1、2015-2016 学年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1已知集合 A=x|1x3， B=x|x2 ，则 AB 等于（ ） Ax|1x2 Bx|1 x2Cx|1 x3Dx|2 x3 2计算 sin45cos15+cos45sin15=（ ） A B C D 3下列四个函数中，与 y=x 表示同一函数的而是（ ） Ay= By= Cy=（ ） 2 Dy= 4已知向量 =（1，2） ， =（3，1） ，则 与 的夹角为（ ） A30 B45 C120 D135 5若 a=
2、30.5，b=ln2 ，c=log 3sin ，则下列不等式正确的是（ ） Aabc Bba c Cbc a Dcab 6已知函数 f（x）= 若 f（a）= ，则 a=（ ） A1 B C 1 或 D1 或 7函数 f（x）=2 x+4x3 的零点所在区间是（ ） A （ ， ） B （ ，0） C （0， ） D （ ， ） 8函数 f（x）=sin（2x ）的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的 ， 那么所得图象的函数表达式为（ ） Ay=sinx By=sin （x+ ） Cy=sin （4x+ ） Dy=sin（4x+ ） 9若函数 y=f（x）的图象如图所示，则
3、函数 y=f（1x）的图象大致为（ ） A B C D 10函数 y=sin（x+ ） （0，| | ）的图象的一部分如图所示，则 、 的值分别为（ ） A1， B2， C1， D2， 11当2x1 时，二次函数 y=（xm） 2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A B2 或 C 或 D2 或 或 12设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（2+x ）=f（2x） ，当 x2，0 时，f （x）=（ ） x1， 若在区间（2， 6）内，函数 y=f（x） loga（x+2） ， （a0，a1）恰有 1 个零点，则实数 a 的取值范 围是（ ） A （1，4） B （4，
4、+ ） C （ ，1）（4，+） D （0，1） （1，4） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知全集 U=R，集合 M=y|y=x21，x R，则 UM= 14函数 的定义域为 15已知向量 ， ，满足 =0，| |=2，| |=1，则| +2 |= 16给出下列四个命题： 对于向量 、 、 ，若 ， ，则 ； 若角的集合 A=|= + ，kNB=| =k ，kZ，则 A=B； 函数 y=2x 的图象与函数 y=x2 的图象有且仅有 2 个公共点； 将函数 f（x）的图象向右平移 2 个单位，得到 f（x+2）的图象 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题
5、的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知 A=x|12 x4 ，B=x|log 2x0 （1）求 AB； （2）若记符号 AB=x|xA 且 xB，求 BA 18已知 sin（x+ ）= ，且 x（0， ） （1）求 tanx 的值； （2）求 的值 19已知 是平面内两个不共线的非零向量， ， ， ，且 A，E， C 三点共线 （1）求实数 的值； （2）若 =（2，1） ， =（2，2） ，求 的坐标 20某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总 收益满足函数：R（x）
6、= ，其中 x 是仪器的月产量 （注：总收益=总 成本+利润） （1）将利润 x 表示为月产量 x 的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 21在ABC 中，角 A，B，C 分别为三个内角，B=2A ，向量 =（cosA，sinB） ，向量 =（cosB，sinA） ，且向量 （1）求角 B 的大小； （2）设 f（x）=cos（x ）+sin x（0） ，且 f（x）的最小正周期为 ，求 f（x）的单调递增区 间及 f（x）在0， 上的最大值 22已知函数 f（x）= （m Z）为偶函数，且在（0，+）上为增函数 （1）求 m 的值，并确定 f（x）的解析式；
7、 （2）若 g（x）=log af（x）ax（a0 且 a1） ，是否存在实数 a，使 g（x）在区间2，3上的最大 值为 2，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由 2015-2016 学年重庆市部分区县高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1已知集合 A=x|1x3， B=x|x2 ，则 AB 等于（ ） Ax|1x2 Bx|1 x2Cx|1 x3Dx|2 x3 【考点】交集及其运算 【专题】计算题 【分析】直接根据交集的定义求解即可 【解答】解：因为集合
8、A=x|1x3，B=x|x2 ， 所以集合 AB=x|1x3x|x2=x|2x3 故选：D 【点评】本题主要考查集合的交并补运算，一般在高考题中出现在前三题的位置中，属于基础题 目 2计算 sin45cos15+cos45sin15=（ ） A B C D 【考点】两角和与差的正弦函数 【专题】三角函数的求值 【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案 【解答】解：sin45cos15+cos45sin15=sin（45+15）=sin60= ， 故选 D 【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式属基础题 3下列四个函数中，与 y=x 表示同一函数的而是（ ） Ay= By= Cy=（ ）
9、 2 Dy= 【考点】判断两个函数是否为同一函数 【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】根据同一函数的定义：定义域相同，值域相同，解析式相同，判断即可得到结果 【解答】解：与 y=x 表示同一函数的是 y= ， 故选：D 【点评】此题考查了判断两个函数是否为同一函数，弄清同一函数的定义是解本题的关键 4已知向量 =（1，2） ， =（3，1） ，则 与 的夹角为（ ） A30 B45 C120 D135 【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】利用平面向量的数量积公式解答即可 【解答】解：cos = = = ，所以 与 的夹
10、角为 45； 故选：B 【点评】本题考查了平面向量的数量积公式是运用求两个向量的夹角；属于基础题 5若 a=30.5，b=ln2 ，c=log 3sin ，则下列不等式正确的是（ ） Aabc Bba c Cbc a Dcab 【考点】对数值大小的比较 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解 【解答】解：a=3 0.53 0=1， 0=ln1b=ln2lne=1， c=log3sin log 31=0， abc 故选：A 【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数 的性质的合理运用 6已知函数 f
11、（x）= 若 f（a）= ，则 a=（ ） A1 B C 1 或 D1 或 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 【分析】按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当 的取舍 【解答】解：令 f（a）= 则 或 ， 解之得 a= 或1， 故选：C 【点评】已知函数值，求对应的自变量值，是根据方程思想，构造方程进行求解对于分段函数来 说，要按照分段函数的分类标准，在各个区间上，构造求解，并根据区间对所求的解，进行恰当的 取舍 7函数 f（x）=2 x+4x3 的零点所在区间是（ ） A （ ， ） B （ ，0） C （0， ） D （ ， ）
12、【考点】二分法求方程的近似解 【专题】函数的性质及应用 【分析】据函数零点的判定定理，判断出 f（ ）与 f（ ）的符号相反，即可求得结论 【解答】解：函数 f（x）=2 x+4x3 的图象是连续的， 且在定义域 R 上为增函数， 又 f（ ）= 20， f（ ）= 0， 故函数 f（x）=2 x+4x3 的零点所在区间是（ ， ） ， 故选：A 【点评】本题考查函数的零点的判定定理，解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，属基础题 8函数 f（x）=sin（2x ）的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的 ， 那么所得图象的函数表达式为（ ） Ay=sinx By=sin （x
13、+ ） Cy=sin （4x+ ） Dy=sin（4x+ ） 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】由条件利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：把函数 f（x）=sin（2x ）的图象向左平移 个单位，可得 y=sin2（x+ ） =sin（2x+ ）的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的 ，那么所得图象的函数表达式为 y=sin（4x+ ） ， 故选：D 【点评】本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题 9若函数 y=f（x）的图象如图所示，则函数 y=f（1x）的图象
14、大致为（ ） A B C D 【考点】函数的图象与图象变化 【专题】压轴题；数形结合 【分析】先找到从函数 y=f（x）到函数 y=f（1x）的平移变换规律是：先关于 y 轴对称得到 y=f（ x） ，再整体向右平移 1 个单位；再画出对应的图象，即可求出结果 【解答】解：因为从函数 y=f（x）到函数 y=f（1x）的平移变换规律是：先关于 y 轴对称得到 y=f（ x） ，再整体向右平移 1 个单位即可得到 即图象变换规律是： 故选：A 【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题，但也是易错 题易错点在于左右平移，平移的是自变量本身，与系数无关 10函数 y=
15、sin（x+ ） （0，| | ）的图象的一部分如图所示，则 、 的值分别为（ ） A1， B2， C1， D2， 【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式 【专题】计算题；三角函数的图像与性质 【分析】根据函数一个零点和与之最近的最小值点之间的距离，求出 T= =，算出 =2 得到表 达式为 y=sin（2x+） ，再由函数的最小值，将（ ， 1）代入解出 = ，即可得到本题的答 案 【解答】解：函数的一个零点为 x= ，与之最近的最小值点为 x= 函数的周期 T= =4（ ） ，即 =，可得 =2 函数表达式为 y=sin（2x+） ， x= 时，函数的最小值为 1 2 +
16、= +2k，可得 = +2k， （k Z） | ，取 k=1，得 = 故选：B 【点评】本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式，着重考查了三角函数的图象与性质、由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题 11当2x1 时，二次函数 y=（xm） 2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（ ） A B2 或 C 或 D2 或 或 【考点】二次函数的性质 【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用 【分析】求出二次函数的对称轴为 x=m，再分对称轴在区间2，1 的左侧、中间、右侧三种情况， 分别根据当2x1 时 y 的最大值为 4，求得 m 的值，综合可得结
17、论 【解答】解：二次函数 y=（xm ） 2+m2+1 的对称轴为 x=m， 2x1， 当 m2 时，函数 f（x）在2，1上是减函数， 函数的最大值为 f（2）= （2m） 2+1+m2=4，求得 m= ，舍去； 当2 m1 时，函数 f（x）的最大值为 f（m）=1+m 2=4， 求得 m= （ 舍去） 当 m1 时，函数 f（x）在2，1上是增函数， 函数的最大值为 f（1）= （1m ） 2+1+m2=4， 求得 m=2 综上可得，m=2 或 故选：B 【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的 数学思想，属于中档题 12设 f（x）是定义在
18、 R 上的偶函数，且 f（2+x ）=f（2x） ，当 x2，0 时，f （x）=（ ） x1， 若在区间（2， 6）内，函数 y=f（x） loga（x+2） ， （a0，a1）恰有 1 个零点，则实数 a 的取值范 围是（ ） A （1，4） B （4，+ ） C （ ，1）（4，+） D （0，1） （1，4） 【考点】函数奇偶性的性质 【专题】数形结合法；函数的性质及应用 【分析】由 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（2+x ）=f（2x） ，推出函数 f（x）是以 4 为最小正 周期的函数，结合题意画出在区间（2，6）内函数 f（x）和 y=loga（x+2）的图象，注意对
19、a 讨论， 分 a1，0a1，结合图象即可得到 a 的取值范围 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的偶函数， f（ x）=f（x） ， 又 f（2+x）=f （ 2x） ， 即 f（x+4）=f （ x） f（ x+4）=f（x） ， 则函数 f（x）是以 4 为最小正周期的函数， 当 x2，0时，f（x）=（ ） x1， f（x）是定义在 R 上的偶函数， 当 x0，2 时，f（x）=（ ） x1， 结合题意画出函数 f（x） 在 x（2，6）上的图象 与函数 y=loga（x+2）的图象， 结合图象分析可知， 要使 f（x）与 y=loga（x+2 ）的图象， 恰有 1 个交点， 则有
20、0a1 或 ， 解得 0a1 或 1a 4， 即 a 的取值范围是（0，1）（1，4） 故选：D 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及 对底数 a 的讨论，是一道中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13已知全集 U=R，集合 M=y|y=x21，x R，则 UM= y|y1 【考点】补集及其运算 【专题】对应思想；定义法；集合 【分析】先化简集合 M，再根据补集的定义求出 UM 【解答】解：全集 U=R，集合 M=y|y=x21，x R=y|y1， UM=y|y 1 故答案为：y|y 1 【点评】本题考查了补
21、集的定义与运算问题，是基础题目 14函数 的定义域为 2，+ ） 【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域 【专题】计算题 【分析】函数 的定义域为 ，由此能求出结果 【解答】解：函数 的定义域为 ， 解得 x2 故答案为：2，+） 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，解题时要认真审题，仔细解答 15已知向量 ， ，满足 =0，| |=2，| |=1，则| +2 |= 4 【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；集合思想；平面向量及应用 【分析】根据题意，由数量积的运算性质可得| +2 |2=（ +2 ） 2= 2+4 +4 2=| |2+4 +4| |2，代入数据可得| +2
22、|2 的值，进而可得答案 【解答】解：根据题意，| +2 |2=（ +2 ） 2= 2+4 +4 2=| |2+4 +4| |2=8， 则| +2 |=4 ， 故答案为：4 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，掌握数量积的有关运算性质是解题的关键 16给出下列四个命题： 对于向量 、 、 ，若 ， ，则 ； 若角的集合 A=|= + ，kNB=| =k ，kZ，则 A=B； 函数 y=2x 的图象与函数 y=x2 的图象有且仅有 2 个公共点； 将函数 f（x）的图象向右平移 2 个单位，得到 f（x+2）的图象 其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号） 【考点】命题的真假判断与应用
23、【专题】阅读型；函数的性质及应用；平面向量及应用；集合 【分析】由于 可为零向量，而零向量与任何向量共线，即可判断； 对 k 讨论为奇数或偶数，分解集合 A，判断 A，B 的关系，即可判断； 写出函数 y=2x 的图象与函数 y=x2 的图象的第一象限的交点，令 f（x）=2 xx2，运用零点存在定理， 得到 f（x）在（ 1，0）上有零点，即可判断； 由图象平移的规律，左右平移一定针对自变量 x 而言，即可判断 【解答】解：对于向量 、 、 ，若 ， ，则 ， 的位置关系不确定，由于 可为零向 量，而 零向量与任何向量共线，故错； 若 k=2n，则 =n+ ，若 k=2n1，则 =n ，nZ
24、，则 A=B，故对； 函数 y=2x 的图象与函数 y=x2 的图象有交点（2，4） ， （4，16） ，当 x0 时，令 f（x）=2 xx2， 由于 f（ 1）0，f（0）0，即 f（x）在（1，0）上有零点，故错； 将函数 f（x）的图象向右平移 2 个单位，得到 f（x2） ）的图象，故对 故答案为： 【点评】本题考查向量的共线，注意零向量的特点，考查函数的图象的平移和图象的交点，注意运 用零点存在定理，同时考查集合的相等，属于基础题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知 A=x|12 x4 ，B=x|log 2x0 （1）求
25、 AB； （2）若记符号 AB=x|xA 且 xB，求 BA 【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （1）通过解不等式 12 x4=2 2、log 2x0 可知 A=（0，2） 、B=1 ，+） ，进而计算可得 结论； （2）通过（1）可知 A=（0，2） 、B=1，+ ） ，进而利用 BA 的定义计算即得结论 【解答】解：（1）12 x4=2 2， 0 x 2，A=（0，2） ， log2x0， x 1， B=1，+） ， AB=（0，+） ； （2）由（1）可知 A=（0，2） 、B=1，+ ） ， BA=x|xB 且 xA=2，+ ） 【点评】
26、本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属 于基础题 18已知 sin（x+ ）= ，且 x（0， ） （1）求 tanx 的值； （2）求 的值 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值 【分析】 （1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出； （2）利用同角三角函数基本关系式、 “弦化切”即可得出 【解答】解：（1）sin （x+ ）= ，且 x（0， ） cosx= ，sinx= = tanx= = （2） = = = =7 【点评】本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、 “弦化切” 方法，考查了推理能力
27、与计算 能力，属于中档题 19已知 是平面内两个不共线的非零向量， ， ， ，且 A，E， C 三点共线 （1）求实数 的值； （2）若 =（2，1） ， =（2，2） ，求 的坐标 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【专题】平面向量及应用 【分析】本题（1）可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出 的值，得到本题结论；（2） 利用向量和，用 ， 表示 ，利用 ， 的坐标，得到 的坐标，得到本题结论 【解答】解：（1） ， ， = = + = A， E，C 三点共线， 存在 mR，使得 ， ， = = 是平面内两个不共线的非零向量， ， ， 实数 的值为： （2） ， ，= ， =（2，1
28、） ， =（2，2） ， =（ 6，3） +（1，1）= （ 7，2） 的坐标为：（ 7，2） 【点评】本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题难度不大，属于基础题 20某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总 收益满足函数：R（x）= ，其中 x 是仪器的月产量 （注：总收益=总 成本+利润） （1）将利润 x 表示为月产量 x 的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数的性质及应用 【分析】 （1）根据利润=收益成本，由已知分两段当 0x400 时，和当 x400
29、 时，求出利润函数 的解析式； （2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论 【解答】解：（1）由于月产量为 x 台，则总成本为 20000+100x， 从而利润 f（x）= ； （2）当 0x400 时，f（x）=300x 20000= （x300） 2+25000， 当 x=300 时，有最大值 25000； 当 x400 时，f（x）=60000 100x 是减函数， f（ x）=6000010040025000 当 x=300 时，有最大值 25000， 即当月产量为 300 台时，公司所获利润最大，最大利润是 25000 元 【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条
30、件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元 二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键 21在ABC 中，角 A，B，C 分别为三个内角，B=2A ，向量 =（cosA，sinB） ，向量 =（cosB，sinA） ，且向量 （1）求角 B 的大小； （2）设 f（x）=cos（x ）+sin x（0） ，且 f（x）的最小正周期为 ，求 f（x）的单调递增区 间及 f（x）在0， 上的最大值 【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用 【分析】 （1）由向量垂直得到关于 A 的等式求出 B
31、； （2）利用（1）的结论，化简三角函数式，求单调区间和最值 【解答】解：（1）由已知 B=2A，向量 =（cosA ， sinB） ，向量 =（cosB，sinA） ，且向量 得到 =cosAcosBsinBsinA=cos（A+B）=cos3A=0，所以 3A= ，A= ，B= ； （2）f（x）=cos（x ）+sin x=cos（x ）+sin x= = ， （0） ， 因为 f（x）的最小正周期为 ，所以 ，解得 =2； 所以 f（x）= ， 令 2x+ ，所以 x ， 所以 f（x）的单调递增区间为 ； 当 x0， ，2x+ ，所以 sin（2x+ ）在0 ， 上的最大值为 【点评
32、】本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的性质的运用；关键是正确化简三角函数式为 最简形式，利用正弦函数的性质求单调区间以及最值 22已知函数 f（x）= （m Z）为偶函数，且在（0，+）上为增函数 （1）求 m 的值，并确定 f（x）的解析式； （2）若 g（x）=log af（x）ax（a0 且 a1） ，是否存在实数 a，使 g（x）在区间2，3上的最大 值为 2，若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由 【考点】复合函数的单调性；奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析】 （1）由幂函数在（0，+）上为增函数且 mZ 求出 m 的值，然后根据函数式偶函数进一 步确定
33、 m 的值，则函数的解析式可求； （2）把函数 f（x）的解析式代入 g（x）=log af（x） ax，求出函数 g（x）的定义域，由函数 g（x）在区间2，3 上有意义确定出 a 的范围，然后分类讨论使 g（x）在区间2 ，3 上的最大值为 2 的 a 的值 【解答】解：（1）由函数 在（0，+）上为增函数， 得到2m 2+m+30 解得 ，又因为 mZ， 所以 m=0 或 1 又因为函数 f（x）是偶函数 当 m=0 时，f （x）=x 3，不满足 f（x）为偶函数； 当 m=1 时，f （x）=x 2，满足 f（x）为偶函数； 所以 f（x）=x 2； （2） ，令 h（x）=x 2ax， 由 h（x）0 得：x（，0） （a ，+ ） g（ x）在 2，3上有定义， 0 a2 且 a1，h（x）=x 2ax 在2 ，3上为增函数 当 1a2 时，g（x） max=g（3）=log a（93a）=2， 因为 1a2，所以 当 0a1 时，g（x） max=g（2）=log a（42a）=2， a2+2a4=0，解得 ， 0 a1，此种情况不存在， 综上，存在实数 ，使 g（x）在区间2，3 上的最大值为 2 【点评】本题考查了幂函数的单调性和奇偶性，考查了复合函数的单调性，考查了分类讨论的数学 思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题
