1、哈尔滨市第六中学 2015-2016 学年度上学期期末考试 高三理科数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：每小题 5 分，共 12 小题 1.集合 ,则 （ ）24,031xyQxP QP A. B. (2， 1， C. D. ),1(),2)， 2.已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）53iz A 的虚部为 B. 的共轭复数为4z14i C D. 在复平面内对应的点在第二象限 3.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1 ） 是 的充分必要条件cos02()kZ （2 ） 则 最小正周期是()incosfxxf （3 ）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则
2、样本的方差不变 （4 ）设随机变量 服从正态分布 ,若 ，则(01)N()Pp1(0)2Pp A.4 B.3 C.2 D.1 4. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是 ，该几何体的体积为 ( )2 A B. 4383 C. D. 16 5.函数 的单调递减区间为（ ）12log(sincos2in)44yxx A. B. 5(,)8kkZ3(,)8kkZ C. D. 35 6执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A B 2931 C D35 7.变量 满足条件 ，则 的最小值为（ ）,xy 01xy2()xy正视图俯视图 否 开始 结束 1a230?a 输出 是 侧视图 A
3、. B. C. D. 325925 8哈六中高一学习雷锋志愿小组共有 人，其中一班、二班、三班、四班各 人，现164 在从中任选 人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选 人，不同的选1 取法的种数为 ( ) A. B. C. D.484722523 9.设不等式组 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于 2 的概率是031xy （ ） A. B. C. D. 32863124 10.若抛物线 的焦点为 ，其准线经过双曲线 的左焦点，点 为这两条2(0)ypxF21(0,)xyabM 曲线的一个交点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）M A B. C
4、. D. 221212 11.在平行四边形 中， , ,若将其沿 折成直二面角 ,则三棱BCD0AB 40CAACDACB 锥 的外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 1682 12.已知函数 ，在区间 上任取三个数 均存在以 ， ， 为边长的三角()lnfxk1,e,abc()fafb()fc 形，则 的取值范围是（ ）k A B. (1)， (,) C. D. ,3e3e， 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13.在 的展开式中，所有项的系数和为 ，则 的系数等于 *1(3)()nNx321x 14. 为等腰直角三角形， , 为斜边 的高，点 在射线 上，则 的最小值为 A
5、OB1OACABPOCAP 15.椭圆 的左焦点为 ， 分别为其三个顶点. 直线 与 交 21(0,)xyabF(,0)(,)abCFAB 于点 ，若椭圆的离心率 ，则 = D2etanD 16. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 的面积最大值为 ABC,bc2,baABC 三、解答题：共 70 分 17.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .nanSNnSan12 (1)求数列 的通项公式;na (2)若 , ,且数列 的前 项和为 ,求 的取值范围.nnb2log1nbcncnT 18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了 50 人参加环保知识测试,统
6、计数据 如下表所示： （）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 ，现在环保测试中优秀的同学中选 3 人参加预选赛，若随机变量 表示这 3 人中通过预选赛的人数，求32 X 的分布列与数学期望.X 附: 2K2()(nadbc(Pk 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001 0.455 0.708 2.706 6.635 10.828 19. 为等腰直角三角形， ， ， 、 分别是边 和 的中点，现将ABC4BCA90ADEACB 沿 折起，使面 面 ， 、 分
7、别是边 和 的中点，平面 与 、 分别DEDEHFBHEAF 交于 、 两点IG （）求证： ；H/BC （）求二面角 的余弦值；IA 20.已知椭圆 的左，右顶点分别为 ，圆14:2yxEBA, 42yx 上有一动点 ,点 在 轴的上方， ，直线 交椭圆 于点P0,CPE，连接D 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 I CDBFGE .PBDC, (1)若 ,求 的面积 ;90AADCS (2)设直线 的斜率存在且分别为 ,若 ,21k21k 求 的取值范围. 21.设函数 21()ln.fxaxb (1)当 时，求函数 的最大值；2
8、ab)(f (2)令 ， （ ）2()Fxfx03x 其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立，求实数 的取值范围；0(,)Pyk21a (3)当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值a1b2(mfxm 选作题：考生在题（22） （23） （24 ）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分做题时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，已知 点在 直径的延长线上， 切 于 点， 是COCAODC的平ACB 分线，交 于 点，交 于 点AEFABD （）求 的度数；（）若 ，求 DB: 23 （本小题满分 10 分）
9、选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，若以该直角xOyMsinco2xy 坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为:N （其中 为常数）.2sin()4tt （）若曲线 与曲线 只有一个公共点，求 的取值范围；Nt （）当 时，求曲线 上的点与曲线 上点的最小距离2tMN 24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知实数 满足 ，且 .cba, 0,cb1abc （）证明： ；8)1()( （）证明： .cbac 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C A B B D B A
10、 C C D 13.-270 14. 15. 16. 8 132 17.(1)当 时, ,解得 当 时, n12aS12an11nnaS12naS -得 即 nn 数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 (2)na 2na22loglnnnba = 11()ncbn11.2341nTN10, ,2nT 18. (I) 2210(430)65K7.8K27.86.35 有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关 . (II) 的可能取值为 0,1,2,3 X 1)(03XP92)1()(3CXP94)32(1)(CXP 27 83P X 0 1 2 3 P 279 478 ()2E 1
11、9. ()因为 、 分别是边 和 的中点，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，DEACBBCED/BCHEDBCH 所以 平面 因为 平面 ， 平面 ，平面 平 面 所以/BHHAIA 又因为 ，所以 . I/I/ () 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得， ， ， ， ， ， ，)0,(D),2(E)2,0(A),13(F)0,2(E)1,(H ， ， ， ，,A,1F,CH),(DI 设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，令 ，解得 ， ，GI ),(11zyxn01nEBA1yxz11x1y 则 设平面 的一个法向量为 ，则)1,(1nCHI ),(22z ICDFGE zyx ， ，令
12、，解得 ，则 02nHIC0221xzy2z1y)2,10(2n ，所以二面角 的余弦值为 153,cos21 CGIA15 20.（1）依题意， .设 ，则 .由 得 , )0,(A),(yxD1421y90D1CDAk , , 解得121xy2121xx 舍 去 ）(2,31x , . 33S (2)设 , 动点 在圆 上, .2yxDP42yx1PABk 又 , , 即 =1k11222yx42x = = = .又由题意可知 ,且 ,24x242x212 则问题可转化为求函数 的值域.1,1xf 且 由导数可知函数 在其定义域内为减函数 , x 函数 的值域为 从而 的取值范围为 f 3
13、,0,3,0, 21 解: （1）依题意，知 的定义域为（0，+） ，)(xf 当 时， ， 令 =0，解2bax214lnxxf 2)1(12)( (xf 得 （ ） ，当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单xx0)(f 0)(f 调递减。 所以 的极大值为 ，此即为最大值 (2） ， ，则有)(f 43)1(f xaFln)(3,( ，在 上恒成立，所以 ， 200xaFk,0xamax021(3,0 当 时， 取得最大值 ，所以 10021 (3)因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解，2)(xmf 02ln2xx 设 ，则 令 ， xgln)(2mg)()(g02mx 因
14、为 ， ，所以 （舍去） ， ，0mx0241mx 224mx 当 时， ， 在（0， ）上单调递减，),(2)(g)(2x 当 时， ， 在（ ，+）单调递增xxg 当 时， =0， 取最小值 因为 有唯一解，所以2)(2)()(2x0)(xg0)(2xg 则 既 所以 ，因为 ，所以,0)(2xg .0,ln2mxln2m （*）设函数 ，因为当 时，1ln1l)(xh0x 是增函数，所以 至多有一解)(xhx 因为 ，所以方程（*）的解为 ，即 ，解得 0121x241m2m 22 （ 1）因为 为 的切线，所以 因为 是 的平分线，所以 所以ACOEACBDCABDCBA ，即 ，DEDB F 所以 所以 .9045)180(2F （2）因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，在 中，又因为 ，所以 ， ABCCACB30ACB 中，ERt30tant 23. （）由已知 ；2,1:2xyMtyxN: 联立方程有一个解，可得 1t或 54 （） 当 2t时，直线 N: 2yx，设 M 上点为 )1,(20x， 02，则8234)1(200xxd ， 当 0 时取等号，满足 0x，所以所求的最小距离为 8 3 24.(1) ，相乘得证cba,21 （2） ， ， cb bcab2 acba2 相加得证ac2
