1、北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科) 2016.1 第卷(选择题 共 40 分) 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项 1设集合 ,集合 ,若 ,则实数 的取值范围是( )|1Ax2BaABa (A) (B) (C) (D)(,(,1,)1,) 2. 下列函数中,值域为 的偶函数是( )R (A) (B) (C) (D ) 21yxexylg|yx 2yx 3. 设命题 p:“若 ,则 ”,命题 q:“若 ,则 ”,则( ) sin6ab1 (A)“ ”为真命题 (B )“ ”为假
2、命题qpq (C)“ ”为假命题 (D)以上都不对 4. 在数列 中,“对任意的 , ”是“数列 为等比数列”的( )na*nN 212nnana (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示,那么这个 几何体的表面积是( ) (A) 1623 (B) 5 (C) 0 (D) 2 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 1 1 开始 4x 输出 y 结束 否是 输入 x y=12 1 6. 设 , 满足约束条件 若 的最大值与最小值的差为 7,则实数 ( xy 1,3,xym 3zxym ) (A) (B )
3、 (C ) (D) 32321414 7. 某市乘坐出租车的收费办法如下: 不超过 4 千米的里程收费 12 元; 超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于 0.5 千米则不收费,若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费); 当车程超过 4 千米时,另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示,其中 (单位:千米)为行驶里程, (单位:元)为xy 所收费用,用x 表示不大于 x 的最大整数,则图中 处应填( ) 1 (A) 124yx (B) 5 (C) 124yx (D) 5 8. 如图,正方形 的边长为 6,点 , 分别在边 , 上,且
4、, .ABCEFADBC2EACFB 如果对于常数 ,在正方形 的四条边上,有且只有 6 个不同的点 P 使得 成立,那D= 么 的取值范围是( ) (A) (0,7) (B) 4 (C) (,) E F D P C A B B O C A N M (D) (5,16) 第卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. 已知复数 满足 ,那么 _.z(1i)24iz 10在 中,角 A,B , C 所对的边分别为 a,b,c. 若 , , ,则 _. AB3a2cosC 11双曲线 C: 的渐近线方程为_;设 为双曲线 C 的左、右焦点,P
5、为 C 上一 26xy12,F 点,且 ,则 _.1|4PF2| 12如图,在 中, , , ,点 为AB903AB4C的中B 点,以 为直径的半圆与 , 分别相交于点 , ,CCO则 _; _. N M 13. 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴 趣小组 的带队教师至多 2 人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有_种.(用 数字作答) 14. 某食品的保鲜时间 t(单位:小时)与储藏温度 x(单位: )满足函数关系 C 60,24, .kxt 且该食品在 的保鲜时间是 16 小时.4C 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品,并将其遗放在室外,且
6、此日的室外温度随时间变化如图 所示. 给出以下四个结论: 该食品在 的保鲜时间是 8 小时; 1 6 当 时,该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少; 2 ,x 到了此日 13 时,甲所购买的食品还在保鲜时间内; 3 到了此日 14 时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 4 其中,所有正确结论的序号是_. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15(本小题满分 13 分) 已知函数 , .3()cos(incos)2fxxxR ()求 的最小正周期和单调递增区间;f ()设 ,若函数 为奇函数,求 的最小值 .0()gxf 16(本小
7、题满分 13 分) 甲、乙两人进行射击比赛,各射击 4 局,每局射击 10 次,射击命中目标得 1 分,未命中目标 得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下: 甲 6 6 9 9 乙 7 9 xy ()若从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,求这 2 局的得分恰好相等的概率; ()如果 ,从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局,记这 2 局的得分和为 ,xy X 求 的分布列和数学期望;X ()在 4 局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出 的所有可能x 取值.(结论不要求证明) 17(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形, ,侧面 底
8、面PABCD 135BCDPAB , , , 分别为 的中点,点 在线段 上.ABCD902EF,AM ()求证: 平面 ; EF ()若 为 的中点,求证: 平面 ;M/MP ()如果直线 与平面 所成的角和直线PBCF C A D P M B E 与平面 所成的角相等,求 的值.MEABCD PMD 18(本小题满分 13 分) 已知函数 ,函数 ,其中 2()1fx()2lngxt1t ()如果函数 与 在 处的切线均为 ,求切线 的方程及 的值;1llt ()如果曲线 与 有且仅有一个公共点,求 的取值范围()yf()yt 19(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 的离心率为 ,点
9、 在椭圆 C 上.)0(12bayx233(1,)2A ()求椭圆 C 的方程; ()设动直线 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆,满足此l 圆与 相交两点 , (两点均不在坐标轴上),且使得直线 , 的斜率之积为定值?若存l1P2 1P2 在,求此圆的方程;若不存在,说明理由. 20(本小题满分 13 分) 在数字 的任意一个排列 A: 中,如果对于 ,有21,()n 12,na ,ijijN ,那么就称 为一个逆序对 . 记排列 A 中逆序对的个数为 . ija,ija ()SA 如 时,在排列 B:3, 2, 4, 1 中,逆序对有 , , , ,则 .=
10、4(3,),14,()4B ()设排列 3, 5, 6, 4, 1, 2,写出 的值; C: SC ()对于数字 1,2, ,n 的一切排列 A,求所有 的算术平均值; ()S ()如果把排列 A: 中两个数字 交换位置,而其余数字的位置保持不变,,a ,ija 那么就得到一个新的排列 : ,求证: 为奇数.12,nb () 北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末 高三数学(理科)参考答案及评分标准 2016.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1A 2C 3B 4B 5B 6C 7D 8C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30
11、 分. 9 10 13i 9 11 12 2 yx1132916 1354 14 1 4 注:第 11,12 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15(本小题满分 13 分) ()解: 3()cos(incos)2fxx i(1x 4 分13sin2cosx , 6 分() 所以函数 的最小正周期 . 7 分fx 2=T 由 , ,2+3kk Z 得 ,51x 所以函数 的单调递增区间为 , . 9 分()f 5+12k,kZ (注:或者写成单调递增区间为 , . ) )(, ()解:由题意,得 , ()s
12、in3gxfx 因为函数 为奇函数,且 ,R 所以 ,即 , 11 分(0)g sin(2)03 所以 , , 23kZ 解得 , ,验证知其符合题意.6 又因为 ,0 所以 的最小值为 . 13 分 3 16(本小题满分 13 分) ()解:记 “从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局的得分恰好相等”为事件 ,A 1 分 由题意,得 , 241()C3PA 所以从甲的 4 局比赛中,随机选取 2 局,且这 2 局得分恰好相等的概率为 . 4 分3 ()解:由题意, 的所有可能取值为 , , , , 5 分X15618 且 , , , ,7 分3(1)8P(5)83()PX()
13、所以 的分布列为: X 13 15 16 18P381381 8 分 所以 . 10 分 1()3565EX ()解: 的可能取值为 , , . 13 分x78 17(本小题满分 14 分) ()证明:在平行四边形 中,因为 , ,ABCDAC135BD 所以 . 由 分别为 的中点,得 ,,EF,/EF 所以 . 1 分 因为侧面 底面 ,且 , PABCD90BAP 所以 底面 . 2 分 又因为 底面 ,EFABCD 所以 . 3 分P 又因为 , 平面 , 平面 , PACP 所以 平面 . 4 分 ()证明:因为 为 的中点, 分别为 的中点,MF 所以 ,/FA 又因为 平面 ,
14、平面 ,PBPAB 所以 平面 . 5 分/ 同理,得 平面 .E 又因为 , 平面 , 平面 ,=MFMEFEF 所以平面 平面 . 7 分/PAB 又因为 平面 , 所以 平面 . 9 分/E ()解:因为 底面 , ,所以 两两垂直,故以CD,APBC,ABCP 分别为 轴、 轴和 轴,如上图建立空间直角坐标系,xyz 则 , (0,)(2,)(0,)(,2)(,0)(1,ABE 所以 , , , 10 分PBC 设 ,则 ,(,1)MD(,)P 所以 , ,2, 2,1E 易得平面 的法向量 . 11 分ABC(0)m 设平面 的法向量为 ,P,xyzn 由 , , 得0n2,0 令
15、, 得 . 12 分1x(,) 因为直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等,MEPBCABCD 所以 ,即 , 13 分|cos,|cos,|mn|ME mn F C A D P M B E z yx 所以 , 2|3 解得 ,或 (舍). 14 分 18.(本小题满分 13 分) ()解:求导,得 , , 2 分()2fx ()tgx(0) 由题意,得切线 l 的斜率 ,即 ,解得 3 分1kf2kt1t 又切点坐标为 ,所以切线 l 的方程为 4 分(1,0)xy ()解:设函数 , 5 分 2()lnhxfgxt(0,) “曲线 与 有且仅有一个公共点”等价于“函数 有且仅有
16、一()y ()yhx 个零点” 求导,得 . 6 分 2()txthx 当 时,0t 由 ,得 ,所以 在 单调递增(,)x()0x()hx0,) 又因为 ,所以 有且仅有一个零点 ,符合题意 8 分1hy1 当 时, t 当 变化时, 与 的变化情况如下表所示:x()x(0,1)1(,)()h 0x 所以 在 上单调递减,在 上单调递增,()0,1(1,) 所以当 时, ,xmin()0h 故 有且仅有一个零点 ,符合题意 10 分()y1 当 时,01t 令 ,解得 ()hxxt 当 变化时, 与 的变化情况如下表所示:x()hx(0,)tt(,)t()hx 0 所以 在 上单调递减,在
17、上单调递增,()0,t(,)t 所以当 时, 11 分xmin()hx 因为 , ,且 在 上单调递增,(1)ht(,)t 所以 .0t 又因为存在 , , 12e(,)t1122()ln0tt tthee 所以存在 使得 ,0x0x 所以函数 存在两个零点 ,1,与题意不符.()y 综上,曲线 与 有且仅有一个公共点时, 的范围是 ,或 .fx()ygt0|t 1t 13 分 19(本小题满分 14 分) ()解:由题意,得 , , 2 分 32ca2bc 又因为点 在椭圆 上,(1,)AC 所以 , 3 分234ab 解得 , , ,13c 所以椭圆 C 的方程为 . 5 分 12yx (
18、)结论:存在符合条件的圆,且此圆的方程为 . 6 分25xy 证明如下: 假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 .22(0)xyr 当直线 的斜率存在时,设 的方程为 . 7 分llmkxy 由方程组 得 , 8 分2 ,14ykxm 048)4(22 因为直线 与椭圆 有且仅有一个公共点,lC 所以 ,即 . 9 分2221(8)(1)4)0km241mk 由方程组 得 , 10 分22 ,yxr22()0kxr 则 .22()4(1)0k 设 , ,则 , , 11 分1,Pxy2,xy12kmx 21rxk 设直线 , 的斜率分别为 , , O 所以 221212112()()()yk
19、xkxxmk , 12 分 22221mrmrkkk 将 代入上式,得 .241k22(4)1rk 要使得 为定值,则 ,即 ,验证符合题意.12 241r5 所以当圆的方程为 时,圆与 的交点 满足 为定值 .25xyl12,P12k4 13 分 当直线 的斜率不存在时,由题意知 的方程为 ,l lx 此时,圆 与 的交点 也满足 .25xyl12,P124 k 综上,当圆的方程为 时,圆与 的交点 满足斜率之积 为定值 . 2xyl12,P12k4 14 分 20(本小题满分 13 分) ()解: ; 2 分()10SC ()解:考察排列 与排列 ,D: 121,ndd 1121,nDd:
20、 因为数对 与 中必有一个为逆序对(其中 ),(,)ijji ij 且排列 D 中数对 共有 个, 3 分,ijd 2()Cn 所以 . 5 分1 ()()S 所以排列 与 的逆序对的个数的算术平均值为 . 6 分 (1)4n 而对于数字 1,2, ,n 的任意一个排列 A: ,都可以构造排列 A1: 12,na ,且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为 .1,naa () 所以所有 的算术平均值为 . 7 分()SA ()4 ()证明: 当 ,即 相邻时, 1 ji,ija 不妨设 ,则排列 为 ,iia1212,iiinaa 此时排列 与排列 A: 相比,仅多了一个逆序对 , n 1()
21、i 所以 ,()S 所以 为奇数. 10 分2()1 当 ,即 不相邻时, 2 ji,ija 假设 之间有 m 个数字,记排列 A: ,,ij 1212,imjnaka 先将 向右移动一个位置,得到排列 A1: ,i ,ii jk 由 ,知 与 的奇偶性不同, 1 1()SA 再将 向右移动一个位置,得到排列 A2: ,ia1123,iimjnakaka 由 ,知 与 的奇偶性不同, 1 2()1 以此类推, 共向右移动 m 次,得到排列 Am: , i 1212,mijnk 再将 向左移动一个位置,得到排列 Am+1: , ja i jiaa 以此类推, 共向左移动 m+1 次,得到排列 A2m+1: , j 121,jmink 即为排列 ,A 由 ,可知仅有相邻两数的位置发生变化时,排列的逆序对个数的奇偶性发生变化, 1 而排列 A 经过 次的前后两数交换位置,可以得到排列 ,21mA 所以排列 A 与排列 的逆序数的奇偶性不同, 所以 为奇数. ()S 综上,得 为奇数. 13 分()