1、河北省石家庄市栾城县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共 16 个小题，1-8 小题，每小题 2 分，96 小题，每小题 2 分，共 40 分，把每 小题的正确选项填写在下面的表格内 1方程 x（x2 ）+x=0 的解是（ ） Ax 1=0，x 2=1 Bx 1=0，x 2=1 Cx 1=0，x 2=3 Dx 1=1，x 2=3 2抛物线 y=x22x+3 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （ 1，2） D （1，2） 3若数据 2、3、x、4 的平均数是 3，则这组数据的众数是（ ） A2 B3 C4 D以上都不是 4一个长方体的主视图和左视图如
2、图所示，则其俯视图的面积是（ ） A2 B3 C6 D8 5如果 是等腰直角三角形的一个锐角，则 tan 的值是（ ） A B C1 D 6将 y=（x 2） 2+3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得函数的对称轴和最小值 分别为（ ） Ax=4，y=1 Bx=2，y=3 Cx=4，y=3 Dx=0 ，y=5 7已知在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则O 的半径是（ ） A3 B4 C5 D8 8如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，PEF、 PDC、 PAB 的面积分别为 S、S 1、S
3、2，若 S=2，则 S1+S2=（ ） A4 B6 C8 D不能确定 9如图，O 中，ABDC 是圆内接四边形， BOC=110，则BDC 的度数是（ ） A110 B70 C55 D125 10如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： ，点 A 的 坐标为（1，0） ，则 E 点的坐标为（ ） A （ ，0） B （ ， ） C （ ， ） D （2，2） 11抛物线 y=a（x4） 23 与 x 轴一个交点的坐标为（2，0） ，则与 x 轴另一个交点的坐标是（ ） A （0，0） B （1，0） C （4，0） D （6，0） 12已知两点 P
4、1（x 1，y 1） 、P 2（x 2、y 2）在反比例函数 y= 的图象上，当 x1x 20 时，下列结论 正确的是（ ） A0y 1y 2B0y 2y 1Cy 1y 20 Dy 2y 10 13小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数则向上的一面的 点数大于 4 的概率为（ ） A B C D 14计算 tan60+|3sin30|cos245的结果等于（ ） A1 B2 C3 D4 15如图，一渔船由西往东航行，在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60的方向，前进 20 海里到达 B 点，此时，测得海岛 C 位于北偏东 30的方向，则海岛 C 到航线 A
5、B 的距离 CD 等于（ ） A10 B10 C10 D20 16如图，把直角ABC 的斜边 AC 放在定直线 l 上，按顺时针的方向在直线 l 上转动两次，使它 转到A 2B2C2 的位置，设 AB= ，BC=1，则顶点 A 运动到点 A2 的位置时，点 A 所经过的路线为 （ ） A （ + ） B （ + ） C2 D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分，将正确答案填写在下面对应题号的横线 上 17如图，正比例函数 y=x 与反比例函数 y= 的图象相交于 A，C 两点，ABx 轴于 B，CDx 轴 于 D，则四边形 ABCD 的面积为 18如图，在方格纸中，
6、ABC 和 EPD 的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点 P 所在的格 点为 19如图，在ABC 中， C=90，AC=8，BC=6 ，内切圆O 分别切边 AC、BC 于点 D、E，则其 内切圆的半径 r 等于 20将一组数 ，2， ，2 ， ，2 按图中的方法排列： 若 3 的位置记为（2，3） ，2 的位置记为（3，2） ，则这组数中最大有理数的位置记为 三、解答题：本大题共 5 个小题，满分 48 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 21已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0 ，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根
7、，试判断 ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 22为响应习总书记“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边” 知识竞赛活动，各类 获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列 问题： （1）获得一等奖的学生人数为 ； （2）在本次知识竞赛活动中，A ，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取 两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到 A，B 两所学校的概率 23如图，一次函数 y
8、=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（ 2，1） ，B（1，n）两点 （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB 的面积 24如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且 PDA=PBD （1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由； （2）如果BDE=60，PD= ，求 PA 的长 25如图，在ABC 中， C=90，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速 度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，AMN=AN
9、M？ （2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值 河北省石家庄市栾城县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 16 个小题，1-8 小题，每小题 2 分，96 小题，每小题 2 分，共 40 分，把每 小题的正确选项填写在下面的表格内 1方程 x（x2 ）+x=0 的解是（ ） Ax 1=0，x 2=1 Bx 1=0，x 2=1 Cx 1=0，x 2=3 Dx 1=1，x 2=3 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】通过提取公因式 x 对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可 【解答】解：x（x 2）+x=0， x
10、（ x2+1）=0， x=0 或 x1=0， x1=0，x 2=1， 故选 A 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 2抛物线 y=x22x+3 的顶点坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （ 1，2） D （1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写 出顶点坐标 【解答】解：y=x 22x+3=x22x+11+3=（x1） 2+2， 抛物线 y=x22x+3 的顶点坐标是（1，2） 故选 B 【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数 y=a（xh） 2+k
11、的顶点坐标为（h，k） ，对称轴为 x=h，此题还考查了配方法求顶点式 3若数据 2、3、x、4 的平均数是 3，则这组数据的众数是（ ） A2 B3 C4 D以上都不是 【考点】众数；算术平均数 【专题】计算题 【分析】先根据条件求出 x 的值，然后根据众数的定义就可解决问题 【解答】解：数据 2、3、x、4 的平均数是 3， 2+3+x+4=34=12， 解得 x=3 其中 3 出现的次数最多， 因而这组数据的众数是 3 故选 B 【点评】本题主要考查了算术平均数、众数的定义等知识，熟悉相关知识是解决此类题目的关键 4一个长方体的主视图和左视图如图所示，则其俯视图的面积是（ ） A2 B3
12、 C6 D8 【考点】由三视图判断几何体 【专题】投影与视图 【分析】根据给出的长方体的主视图和左视图可得，俯视图的长方形的长与主视图的长方形的宽相 等为 3，俯视图的长方形的宽与左视图的长方形的宽相等为 2因此俯视图的面积是 6cm2 【解答】解：俯视图是边长分别为 3 和 2 的长方形，因而其面积为 6cm2 故选：C 【点评】本题主要考查几何体的三视图，熟知“长对正、高平齐、宽相等 ”是关键 5如果 是等腰直角三角形的一个锐角，则 tan 的值是（ ） A B C1 D 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出 的度数，再根据特殊角的三角函数值即可解答 【解答】解
13、： 是等腰直角三角形的一个锐角， =45， tan=tan45=1 故选 C 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和等腰直角三角形的性质 6将 y=（x 2） 2+3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得函数的对称轴和最小值 分别为（ ） Ax=4，y=1 Bx=2，y=3 Cx=4，y=3 Dx=0 ，y=5 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据函数图象向右平移减，向下平移减，可得答案 【解答】解；将 y=（x 2） 2+3 的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的函数 表达式是 y=（x 22） 2+32，即 y=（x 4） 2+1 所以对
14、称轴为 x=4，最小值为（4，1） ； 故选 A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减 7已知在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则O 的半径是（ ） A3 B4 C5 D8 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据垂径定理求出 AE，再根据勾股定理求出 OA 即可 【解答】解：如图所示： OEAB，AE= AB=4 在直角AOE 中，AE=4，OE=3， 根据勾股定理得到 OA= =5， 则 O 的半径是 5 故选：C 【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出 OA 是解决问题的 关键 8
15、如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，PEF、 PDC、 PAB 的面积分别为 S、S 1、S 2，若 S=2，则 S1+S2=（ ） A4 B6 C8 D不能确定 【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理 【分析】过 P 作 PQ 平行于 DC，由 DC 与 AB 平行，得到 PQ 平行于 AB，可得出四边形 PQCD 与 ABQP 都为平行四边形，进而确定出 PDC 与 PCQ 面积相等，PQB 与ABP 面积相等，再由 EF 为BPC 的中位线，利用中位线定理得到 EF 为 BC 的一半，且 EF 平行于 BC，得出 PEF 与PBC
16、相似，相似比为 1：2，面积之比为 1：4，求出PBC 的面积，而PBC 面积=CPQ 面积+PBQ 面 积，即为PDC 面积+PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积 【解答】解：过 P 作 PQDC 交 BC 于点 Q，由 DCAB，得到 PQAB， 四边形 PQCD 与四边形 APQB 都为平行四边形， PDCCQP，ABP QPB， SPDC=SCQP，S ABP=SQPB， EF 为PCB 的中位线， EFBC，EF= BC， PEFPBC，且相似比为 1：2， SPEF：S PBC=1：4，S PEF=2， SPBC=SCQP+SQPB=SPDC+SABP=S1+
17、S2=8 故选：C 【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与 性质是解本题的关键 9如图，O 中，ABDC 是圆内接四边形， BOC=110，则BDC 的度数是（ ） A110 B70 C55 D125 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【分析】首先通过同弧所对的圆心角与圆周角的关系求出角 A，再利用圆内接四边形的对角互补， 可以求出BDC 【解答】解：BOC=110 A= BOC= 110=55 又 ABDC 是圆内接四边形 A+D=180 D=18055=125 故选 D 【点评】熟练掌握圆周角定理理解圆内接四边形的性质 10如图，正方形
18、 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： ，点 A 的 坐标为（1，0） ，则 E 点的坐标为（ ） A （ ，0） B （ ， ） C （ ， ） D （2，2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】由题意可得 OA：OD=1： ，又由点 A 的坐标为（1，0） ，即可求得 OD 的长，又由正方 形的性质，即可求得 E 点的坐标 【解答】解：正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1： ， OA：OD=1： ， 点 A 的坐标为（1，0） ， 即 OA=1， OD= ， 四边形 ODEF 是正方形， DE=OD= E
19、 点的坐标为：（ ， ） 故选：C 【点评】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质此题比较简单，注意理解位似变换与相似比 的定义是解此题的关键 11抛物线 y=a（x4） 23 与 x 轴一个交点的坐标为（2，0） ，则与 x 轴另一个交点的坐标是（ ） A （0，0） B （1，0） C （4，0） D （6，0） 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】根据抛物线的性质得到抛物线对称轴为直线 x=4，然后根据抛物线与 x 轴的两交点关于直 线 x=4 对称，于是可判断抛物线与 x 轴另一个交点的坐标为（6，0） 【解答】解：抛物线 y=a（x4） 23 的对称轴为直线 x=
20、4， 而点（2，0）关于直线 x=4 的对称点为（6，0） ， 所以抛物线与 x 轴另一个交点的坐标为（6，0） 故选 D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程解决本题的关键是确定抛物线与 x 轴的两交点是抛物线上的对称点 12已知两点 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2、y 2）在反比例函数 y= 的图象上，当 x1x 20 时，下列结论 正确的是（ ） A0y 1y 2B0y 2y 1Cy 1y 20 Dy 2y 10 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
21、 【分析】先判断出反比例函数的增减性，然后可判断出答案 【解答】解：30， y= 在第一、三象限，且随 x 的增大 y 值减小， x1 x20， 0 y1 y2 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题，解答本题的关键是判断出反比 例函数的增减性 13小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数则向上的一面的 点数大于 4 的概率为（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】让骰子中大于 4 的数个数除以数的总个数即为所求的概率 【解答】解：根据等可能条件下的概率的公式可得：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六 个面上分别刻有
22、 1 到 6 的点数，则向上的一面的点数大于 4 的概率为 故选 B 【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 14计算 tan60+|3sin30|cos245的结果等于（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案 【解答】解： tan60+|3sin30|cos245 = +3 （ ） 2 =3+ =4 故选：D 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确特殊角的三角函数值是解题关键 15如图，一渔船由西往东航行，在 A 点测得海岛 C 位于北偏东 60的方向，前进 20 海里到达 B 点，此时，测得海岛 C
23、 位于北偏东 30的方向，则海岛 C 到航线 AB 的距离 CD 等于（ ） A10 B10 C10 D20 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出CAD=30，CBD=60，再由三角形外角的性质得 到CAD=30 =ACB，根据等角对等边得出 AB=BC=20，然后解 RtBCD，求出 CD 即可 【解答】解：根据题意可知CAD=30，CBD=60， CBD=CAD+ACB， CAD=30=ACB， AB=BC=20 海里， 在 RtCBD 中， BDC=90， DBC=60，sinDBC= ， sin60= ， CD=12sin60=20 =10
24、（海里） ， 故选：C 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中解一般三角形，求三角形的边或高的问题一 般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 16如图，把直角ABC 的斜边 AC 放在定直线 l 上，按顺时针的方向在直线 l 上转动两次，使它 转到A 2B2C2 的位置，设 AB= ，BC=1，则顶点 A 运动到点 A2 的位置时，点 A 所经过的路线为 （ ） A （ + ） B （ + ） C2 D 【考点】勾股定理；弧长的计算 【专题】操作型 【分析】A 点所经过的弧长有两段， 以 C 为圆心，CA 长为半径，ACA 1 为圆心角的弧长； 以 B1 为圆心，AB 长
25、为半径， A1B1A2 为圆心角的弧长分别求出两端弧长，然后相加即可得到 所求的结论 【解答】解：在 RtABC 中， AB= ，BC=1， 则BAC=30， ACB=60， AC=2； 由分析知：点 A 经过的路程是由两段弧长所构成的： AA 1 段的弧长：L 1= = ， A1A 2 段的弧长：L 2= = ， 点 A 所经过的路线为（ + ），故选 B 【点评】本题考查的是弧长的计算，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚， 就能顺利的作答 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分，将正确答案填写在下面对应题号的横线 上 17如图，正比例函数 y=x
26、 与反比例函数 y= 的图象相交于 A，C 两点，ABx 轴于 B，CDx 轴 于 D，则四边形 ABCD 的面积为 2 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；正比例函数的图象 【专题】数形结合 【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直 角三角形面积 S 的关系即 S= |k|，得出 SAOB=SODC= ，再根据反比例函数的对称性可知： OB=OD，得出 SADB+SBDC 得出结果 【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，AB=CD， 四边形 ABCD 的面积等于 SADB+SBDC， A（ 1， 1） ，B（1，0） ，C（1，
27、 1） ，D （ 1，0） SADB= （DO+OB） AB= 21=1， SBDC= （DO+OB ） DC= 21=1， 四边形 ABCD 的面积=2 故答案为：2 【点评】主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、 向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S= |k| 18如图，在方格纸中，ABC 和 EPD 的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点 P 所在的格 点为 P 3 【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型 【分析】由于BAC= PED=90，而 = ，则当 = 时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应 相等的两个三角形相似判断
28、ABC EPD，然后利用 DE=4，所以 EP=6，则易得点 P 落在 P3 处 【解答】解：BAC= PED， 而 = ， = 时，ABC EPD， DE=4， EP=6， 点 P 落在 P3 处 故答案为：P 3 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 19如图，在ABC 中， C=90，AC=8，BC=6 ，内切圆O 分别切边 AC、BC 于点 D、E，则其 内切圆的半径 r 等于 2 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】利用切线的性质，易证得四边形 OECD 是正方形；那么根据切线长定理可得： CE=CD= （AC+BCAB ） ，由此可
29、求出 r 的长 【解答】解：如图， 在 RtABC 中， C=90，AC=6，BC=8； 根据勾股定理 AB= =10； 四边形 OECD 中，OE=OD， OEC=ODC=C=90； 四边形 OECD 是正方形； 由切线长定理，得：AD=AF，BF=BE ，CE=CD； CE=CD= （AC+BC AB） ； 即：r= （6+810）=2 故答案为：2 【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法、切线长定理，正确得出 CE=CD= （AC+BCAB ）是解题关键 20将一组数 ，2， ，2 ， ，2 按图中的方法排列： 若 3 的位置记为（2，3） ，2 的位置记为（3，2） ，
30、则这组数中最大有理数的位置记为 （17，2） 【考点】算术平方根 【专题】规律型 【分析】根据规律发现，被开方数是从 2 开始的偶数列，最后一个数的被开方数是 204，所以最大 的有理数是被开方数是 196 的数，然后求出 196 在这列数的序号，又 6 个数一组，求出是第几组第 几个数，即可确定它的位置 【解答】解：2 = ， 这列数中最大的数是 =14， 设 196 是这列数中的第 n 个数，则 2n=196， 解得 n=98， 观察发现，每 6 个数一行，即 6 个数一循环， 986=162， 是第 17 组的第 2 个数 最大的有理数 n 的位置记为（17，2） 故答案为：（17，2）
31、 【点评】本题利用算术平方根考查了数字的规律变化问题，求出最大的有理数的序号，并 6 个数作 为一个循环组是解题的关键 三、解答题：本大题共 5 个小题，满分 48 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 21已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0 ，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【考点】一元二次方程的应用 【专题】代数几何综合题 【分析】 （1）直接将 x
32、=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC 的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （3）利用ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 【解答】解：（1）ABC 是等腰三角形； 理由：x= 1 是方程的根， （ a+c）（ 1） 22b+（ac ）=0 ， a+c2b+ac=0， ab=0， a=b， ABC 是等腰三角形； （2）方程有两个相等的实数根， （ 2b） 24（a+c） （a c）=0， 4b24a2+4c2=0， a2=b2+c2， ABC 是直角三角形； （3）当ABC 是等边三角
33、形，（a+c）x 2+2bx+（a c）=0 ，可整理为： 2ax2+2ax=0， x2+x=0， 解得：x 1=0，x 2=1 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已 知获取等量关系是解题关键 22为响应习总书记“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边” 知识竞赛活动，各类 获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列 问题： （1）获得一等奖的学生人数为 30 人 ； （2）在本次知识竞赛活动中，A ，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取 两所学校举行一场足球友谊
34、赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到 A，B 两所学校的概率 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图 【分析】 （1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可 求得一等奖的学生数； （2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解：（1）三等奖所在扇形的圆心角为 90， 三等奖所占的百分比为 25%， 三等奖为 50 人， 总人数为 5025%=200 人， 一等奖的学生人数为 200（120%25%40%）=30 人， 故答案为 30 人； （2）列如下表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB C
35、D D DA DB DC 从表中可以看到总的有 12 种情况，而 AB 分到一组的情况有 2 种， 故恰好选到 A、B 两所学校的概率为 P= = 【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来， 然后利用概率公式求解，难度不大 23如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于 A（ 2，1） ，B（1，n）两点 （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB 的面积 【考点】一次函数综合题；反比例函数综合题 【专题】压轴题；待定系数法 【分析】 （1）首先把 A 的坐标代入反比例函数关系式中可以求出 m，再把 B（1，n）
36、代入反比例函 数关系式中可以求出 n 的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式； （2）AOB 的面积不能直接求出，要求出一次函数与 x 轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球 它的面积S AOB=SAOC+SBOC 【解答】解：（1）点 A（2，1）在反比例函数 的图象上， m=（2）1=2 反比例函数的表达式为 点 B（1，n）也在反比例函数 的图象上， n=2，即 B（ 1， 2） 把点 A（2，1） ，点 B（1， 2）代入一次函数 y=kx+b 中， 得 解得 一次函数的表达式为 y=x1 （2）在 y=x1 中，当 y=0 时，得 x=1 直线 y=x1 与 x 轴的交点为
37、 C（1，0） 线段 OC 将AOB 分成AOC 和 BOC， SAOB=SAOC+SBOC= 11+ 12= +1= 【点评】此题考查了利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用坐标来求三角形的面积 24如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且 PDA=PBD （1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由； （2）如果BDE=60，PD= ，求 PA 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）要证是直线 PD 是为O 的切线，需证 PDO=90因为 AB 为直径，所以 ADO+ODB=90，由PDA=PBD=ODB 可得ODA+ PDA=90，即 PDO=90 （
38、2）根据已知可证AOD 为等边三角形， P=30在 RtPOD 中运用三角函数可求解 【解答】解：（1）PD 是 O 的切线理由如下： AB 为直径， ADB=90， ADO+ODB=90 PDA=PBD=ODB， ODA+PDA=90即 PDO=90 PD 是 O 的切线 （2）BDE=60 ， ADB=90， PDA=1809060=30， 又 PD 为半圆的切线，所以PDO=90， ADO=60，又 OA=OD， ADO 为等边三角形， AOD=60 在 RtPOD 中，PD= ， OD=1，OP=2， PA=POOA=21=1 【点评】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，
39、难度中等要证某线是圆的切线， 已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可 25如图，在ABC 中， C=90，BC=5 米，AC=12 米M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速 度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，AMN=ANM？ （2）当 t 为何值时，AMN 的面积最大？并求出这个最大值 【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值 【专题】压轴题 【分析】 （1）用 t 表示出 AM 和 AN 的值，根据 AM=AN，得到关于 t 的方程求得 t 值即可； （2
40、）作 NHAC 于 H，证得ANH ABC，从而得到比例式，然后用 t 表示出 NH，从而计算其 面积得到有关 t 的二次函数求最值即可 【解答】解：（1）从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动， 速度为 2 米/秒运动时间为 t 秒 AM=12t，AN=2t AMN=ANM AM=AN，从而 12t=2t 解得：t=4 秒， 当 t 为 4 时， AMN=ANM （2）在 RtABC 中 AB2=BC2+AC2 AB=13 米 如图，作 NHAC 于 H， NHA=C=90， A 是公共角， NHABCA = ， 即： = ， NH= 从而有 SAMN= （12t） = t2+ ， 当 t=6 时，S 最大值= 平方米 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式， 从而求解
