1、北京市宣武区 2009-2010学年度第一学期期末质量检测 高 三 数 学（文科） 2010.1 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 8页.全卷满分 150分. 考试时间为 120分钟. 第卷（选择题 共 40分） 一、选择题（本大题共有 8个小题，每小题 5分，共 40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只 有一个是符合题目要求的） 1.设集合 ， ，全集 ，则集合 中的元素个数为（ 4,321A,BBAUBACU ） A 个 B 个 2C 个 3D 个 4 2. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的 （ 2a03:1yxal 14:2xyl ） 3. 在区间1,9上随机取一
2、实数，则该实数在区间4,7 上的概率为（ ） A 94B 31C 21D 83 4. 若函数 ()yfx是函数 的反函数，则 的值为 （ xy2)(f ） A 16B 0C 1D 2 5. 下列结论正确的是 ( ) 6. 设 为直线， 为三个不同的平面，下列命题正确的是 （ m, ） 若 则 若 则 ,/,m/ 若 则 若 则 / A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A 使 成立,Rx12xB ，都有 成立0xlg1x C函数 是偶函数 siny D 2时，函数 无最大值y 7. 设斜率为 的直线 l过抛物线 的焦点 F，且和 y轴交于点 A，若OAF (O
3、 为坐标原点)的kxy82 面积为 4，则实数 的值为 ( ). A 2B 4C 2D 4 8. 设函数 ，其中 ，则导数 的取值范围12cos3sinxxxf 650，1f 是 （ ） A 6，B 34，C 34，D 34， 第 卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分；把答案填在相应的位置上）。 9. 若双曲线 的离心率为 ，则 ；设 为虚数单位，复数 的运算结果152yxnini1 为 . 10. 已知非零向量 满足： ，且 ，则向量 a与向量 b的夹角 = . ba,b2ba 11.长方体 满足： ,则其外接球的表面积为 . 1D
4、CBA12CBA 12. 如果点 P 在不等式组 所确定的平面区域内, 为坐标原点，那么 的最小值 02yxOPO 为_. 13. 执行如图程序框图，若输出的 值为 3， 则输入的 值的集合是 . x 14. 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形， 每条边（包括两个端点）有 个点， nN,1 每个图形总的点数记为 ，则 = ；a62019543299a = . 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题共 13分） 已知 的三个内角 ,ABC所对的边分别为 ,abc, 是锐角,且 .ABC ABabsin23 （）求 的度数；
5、 （）若 7a， 的面积为 310，求 的值.2b 16. （本小题共 13分） 如图是正三棱柱 ， ， , 若 为棱 中点.1CBA32ABNAB （） 求证： 平面 ；/1AC1N （）求四棱锥 的体积. 17. （本小题共 13分） 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间，将测试结果按如 下方式分成五组，第一组 ，第二组 第五组 如图是按上述分组方法得14,315,18,7 到的频率分布直方图. (I)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。 (II)设 表示该班两个学生的百米测试成绩，已知 求事件
6、“nm, 18,74,3,nm ”的概率。2 13 14 15 16 17 18 0.38 0.34 0.18 0.06 0.04 秒 频率/组距 18. （本小题共 13分） 已知二次函数 的图象经过坐标原点，且满足 ，设函数)(xg 12)(1(xgx ,其中 为常数且 .xgmf ln1)()(m0 (I)求函数 的解析式； (II)当 时，判断函数 的单调性并且说明理由02)(xf 19.（本小题共 14分） 已知椭圆 E： 的焦点坐标为 （ ），点 M（ ， ）在椭圆 E 21(,0)xyab1F0,22 上 （）求椭圆 E 的方程； （）设 Q（1，0），过 Q 点引直线 与椭圆
7、E 交于 两点，求线段 中点 的轨迹方程；lBA,ABP （）O 为坐标原点， 的任意一条切线与椭圆 E 有两个交点 ， 且 ，求OCDO 的半径 20.（本小题共 14分） 已知函数 ， 为正整数5)(xfm （）求 和 的值；0)1f)1(f （）若数列 的通项公式为 （ ），求数列 的前 项和 ；nanam,21namS （）设数列 满足： ， ，设 ，若nb21nnb21 1121nbT （）中的 满足对任意不小于 3 的正整数 n， 恒成立，试求 m 的最大值.mS 574nmS 北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测 高三数学（ 文）参考答案及评分标准 2010
8、.1 一、选择题（本大题共有 8个小题，每小题 5分，共 40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有 一个是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C C B A 二、填空题：本大题共有 6个小题，每小题 5分，共 30分；请把答案写在 相应的位置上. 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4,32231，, 52098 三、解答题：本大题共有 6个小题，共 80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 13分） 解：（ ） ，由正弦定理知： ,Babsin2 BAsin2sin3 是三角形内角， ,从而有 ， = 或 ，0i
9、i o6012 是锐角， A的度数= .6分o6 （） 3sin210c722b ， 13 分40bc892c 16.（本题满分 13分） 证明：（）连结 和 交于 点，连 1BCON 是正三棱柱，A 为 的中点.又 为棱 中点,O1AB 在 中, ,BC1/N 又 , 平面 ,平 面CN1 平面 ；61ACNB1 分 （） 是直角梯形， ，四边形 面积为 1 3,2,11ABA1ANB ，29 平面 ，四棱锥 的体积为 .13CN1B1NC23 分 17（本题满分 13分） 解：（）根据直方图可知成绩在 内的人数为：16,4 人 ；5 分283.0518.0 （）成绩在 的人数有： 人，设为
10、 a ,b.4, 20.5 成绩在 的人数有： 人，设为 A,B,C.736 时有 ab一种情况. 时有 AB,AC,BC三种情况.1,3,nm18,7,nm 分别在 和 时有 aA，aB，aC，bA，bB，bC 六种情况 .418,7 基本事件总数为 10，事件“ ”由 6个基本事件组2 成 所以 .13分53106)2(nmP 18（本题满分 13分） 解:（）设 ， 的图象经过坐标原点，所以 c=0.cbxaxg2)()(g 1)(1 12)1()22 xbaxba 即： 2xxx a=1,b=0, ；6 分2)(g (II) 函数 的定义域为 ，xmxfln),0( xf 1212)(
11、 令 ， ，xk 2)()mxk A B Ca aA aB aCb bA bB bC ， 在 上恒成立，02m012)(mxxk),( 即 在 上恒成立.)(xf, 当 时,函数 在定义域 上单调递减.13 分()fx),( 19（本题满分 14分） 解: （）椭圆 E: （a,b0）经过 M（-2， ） ，一个焦点坐标为 21yab2 （ ）,1F02 ，椭圆 E的方程为 ； 5 284ab2184xy 分 （）当直线 的斜率存在时，设直线 与椭圆 E的两个交点为 A（ ），B（ ），l l 1,yx2,yx 相交所得弦的中点 ， ，),(yxP14821y -得， ，0)(8)( 2121
12、2121 弦 的斜率 ，AB )(,42121 yxyxxyk 四点共线， ，即 ，QP, PQABk)10(,1xx且 经检验（0，0），（1，0） 符合条件， 线段 中点 的轨迹方程是 10 分AB2yx （）当 的切线斜率存在时，设 的切线方程为 ，OOkxm 由 得 ,2184xy km22()480kxm 设 ，则),(),(43yxDC24318kmx , ， 即 ,O043yx20k ,即 ,238mk82mk 直线 为 的一条切线,圆的半径 ,yx 21mrk 即 , 22831rmk 经检验，当 的切线斜率不存在时也成立 1O263r 分 20（本题满分 14分） 解：（） =1；515)0(1f = = =1；分)()xf1x xx55 （）由（）得 ,)1( )(mkfmkf 即 , 1)()kka,f 由 , m321aS 得 a1mm 由, 得 ,2)(m 10分45121)( fSm （） , ,1b)b(bnn1n 对任意的 .0 *,nbN 即 .,1)1(b1nnn 1nnbb .111321 2)( nnnnbT 数列 是单调递增数列.,0bn1nn b 关于 n递增. 当 , 且 时, .N3Tn 2567)1(6,12)4(3)2(,1 4 .75643bTn ,743Sm .而 为正整数，560 的最大值为 650. 1分
