1、海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文科) 2011.1 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1 sin240的值为 A B 12 C 32 D 32 2. 若等差数列 na的前 项和为 nS，且 36a，则 4S的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 9 3. 设 ,为两个不同的平面，直线 l，则“ l”是“ ”成立的 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速 60 km/h 是 否合
2、理，对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测，将 所得数据按 40，50 )， 50,6)， ,70)， ,8分组， 绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速 低于限速的汽车有 A.75 辆 B.120 辆 C.180 辆 D.270 辆 5.点 (2,)Pt在不等式组 403xy表示的平面区域内， 则点 ,到直线 1距离的最大值为 A. B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为 A12 B6 C 4 D2 7. 已知函数 1()sin,03fxx，01cos3 （ 0,） ，那么下面结论正确的是 A ()fx在 上是减函数 B
3、. ()fx在 0,上是减函数 车 速O40567800.1.35a频 率组 距 正视图 左视图 俯视图 2212 C. 0,x, 0()fxf D. 0,x, 0()fxf 8. 已知椭圆 E： 142ym，对于任意实数 k，下列直线被椭圆 E所截弦长与 l：1kxy 被椭圆 所截得的弦长不可能相等的是 A 0 B 01ykx C 0kxy D 20kxy 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 若直线 l经过点（1，2）且与直线 2平行,则直线 l的方程为_. 10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入 4， 则输出的 S 为 . 1
4、1椭圆 2156xy 的右焦点 F的坐标为 .则顶点在原点的抛物线 C的焦点也为F ，则其标准方程为 . 12在一个边长为 1000 米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机 投放一个爆破点，则爆破点距离监测站 200 米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆 破点被监测到的概率为_. 13 已知向量 (1,),)ttab.若 2ab与 垂直, 则 |_a. 14在平面直角坐标系 xOy中， 为坐标原点.定义 ()1,Pxy、 ()2,Qy两点之间的“直 角距离”为 1212(,)dPQ=-+-为. 若点 13A-，则 (,)dO= ； 已知 1,0B，点 M 为直线 0xy-
5、=上动点，则 (,)dBM的最小值为 . 开 始0;Sni21nS是 否 S输 出结 束i输 入 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程. 15 （本小题满分 13 分） 设函数 13()sincos2fxx， R. （I）求函数 f的周期和值域； （II）记 ABC的内角 ,的对边分别为 cba,，若 3(),2fA 且 ab， 求角 的值. 16. （本小题满分 13 分） 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果围棋社被抽出 12
6、 人. (I) 求这三个社团共有多少人？ (II) 书法社从 3 名高中和 2 名初中成员中，随机选出 2 人参加书法展示，求这 2 人中初、 高中学生都有的概率. 围棋社 戏剧社 书法社 高中 45 30 a 初中 15 10 20 17. （本小题满分 13 分） 如图，棱柱 ABCD 1ABCD的底面 为菱形 ， ACBDO，侧棱 1ABD, 点 F 为 1的中点 （I） 证明： /O平面 1； （II）证明：平面 平面 1. ABC 1B1C1DF1O 18. （本小题满分 13 分） 已知函数 32()1,afx 其中 0. （I）若曲线 yf在 ,()f处的切线与直线 1y平行，求
7、 a的值； （II）求函数 ()fx在区间 2上的最小值. 19. （本小题满分 14 分） 已知圆 2:4Oy,点 P为直线 :4lx上的动点. (I)若从 P到圆 的切线长为 3，求 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II）若点 (2,0)(,AB，直线 ,AB与圆 O的另一个交点分别为 ,MN,求证:直线MN 经过定点 1. 20. （本小题满分 14 分） 已知集合 1,23,An *()N.对于 A 的一个子集 S，若存在不大于 n的正整 数 m，使得对于 S 中的任意一对元素 12,s，都有 12sm，则称 S 具有性质 P. （）当 10n时，试判断集合 9Bx和 *31,Cx
8、kN是否具有 性质 P？并说明理由. (II)若集合 S具有性质 P，试判断集合 (21)TnS)是否一定具有性质 P？并 说明理由. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学（文） 答案及评分参考 20111 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C B D B D 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分） 9. 40xy 10. 19 11.(3,0) 21yx 12.
9、5 13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15 （共 13 分） 解：（I） xxfcos23sin1)()3in( ， . 3 分 )(xf的周期为 （或答: 0,kZ）. 4 分 因为 R，所以 3xR, 所以 )(f值域为 1, . .5 分 （II）由（I）可知， )sin()Af , .6 分 23)sin(A , .7 分 0, 343 , 8 分 2,A 得到 A . .9 分 ,23ba且 BbAasini , 10 分 si32, 1si , 11 分 B0， 2B . 12 分 6AC . 13 分 16. （共 13 分） 解：（I）
10、围棋社共有 60 人， .1 分 由 150326可知三个社团一共有 150 人. .3 分 （II）设初中的两名同学为 21,a，高中的 3 名同学为 321,b, .5 分 随机选出 2 人参加书法展示所有可能的结果:1121321,abb 2233 ，共 10 个基本事件 . 8 分 设事件 A表示“书法展示的同学中初、高中学生都有” ， 9 分 则事件 共有 121321223,ababab 6 个基本事件. .11 分 5306)(AP. 故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 35. 13 分 17. （共 13 分） 解：（I） 四边形 ABCD 为菱形且 ACBDO
11、， O是 BD的中点 . .2 分 又点 F 为 1的中点, 在 1DBC中， 1/OF, .4 分 平面 ， 平面 1BC , /平面 1 . .6 分 （II） 四边形 ABCD 为菱形 , ACBD, .8 分 又 1， ,A且 1,C平面 1A ,.10 分 平面 1, 11 分 B平面 C , 平面 1D平面 1A. 13 分 18. （共 13 分） 解： 3322()()axfx ， 0. .2 分 （I）由题意可得 3(1)f，解得 1a， 3 分 此时 4f，在点 ,(f处的切线为 4y，与直线 1y平行. 故所求 a值为 1. 4 分 （II）由 ()0fx可得 a， 0，
12、 5 分 当 1a时， ()f在 1,2上恒成立 ， 所以 yfx在 ,上递增， .6 分 所以 ()f在 2上的最小值为 3(1)2fa . 7 分 当 1a时，x(1,)a(,)f 0 ( 极小 由上表可得 )yfx在 1,2上的最小值为 2()31fa . 11 分 当 2a时， (0f在 )上恒成立， 10 分 所以 ()yfx在 1,2上递减 . 12 分 所以 f在 上的最小值为 3(2)5fa . .13 分 综上讨论，可知： 当 01a时， ()yfx在 1,上的最小值为 3(1)2fa； 当 2时， f在 2上的最小值为 f； 当 a时， ()yfx在 ,上的最小值为 3(2
13、)5fa. 19. （共 14 分） 解：根据题意，设 (4,)Pt . (I)设两切点为 ,CD，则 ,OCDP， 由题意可知 222|,即 224(3)t ， 2 分 解得 0t，所以点 P坐标为 (,0). .3 分 在 ROC中，易得 6C，所以 120DOC. 4 分 所以两切线所夹劣弧长为 243. .5 分 （II）设 12(,)(,)MxyN， (1,0)Q， 依题意，直线 PA经过点 4Pt， 可以设 :(2)6tyx， 6 分 和圆 24xy联立，得到 2()64 tyx ， 代入消元得到， 2(36)10txt ， 7 分 因为直线 AP经过点 ,0(,)My，所以 12
14、,x是方程的两个根， 所以有 21436tx ， 21736tx ， . 8 分 代入直线方程 (2)6tyx得， 21274()6336ttty . 9 分 同理，设 :()tBP，联立方程有 2(4 txy ， 代入消元得到 22(4)4160txt， 因为直线 经过点 2,0(,)Ny，所以 2,x是方程的两个根，2164tx ， 284tx ， 代入 ()ty得到 2228()4tty . .11 分 若 1x，则 1t，此时 21tx 显然 ,MQN三点在直线 上，即直线 MN经过定点 Q(1,0)12 分 若 1x，则 2t， 2x， 所以有 21 2 4083671MQtytkx
15、t ， 222 80411NQtytkxt 13 分 所以 MQNk， 所以 ,三点共线， 即直线 经过定点 (1,0). 综上所述，直线 经过定点 Q,. .14 分 20. （共 14 分） 解：（）当 10n时，集合 1,23,90A ，9,Bx 不具有性质 P. .1 分 因为对任意不大于 10 的正整数 m， 都可以找到集合 中两个元素 10b与 2， 使得 12b成立 . .3 分 集合 *31,CxAkN具有性质 P. 4 分 因为可取 0m，对于该集合中任意一对元素 123,1ck， *2,kN 都有 12123ck . 6 分 （）若集合 S 具有性质 P，那么集合 (21)TnxS一定具有性质 P. 7 分 首先因为 (21)TnxS，任取 0,tT 其中 0xS， 因为 A，所以 0,3.,， 从而 1(2)2nxn，即 ,tA所以 .8 分 由 S 具有性质 P，可知存在不大于 n的正整数 m， 使得对 S 中的任意一对元素 12,s，都有 12s， 9 分 对上述取定的不大于 n的正整数 m， 从集合 (21)TxS中任取元素 1122,tnxtnx， 其中 1,x， 都有 122tx ； 因为 2，所以有 m，即 1t 所以集合 (1)TnxS具有性质 P .14 分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.
