1、x y O ()f 3 4 -2 -4 广东省中山市 20102011 学年度第一学期期末统一考试 高二数学试卷（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题） 、第 II 卷（非选择题）两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题
2、 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1不等式 25x的解集是 A 0, B ,) C (,0 D (,05,) 2已知一个数列的前四项为 221357,4816，则它的一个通项公式为 A 2(1)n B 1()n C 21()n D 12()n 3椭圆 6540xy的离心率为 A B C 34 D 625 4函数 f(x)的导函数 ()fx的图象如右图所示， 则下列说法正确的是 A函数 ()f在 2,3)内单调递增 B函数 x在 40内单调递减 C函数 ()f在 处取极大值 D函数 在 处取极小值 5等差数列 na的前 n 项和 12.nnSa
3、， 若 103S， 201，则 40= A182 B242 C273 D484 6长为 3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足 1.4m 的地面上，另一端在沿堤 上 2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为 ， 则坡度值 tan等于 A 2315 B 516 C 6 D 7已知 0,ab，且 ab，则 1ab的最小值是 A2 B 2C 74 D8 8已知 p：函数 ()1fxm有两个零点， q： xR， 24)0若 pq为真， pq为假，则实数 m 的取值范 围为 A (,)3,) B (,2)(1,3,) C 12 D 第 II 卷（非选择题共 110 分） 二、填空题（本大题共 6
4、小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中的横线上） 9等差数列 8，5，2，的第 30 项是 . 10经过点 (1,3)A，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 11当 xy、 满足不等式组 1yx时，目标函数 2txy的最小值是 . 12圆 22()()abr经过原点的一个充要条件是 . 13正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 24yx上，则这个正三角形 的边长为 . 14物体沿直线运动过程中，位移 s 与时间 t 的关系式是 2()3stt. 我们计算在 t 时刻 的附近区间 ,t内的平均速度 ()vt ，当 趋近于 0 时，平均速度 v趋近于确定的值，即
5、瞬时速度，由此可得到 t 时刻的瞬时速度为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15 （13 分）等比数列 na的公比为 q，第 8 项是第 2 项与第 5 项的等差中项. （1）求公比 q； （2）若 n的前 n 项和为 nS，判断 396,S是否成等差数列，并说明理由. 16 （13 分）已知某精密仪器生产总成本 C（单位：万元）与月产量 x（单位：台）的函 数关系为 104Cx，月最高产量为 150 台，出厂单价 p（单位：万元）与月产量 x 的 函数关系为 212580px. （1）求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 ()L
6、x； （2）求月产量 x 为何值时，月利润 最大？最大月利润是多少？ 17 （13 分）第四届中国国际航空航天博览 会于 2010 年 11 月在珠海举行，一次飞行表 演中，一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞 行，从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯角分别是 45和 30（如右图 所示）. （1）试计算这个海岛的宽度 PQ. （2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 45和30 ，他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m，由此试估算出观测者甲（在 P 处）到飞机 的直线距离. 18 （14 分）如图，四棱锥 PABCD的底面 为一直角梯形，
7、其中,BADC ， 2,底面 ABCD， E是 P的中点 （1）试用 ,表示 E，并判断直线 与平面 的位置关系； （2）若 E平面 ，求异面直线 与 所成角的余弦值 19 （14 分）已知函数 321()()fxaxx， aR. （1）当 2a时，求 在闭区间 1,上的最大值与最小值； （2）若线段 AB： 302yx与导函数 ()yfx的图像只有一个交点，且 交点在线段 的内部，试求 a的取值范围 20 （13 分）过直角坐标平面 xOy中的抛物线 20ypx的焦点 F作一条倾斜角为4 的直线与抛物线相交于 A、B 两点. （1）求直线 AB 的方程； （2）试用 p表示 A、B 之间的距
8、离； （3）证明： AOB的大小是与 p无关的定值. 参考公式： 22 224BABABxyxpxp 中山市高二级 20102011 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）答案 一、选择题：DDAB DACB 二、填空题：9. 79； 10. 218yx ； 11. 3； 12. 22abr； 13. 83； 14. 63tt， 6. 三、解答题： 15. 解：（1）由题可知， 825a， （1 分） 即 7412aq， （3 分） 由于 0，化简得 61q，即 630q， （4 分） 解得 3或 32. 所以 或 42. （6 分） （2）当 1q时， 319161,SaSa. 易知
9、396,不能构成等差数列. （8 分） 当 42即 3时， 31113()3()2qaqA ，91119()9()28aqaaSA ， 621116 3()4aS qA .（11 分） 易知 3692S，所以 396,S能构成等差数列. （13 分） 16.解：（1） 2 3211()(25)(104)108080LxpCxxxx ， 其中 0. （4 分） （2） 2 2() (56)(2)5660xxxx .（6 xzy 分） 令 ()0Lx，解得 120x （ 15x舍）. （7 分） 当 ,12时， ()L；当 (20,时， ()0Lx. （9 分） 因此，当 时， 取最大值. （10
10、 分） 所以，月产量为 120 台时，月利润 ()Lx最大，最大月利润为 (12)640万元.（13 分） 17. 解：（1）在 RtACP中， tanCAP， 则 80an4580P. （3 分） 在 tQ中， tQ， 则 a6C. （5 分） 所以， 803P（m ）. （6 分） （2）在 AQ中， ， 30AQP， 45301A. （7 分） 根据正弦定理，得 6sin30i15， （9 分） 则 60sin3030(62)si(45)i4co4i624PA A .（13 分） 18. 解：设 ,ABaPb，建立如图所示空间直角坐标系，(0,)(0) ， (,),2,2,CD ， 2E
11、a. （2 分） （1） (0,)bBEa， (0,)(0,)APb， 所以 12P， （5 分） 平面 D， /BE平面 D. （7 分） （2） 平面 C， PC，即 0BE. (2,)PCab， 20bBEPCa ，即 2a. （10 分）0,(,20)D ， （11 分）41cos, 5a ， 所以异面直线 P与 BC所成角的余弦值为 105. （14 分） 19. 解：（1）当 2a时， 321()fxx. （1 分） 求导得 ()4fx. （2 分） 令 0，解得： 或 0 （3 分） 列表如下： （6 分）x 1 （-1， 0） 0 （0，1） 1()f 0 +x53 0 73
12、所以， ()f在闭区间 1,上的最大值是 73，最小值是 0 （7 分） （2） 22yxa. （8 分） 联立方程组 ,3. （9 分） 得 2210.xaxa （10 分） 设 ()()g，则方程 ()0gx在区间 ,2内只有一根, 相当于 0，即 2233,a （12 分） 解得 31a或 . （14 分） 20.解：（1）焦点 (,0)2pF，过抛物线焦点且倾斜角为 4的直线方程是 2pyx. （3 分） （2）由 2ypx22304px23,4ABABpxxAB . （8 分） （3） 22 22222cos ABABABAOBxyxyAy 22223414ABABABBppxxxy
13、 . （12 分） O的大小是与 p无关的定值. （13 分） 1 题：教材必修 P76 预备题 改编，考查一元二次不等式求解. 2 题：教材必修 P67 2（2）改编，考查写数列通项公式. 3 题：教材选修 1-1 P40 例 4 改编，考查椭圆几何性质. 4 题：教材选修 1-1 P98 第 4 题改编，考查利用导数研究函数性质. 5 题：教材必修 P44 例 2 改编，考查等差数列性质及前 n 项和 6 题：教材必修 P16 习题改编，考查利用余弦定理解三角形 9 题：教材必修 P38 例 1（1）改编，考查等差数列通项公式 10 题：教材选修 1-1 P54 A 组第 6 题改编，考查双曲线方程与性质 11 题：教材必修 P91 第 1(1)题改编，考查线性规划问题 12 题：教材选修 1-1 P12 第 4 题改编，考查充要条件. 13 题：教材选修 1-1 P64 B 组第 2 题改编，考查抛物线方程及性质 14 题：教材选修 1-1 P74 导数概念的预备题 改编，考查导数概念 15 题：教材必修 P61 第 6 题 改编，考查等差数列、等比数列的通项与前 n 项和. 16 题：教材选修 1-1 P104 第 6 题 改编，考查导数的应用. 17 题：教材必修 P19 第 4 题 改编，考查解三角形.
