1、上海市宝山区 2012 届高三上学期期末质量监测数学试题 本试卷共有 23 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题 （本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否 则一律得零分 1、已知等差数列 na， 2， 64a，则 2、方程 250x的复数根为 3、不等式 的解集是 4、已知集合 4|1|2,lg(1)AxBxy， 则 B 5、已知复数 z满足 21zi，则 _z. 6、如右图，若执行程序框图，则输出的结果是 . 7、方程组 125xy的解是 . 8、某科技小组有 6 名同学，现从中选出 3 人参观 展览，至少有 1 名女生入
2、选的概率为 45，则小组中 女生人数为 9、用数学归纳法证明“ 221(1)nnaa ”，在验证 1n成立时，等 号左边的式子是 _. 10、过抛物线 2yx的焦点 F，倾斜角为 4的直线 l交抛物线于 ,AB（ Bx） ，则AFB 的值 . 11、若奇函数 ()yfx的定义域为 开始1,nA10A 是 否 21A 输出 n 结束 4,，其部分图像如图所示，则不 等式 ()ln21)0xf的解集是 12、已知 ABC三条边分别为 ,abc， ,ABC成等差数列，若 2b，则 ac的最大值 为 13、两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为 12，则它们的体积比
3、是 14、设 fx是定义在 R 上的奇函数，且满足 3fxf，23,1m ，则实数 的取值范围是 . 二选择题 （本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其 中有且只有一个结论是正确的必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得 5 分，不 选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分 15、已知 ,lmn是空间三条直线，则下列命题正确的是（ ） (A)若 /， /，则 /n； (B)若 l， l，则 ； (C)若点 A、B 不在直线 l上，且到 l的距离相等，则直线 /ABl； (D)若三条直线 ,l两两相交，则直线 ,mn共面. 16、已知
4、1 220()nna ， nS是数列 na的前 n 项和（ ） (A） limn 和 linS都存在 (B) lin和 linS都不存在 (C) a存在， 不存在 (D) ma不存在， 存在 17、设 2,34,7b ,则 a 在 b上的投影为 （ ） （A） 1 （B） 135 （C） 65 （D） 65 18、一质点受到平面上的三个力 123,F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 1F，2F 成 06角，且 1， 2的大小分别为 2 和 4，则 3F的大小为( ) （A）6 （B） 2 （C） 5 （D） 27 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出
5、必要的步骤，答 题务必写在答题纸上规定位置 19、 （本题满分 12 分）已知函数 2()sin3sico13fxx的定义域为0,2 ，求函数 ()yf的值域和零点 20、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 如图，已知正方体 1ABCD的棱长为 2， ,EF分别是 1,BCD的中点 （1）求三棱锥 1EF的体积； （2）求异面直线 EF 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 21、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知函数 13()xafb （1）当 a
6、时，求满足 ()3xf的 的取值范围； （2）若 yfx的定义域为 R，又是奇函数，求 yfx的解析式，判断其在 R 上的单调性并加以证明 22、 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分 已知椭圆的焦点 12,0,F，过 10,2P作垂直于 y轴的直线被椭圆所截线段 长为 6，过 1作直线 l 与椭圆交于 A、 B 两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若 A 是椭圆与 y 轴负半轴的交点，求 P的面积； （3）是否存在实数 t使 1PtF，若存在，求 t的值和直线 l的方程；若不存 在，说明理由 x y F2
7、 F1OP 23、 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 已知函数 xf2log)(,若 ),(,21af),(,3naf )(,*Nn 成等 差数列. (1)求数列 )(*Nna的通项公式； (2)设 )kg是不等式 )(32)3(logl *22 kxaxk整数解的个数，求)(k ； (3)记数列 1na的前 n 项和为 nS，是否存在正数 ，对任意正整数 ,nk，使2nkS 恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案 2012.1.6 一填空题 1. 1 2. 2i 3. 1,6 4
8、. (0,3 5.i 6. 11 7. 3xy 8. 2 9. 2a 10. 2 11. (1,2) 12. 4 13. 1:0 14. 1,3 二选择题（本大题满分 20 分） 15. A 16.A 17.C 18. D 三解答题（本大题满分 74 分） 19.解：化简 2sin3sico13yxx1co12si6 （4 分） 因为 7,x， 所以 1sin2,62（6 分） 即 3,y（8 分） 由 2sin06x得（9 分） 零点为 1或 4（12 分） 20. 解：（1） 113EAFAEVSBC（3 分）142 （6 分） （2）连结 可知 为异面直线 与 所成角，（9 分） 在 R
9、tFEC中， 5， 1FC，（10 分） 所以 an，（13 分） 即 rct；（14 分） 21. 解：（1）由题意， 13 xx ，化简得 2310xx（2 分） 解得 x（4 分） 所以 （6 分，如果是其它答案得 5 分） （2）已知定义域为 R，所以 10=13afb，（7 分） 又 10fb，（8 分） 所以 13 xf ；（9 分）1123xxxf 对任意 1212,R 可知 2112112 33xxxfxf （12 分） 因为 12，所以 210，所以 2ff 因此 fx在 R 上递减（14 分） 22.解：(1) 设椭圆方程为 21xyab ， 由题意点 61,2在椭圆上，
10、2（2 分） 所以 24(1)b，解得 21xy （4 分） （2）由题意 yx，（5 分） 所以， 410,3AB， （7 分）2BPxS （9 分） （3）当直线斜率不存在时，易求 21,AB， 所以 )21,(),2,(),21,( 1PFPBPA 由 1tF得 t，直线 l的方程为 x（11 分） 当直线斜率存在时， 所以 121,PAxyPBxy， 1,2PF 由 1tF得122xty 即 12xty （13 分） 因为 121()kx，所以 2k 此时，直线 l的方程为 1yx（16 分） 注：由 1PABtF得 是 AB 的中点或 P、A、B 、 1F共线，不扣分 23.解：（1）由题可知 2lognnfaa（2 分） 得 2na（4 分） （2）原式化简： 2121212logl(3)3l 0,kkkkxaxx （8 分） 其中整数个数 1kg（10 分） （3）由题意， 6421nn nS， 12ka（12 分） 又 2nka恒成立， 0nS， ， 所以当 S取最大值， k取最小值时， nka取到最大值（14 分） 又 1n， 4k，所以 21（16 分） 解得 25（18 分）
