1、北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科) 2010.1 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 1 sin25 （ ） A1 B 1 C 2 D 2 2. 下面给出四个点中，位于 0xy所表示的平面区域内的点是（ ） A (02)， B (20)， C (2)， D (20)， 3. 双曲线 2yx的渐近线方程是（ ） A B. yx C. 3yx D. 2yx 4.某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由 学生会的同学随机对 24 名同学进行调查；第二种由教务处对年级的 240 名学生编号，由 001 到 240，请学
2、号最后一位为 3 的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为( ) A. 分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样 C.分层抽样,系统抽样 D. 简单随机抽样, 系统抽样 5. 已知 ,mn是两条不同直线， ,是两个不同平面.下列命题中不正确的是 （ ） A若 ， ，则 m/n B若 m/n， ，则 n C若 ， ，则 D若 ， ，则 6. 如图，向量 -ab等于 （ ） . 124-e B. 124-e C. 3 D. 3 7. 若直线 l与直线 7,1xy分别交于点 QP,，且线段 的中点坐标为 )1,(，则直线 l的 斜率为（ ） 2e1ba A. 31 B. 31 C. 23 D
3、. 32 8.已知椭圆 C： 42yx的焦点为 12,F，若点 P在椭圆上，且满足 212|POFA（其 中 O为坐标原点） ，则称点 P为“点”.那么下列结论正确的是 A椭圆 上的所有点都是“点” B椭圆 上仅有有限个点是“点” C椭圆 上的所有点都不是“点” D椭圆 上有无穷多个点（但不是所有的点）是 “ 点” 第 II 卷（共 110 分） 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 9.抛物线 24yx的准线方程是 _ 10. 某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的 S . 11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_. 10k
4、 是 否 输出 S 开始 k=1 S=0 S=S+k k=k+2 结束正 视 图 侧 视 图俯 视 图123123 12.在区间 2,上，随机地取一个数 x，则 2位于 0 到 1 之间的概率是_. 13.已知 1F为椭圆 2:1xCy 的左焦点，直线 :xyl与椭圆 C交于 BA、 两点，那么11|AB 的值为_. 14.对于函数 ()fx，若存在区间 ,()Mab，使得 |(),yfxM，则称区 间 M为函数 的一个“稳定区间”. 请你写出一个具有“稳定区间”的函数_;（只要写出一个即可) 给出下列 4 个函数： ()xfe=； 3()fx， ()cos2fxp= ()ln1fx=+ 其中
5、存在“稳定区间”的函数有_（填上正确的序号） 15. （本小题共 12 分） 已知集合 S= x| 205 ， P= x | 1a25 ， （）求集合 ；（）若 S，求实数 a 的取值范围 . 16. （本小题共 13 分）某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲乙两班各抽取 6 名同学， 所得分数的茎叶图如右图所示： (I)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由; (II)现从甲班这 6 名同学中随机抽取两名同学,求他们的分数之和大于 165 分的概率.甲 班 乙 班198760235 17. （本小题共 14 分） 长方体 1ABCD中 1,2ABD. 点 E为中点. (I)求三棱
6、锥 1E的体积； (II)求证： A平面 1BC； （III）求证： 1D/ 平面 . 18. （本小题共 13 分）函数 2()1xaf()R . （I）若 )(xf在点 1,f处的切线斜率为 ，求实数 a的值； （II）若 在 处取得极值，求函数 ()fx的单调区间. 19. （本小题共 14 分）已知圆 C 经过点 (2,0)(,AB，且圆心在直线 yx上，且，又直线:1lykx 与圆相交于 P、 Q两点. （I）求圆的方程； （II）若 2O A ，求实数 k的值； （III）过点 (0,1)作直线 1l与 垂直，且直线 1l与圆交于 MN、两点,求四边形 PMQN面积的 最大值. 2
7、0. （本小题共 14 分）已知函数 2fxm，其中 R.定义数列 na如下： 10，*1,nnafN . （I）当 m时，求 234,a的值； （II）是否存在实数 m，使 ,构成公差不为 0 的等差数列？若存在，请求出实数 m的值， 若不存在，请说明理由； （III）求证：当 14时，总能找到 kN，使得 21ka. 海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文） 参考答案及评分标准 20101 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D
8、 A C B B 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分） 9. 1x 10. 25 11.124 12. 21 13. 8 14. xy ；, 15 （本小题共 12 分） 解：（I）因为 05x ，所以 0)(5x . 2 分 解得 2, 4 分 则集合 |Sx. 6 分 （II）因为 P, 所以 152a, 8 分 解得 53a , 10 分 所以 , . 12 分 注： 若答案写为 (,3)-，扣 1 分. 16 （本小题共 13 分） 解：（I）因为乙班的成绩集中在 80
9、分，且没有低分，所以乙班的平均分比较高 . 5 分 （II）设从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过 165 分为事件 A. 7 分 从甲班 6 名同学中任取两名同学，则基本事件空间中包含 15 个基本事件， 9 分 而事件中包含个基本事件, 11 分 所以, 154)(AP . 12 分 答：从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过 165 分的概率为 154. 13 分 17.（本小题共 14 分） 解；（I）在长方体 1ABCD中， 因为 ,E为 的中点，所以， 12AE， 又因为 2，所以 ADES ， 2 分 又 1A底面 ,BC ,21 所以，三棱锥 的体积 3V1123AD
10、E. 4 分 （II）因为 平面 1， 平面 ， 所以 AB1D. 6 分 因为 为正方形，所以 1A, 7 分 又 1，所以 平面 1BCD . 9 分 （III）设 ,AD的交点为 O,连结 E, 因为 1为正方形，所以 是 1A的中点， 10 分 在 B中， 为中位线，所以 /BD, 11 分 又 OE平面 1AD， 1平面 1E, 13 分 所以 /平面 . 14 分 18.（本小题共 13 分） 解:(I) 22(1)(1) xaxaf , 3 分 若 ()f在点 ,()f处的切线斜率为 2， 则 12. 5 分 所以， 3()4af，得 a =1. 6 分 (II) 因为 x在 1
11、处取得极值， 所以 ()0f， 7 分 即 2a， 3， 8 分 2()1)xf . 9 分 因为 f的定义域为 |x，所以有：x(,3)(3,1)(,) 1 (,)f + 0 0 +(A 极大 值 A 极 小 值 A 11 分 所以， ()fx的单调递增区间是 (-,3)1+,单调递减区间是 (-3,1),. 13 分 19.（本小题共 14 分） 解：(I)设圆心 (,)Ca半径为 r. 因为圆经过点 (2,0)(,AB 所以 |AB，解得 0,a ， 2 分 所以圆 的方程是 24xy . 4 分 (II)方法一： 因为 cos,2 OPQOPQ , 6 分 所以 1cos2POQ, 0
12、 , 7 分 所以圆心到直线 :lkxy的距离 1d, 8 分 又 21d，所以 0. 9 分 方法二：设 12(,)(,)PxyQ, 因为 24 k ，代入消元得 2(1)30kx. 6 分 由题意得： 22122()3kxk 7 分 因为 OPQ = 1212xy， 又 12 1212()()ykkxx, 所以, 1212xy = 223, 8 分 化简得: 5()0k， 所以 20, 即 . 9 分 (III)方法一： 设圆心 O到直线 1,l的距离分别为 1,d，四边形 PMQN的面积为 S. 因为直线 都经过点 (0,)，且 l， 根据勾股定理，有 21d, 10 分 又根据垂径定理
13、和勾股定理得到， 221|4,|4PQdNd, 11 分 而 1|2SPQMN，即 22221 1114464()2 ()7,Sdddd 13 分 当且仅当 1d时，等号成立，所以 S的最大值为 . 14 分 方法二：设四边形 PMQN的面积为 . 当直线 l的斜率 0k时，则 1l的斜率不存在， 此时 1234S. 10 分 当直线 l的斜率 时， 设 1 :yxk 则 24 ，代入消元得 2(1)30kx 所以 22122()30kxk2221241161|kkPQx 同理得到 2226| 11kkMN . 11 分22222424221|()61)(6)1(43)4 15 SPQkkk
14、2422121 1kk 12 分 因为 2224k， 所以 174S, 13 分 当且仅当 k时，等号成立,所以 S的最大值为 7. 14 分 20（本小题共 14 分） 解：（）因为 10a， m，所以 2(0)1afm，23()af ， 2435f . 4 分 （II）方法一： 假设存在实数 ，使得 234,a构成公差不为 0 的等差数列. 由（I）得到 (0)fm， 2()fm，243af . 因为 24,成等差数列， 所以 3a， 6 分 所以， 22mm ， 化简得 10， 解得 0（舍） , 2. 8 分 经检验，此时 234a的公差不为 0， 所以存在 1m，使 234,a构成公差不为 0 的等差数列.9 分 方法二： 因为 234,a成等差数列， 所以 3， 6 分 即 223ama， 所以 30，即 3210aa. 因为 2，所以 321解得 m. 8 分 经检验，此时 4,a的公差不为 0. 所以存在 1m，使 234,a构成公差不为 0 的等差数列. 9 分 （III）因为 2114nnnam , 又 14, 所以令 04d. 由 na， 12， 21ad， 将上述不等式全部相加得 1()nad，即 (1)nad， 因此只需取正整数 20kd，就有 20k. 14 分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.
