1、山西省长治市沁源县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1如果小磊将镖随意投中如图所示的正方形木板（假设投中每个小正方形是等可能的） ，那么镖落 在阴影部分的概率为（ ） A B C D 2如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ） Ay=x 2 B C D 3下列命题： 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； 90的圆周角所对的弦是直径； 三个点确定一个圆； 同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 其中正确的是（ ） A B C D 4我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖” 是由两个圆 柱分别从纵横
2、两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体图乙所示的几何体是可以 形成“ 牟合方盖” 的一种模型，它的主视图是（ ） A B C D 5二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） Aa0 B当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 Cc 0 D当1x3 时，y0 6从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ） A B C D 7点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3）都是反比例函数 的图象上，若 x1x 20x 3，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ） Ay 3y 1y 2 By 1y 2y
3、3 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 1y 3 8如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AM 的长为 1.2km，则 M，C 两点间的距离为（ ） A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km 9在三角形 ABC 中，C 为直角，sinA= ，则 tanB 的值为（ ） A B C D 10运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高 y（m）与水平的距离 x（m ）之间的函数关系 式为 y= x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（ ） A6m B12m C8m D10m 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11计算 sin45cos6
4、0+tan60= 12设 A 是函数 y= 图象上一点，过 A 点作 ABx 轴，垂足是 B，如图，则 SAOB= 13如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且A=55 ， E=30，则F= 14已知菱形 ABCD 的边长是 8，点 E 在直线 AD 上，若 DE=3，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M，则 的值是 15如图所示，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 点 E，交 AC 于点 F，且EAF=80，则图中阴影部分的面积是 16如图，已知直线 y= x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B
5、 ，P 是抛物线 y= x2+2x+5 的一个动点， 其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y= x+3 于点 Q，则当 PQ=BQ 时，a 的值是 三、解答题 17解方程： （1）2x 27x+1=0 （2）x（x3） +x3=0 18小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的 3 支红 笔和 2 支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回） ，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否 则，小军胜 （1）请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； （2）请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利 19如图，A、B
6、 是两座现代化城市，C 是一个古城遗址，C 城在 A 城的北偏东 30，在 B 城的北 偏西 45，且 C 城与 A 城相距 120 千米，B 城在 A 城的正东方向，以 C 为圆心，以 60 千米为半径 的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在 A、B 两城市修建一条笔直的高速公路 （1）请你计算公路的长度（保留根号） ； （2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁，并说明理由 20有这样一个问题：探究函数 y= x2+ 的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 y= x2+ 的图象与性质进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 y= x2+ 的自变量 x 的取值范
7、围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点， 画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1， ） ，结合函数的图象，写 出该函数的其它性质（一条即可） 21如图，AB 为 O 直径，C、D 为O 上的点，CD=CA，CE DB 交 DB 的延长线于点 E （1）判断直线 CE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=4，AB=5 ，求 CE 的长 22某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件
8、试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时， 每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系 式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案： 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 23在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D
9、 不重合） ，连接 AP， 平移ADP ，使点 D 移动到点 C，得到BCQ，过点 Q 作 QHBD 于 H，连接 AH，PH （1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，如图 2 依题意补全图 2； 判断（1）中的结论是否还成立？若成立请直接写出结论；若不成立请说明理由 24如图，已知抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于 A（2，0） 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其对称轴 为直线 x=1 （1）直接写出抛物线的解析式： ； （2）把线段 AC 沿 x 轴向右平移，设平移后 A、C
10、的对应点分别为 A、C ，当 C落在抛物线上时， 求 A、C的坐标； （3）除（2）中的点 A、C外，在 x 轴和抛物线上是否还分别存在点 E、F，使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 山西省长治市沁源县 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1如果小磊将镖随意投中如图所示的正方形木板（假设投中每个小正方形是等可能的） ，那么镖落 在阴影部分的概率为（ ） A B C D 【考点】几何概率 【专题】几何图形问题 【分析】看阴影部分的面积占正方形木板面积的多少即可 【
11、解答】解：阴影部分的面积为 2+4=6， 镖落在阴影部分的概率为 = 故选：A 【点评】此题考查几何概率的求法；用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比 2如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（ ） Ay=x 2 B C D 【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象；二次函数的图象 【分析】根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知 k0，即可选出答案 【解答】解：根据图象可知：函数是反比例函数，且 k0， 答案 B 的 k=40，符合条件， 故选 B 【点评】本题主要考查对反比例函数的图象，二次函数的图象，正比例函数的图象等知识点的理解 和掌握，能熟练地掌握
12、反比例的函数的图象是解此题的关键 3下列命题： 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； 90的圆周角所对的弦是直径； 三个点确定一个圆； 同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 其中正确的是（ ） A B C D 【考点】命题与定理 【分析】根据圆周角定理对进行判断；根据圆周角定理的推论对进行判断；根据确定圆的 条件对进行判断 【解答】解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半， 所以选项错误； 90的圆周角所对的弦是直径，所以 正确； 不共线的三个点确定一个圆，所以错误； 同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以正确 故选 C 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件
13、事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两 部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 形 式 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 4我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法 “牟合方盖” 是由两个圆 柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体图乙所示的几何体是可以 形成“ 牟合方盖” 的一种模型，它的主视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为 3 个正方形组合体，进 而得出答案即可 【解答】解：利用圆柱直
14、径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形， 得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形， 故选：B 【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本 题的关键 5二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） Aa0 B当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 Cc 0 D当1x3 时，y0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后 根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得
15、结论进行判断 【解答】解：A、抛物线的开口方向向上，则 a0故 A 选项错误； B、根据图示知，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故 B 选项错误； C、根据图示知，该抛物线与 y 轴交与负半轴，则 c0故 C 选项错误； D、根据图示知，抛物线的对称轴为 x=1，抛物线与 x 轴的一交点的横坐标是 3，则抛物线与 x 轴 的另一交点的横坐标是1， 所以当1x 3 时，y0故 D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方 向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 6从下列直角三角板与圆弧的
16、位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ） A B C D 【考点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案 【解答】解：直径所对的圆周角等于直角， 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 B 故选：B 【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 7点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（x 3，y 3）都是反比例函数 的图象上，若 x1x 20x 3，则 y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ） Ay 3y 1y 2 By 1y 2y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 2y 1y 3 【考点】反比例函
17、数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题；探究型 【分析】先根据反比例函数 中 k 的符号判断出此函数图象所在象限，再根据 x1x 20x 3 判断出 y1，y 2，y 3 的大小关系即可 【解答】解：反比例函数 中，k=30， 此函数图象在二四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， x1 x20x 3， y3 0， y30y 1y 2， y3 y1y 2 故选：A 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据函数解析式判断出函数图象所在的象 限是解答此题的关键 8如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AM 的长为 1.2km，则
18、M，C 两点间的距离为（ ） A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km 【考点】直角三角形斜边上的中线 【专题】应用题 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 MC=AM=1.2km 【解答】解：在 RtABC 中， ACB=90，M 为 AB 的中点， MC= AB=AM=1.2km 故选 D 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键 9在三角形 ABC 中，C 为直角，sinA= ，则 tanB 的值为（ ） A B C D 【考点】互余两角三角函数的关系 【分析
19、】根据 sinA= ，可设 BC=5x，AB=13x，利用勾股定理求出 AC=12x，再利用锐角三角函数 的定义得出 tanB 的值 【解答】解：在 RtABC 中， C=90，sinA= ， 可设 BC=5x，AB=13x， AC= =12x， tanB= = = 故选 C 【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理的应用，正确得出各边之间的关系是解决问 题的关键 10运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高 y（m）与水平的距离 x（m ）之间的函数关系 式为 y= x2+ x+ ，则该运动员的成绩是（ ） A6m B12m C8m D10m 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题
20、 【分析】铅球落地才能计算成绩，此时 y=0，即 x2+ x+ =0，解方程即可在实际问题中，注意 负值舍去 【解答】解：由题意可知，把 y=0 代入解析式得： x2+ x+ =0， 解方程得 x1=10，x 2=2（舍去） ， 即该运动员的成绩是 10 米 故选 D 【点评】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即 y=0，测量运动员成绩，也就是求 x 的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 11计算 sin45cos60+tan60= + 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】代入特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：sin45
21、cos60+tan60 = + ， 故答案为： + 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数 值 12设 A 是函数 y= 图象上一点，过 A 点作 ABx 轴，垂足是 B，如图，则 SAOB= 1 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】直接根据反比例函数系数 k 的几何意义进行计算即可 【解答】解：根据题意得 SAOB= |2|=1 故答案为 1 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点，过这一个 点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 13如图，圆内接四边形
22、ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E，F，且A=55 ， E=30，则F= 40 【考点】圆内接四边形的性质；三角形内角和定理 【专题】计算题 【分析】先根据三角形外角性质计算出EBF= A+E=85，再根据圆内接四边形的性质计算出 BCD=180A=125，然后再根据三角形外角性质求 F 【解答】解：A=55，E=30， EBF=A+E=85， A+BCD=180， BCD=18055=125， BCD=F+CBF， F=12585=40 故答案为 40 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外 角等于它的内对角也考查了三角形外角性质 14
23、已知菱形 ABCD 的边长是 8，点 E 在直线 AD 上，若 DE=3，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M，则 的值是 或 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质 【专题】几何图形问题；压轴题；分类讨论 【分析】首先根据题意作图，注意分为 E 在线段 AD 上与 E 在 AD 的延长线上，然后由菱形的性质 可得 ADBC，则可证得MAE MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案 【解答】解：菱形 ABCD 的边长是 8， AD=BC=8，AD BC， 如图 1：当 E 在线段 AD 上时， AE=ADDE=83=5， MAEMCB， = ； 如图 2，当 E 在 AD 的延
24、长线上时， AE=AD+DE=8+3=11， MAEMCB， = 的值是 或 故答案为： 或 【点评】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识解题的关键是注意此题分为 E 在线段 AD 上与 E 在 AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解 15如图所示，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 点 E，交 AC 于点 F，且EAF=80，则图中阴影部分的面积是 4 【考点】切线的性质；扇形面积的计算 【专题】计算题；压轴题 【分析】连结 AD，根据切线的性质得 ADBC，则 SABC= ADBC，然后利用 S 阴影部分 =SABC
25、S 扇形 AEF 和扇形的面积公式计算即可 【解答】解：连结 AD，如图， A 与 BC 相切于点 D， ADBC， SABC= ADBC， S 阴影部分 =SABCS 扇形 AEF = 24 =4 故答案为 4 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了扇形的面积公式 16如图，已知直线 y= x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B ，P 是抛物线 y= x2+2x+5 的一个动点， 其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y= x+3 于点 Q，则当 PQ=BQ 时，a 的值是 1， 4， 4+2 ，42 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【
26、分析】设点 P 的坐标为（a， a2+2a+5） ，分别表示出 B、Q 的坐标，然后根据 PQ=BQ，列方程 求出 a 的值 【解答】解：设点 P 的坐标为（a， a2+2a+5） ， 则点 Q 为（a， a+3） ，点 B 为（0，3） ， 当点 P 在点 Q 上方时，BQ= =| a|， PQ= a2+2a+5（ a+3）= a2+ a+2， PQ=BQ， 当 a0 时， a= a2+ a+2， 整理得：a 23a4=0， 解得：a= 1（舍去）或 a=4， 当 a0 时，则 a= a2+ a+2， 解得：a=4+2 （舍去）或 a=42 ； 当点 P 在点 Q 下方时，BQ= =| a|
27、， PQ= a+3（ a2+2a+5）= a2 a2， 由题意得，PQ=BQ， 当 a0 时， 则 a= a2 a2， 整理得：a 28a4=0， 解得：a=4+2 或 a=42 （舍去） 当 a0 时，则 a= a2 a2， 解得：a= 1 或 a=4（舍去） ， 综上所述，a 的值为：1，4，4+2 ，4 2 故答案为：1， 4，4+2 ，42 【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，以及两点间的距 离，解答本题的关键是设出点 P 的坐标，表示出 PQ、BQ 的长度，然后根据 PQ=BQ，分情况讨论 并求解，难度一般 三、解答题 17解方程： （1）2x 2
28、7x+1=0 （2）x（x3） +x3=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -公式法 【分析】 （1）求出 b24ac 的值，再代入公式求出即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：（1）2x 27x+1=0， b24ac=（ 7） 2421=41， ， x1= ，x 2= ； （2）x（x3） +x3=0， （x3） （ x+1）=0， x3=0， x+1=0， x1=3，x 2=1 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键， 注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，因式分解法
29、，配方法 18小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的 3 支红 笔和 2 支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回） ，若两人所取笔的颜色相同，则小明胜，否 则，小军胜 （1）请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； （2）请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法 【专题】转化思想 【分析】 （1）列表将所有等可能的结果一一列举出来即可； （2）根据列表里有概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平 【解答】解：（1）列表得： 红 1 红 2 红 3 黑 1 黑 2 红 1 红 1
30、 红 2 红 1 红 3 红 1 黑 1 红 1 黑 2 红 2 红 2 红 1 红 2 红 3 红 2 黑 1 红 2 黑 2 红 3 红 3 红 1 红 3 红 2 红 3 黑 1 红 3 黑 2 黑 1 黑 1 红 1 黑 1 红 2 黑 1 红 3 黑 1 黑 2 黑 2 黑 2 红 1 黑 2 红 2 黑 2 红 3 黑 2 黑 1 （2）共 20 种等可能的情况，其中颜色相同的有 8 种， 则小明获胜的概率为 = ， 小军获胜的概率为 1 = ， ， 不公平，对小军有利 【点评】本题考查了列表法与列树状图的知识，解题的关键是正确的列出表格或树状图 19如图，A、B 是两座现代化城市
31、，C 是一个古城遗址，C 城在 A 城的北偏东 30，在 B 城的北 偏西 45，且 C 城与 A 城相距 120 千米，B 城在 A 城的正东方向，以 C 为圆心，以 60 千米为半径 的圆形区域内有古迹和地下文物，现要在 A、B 两城市修建一条笔直的高速公路 （1）请你计算公路的长度（保留根号） ； （2）请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁，并说明理由 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【专题】应用题 【分析】 （1）根据题意知ABC 中，CAB=60，ABC=45，AC=120，求 AB 长； （2）根据“化斜为直” 的原则，作 CDAB 于 D 点，通过解直角三角形求解
32、；比较 CD 与 60 的大小 得出结论 【解答】解：作 CDAB 于 D 点 （1）在 RtACD 中， CD=ACsin60=120 =60 ，AD=AC cos60=120 =60， 在 RtBCD 中，BD=CD tan45=60 1=60 ， 所以 AB=AD+DB=60+60 （km ） ； （2）不可能因为 CD=60 60，所以不可能对文物古迹造成损毁 【点评】 “化斜为直” 是解三角形的常规思路，需作垂线（高） ，原则上不破坏特殊角（30、45 、60） 20有这样一个问题：探究函数 y= x2+ 的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 y= x2+ 的图象与性质进行了
33、探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 y= x2+ 的自变量 x 的取值范围是 x0 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点， 画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1， ） ，结合函数的图象，写 出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质 【分析】 （1）由图表可知 x0； （2）根据图表可知当 x=3 时的
34、函数值为 m，把 x=3 代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质 【解答】解：（1）x 0， （2）令 x=3， y= 32+ = + = ； m= ； （3）如图 （4）该函数的其它性质： 该函数没有最大值； 该函数在 x=0 处断开； 该函数没有最小值； 该函数图象没有经过第四象限 故答案为该函数没有最大值 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象 是解题的关键 21如图，AB 为 O 直径，C、D 为O 上的点，CD=CA，CE DB 交 DB 的延长线于点 E （1）判断
35、直线 CE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=4，AB=5 ，求 CE 的长 【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质 【专题】计算题 【分析】 （1）先证明ACODCO 得1=2，而 1=3，所以2= 3，根据圆周角定理得2=4， 则3=4，所以 COED，而 CEDB，则 OCCE，于是根据切线的判定定理得到直线 CE 与 O 相切； （2）连接 BC，根据圆周角定理由 AB 是直径得ACB=90 ，在 RtACB 中，利用勾股定理计算出 BC=3，再证明 RtACBRtDEC，然后利用相似比计算 CE 【解答】 （1）解：直线 CE 与 O 相切理由如下：连接 CO、DO
36、， 在ACO 和 DCO 中 ACODCO， 1=2， CO=DO， 1=3， 2=3， 2=4， 3=4， COED， CEDB， OCCE， 直线 CE 与O 相切； （2）连接 BC，AB 是直径， ACB=90， 在 RtACB 中，AC=4 ，AB=5， BC= =3， 2=4， RtACBRtDEC， = ，即 = ， EC= 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考 查了圆周角定理、勾股定理和三角形相似的判定与性质 22某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营销阶段发现：当销售单价是 25 元时， 每天的销售量为 250
37、件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系 式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案： 方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元； 方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据利润=（单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3
38、）分别求出方案 A、B 中 x 的取值范围，然后分别求出 A、B 方案的最大利润，然后进行比 较 【解答】解：（1）由题意得，销售量=25010（x25）= 10x+500， 则 w=（ x20） （10x+500 ） =10x2+700x10000； （2）w= 10x2+700x10000=10（x 35） 2+2250 100 ， 函数图象开口向下，w 有最大值， 当 x=35 时，w 最大 =2250， 故当单价为 35 元时，该文具每天的利润最大； （3）A 方案利润高理由如下： A 方案中：20x30， 故当 x=30 时，w 有最大值， 此时 wA=2000； B 方案中： ，
39、故 x 的取值范围为：45 x49， 函数 w=10（x35） 2+2250，对称轴为直线 x=35， 当 x=45 时，w 有最大值， 此时 wB=1250， wAw B， A 方案利润更高 【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答， 我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案其中要注意应该在 自变量的取值范围内求最大值（或最小值） ，也就是说二次函数的最值不一定在 x= 时取得 23在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合） ，连接 AP， 平移ADP ，使点 D 移动
40、到点 C，得到BCQ，过点 Q 作 QHBD 于 H，连接 AH，PH （1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明； （2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，如图 2 依题意补全图 2； 判断（1）中的结论是否还成立？若成立请直接写出结论；若不成立请说明理由 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）连接 HC，根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质得到HDP HQC，根据全等 三角形的性质得到 HP=HC， DHP=QHC，根据正方形是轴对称图形证明结论； （2）根据题意画出图形即可； 同（1）的证明方法相同，根据图形证明即可 【解答】解：（
41、1）AH=PH ， AHPH， 理由如下：如图 1，连接 HC， 四边形 ABCD 是正方形， BDC=45，又 QHBD， DHQ 是等腰直角三角形， 由平移的性质可知 DP=CQ， 在HDP 和HQC 中， ， HDPHQC， HP=HC，DHP= QHC， 根据正方形是轴对称图形得到 HA=HC，AHD=CHD， HA=HP，AHPH ； （2）补全图见图 2； 如图 2，连接 HC， 根据正方形是轴对称图形得到 HA=HC，AHD=CHD， AH=PH，AHPH， 理由如下：如图 1，连接 HC， 四边形 ABCD 是正方形， BDC=45，又 QHBD， DHQ 是等腰直角三角形，
42、HDP=HQC=45， 由平移的性质可知 DP=CQ， 在HDP 和HQC 中， ， HDPHQC， HP=HC，DHP= QHC， HA=HP，AHPH 【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定 与性质等知识，难度适中，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理 24如图，已知抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于 A（2，0） 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其对称轴 为直线 x=1 （1）直接写出抛物线的解析式： y= x2+x+4 ； （2）把线段 AC 沿 x 轴向右平移，设平移后 A、C 的对应点分别为 A、C ，当
43、C落在抛物线上时， 求 A、C的坐标； （3）除（2）中的点 A、C外，在 x 轴和抛物线上是否还分别存在点 E、F，使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】 （1）先求得 B 点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式； （2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出 A、C的坐标； （3）以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形，可能存在 3 种满足条件的情形，需要分类讨 论，避免漏解 【解答】解：（1）A（ 2， 0） ，对称轴为直线 x=1 B（4，0）
44、， 把 A（2，0） ，B （4，0）代入抛物线的表达式为： ， 解得： ， 抛物线的解析式为：y= x2+x+4； （2）由抛物线 y= x2+x+4 可知 C（0，4） ， 抛物线的对称轴为直线 x=1，根据对称性， C（2，4） ， A（ 0，0） （3）存在 设 F（x， x2+x+4） 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形， 若 AC 为平行四边形的边，如答图 11 所示，则 EFAC 且 EF=AC 过点 F1 作 F1Dx 轴于点 D，则易证 RtAOCRtE1DF1， DE1=2，DF 1=4 x2+x+4=4， 解得：x 1=1+ ，x 2=1 F1（ 1+ ， 4
45、） ，F 2（1 ，4） ； E1（3+ ， 0） ，E 2（3 ，0） 若 AC 为平行四边形的对角线，如答图 12 所示 点 E3 在 x 轴上， CF3x 轴， 点 C 为点 A 关于 x=1 的对称点， F3（ 2，4） ，CF 3=2 AE3=2， E3（4，0） ， 综上所述，存在点 E、F，使得以 A、C 、E、F 为顶点的四边形为平行四边形； 点 E、F 的坐标为：E 1（3+ ，0） ，F 1（1+ ， 4） ； E2（3 ，0） ，F 2（1 ， 4） ； E3（ 4，0） ，F 3（2，4） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问 题，平行四边形的性质等解题关键是根据题意画出图形，根据图形解答问题
