1、2015-2016 学年福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1方程 x（x2 ）=0 的解是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx=0 或 x=2 Dx=0 或 x=2 2下列事件中是必然事件的是（ ） A实心铁球投入水中会沉入水底 B某投篮高手投篮一次就投中 C打开电视机，正在播放足球比赛 D抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 3下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4已知：如图，OA，OB 是O 的两条半径，且 OAOB，点 C 在O 上，则ACB 的度数为（ ） A45 B35 C25 D20 5
2、若两个相似三角形的周长之比是 1：2，则它们的面积之比是（ ） A1：2 B1： C2： 1 D1：4 6将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则得到的抛物线解析式是（ ） Ay= （ x2） 23 By= （x 2） 2+3 Cy=（x+2） 23 Dy=（x+2） 2+3 7某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每降价的百分率为 x，则下面所 列方程正确的是（ ） A289（1x） 2=256 B256 （1 x） 2=289 C289（1 2x） 2=256 D256（12x） 2=289 8如图，直线 y=2x 与双曲线 y= 在
3、第一象限的交点为 A，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，将 ABO 绕点 O 逆时针旋转 90，得到ABO（点 A 对应点 A） ，则点 A的坐标是（ ） A （2，0） B （2， 1） C （ 2，1） D （1，2） 9已知 m0，则函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 10如图，圆内接四边形 ABCD，AB=3， C=135，若 ABBD，则圆的直径是（ ） A6 B5 C3 D3 11已知 RtABC 的一条直角边 AB=8cm，另一条直角边 BC=6cm，以 AB 为轴将 RtABC 旋转一 周，所得到的圆锥的侧面积是（ ） A120cm 2 B60cm 2 C160
4、cm 2 D80cm 2 12已知关于 x 的方程 只有一个实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba 0 Ca 0 Da 为一切实数 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 13已知一元二次方程 x2xc=0 有一个根为 2，则常数 c 的值是 14投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于 4 的概率是 15点（2，1 ）关于原点对称的点的坐标为 16在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 20m，那么 这根旗杆的高度是 m 17如图所示，一个半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形，则扇形的弧长是 18如图，
5、点 A，B 分别在函数 y= （k 10）与 y= （k 20）的图象上，线段 AB 的中点 M 在 y 轴上若AOB 的面积为 2，则 k1k2 的值是 三、解答题（共 9 小题，满分 90 分） 19已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+a=0 有两个相等的实数根，求 a 的值 20解方程：x 22x=1 21如图，正方形的边长为 2，边 OA，OC 分别在 x 轴与 y 轴上，反比例函数 y= （k 为常数， k0）的图象经过正方形的中心 D （1）直接写出点 D 的坐标； （2）求反比例函数的解析式 22一个不透明的口袋中有 3 个大小相同的小球，球面上分别写有数字 1，2，3，从袋
6、中随机摸出 一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球 （1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果； （2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率 23如图，在 RtBAC 中， BAC=90，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到AB C（点 B 的对应 点是点 B，点 C 的对应点是点 C） ，连接 CC，若 CCB=30，求 B 的度数 24某商场销售一种笔记本，进价为每本 10 元，试营销阶段发现：当销售单价为 12 元时，每天可 卖出 100 本如调整价格，每涨价 1 元，每天要少卖出 10 本 （1）写出该商场销售这种笔记本，每天所得的销售利润
7、y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关 系式（x10） ； （2）若该笔记本的销售单价高于进价且不超过 15 元，求销售单价为多少元时，该笔记本每天的销 售利润最大？并求出最大值 25如图，AB 是 O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交 O 于点 E （1）若 D 为 AC 的中点，证明 DE 是O 的切线； （2）若 OA= ，CE=1 ，求ABC 的面积 26如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，动点 P 以每秒一个单位的速度从点 A 出发，沿对角 线 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以相同的速度从点 C 出发，沿边 CB 向点 B 移动设 P，Q 两点 移动时间为
8、t 秒（0 t4） （1）用含 t 的代数式表示线段 PC 的长是 ； （2）当PCQ 为等腰三角形时，求 t 的值； （3）以 BQ 为直径的圆交 PQ 于点 M，当 M 为 PQ 的中点时，求 t 的值 27如图，已知抛物线 y=x22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C， 该抛物线顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 H （1）求 A，B 两点的坐标； （2）设点 P 在 x 轴下方的抛物线上，当 ABP=CDB 时，求出点 P 的坐标； （3）以 OB 为边最第四象限内作等边OBM设点 E 为 x 轴的正半轴上一动点（OEOH ） ，连接
9、ME，把线段 ME 绕点 M 顺时针旋转 60得 MF，求线段 DF 的长的最小值 2015-2016 学年福建省福州市长乐市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1方程 x（x2 ）=0 的解是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx=0 或 x=2 Dx=0 或 x=2 【考点】解一元二次方 程- 因式分解法 【分析】原方程已化为了方程左边为两个一次因式的乘积，方程的右边为 0 的形式；可令每一个一 次因式为零，得到两个一元一次方程，从而求出 原方程的解 【解答】解：由题意，得：x=0 或 x2=0， 解得 x=0 或 x=2
10、；故选 D 【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为 一般式，如果左边的代数式能 够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方 程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了 2下列事件中是必然事件的是（ ） A实心铁球投入水中会沉入水底 B某投篮高手投篮一次就投中 C打开电视机，正在播放足球比赛 D抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 【考点】随机事件 【分析】根据理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可 【解答】解：实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，A 正确； 某投篮高手投篮一次就投中是随机事件，B 错误； 打开电视
11、机，正在播放足球比赛是随机事件，C 错误； 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，D 错误， 故选：A 【点评】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一 定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在 一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【专题】常规题型 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B
12、 选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概 念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后两部分重合 4已知：如图，OA，OB 是O 的两条半径，且 OAOB，点 C 在O 上，则ACB 的度数为（ ） A45 B35 C25 D20 【考点】圆周角定理 【专题】探究型 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可 【解答】解：OA OB， AOB=90， ACB=
13、AOB=45 故选 A 【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半 5若两个相似三角形的周长之比是 1：2，则它们的面积之比是（ ） A1：2 B1： C2： 1 D1：4 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可 【解答】解：两个相似三角形的周长之比是 1：2， 两个相似三角形的相似比是 1：2， 它们的面积之比是：1：4， 故选：D 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积 的比等于相似比的平方是解题的关键
14、6将抛物线 y=x2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则得到的抛物线解析式是（ ） Ay= （ x2） 23 By= （x 2） 2+3 Cy=（x+2） 23 Dy=（x+2） 2+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】抛物 线 y=x2 的顶点坐标为（0，0） ，向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得的抛 物线的顶点坐标为（2， 3） ，根据顶点式可确定所得抛物线解析式 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0） ， 平移后抛物线顶点坐标为（2， 3） ， 又因为平移不改变二次项系数， 所以所得抛物线解析式为：y=（x+2） 23 故选：C 【点评
15、】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶 点坐标 7某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每降价的百分率为 x，则下面所列 方程正确 的是（ ） A289（1x） 2=256 B256 （1 x） 2=289 C289（1 2x） 2=256 D256（12x） 2=289 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，本题可参照增长率问题进行 计算，如果设平均每次降价的百分率为 x，可以用 x 表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列 出方程 【解
16、答】解：根据题意可得两次降价后售价为 289（1x） 2， 方程为 289（1 x） 2=256 故选答：A 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式 a（1+x） 2=c，其中 a 是变化前的原始量，c 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率 本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成 B 8如图，直线 y=2x 与双曲线 y= 在第一象限的交点为 A，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，将 ABO 绕点 O 逆时针旋转 90，得到ABO（点 A 对应点 A） ，则点 A的坐标是（ ） A （2，0） B （2， 1） C （ 2，1） D （1，
17、2） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化-旋转 【专题】计算题 【分析】通过解方程组 可得 A（1，2） ，则 AB=2，OB=1，再根据旋转的性质得 AB=AB=2，OB=OB =1， ABO=ABO=90， BOB=90，所以点 B在 y 轴的正半轴上，A By 轴，然后利用第二象限点的坐标特征写出 A点的坐标 【解答】解：解方程组 得 或 ，则 A（1，2） ， ABx 轴， B（1，0） ， AB=2，OB=1， ABO 绕点 O 逆时针旋转 90，得到 ABO（点 A 对应点 A） ，如图， AB=AB=2，OB=OB=1，AB O=ABO=90，BOB =90，
18、 点 B在 y 轴的正半轴上， ABy 轴， A点的坐标为（ 2，1） 故选 C 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把 两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点也 考查了旋转的性质 9已知 m0，则函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】反比例函数的图象 【分析】根据反比例函数的性质，分别分析 x0 和 x0 时图象所在象限 【解答】解：当 x0 时，y= = ， m0， 图象在第四象限； 当 x0 时，y= = ， m0， m0 ， 图象在第三象限； 故选：B 【点评】此题主要考查了反
19、比例函数的性质，关键是掌握反比例函数 y= 的图象是双曲线，当 k0 时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当 k0 时，它的两个分支分别位于第二、四象 限 10如图，圆内接四边形 ABCD，AB=3， C=135，若 ABBD，则圆的直径是（ ） A6 B5 C3 D3 【考点】圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；圆周角定理 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ，根据等腰直角三角形的性质和圆周角定理解得即可 【解答】解：四边形 ABCD 是圆内接四边形， C+A=180， A=45，又 ABBD， ABC 为等腰直角三角形， AD= AB=3 ， ABBD， 线段 AD 为圆的直径， 圆的
20、直径为 3 ， 故选：D 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理的应用，掌握相 关的定理、灵活运用性质是解题的关键 11已知 RtABC 的一条直角边 AB=8cm，另一条直角边 BC=6cm，以 AB 为轴将 RtABC 旋转一 周，所得到的圆锥的侧面积是（ ） A120cm 2 B60cm 2 C160cm 2 D80cm 2 【考点】圆锥的计算 【分析】根据勾股定理求出 RtABC 的斜边长，根据题意求出圆锥的底面周长，根据扇形的面积 公式计算即可 【解答】解：Rt ABC 的一条直角边 AB=8cm，另一条直角边 BC=6cm， 斜边 AC= =10c
21、m， 圆锥的底面周长为：26=12cm， 则圆锥的侧面积为： 1210=60cm2 故选：B 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的 关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长 12已知关于 x 的方程 只有一个实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa0 Ba 0 Ca 0 Da 为一切实数 【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象 【分析】方程 只有一个实数根，则函数 y= 和函数 y=x22x+3 只有一个交点，根 据二次函数所处的象限，即可确定出 a 的范围 【解答】解：方程 只有一个实数根， 函数 y= 和函数
22、y=x22x+3 只有一个交点， 函数 y=x22x+3=（x1） 2+2，开口向上，对称轴 x=1，顶点为（1，2） ，抛物线交 y 轴的正半轴， 反比例函数 y= 应该在一、三象限， a0， 故选 A 【点评】本题考查了二次函数的图象和反比例函数的图象，确定二次函数的图象所处的位置是解题 的关键 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） 13已知一元二次方程 x2xc=0 有一个根为 2，则常数 c 的值是 2 【考点】一元二次方程的解 【分析】把 x=2 代入方程 x2xc=0，得出一个关于 c 的方程，求出方程的解即可 【解答】解：把 x=2 代入方程 x2xc=0
23、得：42c=0， 解得：c=2， 故答案为：2 【点评】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解得应用，能得出关于 c 的方程是解此题的 关键 14投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于 4 的概率是 【考点】概率公式 【分析】由于一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数可能为 1、2、3、4、5、6，共有 6 种可能，大于 4 的点数有 5、6，则根据概率公式可计算出骰子向上的一面点数大于 4 的概率 【解答】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有 6 种可能，而只有出现点数 为 5、6 才大于 4， 所以这个骰子向上的一面点数大于 4 的概率是 = 故答案为： 【
24、点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数与所 有可能出现的结果数的商是解答此题的关键 15点（2，1 ）关于原点对称的点的坐标为 （2， 1） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【专题】计算题 【分析】根据点 P（a，b）关于原点对称的点 P的坐标为（ a，b）即可得到点（2，1）关于原点 对称的点的坐标 【解答】解：点（2，1）关于原点对称的点的坐标为（ 2， 1） 故答案为（2，1） 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点 P（a，b）关于原点对称的点 P的坐标为 （a ， b） 16在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长
25、为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 20m，那么 这根旗杆的高度是 12 m 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解 【解答】解：设旗杆高度为 xm， 由题意得， = ， 解得：x=12 故答案为：12 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记 17如图所示，一个半径为 1 的圆内切于一个圆心角为 60的扇形，则扇形的弧长是 【考点】相切两圆的性质 【分析】连接 OA、CB ，则 CBOB，由切线长定理得出BOC= 60=30，由含 30角的直角三角 形的性质得出 OC=2CB=2，求出 OA=OC+CA=3，扇形的
26、弧长公式即可得出结果 【解答】解：如图所示：连接 CB， 则 CBOB， OBC=90，BOC= 60=30， CA=CB=1， OC=2CB=2， OA=OC+CA=3， 扇形的弧长= = 故答案为： 【点评】本题考查了相切两圆的性质、切线长定理、含 30角的直角三角形的性质、弧长公式；熟 练掌握相切两圆的性质，求出扇形的半径是解决问题的关键 18如图，点 A，B 分别在函数 y= （k 10）与 y= （k 20）的图象上，线段 AB 的中点 M 在 y 轴上若AOB 的面积为 2，则 k1k2 的值是 4 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】设 A（a，b） ，B （a ，d
27、） ，代入双曲线得到 k1=ab，k 2=ad，根据三角形的面积公式求出 ad+ad=4，即可得出答案 【解答】解：作 ACx 轴于 C，BDx 轴于 D， ACBDy 轴， M 是 AB 的中点， OC=OD， 设 A（a，b） ，B （a ，d） ， 代入得：k 1=ab，k 2=ad， SAOB=2， （ b+d） 2a ab ad=2， ab+ad=4， k1k2=4， 故选：4 【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的 面积等知识点的理解和掌握，能求出 ab+ad=4，4 是解此题的关键 三、解答题（共 9 小题，满分 90 分） 19已
28、知关于 x 的一元二次方程 x2+x+a=0 有两个相等的实数根，求 a 的值 【考点】根的判别式 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式=b 24ac=0，建立关于 a 的等式，求 出 a 的值即可 【解答】解：根据题意得：=b 24ac=1241a=14a=0， 解得 a= 【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 20解方程：x 22x=1 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法 【分析】方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就
29、是完全平方式，右边就是常数， 然后利用平方根的定义即可求解 【解答】解：x 22x=1 （ x1） 2=2 x=1 x1=1+ ，x 2=1 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍 数 21如图，正方形的边长为 2，边 OA，OC 分别在 x 轴与 y 轴上，反比例函数 y= （k 为常数， k0）的图象经过正方形的中心 D （1）直接写出点 D 的坐标； （2）求反比例函数的解析式 【考点】待定系数法求
30、反比例函数解析式 【分析】 （1）根据正方形的性质即可求得 D 的坐标； （2）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式 【解答】解：（1）正方形的边长为 2，边 OA，OC 分别在 x 轴与 y 轴上， A（ 2， 0） ，C（0，2） ，B（2，2） ， 点 D 是正方形的中心， D（ 1， 1） ； （2）设反比例函数的解析式为 y= ， 且该函数图象过点 D（1，1） ， =1， k=1， 反比例函数的解析式为 y= 【点评】本题考查了正方形的性质和待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解 题的关键 22一个不透明的口袋中有 3 个大小相同的小球，球面上分别写有数字 1，
31、2，3，从袋中随机摸出 一个小球，记录下数字后放回，再随机摸出一个小球 （1）请用树状图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果； （2）求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字积为奇数有 4 种情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）根据题意，可以画如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果共有 9 种，这些结果出现的可能性相等； （2）由（1）得：其中两次摸出的球上的数字积为奇数的有 4 种情况， 场 P（两次摸出的球
32、上的数字积为奇数）= 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 23如图，在 RtBAC 中， BAC=90，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到AB C（点 B 的对应 点是点 B，点 C 的对应点是点 C） ，连接 CC，若 CCB=30，求 B 的度数 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质可得ABCABC ，根据全等三角形的性质可得 AC=AC，B= ABC，则ACC是等腰直角三角形，然后根据三角形的外
33、角的性质求得AB C即 可 【解答】解：由旋转的性质可得：ABCABC ，点 B在 AC 上， AC=AC，B=ABC 又BAC=CAC=90， ACC=ACC=45 ABC=ACC+CCB=45+30=75， B=ABC=75 【点评】本题考查了旋转的性质以及全等三角形的性质和三角形的外角的性质，注意到ACC 是等 腰直角三角形是关键 24某商场销售一种笔记本，进价为每本 10 元，试营销阶段发现：当销售单价为 12 元时，每天可 卖出 100 本如调整价格，每涨价 1 元，每天要少卖出 10 本 （1）写出该商场销售这种笔记本，每天所得的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关
34、系式（x10） ； （2）若该笔记本的销售单价高于进价且不超过 15 元，求销售单价为多少元时，该笔记本每天的销 售利润最大？并求出最大值 【考点】二次函数的应用 【专题】销售问题 【分析】 （1）根据题意列方程即可得到结论； （2）把 y=10x2+320x2200 化为 y=10（x 16） 2+360，根据二次函数的性质即可得到结论 【解答】解：（1）y=（x 10）10010（x12） =（x10 ） （10010x+120 ）= 10x2+320x2200； （2）y= 10x2+320x2200=10（ x16） 2+360， 由题意可得：10x 15， a=100，对称轴为直线
35、x=16， 抛物 线开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大， 当 x=15 时，y 取最大值为 350 元， 答：销售单价为 15 元时，该文具每天的销售利润最大，最大值是 350 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答， 我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值 （或最小值） ，也就是说二次函数的最值不一定在 x= 时取得 25如图，AB 是 O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交 O 于点 E （1）若 D 为 AC 的中点，证明 DE 是O 的切线； （2）若 OA= ，CE=1
36、，求ABC 的面积 【考点】切线的判定与性质 【分析】 （1）连接 AE，OE，AEB=90， BAC=90，在 RtACE 中，D 为 AC 的中点，则 DE=AD=CD= AC，得出DEA=DAE ，由 OA=OE，得出 OAE=OEA，则 DEO=DEA+OEA=DAE+OAE=BAC=90，即可得出结论； （2）AB=2AO=2 ，由BCA BAE，得出 = ，求出 BE=3，BC=4 ，由勾股定理得 AC= =2，则 SABC= ABAC 代入即可得出结果 【解答】 （1）证明：连接 AE，OE ，如图所示： AB 是O 的直径， AEB=90， AC 是O 的切线， BAC=90，
37、 在 RtACE 中， D 为 AC 的中点， DE=AD=CD= AC， DEA=DAE， OA=OE， OAE=OEA， DEO=DEA+OEA=DAE+OAE=BAC=90， OEDE， OE 为半径， DE 是O 的切线； （2）解：AO= ， AB=2AO=2 ， CAB=AEB=90， B=B， BCABAE， = ，即 AB2=BEBC=BE（BE+EC ） ， （ 2 ） 2=BE2+BE， 解得：BE=3 或 BE=4（不合题意，舍去） ， BE=3， BC=BE+CE=3+1=4， 在 RtABC 中，AC= = =2， SABC= ABAC= 2 2=2 【点评】本题考查
38、了切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的 判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度 26如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ，动点 P 以每秒一个单位的速度从点 A 出发，沿对角 线 AC 向点 C 移动，同时动点 Q 以相同的速度从点 C 出发，沿边 CB 向点 B 移动设 P，Q 两点 移动时间为 t 秒（0 t4） （1）用含 t 的代数式表示线段 PC 的长是 5t ； （2）当PCQ 为等腰三角形时，求 t 的值； （3）以 BQ 为直径的圆交 PQ 于点 M，当 M 为 PQ 的中点时，求 t 的值 【考点】
39、四边形综合题 【分析】 （1）根据勾股定理求出 AC，根据题意用 t 表示出 AP，结合图形计算即可； （2） 分 CP=CQ、QP=QC、PQ=PC 三种情况，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质 计算即可； （3）连接 BP、BM，根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一得到 BP=BQ，根据勾 股定理用 t 表示出 BP、BQ，列出方程，解方程即可 【解答】解：（1）B=90 ，AB=3 ，BC=4， AC=5， 点 P 的速度是每秒一个单位，移动时间为 t 秒， AP=t， 则 PC=ACAP=5t， 故答案为：5t； （2）当 CP=CQ 时，t=5 t， 解得 t=
40、 ， 当 QP=QC 时，过点 Q 作 QHAC 于 H，如图 1， 则 PH=HC= PC= （5 t） ，QC=t， QHAC，B=90， CHQCBA， = ，即 = ， 解得 t= ， 当 PQ=PC 时，如图 2， 过点 P 作 PNQC 于 N， 则 NC=NQ= QC= t， CPNCAB，得 = ，即 = ， 解得 t= ， 综上所述，当 t= 或 t= 或 t= 时，PCQ 为等腰三角形； （3）连接 BP、BM，如图 3，则BMQ=90 ， M 为 PQ 的中点， BP=BQ， 过点 P 作 PKAB 于 K， AP=t， PK= t，AK= t， BK=3 t， 在 Rt
41、BPK 中，PB 2=PK2+BK2=（3 t） 2+（ t） 2，又 BQ=4t， （ 4t） 2=（3 t） 2+（ t） 2， 解得 t= 以 BQ 为直径的圆交 PQ 于点 M，当 M 为 PQ 的中点时，t 的值为 【点评】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相 关的性质定理、灵活运用数形结合思想、正确作出辅助线是 解题的关键 27如图，已知抛物线 y=x22x3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C， 该抛物线顶点为 D，对称轴交 x 轴于点 H （1）求 A，B 两点的坐标； （2）设点 P 在
42、x 轴下方的抛物线上，当 ABP=CDB 时，求出点 P 的坐标； （3）以 OB 为边最第四象限内作等边OBM设点 E 为 x 轴的正半轴上一动点（OEOH ） ，连接 ME，把线段 ME 绕点 M 顺时针旋转 60得 MF，求线段 DF 的长的最小值 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）令 y =0，求得关于 x 的方程 x22x3=0 的解即为点 A、B 的横坐标； （2）设 P（x，x 22x3） ，根据抛物线解析式求得点 D 的坐标为 D（1， 4） ；结合坐标与图形的性质 求得线段 CD= ，CB=3 ，BD=2 ；所以根据勾股定理的逆定理推知BCD=90 ，则易推知相 似三角
43、形BCDPNB，由该相似三角形的对应边成比例来求 x 的值，易得点 P 的坐标； （3）正确做出等边OBM 和线段 ME 所对应的旋转线段 MF，如图 2过点 B，F 作直线交对称轴 于点 G构建全等三角形：EOM FBM，由该全等三角形的性质和图形中相关角间的和差关系 得到： OBF=120为定值，即 BF 所在直线为定直线过 D 点作 DKBF，K 为垂足线段 DF 的长的最小 值即为 DK 的长度 【解答】解：（1）令 y=0，得 x22x3=0， 解得 x1=1，x 2=3， A（ 1， 0） ，B（3，0） （2）设 P（x，x 22x3） ， 如图 1，过点 P 作 PNx 轴，垂
44、足为 N 连接 BP，设NBP=CDB 令 x=0，得 y=x22x3=3， C（0，3） y=x22x3=（x1） 24， D（ 1， 4） 由勾股定理，得 CD= ，CB=3 ，BD=2 BD2=BC2+CD2， BCD=90 BCD=PNB=90， NBP=CDB BCDPNB = ， = ，即 x25x+6=0， 解得 x1=2，x 2=3（不合题意，舍去） 当 x=2 时，y=3 P（ 2， 3） ； （3）正确做出等边OBM 和线段 ME 所对应的旋转线段 MF，如图 2 过点 B，F 作直线交对称轴于点 G 由题意可得： ， EOMFBM， MBF=MOB=60 OBF=OBM+
45、MBF=60+60=120为定值， BF 所在直线为定直线 过 D 点作 DKBF，K 为垂足 在 RtBGH 中， HBG=180120=60， HGB=30 HB=3， BG=4，HG=2 D（ 1， 4） ， DH=4， DG=2 +4 在 RtDGK 中，DGK=30 DK= DG=2+ 当点 E 与点 H 重合时，这时 BF=OH=1， 则 GF=4+1=5 而 GK= DK=3+2 5，即点 K 在点 F 运动的路径上， 所以线段 DF 的长的最小值存在，最小值是 2+ 【点评】本题考查了二次函数综合题需要掌握抛物线与 x 轴的交点坐标，坐标与图形的性质，全 等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识点，难 度较大，主要考查学生数形结合的数学思想方法
