1、2015-2016 学年湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项是正确的，请将 正确的选项填在后面的答题栏内 1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) A B C D 2如果分式 的值为 0，则 x 的值是( ) A1 B0 C 1 D1 3点 M（2，1）关于 x 轴的对称点 N 的坐标是( ) A （2，1） B （ 2，1） C （ 2，1） D （2，1） 4下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是( ) Am（xy）=mxmy Bx 2+2x+1=x（x+2）+1 Ca
2、2+1=a（a+ ） D15x 23x=3x（5x1） 5如图，ADBC ，AD=CB，要使 ADFCBE，需要添加的下列选项中的一个条件是( ) AAE=CF BDF=BE CA=C DAE=EF 6下列运算正确的是( ) A2a 2+a=3a3B （ a） 2a=a C （ a） 3a2=a6 D （2a 2） 3=6a6 7长为 9，6，3，4 的四根木条，选其中三根组成三角形，选法( ) A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 8解分式方程 +2= ，可知方程( ) A解为 x=2 B解为 x=4 C解为 x=3 D无解 9如图，在ABE 中，A=105，AE 的垂直平分线 MN 交
3、BE 于点 C，且 AB+BC=BE， 则B 的度数是( ) A45 B50 C55 D60 10如图，ABM 与CDM 是两个全等的等边三角形， MAMD有下列四个结论： （1）MBC=25 ；（2） ADC+ABC=180；（3）直线 MB 垂直平分线段 CD；（4）四 边形 ABCD 是轴对称图形其中正确结论的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 二、填空题：每题 3 分，共计 18 分。 11计算：4x 2y（ ）= _ 12若 x2+2（m 3）x+16 是完全平方式，则 m=_ 13如图，2+3+4=320 ，则1=_ 14如图，坐标平面上，ABCFDE，若 A 点的坐
4、标为（a，1） ，BCx 轴，B 点的坐标 为（b，3） ，D、E 两点在 y 轴上，则 F 点到 y 轴的距离为_ 15等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边的长为_ 16有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下： 则第 n 次运算的结果 yn_ （用含有 x 和 n 的式子表示） 三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分。 17 （1）计算： （2）分解因式：2ma 28mb2 18已知：如图，B、C、E 三点在同一条直线上，ACDE，AC=CE ， ACD=B 求证：ABCCDE 19 （1）解方程： （2）化简方程：（m ） （m 在 0，1， 2 这三个值取一个合适
5、的值） 20如图，已知锐角三角形 ABC （1）用尺规作 BC 的垂直平分线 l 和 B 的平分线 BM； （2）若 l 与 BM 交于 P，A=60 ，ACP=24，则ABP= _度 21如图，在ABC 中， ACB=2B，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，过 C 作 CNAD 交 AD 于 H，交 AB 于 N （1）求证：ANC 为等腰三角形； （2）试判断 BN 与 CD 的数量关系，并说明理由 22如图，在等边ABC 中，点 D 为 AC 上一点，CD=CE ， ACE=60 （1）求证：BCD ACE； （2）延长 BD 交 AE 于 F，连接 CF，若 AF=CF，猜想线
6、段 BF、AF 的数量关系，并证明 你的猜想 23在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成 这项工程需要 60 天，若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合作 24 天可完成 （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元若该工程计 划在 70 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是 由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 24如图（1） ，直线 AB 与 x 轴负半轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B、OA、OB 的长分别 为 a、b，且满足 a22ab+
7、b2=0 （1）判断AOB 的形状； （2）如图（2）过坐标原点作直线 OQ 交直线 AB 于第二象限于点 Q，过 A、B 两点分别 作 AMOQ、BNOQ，若 AM=7，BN=4，求 MN 的长； （3）如图（3） ，E 为 AB 上一动点，以 AE 为斜边作等腰直角三角形 ADE，P 为 BE 的中 点，延长 DP 至 F，使 PF=DP，连结 PO，BF，试问 DF、PO 是否存在确定的位置关系和 数量关系？写出你的结论并证明 2015-2016 学年湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题：本题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项是正确的，请将
8、 正确的选项填在后面的答题栏内 1在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：A、是轴对称图形，故 A 符合题意； B、不是轴对称图形，故 B 不符合题意； C、不是轴对称图形，故 C 不符合题意； D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意 故选：A 【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合 2如果分式 的值为 0，则 x 的值是( ) A1 B
9、0 C 1 D1 【考点】分式的值为零的条件 【分析】根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案 【解答】解：由分式 的值为 0，得 |x|1=0 且 2x+20 解得 x=1， 故选：A 【点评】本题考查了合并同类项，分子为零分母不为零分式的值为零是解题关键 3点 M（2，1）关于 x 轴的对称点 N 的坐标是( ) A （2，1） B （ 2，1） C （ 2，1） D （2，1） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】根据两点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果 【解答】解：根据两点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 点 M（2，1）关
10、于 x 轴的对称点的坐标是（2， 1） ， 故选：C 【点评】本题主要考查了两点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简 单 4下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是( ) Am（xy）=mxmy Bx 2+2x+1=x（x+2）+1 Ca 2+1=a（a+ ） D15x 23x=3x（5x1） 【考点】因式分解的意义 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案 【解答】解：A、是整式的乘法，故 A 错误； B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故 B 错误； C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故 C 错误； D、把一个多项式转化成
11、几个整式乘积的形式，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形 式 5如图，ADBC ，AD=CB，要使 ADFCBE，需要添加的下列选项中的一个条件是( ) AAE=CF BDF=BE CA=C DAE=EF 【考点】全等三角形的判定 【分析】求出 AF=CE，根据平行线的性质得出A= C，根据全等三角形的判定推出即 可 【解答】解：只有选项 A 正确， 理由是：AE=CF， AE+EF=CF+EF， AF=CE， ADBC， A=C， 在ADF 和CBE 中， ， ADFCBE（SAS） ， 故选 A 【点评】本题考查了全等三角
12、形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS ，SSS，主要考查学生的推理能力和辨析能力 6下列运算正确的是( ) A2a 2+a=3a3B （ a） 2a=a C （ a） 3a2=a6 D （2a 2） 3=6a6 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【专题】计算题 【分析】A、原式不能合并； B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果； C、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、原式不能合并，故 A 错误； B
13、、原式=a 2a=a，故 B 正确； C、原式=a 3a2=a5，故 C 错误； D、原式=8a 6，故 D 错误 故选：B 【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式 及法则是解本题的关键 7长为 9，6，3，4 的四根木条，选其中三根组成三角形，选法( ) A1 种 B2 种 C3 种 D4 种 【考点】三角形三边关系 【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的 组数 【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，3 和 9，6，4 和 6，3，4 和 9，3，4； 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有 9，6，4 和
14、3，6，44 故选：B 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之 差小于第三边是解题的关键 8解分式方程 +2= ，可知方程( ) A解为 x=2 B解为 x=4 C解为 x=3 D无解 【考点】解分式方程 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解 【解答】解：去分母，得 1x+2（ x2）=1 去括号，得 1x+2x4=1 移项，得 x+2x=11+4 合并同类项，得 x=2 检验：当 x=2 时，x 2=0， x=2 不是分式方程的解，原分式方程无解 故选：D 【点评】本题考查了解分式方程，注意检验是不可缺少的一步 9如图，在ABE 中，A=
15、105，AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于点 C，且 AB+BC=BE， 则B 的度数是( ) A45 B50 C55 D60 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】首先连接 AC，由 AE 的垂直平分线 MN 交 BE 于点 C，可得 AC=EC，又由 AB+BC=BE，易证得 AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得 BAE=BAC+CAE=1804E+E=105，继而求得答案 【解答】解：连接 AC， MN 是 AE 的垂直平分线， AC=EC， CAE=E， AB+BC=BE，BC+EC=BE， AB=EC=AC， B=ACB， ACB=CAE+E=2E， B=2
16、E， BAC=180BACB=1804E， BAE=BAC+CAE=1804E+E=105， 解得：E=25， B=2E=50 故选 B 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定 理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 10如图，ABM 与CDM 是两个全等的等边三角形， MAMD有下列四个结论： （1）MBC=25 ；（2） ADC+ABC=180；（3）直线 MB 垂直平分线段 CD；（4）四 边形 ABCD 是轴对称图形其中正确结论的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 【考点】轴对称图形；全等三角形的性质；线段垂直平分
17、线的性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）ABM 和CDM 是全等的等边三角形，那么可知这两个三角形的内角都等于 60，所有的边都相等，即知AMB= CMD=60，又 MAMD，故AMD=90 ，利用周角 概念可求BMC，而 BM=CM，结合三角形内角和等于 180，可求MBC、MCB； （2）由于 MAMB，则AMD=90 ，而 MA=MD，那么MDA=45，又 MDC=60，可求 ADC=105，由（1）中可知MBC=15 ，则ABC=60+15 =75，所以 ADC+ABC=180； （3）延长 BM 交 CD 于 N，NMC 是BMC 的外角，可求 NMC=30，即知 MN 是 CD
18、M 的角平分线，根据等腰三角形三线合一性质可知 MB 垂直平分 CD； （4）利用（2）中的方法可求BAD=105，BCD=75，易证 BAD+ABC=180，则 ADBC，又AB=DC，可证四边形 ABCD 是等腰梯形，从而可知四边形 ABCD 是轴对称 图形 【解答】解：（1）ABMCDM，ABM、 CDM 都是等边三角形， ABM=AMB=BAM=CMD=CDM=DCM=60，AB=BM=AM=CD=CM=DM， 又 MAMD， AMD=90， BMC=360606090=150， 又 BM=CM， MBC=MCB=15； （2）AM DM， AMD=90， 又 AM=DM， MDA=M
19、AD=45， ADC=45+60=105， ABC=60+15=75， ADC+ABC=180； （3）延长 BM 交 CD 于 N， NMC 是MBC 的外角， NMC=15+15=30， BM 所在的直线是CDM 的角平分线， 又 CM=DM， BM 所在的直线垂直平分 CD； （4）根据（2）同理可求DAB=105，BCD=75， DAB+ABC=180， ADBC， 又 AB=CD， 四边形 ABCD 是等腰梯形， 四边形 ABCD 是轴对称图形 故（2） （3） （4）正确 故选 C 【点评】本题利用了等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的 判定、梯形的判定、等
20、腰三角形三线合一定理、轴对称的判定 二、填空题：每题 3 分，共计 18 分。 11计算：4x 2y（ ）= 16xy 【考点】整式的除法 【分析】直接利用整式除法运算法则求出答案 【解答】解：4x 2y（ ） =4x2y =16xy 故答案为：16xy 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键 12若 x2+2（m 3）x+16 是完全平方式，则 m=1 或 7 【考点】完全平方式 【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是 x 和 4 的平方，那么中间项为加上或 减去 x 和 4 的乘积的 2 倍，故 2（m 3）=8，解得 m 的值即可 【解答】解：由于（x
21、4） 2=x28x+16=x2+2（m 3）x+16， 2（ m3）=8 ， 解得 m=1 或 m=7 故答案为：1； 7 【点评】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它 们乘积的 2 倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式， 进而求出相应数值 13如图，2+3+4=320 ，则1=40 【考点】多边形内角与外角 【分析】根据多边形的外角和等于 360即可得到结论 【解答】解：1+2+3+4=360， 2+3+4=320， 1=40， 故答案为：40 【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟记多边形的外角和等于 360是解题的关键 1
22、4如图，坐标平面上，ABCFDE，若 A 点的坐标为（a，1） ，BCx 轴，B 点的坐标 为（b，3） ，D、E 两点在 y 轴上，则 F 点到 y 轴的距离为 4 【考点】全等三角形的性质；坐标与图形性质 【分析】如图，作 AHBC 于 H，FP DE 于 P，根据全等三角形的性质得到 AC=DF，C=FDE，推出 ACHDFP（AAS） ，根据全等三角形的性质得到 AH=FP， 根据 A 点的坐标为（a，1） ，BCx 轴，B 点的坐标为（b， 3） ，得到 AH=4，即可得到结 论 【解答】解：如图，作 AHBC 于 H，FP DE 于 P， ABCFDE， AC=DF，C= FDE，
23、 在ACH 和 DFP 中， ， ACHDFP（AAS ） ， AH=FP， A 点的坐标为（a ，1） ，BCx 轴，B 点的坐标为（b， 3） ， AH=4， FP=4， F 点到 y 轴的距离为 4， 故答案为：4 【点评】本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及 性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键 15等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边的长为 6，4 或 5，5 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】分腰长为 6 和底边为 6，求出其另外两边，再利用三角形的三边关系进行验证即 可 【解答】解：当腰为
24、6 时，则另两边长为 6、4，此时三边满足三角形三边关系； 当底边为 6 时，则另两边长为 5、5，此时三边满足三角形三边关系； 故答案为：6，4 或 5，5 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够分类讨论， 难度不大 16有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下： 则第 n 次运算的结果 yn （用含有 x 和 n 的式子表示） 【考点】分式的混合运算 【专题】图表型；规律型 【分析】把 y1 代入确定出 y2，依此类推得到一般性规律，即可确定出第 n 次运算结果 【解答】解：把 y1= 代入得：y 2= = ， 把 y2= 代入得： y3= = ， 依此类
25、推，得到 yn= ， 故答案为： 【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键 三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分。 17 （1）计算： （2）分解因式：2ma 28mb2 【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂 【专题】计算题；实数 【分析】 （1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算， 第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：（1）原式= 1=1； （2）原式=2m （a 24b2）=2m（a+2b） （a 2b） 【点评】此题考查了实数的
26、运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18已知：如图，B、C、E 三点在同一条直线上，ACDE，AC=CE ， ACD=B 求证：ABCCDE 【考点】全等三角形的判定 【专题】证明题 【分析】首先根据 ACDE，利用平行线的性质可得： ACB=E，ACD=D ，再根据 ACD=B 证出D= B，再由 ACB=E，AC=CE 可根据三角形全等的判定定理 AAS 证 出ABCCDE 【解答】证明：AC DE， ACB=E，ACD= D， ACD=B， D=B， 在ABC 和EDC 中 ， ABCCDE（AAS） 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法： S
27、SS、SAS、ASA 、AAS，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件， 19 （1）解方程： （2）化简方程：（m ） （m 在 0，1， 2 这三个值取一个合适的值） 【考点】分式的化简求值；解分式方程 【专题】计算题；分式 【分析】 （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即 可得到分式方程的解； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分得到最简结果，把 m=2 代入计算即可求出值 【解答】解：（1）分式方程两边乘以 2（x1） ，去分母得：2x+2x 2=3， 解得：x= ， 检验：当 x= 时， 2（x1）
28、0， 则 x= 是原公式方程的解； （2）原式= = ， m0，1， m=2， 把 m=2 代入得原式= 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20如图，已知锐角三角形 ABC （1）用尺规作 BC 的垂直平分线 l 和 B 的平分线 BM； （2）若 l 与 BM 交于 P，A=60 ，ACP=24，则ABP= 32 度 【考点】作图复杂作图 【分析】 （1）分别利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法画出图形； （2）利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出ABP 的度数 【解答】解：（1）如图所示：直线 l 以及 BM 即为所求； （2）连接 PC，
29、设ABP=x，则 CBP=PCB=x， A=60，ACP=24， ABP= （180 6024）=32 故答案为：32 【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题 关键 21如图，在ABC 中， ACB=2B，BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，过 C 作 CNAD 交 AD 于 H，交 AB 于 N （1）求证：ANC 为等腰三角形； （2）试判断 BN 与 CD 的数量关系，并说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 【分析】 （1）利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出ANH= ACH，进而得出答 案； （2）利用全等
30、三角形的判定方法得出AND ACD（ASA） ，进而得出 DN=DC，AND=ACD，即可得出B=NDB，进而得出答案 【解答】 （1）证明：CN AD， AHN=AHC=90， 又 AD 平分BAC ， NAH=CAH， 又 在ANH 和 ACH 中 AHN+NAH+ANH=180， AHC+CAH+ACH=180 ANH=ACH， AN=AC， ANC 为等腰三角形； （2）解：BN=CD， 原因如下：如图：连接 ND AND 和ACD 中 ANDACD（ASA ） ， DN=DC，AND= ACD， 又ACB=2B， AND=2B 又BND 中， AND=B+NDB， B=NDB， NB
31、=ND， BN=CD 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和角平分线的性 质等知识，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键 22如图，在等边ABC 中，点 D 为 AC 上一点，CD=CE ， ACE=60 （1）求证：BCD ACE； （2）延长 BD 交 AE 于 F，连接 CF，若 AF=CF，猜想线段 BF、AF 的数量关系，并证明 你的猜想 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】 （1）易证 BC=AC，BCD=60，即可证明BCDACE，即可解题； （2）易证 BD 为等边ABC 中 AC 边上的高，根据等边三角形三线合一性质可得 ABD=DBC=3
32、0，根据BCDACE，可得DBC= CAE，即可求得 BAF=90，根据 30角所对直角边是斜边一半的性质即可解题 【解答】证明：（1）ABC 是等边 ， BC=AC，BCD=60， 在BCD 和ACE 中， BCDACE（SAS） ； （2）BF=2AF， 理由：AF=CF，AB=BC， BFAC 且平分 AC， BD 为等边ABC 中 AC 边上的高， BD 平分ABC， ABD=DBC=30， BCDACE， DBC=CAE， ABD=CAE=30， BAF=BAC+CAE=90， 在 RtABF 中， BF=2AF 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，
33、考查了 30角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证BCDACE 是解题的关键 23在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成 这项工程需要 60 天，若由甲队先做 20 天，剩下的工程由甲、乙合作 24 天可完成 （1）乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）甲队施工一天，需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元若该工程计 划在 70 天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是 由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【考点】分式方程的应用 【专题】工程问题 【分析】 （1）求的是乙的工效，工作时间明显一定是根据工作
34、总量来列等量关系等量 关系为：甲 20 天的工作量+甲乙合作 24 天的工作总量=1 （2）把在工期内的情况进行比较 【解答】解：（1）设乙队单独完成需 x 天 根据题意，得： 20+（ + ）24=1 解这个方程得：x=90 经检验，x=90 是原方程的解 乙队单独完成需 90 天 答：乙队单独完成需 90 天 （2）设甲、乙合作完成需 y 天，则有（ + ）y=1 解得，y=36， 甲单独完成需付工程款为 603.5=210（万元） 乙单独完成超过计划天数不符题意， 甲、乙合作完成需付工程款为 36（3.5+2）=198 （万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱 【点
35、评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是 解决问题的关键 24如图（1） ，直线 AB 与 x 轴负半轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B、OA、OB 的长分别 为 a、b，且满足 a22ab+b2=0 （1）判断AOB 的形状； （2）如图（2）过坐标原点作直线 OQ 交直线 AB 于第二象限于点 Q，过 A、B 两点分别 作 AMOQ、BNOQ，若 AM=7，BN=4，求 MN 的长； （3）如图（3） ，E 为 AB 上一动点，以 AE 为斜边作等腰直角三角形 ADE，P 为 BE 的中 点，延长 DP 至 F，使 PF=DP，连结 PO，BF，试问 DF
36、、PO 是否存在确定的位置关系和 数量关系？写出你的结论并证明 【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形 【分析】 （1）求出 a=b，即可得出答案； （2）求出AMO=ONB=90，MAO= BON，根据 AAS 推出 AMOONB，根据全等 得出 ON=AM=7，OM=BN=4，即可求出答案； （3）连接 OD，OF，求出BPFEPD，根据全等得出 BF=ED，FBP=DEP，求出 BF=AD，FBO= DAO=90，根据 SAS 推出 FBODAO，求出 FOB=DOA，OD=OF，求出 DOF 是等腰直角三角形，即可得出答案 【解答】 （1）解：AOB 是等腰直角
37、三角形， 理由是：a 22ab+b2=0 （ab） 2=0， a=b， OA=OB 又AOB=90， AOB 是等腰直角三角形； （2）解：AMOQ，BNOQ， AMO=ONB=90， 又AOB=90， AOM+BON=90， 又MAO+MOA=90 ， MAO=BON， 在AMO 和 ONB 中 AMOONB（AAS） ， ON=AM=7，OM=BN=4， MN=ONOM=74=3； （3）OP= DF 且 OPDF， 证明：连接 OD，OF， P 为 BE 的中点， BP=EP， 在BPF 和 EPD 中 BPFEPD（SAS ） BF=ED， FBP=DEP， 又AED 是等腰直角三角形
38、， AD=ED，DEA=DAE=45， BF=AD， FBP=DEP=18045=135， 又AOB 和ADE 是等腰直角三角形， OB=OA，DEA= DAE=45， BF=AD， FBO=FBPABO=13545=90， DAO=DAE+BAO=45+45=90， FBO=DAO=90， 在FBO 和 DAO 中 FBODAO（SAS） FOB=DOA，OD=OF， DOF=DOB+BOF=DOB+DOA=AOB=90， DOF 是等腰直角三角形， 又 PF=DP， OP= DF，OPDF 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，二元二次方程，等腰直 角三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三 角形的对应边相等，对应角相等
