax 的有 6 条，所以满足题意的直线共有 条,
16、故选7261 B. (1,7) y x (7,1) (5,5) 0.3 0.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 视力 频 率组 距9. （文科做） 从 8 名女生，4 名男生中选出 6 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为（A ）A B C D428C 384C 12 428A提示：应从 8 名女生中选出 4 人，4 名男生中选出 2 人，有 种选法，故选 A428（理科做）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4 组
17、的频数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b，则 a, b 的值分别为（ A. ）A0,27,78 B0,27,83 C2.7,78 D2.7,83 提示：注意到纵轴表示 ，组 距频 率 由图象可知，前 4 组的公比为 3， 最大频率 ，30.1.027a 设后六组公差为 ，则 ，解得： ，d56.90.271d0.5d 即后四组公差为 ， 所以，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为.5 （0.270.220.170.12）10078（人）.选 A. 10.(理科做) （ D ）221()()ii A B C1 Di i1
18、 提示： 故选 D221ii12iii （文科做）如图,函数 的图象是中心在原点,焦点在 轴上的椭圆的两段弧,则不等)(xfyx 式 的解集为 （ A. ）xff)( A. 2,02| x或 B. |x或 C. 2,2| x或 D. 0,2| xx且 提示：由图象知 为奇函数知，)(f )()(xff 原不等式可化为 ,此不等式的几何含义是 的图象在 图象下方的2x 2)(xg 对应的 的取值集合,将椭圆 与直线 联立得 ,x142y2xy142 .2,2 观察图象知 故选 A.,20xx或 11用正偶数按下表排列 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第一行 2 4 6
19、 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 28 26 则 2006 在第 251 行第 4 列. A第 251 行第 3 列 B第 250 行第 4 列 C第 250 行第 3 列 D第 251 行第 4 列 提示： 每行用去 4 个偶数，而 2006 是第 20062=1003 个偶数 又 10034= 250 前 250 行共用去 2504=1000 个偶数，剩下的 3 个偶数放入 251 行，考虑到奇数行 所排数从左到右由小到大,且前空一格， 2006 在 251 行，第 4 列 故选 D 12.半径为 4 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点，且 AB，
20、AC， AD 两两互相垂直，则 、ABC 、 面积之和 的最大值为 （C）ACDACBSS A8 B16 C32 D64 提示：由 AB， AC， AD 两两互相垂直，将之补成长方体知 AB2+AC2+AD2=(2R)2=6411122BCDASS A = 244A223B 等号当且仅当 取得，所以 的最大值为 32 ，选 CABCDABCDABSS 第二卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡相 应位置。 13 （理科做） 22lim_(1)nnC 答案： 3 提示： 222()3lili(1)1nn nC 13. （文科做）
21、命题“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题是_ ba,ba 答案：若 不都是偶数，则 不是偶数；, 14函数 的定义域是 .lg102xy 答案：（lg2，） 提示：由已知得 ，即 ，所以 .x 021x 2lgx 15定义一种运算“ ”对于正整数满足以下运算性质： （1） ；（2） ,则 的值是 061()63()6nn086 答案： 3 提示：设 则 且()na1(2)0na ， 即 ，13na13(631032086 16如果直线 与圆 相交于 两点,且点 关kxy42mykxNM、 、 于直线 对称,则不等式组 所表示的平面区域的面积为_.001y 提示： 两点,关于直线 对称,NM、
22、x ,又圆心 在直线 上1k)2,(mk0yx02m 原不等式组变为 作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为 . 01yx 41 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分，第一、第二、第三小问满分各 4 分) 已知函数 .1()lgxf (1)求 的定义域;x (2)求该函数的反函数 ;1()fx (3)判断 的奇偶性.1()fx 解: (1) 故函数的定义域是(1,1)0,1.x由 得 (2)由 ,得 ( R),所以 , 1lgyy10yx 所求反函数为 ( R). 1()fx0x (3) = = ,所以 是奇
23、函数. 1()fxx1()f1()fx 18 （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分） 某港口水的深度 y（米）是时间t （ ，单位：时）的函数，记作y=f（t ），下面024t 是某日水深的数据： t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0 经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数 的图象.sinyAtb （）试根据以上数据，求出函数 的近似表达式；)(tfy （）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全 的（船舶停靠时，船底只需不
24、碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离） 为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时 间（忽略进出港所需的时间） 解：（）由已知数据，易知函数y=f （t）的周期T=12,振幅 A=3, b=10 （0t 24）16 sin3 （）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米） 5i.t 解得， 6sn21 Z)(k 6526ktk Z)( tk 在同一天内，取k=0或1 1t5或13t17 该船最早能在凌晨 1 时进港，下午 17 时出港，在港口内最多停留 16 个小时。 19. （文科做本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分
25、）已知某种从太空飞船中带 回的植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子13 的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果 种子没有发芽，则称该次实验是失败的 (1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率； (2) 第二小组进行试验，到成功了 4 次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有 两次连续失败的概率 解：(1) 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是 233117()C2PA (2) 第二小组在第 4 次成功前，共进行了 6 次试验，其中三次成功三次失败，且恰有 两次连续失败，其各种可能的情况种数
26、为 因此所求的概率为4A1 312()79B （理科做本小题满分 12 分第一、第二小问满分各 6 分）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景 点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点 互不影响，设 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对 值. （）求 的分布及数学期望； （）记“函数 f(x) x23 x1 在区间2， 上单调递增”为事件 A，求事件 A 的) 概率. 解：（I）分别记“客人游览甲景点” ， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点” 为事件 A1，A 2，A 3. 由已知 A1，A 2，A 3相互独立，P（A 1
27、）=0.4，P（A 2）=0.5，P（A 3） =0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能 取值为 3，2，1，0，所以 的可能取值为 1，3. P（ =3）=P（A 1A2A3）+ P（ ）32A = P（A 1）P（A 2）P（A 3）+P（ ）)()321P =20.40.50.6=0.24， P（ =1）=10.24=0.76. 所以 的分布列为 E =10.76+30.24=1.48. （）解法一 因为 ,491)23()2xf 所以函数 上单调递增，)(2在 区 间x 要使 上单调递增，当且仅当),)在f .34,23即 从而 .
28、760)1(34(PAP 解法二： 的可能取值为 1，3. 当 =1 时，函数 上单调递增，),2)(2在 区 间xf 当 =3 时，函数 上不单调递增，9在 区 间 所以 .760)1()PA 20 （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分） 如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 AA1B1B底面 ABC，侧棱 AA1与底面 ABC 成 600 的角， AA1= 2底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，其重心为 G 点。E 是线段 BC1上一点，且 BE= BC1 3 （）求证： GE侧面 AA1B1B ； （）求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小
29、1 3 P 0.76 0.24 解：(1)延长 B1E 交 BC 于 F, B 1ECFEB, BE 21 ，从而为的中点 2 为 的重心，、三点共线，且 FAG ，GEAB 1，1FBE3 又 GE 侧面 AA1B1B， GE侧面 AA1B1B （）在侧面 AA1B1B 内，过 B1作 B1，垂足为，侧面 AA1B1B底面 ABC， B 1底面 ABC又侧棱 AA1与底面 ABC 成 600的角， AA 1= 2， B 1 ，B 1 3 在底面 ABC 内，过作，垂足为，连 B1由三垂线定理有 B1， 又平面 B1GE 与底面 ABC 的交线为，B 1为所求二面角的平面角 ， ， sin30
30、 0 ，23 在B 1中，B 1 ，HT132 从而平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 arctan 21 （本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二、第三小问满分各 5 分）设函数 （ a、 b、 c、 dR）图象关于原点对称，且 x=1 时，dcxbaxf2)(3 取极小值 . （1）求 a、 b、 c、 d 的值； （2）当 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证1,x 明你的结论； （3）若 时，求证： .,21 34|)(|21xff 解（1）函数 图象关于原点对称，对任意实数 ，)(xf )()(xff有 ，即 恒成立dcxbaxdcb
31、a 442323 02db 0,d ，cxfcxf233)(,)( 时， 取极小值 ，解得 1x)(xf 3203,2ca且 1,ca （2）当 时，图象上不存在这样的两点使结论成立. , 假设图象上存在两点 、 ，使得过此两点处的切线互相垂直，),(1yxA),(2yB 则由 知两点处的切线斜率分别为 ，)(2xf 1,221xk 且 （ *）122 、 ，x,0)(,01, 221221 xx 此与（*）相矛盾，故假设不成立. 证明（3） ，),(,)(,)(2 fxf 得令 或 ，0)(1;0,1xfx时时 上是减函数，且 )(在f 32)1(,32minma fxff 在1，1上， 时
32、，,32|)(| 21xxf于 是 . 4|)(|()| 12 ffxf 22 （本小题满分 12 分，第一、第二小问满分各 6 分）过抛物线 的对称2(ypx0) 轴上的定点 ，作直线 与抛物线相交于 两点. (,0)MmAB,AB （1）试证明 两点的纵坐标之积为定值；AB （2）若点 是定直线 上的任一点，试探索三条直线 的斜率之间N:lx,NM 的关系，并给出证明. （1）证明:.设 有 ，下证之：12(,)(,)y12ypm 设直线 的方程为: 与 联立得ABxtx2ypxtm 消去 得x20yptm 由韦达定理得 ,12 （2）解：三条直线 的斜率成等差数,ANMB 列，下证之： 设点 ，则直线 的斜率为(,)mn ;1ANykx 直线 的斜率为B2BNynkxm122ANBkyp122()()pynypm12211221()()()nyypyy1212)(nnpm 又 直线 的斜率为MN0MNk2ABk 即直线 的斜率成等差数列.,
