1、第 1 页（共 24 页） 2015-2016 学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 12 的平方根是（ ） A B C D4 2剪纸是中国最古老的民间艺术之一，是中华传统文化中的一块瑰宝下列四个剪纸图案中不是 轴对称图形的是（ ） A B C D 3将 3 个红球，2 个白球装在一个不透明的盒子里，这五个球除了颜色不同外其他均相同如果 从盒子中任摸出一个球，那么恰好摸到白球的可能性是（ ） A B C D1 4已知一个三角形两边的长分别为 3 和 7，那么第三边的边长可能是下列各数中的（ ） A
2、3 B4 C7 D10 5在 0， ， ，0.021021021这五个数字中，无理数有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 6小丽做了一个画角平分线的仪器（图 1），其中 AB=AC，BD=DC将仪器上的点 A 与PQR 的顶 点 Q 重合，调整 AB 和 AC 的位置，使它们分别落在PQR 的两边上，过点 A、D 的射，线就是PRQ 的角平分线（图 2）此仪器的画图原理是：根据仪器结构，可得ABDACD，这样就有 BAD=CAD其中，ABDACD 的依据是（ ） ASAS BASA CAAS DSSS 第 2 页（共 24 页） 7某校有 19 名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的
3、初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同 学的成绩后取前 10 名代表学校参加复赛如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛， 那么他需要知道这组数据的（ ） A平均数 B中位数 C众数 D频数 8下列计算正确的是（ ） A =a B + = C（ ） 2=a D = 9如图，ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，BD 平分ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM+MN 的最小值是（ ） A2.4 B3 C4 D4.8 10如图，直线 m 表示一条河，点 M、N 表示两个村庄，计划在 m 上的某处修建一个水泵向两个村 庄供水在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短
4、的方案是（图中实线表示铺设的管道）（ ） A B C D 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 12如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1= 第 3 页（共 24 页） 13已知 x1和 x2分别为方程 x2+x2=0 的两个实数根，那么 x1+x2= ；x 1x2= 14计算：（ ） 2+2 = 15“已知点 P 在直线 l 上，利用尺规作图过点 P 作直线 PQl”的作图方法如下： 以点 P 为圆心，以任意长为半径画弧，交直线 l 于 A、B 两点； 分别以 A、B 两点为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于点 Q； 连接 P
5、Q则直线 PQl请说明此方法依据的数学原理是 16中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤 其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创 了“以形证数”的思想方法在图 1 中，小正方形 ABCD 的面积为 1，如果把它的各边分别延长一 倍得到正方形 A1B1C1D1，则正方形 A1B1C1D1的面积为 ；再把正方形 A1B1C1D1的各边分别延长一 倍得到正方形 A2B2C2D2（如图 2），如此进行下去，得到的正方形 AnBnCnDn的面积为 （用含 n 的式子表示，n 为正整数） 三、解答题（本题共 30 分
6、，每题 5 分） 第 4 页（共 24 页） 17计算：（1 ） 0+|2 | + 18用配方法解一元二次方程：x 2+6x=9 19从B=C；BAD=CDA；AB=DC；BE=CE 四个等式中选出两个作为条件，证明AED 是等腰三角形（写出一种即可） 20某调查小组采用简单随机抽样方法，对我区部分初中生每天进行课外阅读的时间进行了抽样调 查，将所得数据进行整理后绘制成如下统计图表，根据图表中的信息回答下列问题： （1）该调查小组抽取的样本容量是多少？ （2）分别补全两个统计图表； （3）请估计我区初中生每天进行课外阅读的平均时间 21已知：关于 x 的一元二次方程（k2）x 2+2x+1=0
7、 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 为正整数，且该方程的两个实根都是整数，求 k 的值 22对于正实数 a、b，定义新运算 a*b= a+b如果 16*x2=61，求实数 x 的值 四、解答题（本题共 21 分） 23已知：关于 x 的一元二次方程 x2（2m+3）x+m 2+3m+2=0（m 为实数）的两个实数根分别是 ABC 的两边 AB、AC 的长，且第三边 BC 的长为 5当 m 取何值时，ABC 为直角三角形？ 24列方程解应用题： 第 5 页（共 24 页） 某校为开展开放性综合实践活动，计划在校园内靠墙用篱笆围出一块长方形种植园地已知离校墙 10m 的距离
8、有一条平行于墙的甬路，如果篱笆的长度是 40m，种植园地的面积是 198m2，那么这个长 方形园地的边长应该各是多少 m？ 25如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=8cm，AC=4cm，点 D 从点 B 出发，以每秒 cm 的速度 在射线 BC 上匀速运动，当点 D 运动多少秒时，以 A、D、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形？（结 果可含根号） 26已知：如图 1，ABC 为等边三角形，CE 平分ABC 的外角ACM，点在 BC 上，连接 AD、DE， 如果ADE=60，求证：AD=DE （2）如果ABC 为任意三角形，且ACB=60，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理 由
9、第 6 页（共 24 页） 2015-2016 学年北京市房山区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 12 的平方根是（ ） A B C D4 【考点】平方根 【分析】根据平方根的定义，即可解答 【解答】解： =2， 2 的平方根是 ， 故选：A 【点评】本题考查了平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根的定义 2剪纸是中国最古老的民间艺术之一，是中华传统文化中的一块瑰宝下列四个剪纸图案中不是 轴对称图形的是（ ） A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解即可 【解
10、答】解：A、是轴对称图形，本选项错误； B、是轴对称图形，本选项错误； C、是轴对称图形，本选项错误； D、不是轴对称图形，本选项正确 故选 D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重 合， 第 7 页（共 24 页） 3将 3 个红球，2 个白球装在一个不透明的盒子里，这五个球除了颜色不同外其他均相同如果 从盒子中任摸出一个球，那么恰好摸到白球的可能性是（ ） A B C D1 【考点】可能性的大小 【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案 【解答】解：袋中共有 3+2=5 个球， 摸到白球的可能性是 ； 故选 B 【点评】此题考查了
11、概率的定义：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事 件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 4已知一个三角形两边的长分别为 3 和 7，那么第三边的边长可能是下列各数中的（ ） A3 B4 C7 D10 【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断 【解答】解：设第三边为 x，则 4x10， 所以符合条件的整数为 7， 故选 C 【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题， 中考常考题型 5在 0， ， ，0.021021021这五个数字中，无理数有（ ） A
12、2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】无理数 【分析】根据无理数的定义，即可解答 【解答】解：无理数是：， ，共 2 个， 故选：A 【点评】本题考查了无理数，解决本题的关键是熟记无理数的定义 第 8 页（共 24 页） 6小丽做了一个画角平分线的仪器（图 1），其中 AB=AC，BD=DC将仪器上的点 A 与PQR 的顶 点 Q 重合，调整 AB 和 AC 的位置，使它们分别落在PQR 的两边上，过点 A、D 的射，线就是PRQ 的角平分线（图 2）此仪器的画图原理是：根据仪器结构，可得ABDACD，这样就有 BAD=CAD其中，ABDACD 的依据是（ ） ASAS BASA CA
13、AS DSSS 【考点】作图基本作图；全等三角形的应用 【分析】根据“SSS”即可判定ADBADC，由此即可解决问题 【解答】解：图 2 中，在ADB 和ADC 中， ， ADBADC（SSS）， BAD=CAD 故选 D 【点评】本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定就解题 的关键，属于中考常考题型 第 9 页（共 24 页） 7某校有 19 名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同 学的成绩后取前 10 名代表学校参加复赛如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛， 那么他需要知道这组数据的（ ） A平均数 B中位数
14、 C众数 D频数 【考点】统计量的选择 【分析】19 人成绩的中位数是第 10 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 10 名，只需 要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 19 个人，且他们的分数互不相同，第 6 的成绩是中位数，要判断是否进 入前 10 名，故应知道中位数 故选：B 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义反映数据 集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰 当的运用 8下列计算正确的是（ ） A =a B + = C（ ） 2=a D = 【考点】二次根式的
15、混合运算 【分析】根据二次根式的性质逐一判别即可得答案 【解答】解：A、 =|a|，此选项错误； B、 + 不一定等于 ，此选项错误； C、（ ） 2=a，此选项正确； D、当 a0，且 b0 时， = ，此选项错误； 故选：C 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的 关键 9如图，ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，BD 平分ABC，如果 M、N 分别为 BD、BC 上的动点，那么 CM+MN 的最小值是（ ） 第 10 页（共 24 页） A2.4 B3 C4 D4.8 【考点】轴对称-最短路线问题 【分析】过点 C 作 CEAB 于点
16、 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC 于 N，则 CE 即为 CM+MN 的最小 值，再根据三角形的面积公式求出 CE 的长，即为 CM+MN 的最小值 【解答】解：过点 C 作 CEAB 于点 E，交 BD 于点 M，过点 M 作 MNBC 于 N， BD 平分ABC，MEAB 于点 E，MNBC 于 N， MN=ME， CE=CM+ME=CM+MN 的最小值 AC=3，BC=4，AB=5， AC 2+BC2=AB2， ACB=90， ABCE= BCAC， 即 5CE=34 CE= 即 CM+MN 的最小值为 故选 A 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的
17、图形，题目具有一定的代表性， 是一道比较好的题目 10如图，直线 m 表示一条河，点 M、N 表示两个村庄，计划在 m 上的某处修建一个水泵向两个村 庄供水在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是（图中实线表示铺设的管道）（ ） 第 11 页（共 24 页） A B C D 【考点】作图应用与设计作图 【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离 【解答】解：作点 M 关于直线 m 的对称点 M，连接 NM交直线 m 于 Q 根据两点之间，线段最短，可知选项 D 修建的管道，则所需管道最短 故选：D 【点评】本题考查了最短路径的数学问题这类问题的解答依据是
18、“两点之间，线段最短”由于 所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于 0，列出不等式即可求出 x 的取值范围 【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x10， x1 故答案为：x1 【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可 第 12 页（共 24 页） 12如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1= 105 【考点】三角形内角和定理 【分析】由三角形的内角和为 180即可得出2+3+45=
19、180结合2=30即可求出3 的度 数，再由1 和3 为对顶角即可得出1 的度数 【解答】解：给图中角标上序号，如图所示 2+3+45=180，2=30， 3=1803045=105， 1=3=105 故答案为：105 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形的内角和为 180求出3 的度 数本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的内角和以及另外两角的度数求 出第三个角的度数是关键 13已知 x1和 x2分别为方程 x2+x2=0 的两个实数根，那么 x1+x2= 1 ；x 1x2= 2 【考点】根与系数的关系 【分析】首先确定方程 x2+x2=0 中的 a、
20、b、c 的值，然后代入 x1+x2= ，x 1x2= 计算即可 【解答】解：方程 x2+x2=0 中 a=1，b=1，c=2， x 1+x2= = =1，x 1x2= = 2， 故答案为：1；2 第 13 页（共 24 页） 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，关键是掌握 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x 1+x2= ，x 1x2= 14计算：（ ） 2+2 = 5 【考点】二次根式的混合运算 【分析】直接利用完全平方公式化简进而合并同类二次根式即可 【解答】解：原式=2+32 +2 =5 故答案为：5 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用完
21、全平方公式是解题关键 15“已知点 P 在直线 l 上，利用尺规作图过点 P 作直线 PQl”的作图方法如下： 以点 P 为圆心，以任意长为半径画弧，交直线 l 于 A、B 两点； 分别以 A、B 两点为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧交于点 Q； 连接 PQ则直线 PQl请说明此方法依据的数学原理是 三线合一或到线段两端距离相等的 点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【考点】作图基本作图；线段垂直平分线的性质 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）或垂直平分线的定义即可得出结论 【解答】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线注： 此题答案不
22、唯一 故答案为三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线 【点评】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的定义和性质等知识，解题的关键是理解题意， 记住等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义和性质，属于基础题，中考常考题型 第 14 页（共 24 页） 16中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤 其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创 了“以形证数”的思想方法在图 1 中，小正方形 ABCD 的面积为 1，如果把它的各边分别延长一 倍得到正方形 A1B1C1D1，则正方形 A1B
23、1C1D1的面积为 5 ；再把正方形 A1B1C1D1的各边分别延长 一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图 2），如此进行下去，得到的正方形 AnBnCnDn的面积为 5 n （用 含 n 的式子表示，n 为正整数） 【考点】勾股定理的证明 【分析】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的 正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的 5 倍，从而解 答 【解答】解：已知小正方形 ABCD 的面积为 1，则把它的各边延长一倍后，AA 1B1的面积是 1， 新正方形 A1B1C1D1的面积是 5， 从而正方形 A2B2C2D2的
24、面积为 55=25=52， 正方形 AnBnCnDn的面积为 5n 故答案为：5 n 【点评】此题是勾股定理的证明，主要考查了正方形的性质和三角形的面积公式，能够从图形中发 现规律，此题难度不大 三、解答题（本题共 30 分，每题 5 分） 17计算：（1 ） 0+|2 | + 【考点】实数的运算；零指数幂 【专题】计算题 第 15 页（共 24 页） 【分析】此题涉及零指数幂、绝对值、立方根、算术平方根的求法，在计算时，需要针对每个考点 分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可 【解答】解：（1 ） 0+|2 | + =1+2 2 +4 =73 【点评】此题主要考查了实数的综合运
25、算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、 立方根、算术平方根的运算 18用配方法解一元二次方程：x 2+6x=9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x 2+6x=9， x2+6x+9=9+9， （x+3） 2=18， x+3=3 ， x1=3+3 ，x 2=33 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键 19从B=C；BAD=CDA；AB=DC；BE=CE 四个等式中选出两个作为条件，证明AED 是等腰三角形（写出一种即可） 【考点】等腰三角形的判定 【分析】首先选择条件证得B
26、ADCDA，再利用全等三角形的性质得出ADB=DAC，即得出 ADE=DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论 【解答】解：选择的条件是：B=C BAD=CDA（或，）； 证明：在BAD 和CDA 中， 第 16 页（共 24 页） ， BADCDA（AAS）， ADB=DAC， 即 在AED 中ADE=DAE， AE=DE，AED 为等腰三角形 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，选择条件证得BADCDA 是解答此题的关 键 20某调查小组采用简单随机抽样方法，对我区部分初中生每天进行课外阅读的时间进行了抽样调 查，将所得数据进行整理后绘制成如下统计图表，根据图表中的信息回答下列问题
27、： （1）该调查小组抽取的样本容量是多少？ （2）分别补全两个统计图表； （3）请估计我区初中生每天进行课外阅读的平均时间 【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；统计表；扇形统计图 【分析】（1）根据统计图中 30 分钟的学生有 220 人占总人数的 44%，可以求得调查小组抽取的样 本容量； （2）根据统计图中的数据可以求得 40 分钟的人数和扇形统计图中缺少的数据，从而可以解答本题； （3）根据统计图中的数据可以求得我区初中生每天进行课外阅读的平均时间 【解答】解：（1）由统计图可得， 调查小组抽取的样本容量是：22044%=500， 第 17 页（共 24 页） 即调查小组抽取
28、的样本容量是 500； （2）阅读时间为 40 分钟的人数为：50010022060=120， 补全的统计图如右图所示， （3）由统计图可得， =32.8， 即我区初中生每天进行课外阅读的平均时间是 32.8 分钟 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、样本容量，解题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题 21已知：关于 x 的一元二次方程（k2）x 2+2x+1=0 有两个实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 为正整数，且该方程的两个实根都是整数，求 k 的值 【考点】根的判别式 【分析】（1）根据一元二次方程的定义以及判别式的
29、意义得出 k2 且=2 24（k2） 1=124k0，可确定 k 的取值范围； （2）由 k 为正整数，得出 k=1 或 3再根据方程（k2）x 2+2x+1=0 的两个实根都为整数，得出 是完全平方数，求出 k=3 【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程（k2）x 2+2x+1=0 有两个实根， k2 且=2 24（k2）1=124k0， k3 且 k2； 第 18 页（共 24 页） （2）k 为正整数， k=1 或 3 又方程（k2）x 2+2x+1=0 的两个实根都为整数， 当 k=1 时，=124k=8，不是完全平方数， k=1 不符合题意，舍去； 当 k=3 时，=124k=0
30、，原方程为 x2+2x+1=0，符合题意， k=3 【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键， 此题难度不大 22对于正实数 a、b，定义新运算 a*b= a+b如果 16*x2=61，求实数 x 的值 【考点】实数的运算 【专题】计算题；新定义；实数 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，分 x 大于 0 与小于 0 两种情况求出解即可得到 x 的值 【解答】解：a*b= a+b，且 a=16，b=x 2， 16+x 2=61， 当 x0 时，得：4x16+x 2=61，即 x2+4x77=0， 解得：x 1=11（舍去），x 2=7； 当 x0
31、时，得：4x16+x 2=61，即 x24x77=0， 解得：x 3=11（舍去），x 4=7， x=7 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 四、解答题（本题共 21 分） 23已知：关于 x 的一元二次方程 x2（2m+3）x+m 2+3m+2=0（m 为实数）的两个实数根分别是 ABC 的两边 AB、AC 的长，且第三边 BC 的长为 5当 m 取何值时，ABC 为直角三角形？ 【考点】勾股定理的逆定理；根的判别式 第 19 页（共 24 页） 【分析】首先利用根的判别式，判定无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根，然后利用公式 法求出两个解，再设 AB=m
32、+1，AC=m+2，则 ABAC，再分情况计算：当 BC 为直角边时，当 BC 为斜边时，分别算出 m 的值 【解答】解：a=1，b=（2m+3），c=m 2+3m+2， =b 24ac， =（2m+3） 24（m 2+3m+2）， =4m2+12m+94m 212m8， =10， 无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根， 由求根公式得： ， 即 x1=m+2，x 2=m+1， 不妨设 AB=m+1，AC=m+2，则 ABAC， ABC 为直角三角形且第三边 BC=5， 当 BC 为直角边时，由勾股定理得： AB2+BC2=AC 2 （m+1） 2+52=（m+2） 2， 解得 m=11
33、， 当 BC 为斜边时，由勾股定理得：AB 2+AC2=BC2， （m+1） 2+（m+2） 2=52， 解得 m1=2，m 2=5， 当 m=5 时，AB=m+1=4， m=5（舍去） m=11 或 m=2 时，ABC 为直角三角形 【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及勾股定理逆定理的应用，关键是要分情况 讨论，不要漏解 24列方程解应用题： 第 20 页（共 24 页） 某校为开展开放性综合实践活动，计划在校园内靠墙用篱笆围出一块长方形种植园地已知离校墙 10m 的距离有一条平行于墙的甬路，如果篱笆的长度是 40m，种植园地的面积是 198m2，那么这个长 方形园地的边长应该
34、各是多少 m？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】根据题意设该园地垂直于校墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为（402x）m，利 用种植园地的面积是 198m2，得出方程求出答案 【解答】解：设该园地垂直于校墙的一边长为 x m，则平行于墙的一边长为（402x）m， 根据题意列方程得：x（402x）=198， 整理，得：x 220x+99=0 解得：x 1=11，x 2=9 1110， x 1=11 不符合实际要求，舍去， x=9，此时 402x=22， 答：这个长方形园地该园地垂直于校墙的一边长为 9 m，平行于墙的一边长为 22 m 【点评】此题主要考查了一元
35、二次方程的应用，根据题意正确表示出长方形园地的长是解题关键 25如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB=8cm，AC=4cm，点 D 从点 B 出发，以每秒 cm 的速度 在射线 BC 上匀速运动，当点 D 运动多少秒时，以 A、D、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形？（结 果可含根号） 【考点】等腰三角形的判定 【专题】动点型 第 21 页（共 24 页） 【分析】分三种情况：当 AB=AD 时，如图 1，根据 30的三角函数列式计算即可；当 AB=BD 时，如图 2，则 t=8，求出 t；当 AD=AB 时，如图 3，根据 BD=2BC 列式，求 t 的值 【解答】解：在 RtABC
36、中， ACB=90，AB=8 cm，AC=4 cm， BC= = cm 点 D 从点 B 出发，以每秒 cm 的速度在射线 BC 上匀速运动， 则 BD= tcm， 以 A、D、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形时，分三种情况： 当 AB=AD 时，如图 1，过 D 作 DEAB 于 E，则 AE=BE= AB=4， 在 RtACB 中，AC=4，AB=8， B=30， cosB=cos30= ， ， t= ； 当 AB=BD 时，如图 2， AB=8，BD= t， 则 t=8， t= ； 当 AD=AB 时，如图 3， ACB=90， DC=BC=4 ， 则 t=8 ， t=8； 答：当点 D
37、 运动 8 秒或 秒或 秒时，ABD 为等腰三角形 第 22 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，由条件分三种情况分别得到关于 t 的方程是解题 的关键，是常考题型；由动点组成的等腰三角形要采用分类讨论的思想 26（1）已知：如图 1，ABC 为等边三角形，CE 平分ABC 的外角ACM，点在 BC 上，连接 AD、DE，如果ADE=60，求证：AD=DE （2）如果ABC 为任意三角形，且ACB=60，其他条件不变，这个结论还成立吗？说明你的理 由 【考点】四点共圆；等边三角形的性质 【分析】（1）只要证明 A、D、C、E 四点共圆，即可得到ECM=DAE=60，
38、AED=ACB=60， 所以DAE=DEA 由此解决问题 （2）证明类似（1），先证明 A、D、C、E 四点共圆，再证明DAE=DEA 即可 【解答】（1）证明：如图 1 中，ABC 是等边三角形， ACB=60，ACM=120， CE 平分ACM， ACE=ECM=60， ADE=60，ACE=60， ADE=ACE， A、D、C、E 四点共圆， 第 23 页（共 24 页） ECM=DAE=60，AED=ACB=60， DAE=DEA， AD=DE （2）结论成立DA=DE 理由：如图 2 中，连接 AE， ACB=60， ACM=180ACB=120， CE 平分ACM， ACE=ECM=60， ADE=60，ACE=60， ADE=ACE， A、D、C、E 四点共圆， ECM=DAE=60，AED=ACB=60， DAE=DEA， AD=DE 【点评】本题考查四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是发现 A、D、C、E 四点共 圆，掌握圆内接四边形的性质，题目有点难度 第 24 页（共 24 页）
