2016西城区高三文科数学期末试题及答案.doc

1、北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2016.1 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项 1设集合 ，集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）|Axa1,2BABa （A） （B） （C ） （D）(,)(,)()(,1) 2. 下列函数中，值域为 的偶函数是（ ）0,) （A） （B） （C） （D ）21yxlgyx|yxcosyx 3设 是 所在平面内一点，且 ，则 （ ）MCM A （A） （B ） （C） （D ） A1()2B1()2ABC

2、4设命题 p：“若 ，则 ”，命题 q：“若 ，则 ”，则（ ）e1x0ab （A）“ ”为真命题 （B）“ ”为真命题qpq （C）“ ”为真命题 （D）以上都不对 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A） 1623 （B） 5 （C） 0 （D） 2 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 1 1 6. “ ”是“曲线 是焦点在 x 轴上的双曲线”的（ ）0mn 21xyn （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 设 ， 满足约束条件 若 的最大值与最小值的差为 7，则实数 （ xy 1,3,

3、xym 3zxym ） （A） （B） （C） （D ） 32321414 8. 某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过 4 千米的里程收费 12 元; 超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）； 当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示，其中 （单位：千米）为行驶里程， （单位：元）为xy 所收费用，用x 表示不大于 x 的最大整数，则图中 处应填（ ） 1 （A） 124yx （B） 5 （C） 124yx （D） 5 开始 4x输出 y 结束

4、否是 输入 x y=12 1 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 已知复数 满足 ，那么 _.z(1i)24iz 10若抛物线 的焦点在直线 上，则实数 _；抛物线 C 的准线方程为 2Cypx： 30xyp _. 11某校某年级有 100 名学生，已知这些学生完成家庭作业的时 间均在区间 内（单位：小时），现将这 100 人完成家0.5,3) 庭作业的时间分为 3 组： ， ， 加.,15).,2).5,3) 以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 在这 100 人中，采用分层抽样的方法抽取 10 名学生研究其 视力状况与完成

5、作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业 的时间小于 2.5 个小时的有_人. 12已知函数 的部分图象如图所示，若不等式()fx 的解集为 ，则实数 的值为_.24ft(1,2)t 13. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 ， ， ，则 sinco()2AB3a2c _； ABC 的面积为 _.cosC 14. 某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（恒温，单位： ）满足函数关系C 且该食品在 的保鲜时间是 16 小时. 60,24, .kxt 4C 该食品在 的保鲜时间是 _小时； 1 8 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗 2 放

6、在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么 到了此日 13 时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间 O x y 4 -2 3 O 时间(小时)0.5 1.5 2.5 3.5 0.1 0.4 a 频 率组 距 _.（填“是”或“否”） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分） 已知数列 是等比数列，并且 是公差为 的等差数列.na123,a （）求数列 的通项公式； （）设 ，记 为数列 的前 n 项和，证明： .2nbanSb 163nS 16（本小题满分 13 分） 已知函数 ， .3()cos(incos)2f

7、xxxR （）求函数 的最小正周期；f （）若 ，求函数 的单调增区间.(0,)x()fx 17（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，侧面 底面PABCD 135BCDPAB ， , , 分别为 的中点，点 在线段 上.ABCD906EF,AM （）求证： 平面 ； EF （）若 为 的中点，求证： 平面M/M ； P （）当 时，求四棱锥 的体 12DECDF 积. F C A D P M B E 18（本小题满分 13 分） 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标 得 0 分. 两人 4 局的得分情况如

8、下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 xy （）已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时，此局得分小于 6 分的概率不为零，且在 4 局比 赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求 的值；y （）如果 ， ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将其得分分别记为6x10y ， ，求 的概率；ab （）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 的所有可能x 取值.（结论不要求证明） 19（本小题满分 14 分） 已知椭圆 : 的离心率为 ，点 在椭圆 C 上，O 为坐标原点.C )0(12bayx 323(1,)2A （）求椭圆 的方程； （）设动直线 与

9、椭圆 有且仅有一个公共点，且 与圆 的相交于不在坐标轴上l l 25xy 的两点 ， ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值. 1P21OP21k212k 20（本小题满分 13 分） 已知函数 ，直线 .21()fx1lykx： （）求函数 的极值； ()fx （）求证：对于任意 ，直线 都不是曲线 的切线；kRl()yfx （）试确定曲线 与直线 的交点个数，并说明理由.()yfx 北京市西城区 2015 2016 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1D 2C 3D 4B 5B 6

10、B 7C 8D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 10 13i 63x 11. 9 12 1 13 144 是 72 注：第 10，13，14 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分 13 分） （）解：设等比数列 的公比为 ，naq 因为 是公差为 的等差数列，123, 所以 2 分32 ,()a 即 3 分 124,q 解得 . 5 分1 8,a 所以 7 分 14()2nnq （）证明：因为 ， 124nba 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列

11、. 8 分n12 1 所以 11 分 4()nS . 13 分16()34n 16（本小题满分 13 分） （）解： 3()cos(incos)2fxx i(1x 4 分13sin2cosx ， 6 分() 所以函数 的最小正周期 . 8 分fx 2=T （）解：由 ， ， 9 分2+3kk Z 得 ，51x 所以函数 的单调递增区间为 ， . 11 分()f 5+12k,kZ 所以当 时， 的增区间为 ， . 13 分0,x()fx (0,7,) （注：或者写成增区间为 ， . ） 12,) 17（本小题满分 14 分） （）证明：在平行四边形 中，因为 ， ，ABCDAC135BD 所以

12、. 由 分别为 的中点，得 ，,EF,/EF 所以 . 1 分 因为侧面 底面 ，且 ， PABCD90BAP 所以 底面 . 2 分PABCD 又因为 底面 ，EF 所以 . 3 分 又因为 ， 平面 ， 平面 ， PACPA 所以 平面 . 5 分C （）证明：因为 为 的中点， 分别为 的中点，MDFD 所以 ，/F 又因为 平面 ， 平面 ，PABPAB 所以 平面 . 7 分/ 同理，得 平面 .E 又因为 ， 平面 ， 平面 ，=MFMEFEF 所以平面 平面 . 9 分/PAB 又因为 平面 ， 所以 平面 . 10 分/E （）解：在 中，过 作 交 于点 （图略）， D/ND

13、 由 ，得 ，12PM3A 又因为 ，6 所以 ， 12 分4N 因为 底面 ， PBCD 所以 底面 ， A 所以四棱锥 的体积 . 14 分MEF1164233MECDFECFVSN A 18（本小题满分 13 分） （）解：由题意，得 ，即 . 2 分79694xy14xy 因为在乙的 4 局比赛中，随机选取 1 局，则此局得分小于 6 分的概率不为零， 所以 中至少有一个小于 6， 4 分,xy 又因为 ，且 ，10, ,xyN 所以 ，5xy F C A D P M B E 所以 . 5 分15xy （）解：设 “从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，且得分满足 ”为事件 ，b

14、a M 6 分 记甲的 4 局比赛为 ， ， ， ，各局的得分分别是 6，6，9，9；乙的 4 局比赛1A234 为 ， ， ， ，各局的得分分别是 7，9，6，10. 1B23 则从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，所有可能的结果有 16 种， 它们是： ， 1(,)AB ， ， ， ， ， ， ， ， ，12(,)A13(,)1(,)AB2(,)2(,)AB23(,)24(,)AB31(,)32 ，3B ， ， ， ， . 7 分4(,)1(,)42(,)43(,)4(,) 而事件 的结果有 8 种，它们是： ， ， ， ， ，M13AB23(,)1(,)AB32(,)3(,)AB

15、 ， ， ， 8 分41(,)AB42(,)43(,)AB 因此事件 的概率 . 10 分162P （）解： 的可能取值为 ， ， . 13 分x78 19（本小题满分 14 分） （）解：由题意，得 ， ， 2 分32ca2bc 又因为点 在椭圆 上，(1,)AC 所以 ， 3 分234ab 解得 ， ， ，13c 所以椭圆 C 的方程为 . 5 分 12yx （）证明：当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为 ，l l2x 易得直线 ， 的斜率之积 . 6 分1OP2124 k 当直线 的斜率存在时，设 的方程为 . 7 分llmxy 由方程组 得 ， 8 分2 ,14ykxm 048)

16、4(22mkx 因为直线 与椭圆 C 有且只有一个公共点，l 所以 ，即 . 9 分222(8)(1)4)0km241k 由方程组 得 ， 10 分2,5yx22()50kxm 设 ， ，则 ， ， 11 分1(,)P2(,)12k 21xk 所以 21 2121212()()ykx mk ， 13 分 2222551mkmkk 将 代入上式，241 得 . 214k 综上， 为定值 . 14 分12 20（本小题满分 13 分） （）解：函数 定义域为 ， 1 分()fx|0x 求导，得 ， 2 分3 2 令 ，解得 ()0f1x 当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：x()ffx(,0)

17、(,1)(1,)f 0( 所以函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，)yfx(,)1(0,1) 3 分 所以函数 有极小值 ，无极大值 4 分()yfx(1)3f （）证明：假设存在某个 ，使得直线 与曲线 相切， 5 分kRl()yfx 设切点为 ，又因为 ， 020(,)Ax32()fx 所以切线满足斜率 ，且过点 ， 30kA 所以 ， 7 分 00231()1xx 即 ，此方程显然无解， 203 所以假设不成立 所以对于任意 ，直线 都不是曲线 的切线 . 8 分kRl()yfx （）解：“曲线 与直线 的交点个数”等价于“方程 的根的个数”.()yfxl 2 1xk 由方程 ，得 . 9 分2 1k312x 令 ，则 ，其中 ，且 . tx3ttR0t 考察函数 ，其中 ， ()h 因为 时，210t 所以函数 在 单调递增，且 . 11 分()()ht 而方程 中， ，且 .32kttR0 所以当 时，方程 无根；当 时，方程 有且仅有一(0)h32kt2k32kt 根， 故当 时，曲线 与直线 没有交点，而当 时，曲线 与直线 有2k()yfxl()yfxl 且仅有一个交点. 13 分