1、2016-2017 学年广东省深圳市福田区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ） A B C D 2抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被 3 整除的概率为（ ） A B C D 3已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx2=0 的一个解，则 m 的值是（ ） A1 B1 C3 D0 或 1 4依次连接菱形的四边中点得到的四边形一定是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D三角形 5在 RtABC 中，C=90，a=4 ，b=3，则 sinA 的值是（ ） A B C D 6如果两个相似多边形的周长比为 1：5，则它们的面积比为（ ） A
2、1 ：2.5 B1：5 C1：25 D1： 7把抛物线 y=（x+1） 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，所得到的 抛物线是（ ） Ay= （ x+2） 2+2 By=（x+2） 22Cy=x 2+2 Dy=x 22 8在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=mx2+2x+2（m 是常数，且 m0） 的图象可能是（ ） A B C D 9如图，l 1l 2l 3，直线 a，b 与 l1，l 2，l 3 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F，若 = ，DE=4，则 DF 的长是（ ） A B C10 D6 10如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 40
3、海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处，则 海轮行驶的路程 AB 为（ ）海里 A40+ 40 B80 C40+20 D80 11二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ） A图象的对称轴是直线 x=1 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是1，3 D当1x 3 时，y0 12如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC ，垂足为点 F，连接 DF，下面四个结论： AEF CAB；CF=2AF；DF=DC ；tan CAD= ，其中正确的结
4、论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 13抛物线 y=x22x+1 的顶点坐标是 14计算：|1tan60 |（ sin30） 2+tan45= 15如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4），顶点 C 在 x 轴的负半轴上，函数 y= （x 0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为 16如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACB 的角平分线分 别交 AB、BD 于 M、N 两点，若 AM=4，则线段 ON 的长为 三、解答题（共 52 分） 17解方程：（x+3） 2=2x+6 18（6 分）晚上，小亮在广场乘凉，
5、图中线段 AB 表示站立在广场上的小亮， 线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯 （1）请你在图中画出小亮在照明灯 P 照射下的影子 BC（请保留作图痕迹，并 把影子描成粗线）； （2）如果小亮的身高 AB=1.6m，测得小亮影长 BC=2cm，小亮与灯杆的距离 BO=13m，请求出灯杆的高 PO 19（7 分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱 子里放有 4 个相同的小球，球上分别标有“0 元”、“10 元”、“20 元”和“30 元”的 字样规定：顾客在本商场同一日内，每消费满 200 元，就可以在箱子里先后 摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据
6、两小球所标金额的和返还相应 价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费 200 元 （1）该顾客至少可得到 元购物券，至多可得到 元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率 20（8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，D 为边 BC 上一点，以 AB，BD 为邻 边作ABDE ，连接 AD，EC （1）求证：ADCECD； （2）若 BD=CD，求证：四边形 ADCE 是矩形 21（8 分）某商场试销一种商品，成本为每件 100 元，一段时间后，发现销 售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如下表： 销售单价 x（元）
7、130 135 140 145 销售量 y（件） 240 230 220 210 （1）请根据表格中所给数据，求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）设商场所获利润为 w 元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润 最大？最大利润是多少？ 22（9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（a， ）在直线 y= 上，ABy 轴，且点 B 的纵坐标为 1，双曲线 y= 经过点 B （1）求 a 的值及双曲线 y= 的解析式； （2）经过点 B 的直线与双曲线 y= 的另一个交点为点 C，且ABC 的面积 为 求直线 BC 的解析式； 过点 B 作 BDx 轴交直线 y= 于点 D，点
8、P 是直线 BC 上的一个动 点若将BDP 以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成 的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 23（9 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，线段 AD=6，二次函数 y= x2 x+4 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴分别交于 B 点、E 点（B 点在 E 点的左侧） （1）分别求 A、B、E 点的坐标； （2）连接 AE、OD ，请判断AOE 与AOD 是否相似并说明理由； （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出
9、 F 点的坐标，若不存 在，请说明理由 2016-2017 学年广东省深圳市福田区九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1如图所示的物体有两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主 视图中 【解答】解：主视图是从正面看，圆柱从正面看是长方形，两个圆柱，看到两 个长方形 故选 A 【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视 图 2抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被 3 整除的概率为（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】根据
10、概率公式可得 【解答】解：抛掷一枚骰子有 1、2、3、4、5、6 种可能， 其中所得的点数能被 3 整除的有 3、6 这两种， 所得的点数能被 3 整除的概率为 = ， 故选：B 【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件 A 的概率 P（A）= 事 件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数 3已知 x=2 是一元二次方程 x2+mx2=0 的一个解，则 m 的值是（ ） A1 B1 C3 D0 或 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的对应，把 x=2 代入一元二次方程得到关于 m 的一次方程，然后解一次方程即可 【解答】解：把 x=2 代入 x2+mx2=
11、0 得 4+2m2=0， 解得 m=1 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未 知数的值是一元二次方程的解 4依次连接菱形的四边中点得到的四边形一定是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D三角形 【考点】中点四边形 【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 判定出四边形 EFGH 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得 EF FG，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断 【解答】解：如图，E、 F 分别是 AB、BC 的中点， EF AC 且 EF= AC， 同理，GHAC 且 GH= AC， EF GH 且 EF=
12、GH， 四边形 EFGH 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 又根据三角形的中位线定理，EFAC，FGBD， EF FG， 平行四边形 EFGH 是矩形 故选 A 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，菱形的性质，以及矩形的判定， 连接四边形的中点得到的四边形的形状主要与原四边形的对角线的关系有关， 原四边形的对角线相等，则得到的四边形是菱形，原四边形对角线互相垂直， 则得到的四边形是矩形，连接任意四边形的四条边的中点得到的四边形都是平 行四边形 5在 RtABC 中，C=90，a=4 ，b=3，则 sinA 的值是（ ） A B C D 【考点】锐角三角函数的定义 【
13、分析】先由勾股定理求出斜边 c 的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答 即可 【解答】解：RtABC 中，C=90，a=4 ，b=3， c= = ， sinA= = 故选 A 【点评】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单 6如果两个相似多边形的周长比为 1：5，则它们的面积比为（ ） A1 ：2.5 B1：5 C1：25 D1： 【考点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于 相似比的平方计算 【解答】解：相似多边形的周长的比是 1：5， 周长的比等于相似比，因而相似比是 1：5， 面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为 1：25
14、； 故选 C 【点评】本题考查相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键 7把抛物线 y=（x+1） 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，所得到的 抛物线是（ ） Ay= （ x+2） 2+2 By=（x+2） 22Cy=x 2+2 Dy=x 22 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向 右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即 可 【解答】解：抛物线 y=（ x+1） 2 的顶点坐标为（1，0）， 向下平移 2 个单位， 纵坐标变为2， 向右平移 1 个单位， 横坐标变为1+1=0， 平
15、移后的抛物线顶点坐标为（0，2）， 所得到的抛物线是 y=x22 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象 的变化求解更加简便，且容易理解 8在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=mx2+2x+2（m 是常数，且 m0） 的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键 是 m 的正负的确定，对于二次函数 y=ax2+bx+c，当 a0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下对称轴为 x= ，与 y 轴的交点坐标为（0，c ） 【解答】解：解法一：逐项
16、分析 A、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，即函数 y=mx2+2x+2 开口方向朝上，与 图象不符，故 A 选项错误； B、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，对称轴为 x= = = 0，则对 称轴应在 y 轴左侧，与图象不符，故 B 选项错误； C、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，即函数 y=mx2+2x+2 开口方向朝下，与 图象不符，故 C 选项错误； D、由函数 y=mx+m 的图象可知 m0，即函数 y=mx2+2x+2 开口方向朝上，对 称轴为 x= = = 0，则对称轴应在 y 轴左侧，与图象相符，故 D 选 项正确； 解法二：系统分析 当二次函数开口向下时，
17、m 0，m0， 一次函数图象过一、二、三象限 当二次函数开口向上时，m 0，m0， 对称轴 x= 0， 这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限 故选：D 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力， 要掌握它们的性质才能灵活解题 9如图，l 1l 2l 3，直线 a，b 与 l1，l 2，l 3 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F，若 = ，DE=4，则 DF 的长是（ ） A B C10 D6 【考点】平行线分线段成比例 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，求出 EF，结合图形计算即 可 【解答】解：l 1l 2l
18、3， = = ，又 DE=4， EF=6， DF=DE+EF=10， 故选：C 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关 系是解题的关键 10如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔 40 海里的 A 处，它 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处，则 海轮行驶的路程 AB 为（ ）海里 A40+ 40 B80 C40+20 D80 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】首先由题意可得：PA=40 海里，A=45，B=30，然后分别在 RtPAC 中与 RtPBC 中，利用三角函数的知识分别求得 AC 与 BC
19、的长，继而 求得答案 【解答】解：根据题意得：PA=40 海里，A=45，B=30， 在 RtPAC 中，AC=PC=PAcos45=40 =40（海里）， 在 RtPBC 中，BC= = =40 （海里）， AB=C+BC=40+40 （海里） 故选 A 【点评】此题考查了方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关 键 11二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ） A图象的对称轴是直线 x=1 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是1，3 D当1x 3 时，y0 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二
20、次函数的图象与 x 轴的交点为（1，0），（3，0）可求出抛物 线的对称轴，再根据二次函数的性质对各选项进行逐一判断即可 【解答】解：二次函数的图象与 x 轴的交点为（ 1，0），（3，0）， 抛物线的对称轴直线为：x= =1，故 A 正确； 抛物线开口向下，对称轴为 x=1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故 B 正确； 二次函数的图象与 x 轴的交点为（ 1，0），（3，0）， 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 1，3，故 C 正确； 当1x3 时，抛物线在 x 轴的上方， 当1x3 时，y0，故 D 错误 故选：D 【点评】本题考查的是二次函数的性质，能利用数形结
21、合求出抛物线的对称轴 及当1x3 时 y 的取值范围是解答此题的关键 12如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC ，垂足为点 F，连接 DF，下面四个结论： AEF CAB；CF=2AF；DF=DC ；tan CAD= ，其中正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形 【分析】正确只要证明EAC=ACB，ABC=AFE=90 即可； 正确由 ADBC，推出AEFCBF ，推出 = ，由 AE= AD= BC，推 出 = ，即 CF=2AF； 正确只要证明 DM 垂直平分 CF，即可证明； 正确设 A
22、E=a，AB=b，则 AD=2a，由BAEADC，有 = ，即 b= a， 可得 tanCAD= = = ； 【解答】解：如图，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABC=90，AD=BC， BE AC 于点 F， EAC=ACB，ABC=AFE=90， AEFCAB，故正确； ADBC， AEFCBF ， = ， AE= AD= BC， = ， CF=2AF，故正确； DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形， BM=DE= BC， BM=CM， CN=NF， BE AC 于点 F，DM BE， DN CF， DM 垂直平分 CF， D
23、F=DC，故正确； 设 AE=a，AB=b，则 AD=2a， 由BAEADC，有 = ，即 b= a， tanCAD= = = 故 正确； 故选 D 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的 计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题 的关键解题时注意：相似三角形的对应边成比例 二、填空题 13抛物线 y=x22x+1 的顶点坐标是 （1，0） 【考点】二次函数的性质 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可 【解答】解：y=x 22x+1=（x1） 2， 抛物线顶点坐标为（1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】本题
24、考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法， 也可以用顶点坐标公式 14计算：|1tan60 |（ sin30） 2+tan45= 4 【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】直接利用绝对值的性质结合负整数指数幂的性质化简进而得出答案 【解答】解：原式= 1 +1 = 14+1 = 4 故答案为： 4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 15如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4），顶点 C 在 x 轴的负半轴上，函数 y= （x 0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为 32 【考点】反比例函数图象上点的坐标特
25、征；菱形的性质 【分析】根据点 C 的坐标以及菱形的性质求出点 B 的坐标，然后利用待定系数 法求出 k 的值即可 【解答】解：A（3，4）， OC= =5， CB=OC=5， 则点 B 的横坐标为35=8， 故 B 的坐标为：（8，4）， 将点 B 的坐标代入 y= 得，4= ， 解得：k=32 故答案是：32 【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解答本 题的关键是根据菱形的性质求出点 B 的坐标 16如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ACB 的角平分线分 别交 AB、BD 于 M、N 两点，若 AM=4，则线段 ON 的长为 2 【考
26、点】正方形的性质 【分析】作 MHAC 于 H，如图，根据正方形的性质得MAH=45，则AMH 为等腰直角三角形，再求出 AH，MH，MB ，CH/CO，然后证明CON CHM，再利用相似比可计算出 ON 【解答】解：作 MHAC 于 H，如图， 四边形 ABCD 为正方形， MAH=45， AMH 为等腰直角三角形， AH=MH= ， CM 平分 ACB， BM=MH= ， AB=4+2 ， AC= AB=4 +4， OC= AC= +2，CH=ACAH=4 +42 =2 +4， BDAC， ONMH ， CONCHM， ，即 ， ON=2， 故答案为：2 【点评】本题考查了相似三角形的判定
27、与性质：在判定两个三角形相似时，应 注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作 用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角 平分线的性质和正方形的性质 三、解答题（共 52 分） 17解方程：（x+3） 2=2x+6 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先变形得到（x+ 3） 22（x+3）=0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：（x+3） 22（x+3）=0， （x+3）（x +32）=0， x+3=0 或 x+32=0， 所以 x1=3，x 2=1 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再 把左边通
28、过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都 有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降 次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 18晚上，小亮在广场乘凉，图中线段 AB 表示站立在广场上的小亮，线段 PO 表示直立在广场上的灯杆，点 P 表示照明灯 （1）请你在图中画出小亮在照明灯 P 照射下的影子 BC（请保留作图痕迹，并 把影子描成粗线）； （2）如果小亮的身高 AB=1.6m，测得小亮影长 BC=2cm，小亮与灯杆的距离 BO=13m，请求出灯杆的高 PO 【考点】相似三角形的应用；中心投影 【分析】（1）直接根据题
29、意得出影子 BC 的位置； （2）根据题意得出POCABC，进而利用相似三角形的性质得出 PO 的长 【解答】解：（1）如图所示：BC 即为所求； （2）由题意可得：PO OC，AB OC， POC=ABC=90，且 OCP=BCA， POCABC， = ， 又AB=1.6，BC=2，OB=13， = ， 解得：PO=12， 答：灯杆的高 PO 为 12m 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出POCABC 是解题 关键 19某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个相同的小球，球上分别标有“0 元”、“10 元”、“20 元”和“30 元”的字样规 定
30、：顾客在本商场同一日内，每消费满 200 元，就可以在箱子里先后摸出两个 球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购 物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费 200 元 （1）该顾客至少可得到 10 元购物券，至多可得到 50 元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）如果摸到 0 元和 10 元的时候，得到的购物券是最少，一共 10 元如果摸到 20 元和 30 元的时候，得到的购物券最多，一共是 50 元； （2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结
31、果，适合于两 步完成的事件 【解答】解：（1）10，50； （2）解法一（树状图）： 从上图可以看出，共有 12 种可能结果，其中大于或等于 30 元共有 8 种可能结 果， 因此 P（不低于 30 元）= ； 解法二（列表法）： 第二次 第一次 0 10 20 30 0 10 20 30 10 10 30 40 20 20 30 50 30 30 40 50 （以下过程同“ 解法一” ） 【点评】本题主要考查概率知识解决本题的关键是弄清题意，满 200 元可以 摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化用到的知识点为：概率=所求情况 数与总情况数之比 20如图，在ABC 中， AB=AC，D 为
32、边 BC 上一点，以 AB，BD 为邻边作 ABDE，连接 AD，EC （1）求证：ADCECD； （2）若 BD=CD，求证：四边形 ADCE 是矩形 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四 边形的性质 【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的 判定定理 SAS 可以证得 ADCECD； （2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知 ADBC，即ADC=90；由平行四边 形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形 ADCE 是 平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解答】证明：（1）四边形 ABDE 是平
33、行四边形（已知）， ABDE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）； B= EDC （两直线平行，同位角相等）； 又AB=AC（已知）， AC=DE（等量代换），B=ACB（等边对等角）， EDC=ACD（等量代换）； 在ADC 和ECD 中， ， ADCECD（SAS）； （2）四边形 ABDE 是平行四边形（已知）， BDAE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等）， AE CD； 又BD=CD， AE=CD（等量代换）， 四边形 ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； 在ABC 中，AB=AC ，BD=CD ， ADBC（等腰三角形的“三合一” 性质）， A
34、DC=90， ADCE 是矩形 【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩 形的判定注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的 平行四边形是矩形”， 而不是“有一个角是直角的四边形是矩形” 21某商场试销一种商品，成本为每件 100 元，一段时间后，发现销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系如下表： 销售单价 x（元） 130 135 140 145 销售量 y（件） 240 230 220 210 （1）请根据表格中所给数据，求出 y 关于 x 的函数关系式； （2）设商场所获利润为 w 元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润 最大？最大利润是多少？
35、 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）根据表格中的数据可以判断出 y 与 x 的函数关系，从而可以解答 本题； （2）根据题意可以得到 w 与 x 的函数关系，然后化为顶点式，从而可以解答 本题 【解答】解：（1）由表格可知 y 与 x 成一次函数关系，设 y 与 x 的函数关系式 为 y=kx+b， ， 解得， ， 即 y 关于 x 的函数关系式是 y=2x+500； （2）由题意可得， w=（x100）（2x+500）=2（x175） 2+11250， 当 x=175 时，w 取得最大值，此时 w=11250， 即将商品销售单价定为 175 元时，才能使所获利润最大，最大利润是 1125
36、0 元 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需 要的条件 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（a， ）在直线 y= 上， ABy 轴，且点 B 的纵坐标为 1，双曲线 y= 经过点 B （1）求 a 的值及双曲线 y= 的解析式； （2）经过点 B 的直线与双曲线 y= 的另一个交点为点 C，且ABC 的面积 为 求直线 BC 的解析式； 过点 B 作 BDx 轴交直线 y= 于点 D，点 P 是直线 BC 上的一个动 点若将BDP 以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成 的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点 P 的坐标 【考点】
37、反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可得到 a = ，解得 a=2， 则 A（2， ），再确定点 B 的坐标为（2，1），然后把 B 点坐标代入 y= 中求 出 m 的值即可得到反比例函数的解析式； （2）设 C（ t， ），根据三角形面积公式得到 （2 t）（1+ ）= ， 解得 t=1，则点 C 的坐标为（ 1， 2），再利用待定系数法求直线 BC 的解析式； 先确定 D（ 1，1），根据直线 BC 解析式的特征可得直线 BC 与 x 轴的夹角为 45，而 BDx 轴，于是得到DBC=45，根据正方形的判定方法，只有PBD 为等腰直角三角形时，以它的
38、一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形 所组成的四边形为正方形，分类讨论：若BPD=90，则点 P 在 BD 的垂直平分 线上，易得此时 P（ ， ）；若BDP=90，利用 PDy 轴，易得此时 P（1 ，2） 【解答】解：（1）点 A（a， ）在直线 y= 上， a = ，解得 a=2， 则 A（2， ）， ABy 轴，且点 B 的纵坐标为 1， 点 B 的坐标为（2，1） 双曲线 y= 经过点 B（2，1）， m=21=2 ， 反比例函数的解析式为 y= ； （2）设 C（ t， ）， A（2， ），B（2，1）， （2t） （1+ ）= ， 解得 t=1， 点 C 的坐标为（ 1，
39、2）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B（2，1），C （1，2 ）代入得 ， 解得 ， 直线 BC 的解析式为 y=x1； 当 y=1 时， =1，解得 x=1，则 D（ 1，1）， 直线 BCy=x1 为直线 y=x 向下平移 1 个单位得到， 直线 BC 与 x 轴的夹角为 45， 而 BDx 轴， DBC=45， 当PBD 为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两 个三角形所组成的四边形为正方形， 若BPD=90，则点 P 在 BD 的垂直平分线上，P 点的横坐标为 ，当 x= 时， y=x1= ，此时 P（ ， ）， 若BDP=90，则 PDy 轴
40、，P 点的横坐标为1，当 x=1 时，y=x1=2，此时 P（1 ，2）， 综上所述，满足条件的 P 点坐标为（1， 2）或（ ， ） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次 函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者 有交点，方程组无解，则两者无交点也考查了待定系数法求函数解析式和正 方形的判定方法 23如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是平行四边形，线段 AD=6，二 次函数 y= x2 x+4 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴分别交于 B 点、E 点（B 点在 E 点 的左侧） （1）分别求 A、B、E 点的坐标； （2
41、）连接 AE、OD ，请判断AOE 与AOD 是否相似并说明理由； （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A、C、F、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出 F 点的坐标，若不存 在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）分别将 x=0 和 y=0 代入可求得 A、B、E 点的坐标； （2）根据坐标求出 AO 和 OE 的长，将两个直角三角形对应小直角边计算比值 为 ，对应大直角边计算比值也是 ，所以根据两边对应成比例，且夹角相等， 所以两三角形相似； （3）只需要满足ACF 为等腰三角形，即可找到对应的菱形，所以构建ACF 为等腰三角形有
42、四种情况：以 A 为圆心画圆，交直线 AB 于 F1、F 2，作 AC 的中垂线交直线 AB 于 F3，以 C 为圆心，以 AC 为半径，画圆交直线 AB 于 F4，利用勾股定理列式可求得点 F 的坐标 【解答】解：（1）当 x=0 时，y=4， A（0，4 ）， 当 y=0 时， x2 x+4=0， 2x2+x24=0， （x+3）（3x8）=0， x1=3， x2= ， B（3，0 ），E（ ，0）； （2）AOE 与AOD 相似，理由是： A（0，4 ）， OA=4， E （ ，0）， OE= ， = = ， = ， ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， BC AO， ADA
43、O， OAD=AOE=90， AOEDAO， （3）如图 2，在 RtAOC 中，AC=4 ，OC=3， AC=5， 同理 AB=5， ABC 是等腰三角形， 当 F 与 B 重合时，存在 A、C 、F、M 为顶点的四边形为菱形， 即 F1（3，0 ）， 当 AF2=AB=5 时，AF 2C 是等腰三角形，存在 A、C、F 、M 为顶点的四边形为菱 形， 此时 F2 与 B 关于点 A 对称， F 2（3，8）， 设直线 AB 的解析式为：y=kx+b ， 把 A（0，4 ）， B（3 ，0）代入得： ， 解得： ， 直线 AB 的解析式为：y= x+4， 如图 2，作 AC 的中垂线 l，交
44、直线 AB 于 F3，连接 F3C，分别过 A、F 3 作 x 轴、y 轴的平行线，交于 H，HF 3 交 x 轴于 G， 则 AF3=F3C， 设 F3（x， x+4）， 则 = ， （x） 2+（4 x4） 2=（ x4） 2+（ x+3） 2， x= ， 当 x= 时， y= +4= ， F 3（ ， ）； 如图 3，以 C 为圆心，以 AC 为半径，画圆交直线 AB 于 F4，过 F4 作 F4Px 轴于 P，则 AC=F4C， 设 F4（x， x+4）， 则 ， =0， 25x2+42x=0， x（25x+42）=0， x1=0（舍）， x2= ， 当 x= 时， y= ， F 4（ ， ）， 综上所述，F 点的坐标为：F 1（ 3，0），F 2（3，8），F 3（ ， ），F 4（ ， ） 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与两坐标轴的交点、平行 四边形、菱形和等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，在构建 等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据腰长相等并与勾股定理相结合列式 解决问题
