1、江西省赣州市 2014-2015 学年八年级上学期期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分） 1 （2 分） （2） 1 的倒数是（） A 2 B C D 2 （2 分）如图，坐标平面内一点 A（2，1） ，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以 点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（） A 2 B 3 C 4 D 5 3 （2 分）三角形的三边长分别为 5，1+2x，8，则 x 的取值范围是（） A 2x5 B 2.5x4.5 C 1x6 D 3x5 4 （2 分）下列运算正确个数有（） 23=6； ；a 2a3=
2、a5； 3a+2a=5a2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 （2 分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 2520，则原多边形的 边数是（） A 15 或 17 B 16 或 15 C 15 D 16 或 15 或 17 6 （2 分）等腰三角形的两条边长分别为 3，6，那么它的周长为（） A 15 B 12 C 12 或 15 D 不能确定 7 （2 分）如果 4x2ax+9 是一个完全平方式，则 a 的值是（） A 6 B 6 C 12 D 12 8 （2 分）如图，D 是 AB 边上的中点，将 ABC 沿过 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上 F
3、 处，若B=45 ，则 BDF 度数是（） A 80 B 90 C 40 D 不确定 二、填空题（共 9 小题，每小题 2 分，满分 18 分） 9 （2 分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为 0.000000102m，该直径用科学记数 法表示为 m 10 （2 分）如果分式 的值为零，那么 x= 11 （2 分）若点 A（m+2，3）与点 B（ 4，n+5 ）关于 y 轴对称，则 m+n= 12 （2 分）如图，1、 2、 3、4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若 A=100，则 1+2+3+4= 13 （2 分）如图，OP 平分MON ，PA ON 于点 A，点 Q 是射线
4、OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为 14 （2 分）如图，ABC 中C=90，AB 的垂直平分线 DE交 BC 于点 E，D 为垂足，且 EC=DE，则B 的度数为 15 （2 分）如图，RtABC 中， ACB=90，A=50， 将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A 处，折痕为 CD，则ADB 为 16 （2 分）已知：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ，请你把发现的规律用含正整数 n2 的等式表示为 17 （2 分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果3=32 ，那么 1+2=度 三、解答题（共 11 小题，满分 66 分） 18 （4
5、 分）计算：（ ） 2（ ） 2012（1.5） 2013+2014022+ +（3 ） 0|3| 19 （6 分）先化简，再求值： ，其中 x 是不等式组 的整数解 20 （6 分）分解因式： （1）2m 2+8mn8n2 （2）a 2（x1）+b 2（1 x） 21 （5 分）解方程： 22 （4 分）如图，A、B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水 （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹 23 （5 分）已知：x 2+2x=3，求代数
6、式（x3） 2（2x+1） （2x 1）7 的值 24 （8 分）已知：如图，B=C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC （1）求证：AM 平分BAD； （2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？ （3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出结果 25 （6 分）如图，四边形 ABCD中，A=C=90，BE 平分 ABC，DF 平分ADC，则 BE 与 DF 有何位置关系？试说明理由 26 （6 分）某一工程进行招标时，接到了甲、乙两个工程队的投标书，施工 1 天需付甲工 程队工程款 1.5 万元，付乙工程队工程款 1.1 万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书
7、 测算，可有三种施工方案： 方案（1）：甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案（2）：乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多 5 天； 方案（3）：若甲、乙两队合作 4 天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完成； 在不耽误工期的情况下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由 27 （7 分）如图，在ABC 中，AB=AC ，A=90 ，点 D 在线段 BC 上， BDE= C，BEDE，垂足为 E，DE 与 AB 交于点 F， DGAC 交 AB 于点 H，交 BE 的 延长线于点 G （1）求证：BDG 是等腰三角形； （2）求证：BE= DF 28 （9 分）探究题：如图： （1
8、）ABC 为等边三角形，动点 D 在边 CA 上，动点 P 边 BC 上，若这两点分别从 C、B 点同时出发，以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动，连接 AP，BD 交于点 Q，两点运 动过程中 AP=BD 成立吗？请证明你的结论； （2）如果把原题中“动点 D 在边 CA 上，动点 P 边 BC 上， ”改为“动点 D，P 在射线 CA 和 射线 BC 上运动”，其他条 件不变，如图（2）所示，两点运动过程中BQP 的大小保持不变请你利用图（2）的情 形， 求证：BQP=60 ； （3）如果把原题中“动点 P 在边 BC 上”改为“ 动点 P 在 AB 的延长线上运动，连接 P
9、D 交 BC 于 E”，其他条件不变，如图（3） ，则动点 D，P 在运动过程中，DE 始终等于 PE 吗？ 写出证明过程 江西省赣州市 2014-2015 学年八年级上学期期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 2 分，满分 16 分） 1 （2 分） （2） 1 的倒数是（） A 2 B C D 考点： 负整数指数幂；倒数 分析： 根据负整数指数幂：a p= （a0，p 为正整数）可得答案 解答： 解：原式=（ ） 1= ， 故选：C 点评： 此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数 2 （2 分）如图，坐标平面内一点 A（2，1）
10、，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以 点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（） A 2 B 3 C 4 D 5 考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质 专题： 动点型 分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：OA 为等腰三角形底边； OA 为等 腰三角形一条腰 解答： 解：如上图：OA 为等腰三角形底边，符合符合条件的动点 P 有一个； OA 为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点 P 有三个 综上所述，符合条件的点 P 的个数共 4 个 故选 C 点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解 决实际问
11、题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解 3 （2 分）三角形的三边长分别为 5，1+2x，8，则 x 的取值范围是（） A 2x5 B 2.5x4.5 C 1x6 D 3x5 考点： 三角形三边关系；解一元一次不等式组 分析： 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 解答： 解：由题意，有 851+2x8+5， 解得：1x6， 故选 C 点评： 考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式，难度不大，属于基础题 4 （2 分）下列运算正确个数有（） 23=6； ；a 2a3=a5； 3a+2a=5a2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D
12、 4 个 考点： 同底数 幂的乘法；算术平方根；合并同类项；负整数指数幂 分析： 根据负整数指数幂、开平方、幂的乘方法则及合 并同类项的法则进行运算即可 解答： 解：2 3= ，故本项错误； =2，故本项正确； a2a3=a5，故本项正确； 3a+2a=5a，故本项错误 综上可得正确的有 2 个 故选 B 点评： 本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的法则及负整数指数幂的运算，属于基 础题 5 （2 分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 2520，则原多边形的 边数是（） A 15 或 17 B 16 或 15 C 15 D 16 或 15 或 17 考点： 多边形内角与外角
13、 分析： 因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减 少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题 解答： 解：多边形的内角和可以表示成（n2） 180（n3 且 n 是整数） ，一个多边形截 去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n2） 180=2520， 解得：n=16， 则多边形的边数是 15，16，17 故选 D 点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角 后角的个数减少 1 6 （2 分）等腰三角形的两条边长分别为 3，6，那么它的周长为（） A 15 B 12 C 12 或 15 D
14、 不能确定 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 专题： 计算题；压轴题 分析： 根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长； 解答： 解：当腰长为 3 时，3+3=6，显然不成立； 腰长为 6， 周长为 6+6+3=15 故选 A 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第 三边，三角形两 边之差小于第三边 7 （2 分）如果 4x2ax+9 是一个完全平方式，则 a 的值是（） A 6 B 6 C 12 D 12 考点： 完全平方式 专题： 计算题 分析： 这里首末两项是 2x 和 3 这两个数的平方，那么中间一项为加上或
15、减去 2x 和 3 的 积的 2 倍，故 a=223=12 解答： 解：（2x3） 2=4x212x+9=4x2ax+9， a=223=12 故选 D 点评： 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构 成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符 号，避免漏解 8 （2 分）如图，D 是 AB 边上的中点，将 ABC 沿过 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上 F 处，若B=45 ，则 BDF 度数是（） A 80 B 90 C 40 D 不确定 考点： 翻折变换（折叠问题） 专题： 几何图形问题 分析： 先根据图形翻折不变的性质可得 AD=DF，根据等边对等角
16、的性质可得 B=BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解 解答： 解：DEF 是DEA 沿直线 DE 翻折变换而来， AD=DF， D 是 AB 边的中点， AD=BD， BD=DF， B=BFD， B=45， BDF=180BBFD=1804545=90 故选：B 点评： 本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟 知折叠的性质是解答此题的关键 二、填空题（共 9 小题，每小题 2 分，满分 18 分） 9 （2 分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为 0.000000102m，该直径用科学记数 法表示为 1.02107m 考点： 科学记数法表示较小的
17、数 分析： 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数 幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前 面的 0 的个数所决定 解答： 解：0.000000102=1.0210 7 故答案为：1.02 107 点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为 由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 10 （2 分）如果分式 的值为零，那么 x=1 考点： 分式的值为零的条件 专题： 计算题 分析： 分式的值为 0 的条件是：分子为 0，分母不为 0，两个条件需同时具
18、备，缺一不 可据此可以解答本题 解答： 解：如果分式 的值为零，则|x|1=0 解得 x=1 或 1 x10，解得 x1， x=1 故答案为1 点评： 分式值为 0，那么需考虑分子为 0，分母不为 0 11 （2 分）若点 A（m+2，3）与点 B（ 4，n+5 ）关于 y 轴对称，则 m+n=0 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 分析： 根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可 解答： 解：点 A（m+2 ， 3）与点 B（4，n+5）关于 y 轴对称， m+2=4，3=n+5， 解得：m=2，n=2， m+n=0， 故答案为：0 点评： 本题考查
19、了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的 坐标规律： （1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 12 （2 分）如图，1、 2、 3、4 是五边形 ABCDE 的 4 个外角，若 A=100，则 1+2+3+4=280 考点： 多边形内角与外角 分析： 先根据邻补角的定义得出与EAB 相邻的外角5 的度数，再根据多边形的外角和 定理即可求解 解答： 解：如图，EAB+5=180， EAB=100， 5=80 1+2+3+4+5=360，
20、1+2+3+4=36080=280 故答案为 280 点评： 本题主要考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，比较简单 13 （2 分）如图，OP 平分MON ，PA ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为 2 考点： 角平分线的性质；垂线段最短 专题： 动点型 分析： 过 P 作 PEOM 于 E，根据垂线段最短，得出当 Q 与 E 重合时，PQ 最小，根据 角平分线性质求出 PE=PA，即可求出答案 解答： 解：过 P 作 PEOM 于 E，当 Q 与 E 重合时，PQ 最小， PEOM，PA ON，OP 平分MON， PE=PA=
21、2， 即 PQ 的最小值是 2， 故答案为：2 点评： 本题考查了垂线段最短和角平分线的性质的应用，能根据题意得出 PQ 最小时 Q 的位置是解此题的关键，此题主要培养学生的理解能力 14 （2 分）如图，ABC 中C=90，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E，D 为垂足，且 EC=DE，则B 的度数为 30 考点： 线段垂直平分线的性质 分析： 首先连接 AE，由 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E，D 为垂足，可得 AE=BE， 又由 EC=DE，易证得 AE 平分CAB，继而求得答案 解答： 解：连接 AE， AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E，D 为垂足，
22、 AE=BE， EAB=B， ABC 中， C=90，且 EC=DE， AE 平分CAB， CAE=EAB， CAB=2B， CAB+B=90， B=30 故答案为：30 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的判定与性质此题难度适中， 注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 15 （2 分）如图，RtABC 中， ACB=90，A=50，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A 处，折痕为 CD，则ADB 为 10 考点： 轴对称的性质；三角形的外角性质 分析： 根据轴对称的性质可知CAD= A=50，然后根据外角定理可得出A DB 解答： 解：由题意得：CA D=A=
23、50，B=40， 由外角定理可得：CAD=B+A DB， 可得：ADB=1 0 故答案为：10 点评： 本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键 16 （2 分）已知：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ，请你把发现的规律用含正整数 n2 的等式表示为 n+ =n2 考点： 规律型：数字的变化类 专题： 规律型 分析： 观察等式左边是一个整数与分数的和，分数的分子与整数相同，分母是整数的平 方减 1，等式的右边是这个整数的平方乘以这个分数，根据此规律写出即可 解答： 解：2+ =22 ，3+ =32 ，4+ =42 ， 含正整数 n 的等式为 n+ =n2
24、 故答案为：n+ =n2 点评： 本题是对数字变化规律的考查，观察出分数的分子、分母与整数的关系是解题的 关键，也是本题的难点 17 （2 分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果3=32 ，那么 1+2=70 度 考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角 专题： 几何图形问题 分析： 分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即 可 解答： 解：3=32 ，正三角形的内角是 60，正四边形的内角是 90，正五边形的内角 是 108， 4=1806032=88， 5+6=18088=92， 5=1802108 ， 6=180901=901 ， +得
25、，1802108+90 1=92， 即1+2=70 故答案为：70 点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的 度数是解答此题的关键 三、解答题（共 11 小题，满分 66 分） 18 （4 分）计算：（ ） 2（ ） 2012（1.5） 2013+2014022+ +（3 ） 0|3| 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 分析： 分别利用积的乘方以及绝对值和零指数幂的性质分别化简求出即可 解答： 解：（ ） 2（ ） 2012（1.5） 2013+2014022+ +（3 ） 0|3| = （ 1.5） 20121.5+14+2+13 =41.5+
26、14+2+13 =2.5 点评： 此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质化简各数是解题关键 19 （6 分）先化简，再求值： ，其中 x 是不等式组 的整数解 考点： 分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解 专题： 计算题 分析： 将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公 分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利 用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘 法运算，约分后即可得到结果，分别求出 x 满足的不等式组两个一元一次不等式的解集， 找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集
27、中找出整数解，即为 x 的值，将 x 的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值 解答： 解：（ ） = = = = ， 又 ， 由解得：x4， 由解得：x2， 不等式组的解集为 4x2 ， 其整数解为3， 当 x=3 时，原式= =2 点评： 此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键 是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因 式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分 20 （6 分）分解因式： （1）2m 2+8mn8n2 （2）a 2（x1）+b 2（1 x） 考点： 提公因式法与公式法的综合运用
28、分析： （1）直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）首先提取公因式（x1） ，进而利用平方差公式分解因式即可 解答： 解：（1）2m 2+8mn8n2 =2（m 24mn+4n2） =2（m2n） 2； （2）a 2（x1）+b 2（1 x） =（x1） （a 2b2） =（x1） （ab） （ a+b） 点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关 键 21 （5 分）解方程： 考点： 解分式方程 专题： 计算题；转化思想 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得 到分式方程的解 解答： 解：去
29、分母得：4x+2x+6=5， 移项合并得：6x= 1， 解得：x= ， 经检验 x= 是分式方程的解 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 22 （4 分）如图，A、B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水 （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹 考点： 作图应用与设计作图 分析： 根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解 解答： 解：（1）根据中垂线的性质：
30、中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知， 作出 AB 的中垂线与河岸交于点 P，则点 P 满足到 AB 的距离相等 （2）作出点 A 关于河岸的对称点 C，连接 CB，交于河岸于点 P，连接 AP，则点 P 能满 足 AP+PB 最小， 理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点 P 在 CB 的连线上时，CP+BP 是 最小的 点评： 本题利用了中垂线的性质，轴对称的性质，三角形三 边的关系求解 23 （5 分）已知：x 2+2x=3，求代数式（x3） 2（2x+1） （2x 1）7 的值 考点： 整式的混合运算化简求值 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用完全平方公式展开，第
31、二项利用平方差公式化简，去括号合并得 到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值 解答： 解：x 2+2x=3 原式 =x26x+94x2+17=3x26x+3=3（x 2+2x）+3=9+3= 6 点评： 此题考查了整式的混合运算 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 24 （8 分）已知：如图，B=C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC （1）求证：AM 平分BAD； （2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？ （3）线段 CD、AB、AD 间有怎样的关系？直接写出结果 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质 专题： 几何综合题 分析： （1）首先要作辅助线，
32、MEAD 则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等 可知 ME=MC，再利用中点的条件可知 ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平 分线上的逆定理证明 AM 平分DAB （2）根据平行线性质得出CDA+BAD=180，求出 1+3=90，根据三角形内角和定理 求出即可 （3）证 RtDCMRtDEM，推出 CD=DE，同理得出 AE=AB，即可得出答案 解答： （1）证明：作 MEAD 于 E， MCDC，ME DA，MD 平分 ADC， ME=MC， M 为 BC 中点， MB=MC， 又 ME=MC， ME=MB， 又 MEAD，MBAB ， AM 平分DAB （2）解：DMAM
33、 ， 理由是：DM 平分 CDA，AM 平分 DAB， 1=2，3=4， DCAB， CDA+BAD=180， 1+3=90， DMA=180（1+3）=90， 即 DMAM （3）解：CD+AB=AD， 理由是：MEAD，MCCD， C=DEM=90， 在 RtDCM 和 RtDEM 中 RtDCMRtDEM（HL） ， CD=DE， 同理 AE=AB， AE+DE=AD， CD+AB=AD 点评： 本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用， 此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等 25 （6 分）如图，四边形 ABCD 中
34、，A= C=90，BE 平分 ABC，DF 平分 ADC，则 BE 与 DF 有何位置关系？试说明理由 考点： 平行线的判定；角平分线的定义 专题： 探究型 分析： 根据四边形的内角和定理和A= C=90，得 ABC+ADC=180；根据角平分线 定义、等角的余角相等易证明和 BE 与 DF 两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条 直线平行 解答： 解：BEDF理由如下： A=C=90（已知） ， ABC+ADC=180（四边形的内角和等于 360） BE 平分ABC，DF 平分 ADC， 1=2= ABC，3=4= ADC（角平分线的定义） 1+3= （ABC+ ADC）= 180=90
35、（等式的性质） 又1+AEB=90（三角形的内角和等于 180） ， 3=AEB（同角的余角相等） BEDF（同位角相等，两直线平行） 点评： 此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判 定，难度中等 26 （6 分）某一工程进行招标时，接到了甲、乙两个工程队的投标书，施工 1 天需付甲工 程队工程款 1.5 万元，付乙工程队工程款 1.1 万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书 测算，可有三种施工方案： 方案（1）：甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成； 方案（2）：乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多 5 天； 方案（3）：若甲、乙两队合作 4 天，余下
36、的工程由乙工程队单独做，也正好如期完成； 在不耽误工期的情况下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由 考点： 分式方程的应用 分析： 根据方案（1）的叙述可知：甲工程队单独完成时的时间=工期；由方案（2）可 得：乙工程队单独完成这项工程时，所用的天数5 天=工期；可以设出工期是 x 天，即可表 示出甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数，即可表示出各自的工作效率，根据方案 （3）即可列方程求得工期，进而计算方案（1） （3）各自需要的工程款，即可作出比较 解答： 解：设工期是 x 天，即可表示出甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数是 x 天， （x+5 ）天 根据题意得：4（ + ）+ =1， 解得
37、：x=20， 经检验 x=20 是原方程的解 则甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数是 20 天，25 天 则方案（1）的工程款是：201.5=30 万元； 方案（3）的工程款是：1.54+1.120=28（万元） 综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择第三种方案：甲、乙两队合作 4 天，剩 下的工程由乙队独做 答：方案（3）比较省钱 点评： 本题主要考查了分式方程的应用，正确理解工作时间、工作效率、工作量之间的 关系是解题的关键 27 （7 分）如图，在ABC 中，AB=AC ，A=90 ，点 D 在线段 BC 上， BDE= C，BEDE，垂足为 E，DE 与 AB 交于点 F， D
38、GAC 交 AB 于点 H，交 BE 的 延长线于点 G （1）求证：BDG 是等腰三角形； （2）求证：BE= DF 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定 专题： 证明题 分析： （1）由 DGAC，可得C=BDG，由BDE= C，可得 BDE= BDG，然后 由 BEDE，可得BED=GED=90，然后由三角形内角和定理可得： G=GBD，然后由 等角对等边可得 BD=GD，即可证： BDG 是等腰三角形； （2）由 DGAC， A=90， AB=AC，可得BHD=A=90， ABC=C=BDG=45，进而 得到 BH=HD，然后再由 ASA 可证BGH DFH，从而得到 FD
39、=BG，然后由（1）知： BD=DG，DE BG，所以可得：BE=EG= BG，进而可证 BE= DF 解答： 证明：（1）在ABC 中，AB=AC， A=90， ABC=ACB=45， DGAC， BDG=C=45， BHD=A=90， BDE= C， BDE= BDG， 即GDE= BDE， BEDE， BED=GED=90， G=GBD， BD=GD， BDG 是等腰三角形； （2）由（1）知：BD=GD ，DEBG， BE=EG= BG， BDG=45， ABC=45， BDG=ABC， BH=DH， BHD=90， BHG=90， G+GBH=90， GED=90， G+GDE=90
40、， 在BGH 和 DFH 中， ， BGHDFH， BG=DF， BE= BG， BE= DF 点评： 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的 等量关系，是证明全等三角形的关键 28 （9 分）探究题：如图： （1）ABC 为等边三角形，动点 D 在边 C A 上，动点 P 边 BC 上，若这两点分别从 C、B 点同时出发，以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动，连接 AP，BD 交于点 Q，两点运 动过程中 AP=BD 成立吗？请证明你的结论； （2）如果把原题中“动点 D 在边 CA 上，动点 P 边 BC 上， ”改为“动点 D，P 在射线 C
41、A 和 射线 BC 上运动”，其他条 件不变，如图（2）所示，两点运动过程中BQP 的大小保持不变请你利用图（2）的情 形， 求证：BQP=60 ； （3）如果把原题中“动点 P 在边 BC 上”改为“ 动点 P 在 AB 的延长线上运动，连接 PD 交 BC 于 E”，其他条件不变，如图（3） ，则动点 D，P 在运动过程中，DE 始终等于 PE 吗？ 写出证明过程 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 分析： （1）由ABC 为等边三角形，可得C=ABP=60 ，AB=BC ，又由这两点分别从 C、B 点同时出发，以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动，可得
42、BP=CD，即可利用 SAS，判定ABP BCD，继而证得结论； （2）同理可证得ABPBCD（SAS） ，则可得 APB=BDC，然后由 APBPAC=ACB=60，DAQ= PAC，求得BDCDAQ=BQP=60； （3）首先过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G，则可证得 DCG 为等边三角形，继而证得 DGEPBE（AAS） ，则可证得结论 解答： 解：（1）成立 理由：ABC 是等边三角形， C=ABP=60，AB=BC， 根据题意得：CD=BP， 在ABP 和 BCD 中， ， ABPBCD（SAS） ， AP=BD； （2）根据题意，CP=AD， CP+BC=AD+AC， 即 BP=CD， 在ABP 和 BCD 中， ， ABPBCD（SAS） ， APB=BDC， APBPAC=ACB=60，DAQ= PAC， BDCDAQ=BQP=60； （2）DE=PE 理由：过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G， CDG=C=CGD=60，GDE= BPE， DCG 为等边三角形， DG=CD=BP， 在DGE 和 PBE 中， ， DGEPBE（AAS ） ， DE=PE 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质此题难度较大，注 意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用
