1、正视图 俯视图 2 1.6 2 1.5 丰台区高三数学第一学期 期末试卷（理科）2011.1 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1集合 290Px， 13QxZ，则 PQ= A 3B C 1023，D 102， 2 若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是 A 325B 325 C 9D 189 3已知命题 p： 1x， 20，那么 p是 A ， 2 B 1x， 20 C x， D ， 4 如果向量 (,1)ak与 (61)bk， 共线且方向相反，那么 k的值为 A-3 B2 C 17 D 1
2、7 5有 5 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么 5 名同学值 日 顺序的编排方案共有 A24 种 B48 种 C96 种 D12 0 种 6设偶函数 ()fx在 0)， 上为增函数，且 (2)40f，那么下列四个命题中一定 正确的是 A (3)5f B )f C函数在点 (4， 处的切线斜率 10k D函数在点 )f， 处的切线斜率 2 开始 ,2a1n 输出 结束 3a201n 是 否 7程序框图如图所示，将输出的 a 的值依次记为 a1，a 2，a n，其中*nN 且 201那么数列 n的通项公式为 A 3na B 3 C n D 21()na 8用 maxb
3、， 表示 a，b 两个数中的最大数，设 2(maxf，1()4 ，那么由函数 ()yfx的图象、x 轴、直线 14和直线 所围 成的封闭图形的面积是 A 3512 B 5924 C 78D 1 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9复数 21i= 10在 ABC 中，如果 :3:24abc，那么 cosC= 11 某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图 如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分 别为 ， 12 过点 (34)， 且与圆 22(1)()5xy相切的直线方程为 13已知 x，y 满足约束条件 260xy
4、， ， 那么 3zxy的最小值为 14定义方程 ()f的实数根 x0 叫做函数 ()f的“新驻点” ，如果函数 ()gx，()ln1hx ， cos（ ， ）的“新驻点”分别为 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 15.（本小题共 13 分） 已知函数 2()2sincosfxx（ 0xR， ） ，相邻两条对称轴之 间的距离等于 （）求 ()4f的值； （）当 02x， 时，求函数 )(xf的最大值和最小值及相应的 x 值 16.（本小题共 14 分） 直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，AB=5，AC=4，BC=3，AA 1=4，点 D 在
5、AB 上 （）求证：ACB 1C； （）若 D 是 AB 中点，求证： AC1平面 B1CD； （）当 3A时，求二面角 D的余弦值 17.（本小题共 13 分） 某校组织“上海世博会”知识竞赛已知学生答对第一题的概率是 0.6，答对第二 A A1 B C D B1 C1 题的概率是 0.5，并且他们回答问题相互之 间没有影响 （I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率； （）记 为三名学生中至少答对第一、 二两题中一题的人数，求 的分布列及数学 期望 E 18.（本小题共 13 分） 已知 O为平面直角坐标系的原点，过点 (20)M， 的直线 l与圆 21xy交于 P，Q 两点 （
6、I）若 12P ，求直线 l的方程； （）若 M与 Q的面积相等，求直线 l的斜率 19.（本小题共 14 分） 设函数 2()1ln()fxx （I）求 的单调区间； （II）当 0 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2()2sincosfxx（ 0xR， ） ，相邻两条对称轴之 间的距离等于 （）求 ()4f的值； （）当 0,2x时，求函数 )(xf的最大值和最小值及相应的 x 值 解：（） ()sincos12sin()14f
7、xx A A1 B C D B1 C1 E 因为 2T，所以 ， 1 所以 ()sin(2)4fxx 所以 04 7 分 （） ()2sin()1fxx 当 0,时， 3244， 所以 当 2x， 即 8x时， max()21f， 当 4，即 0时， in 13 分 16.（本小题满分 14 分） 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=5，AC=4 ，BC =3，AA 1=4，点 D 在 AB 上 （）求证：ACB 1C； （）若 D 是 AB 中点，求证： AC1平面 B1CD； （）当 3A时，求二面角 的余弦值 证明： （）在ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， 所以 A
8、C2+ B C2= AB2， 所以 ACBC 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 C C1AC 因为 BCAC =C， 所以 AC平面 B B1C1C 所以 ACB 1C 5 分 （）证明：连结 BC1，交 B1C 于 E，DE 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1， D 是 AB 中点， 所以 侧面 B B1C1C 为矩形，DE 为ABC 1 的中位线， 所以 DE/ AC1 因为 DE平面 B1CD， AC1 平面 B1C D， 所以 AC1平面 B1CD 9 分 （）解：由（）知 ACBC ， 所以如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 则 B (3, 0, 0)，A
9、 (0, 4, 0)，A 1 (0, 0, c)，B 1 (3, 0, 4) 设 D (a, b, 0)（ 0， b） ， 因为 点 D 在线段 AB 上，且 3D， 即 3A 所以 2， 43， 4(1,0) 所以 1(,0)BC， BA， 4(2,0)C 平面 BCD 的法向量为 1(,)n 设平面 B1 CD 的法向量为 2xy， 由 120Cn， 20Dn， 得 340y ， 所以 43x， y， 2(,1)3 设二面角 1B的大小为 ， 所以 21cos6n 所以 二面角 1BCD的余弦值为 361 14 分 17.（本小题满分 13 分） 某校组织“上海世博会”知识竞赛已知学生答对
10、第一题的概率是 0.6，答对第二 题的概率是 0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响 （I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率； （）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题 的人数，求 的分布列及数学 期望 E 解：（I）设“ 学生答对第一题”为事件 A,“学生答对第二题”为事件 B A A1 B C D B1 C1 x y z 所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为 ()()()PABPABPAB 0.45.60.560.8 5 分 （） 的可能取值为 0，1，2，3 ，且 (3,.) ().8P ， 123.96C ，2()0.34 ，3.851P 所以， 的分
11、布列为 0 1 2 3P 0.008 0.096 0.384 0.51230.824E 13 分 18.（本小题满分 13 分） 已知 O为平面直角坐标系的原点，过点 (2,0)M的直线 l与圆 21xy交于PQ、 两点 （）若 12，求直线 l的方程； （）若 M与 PQ的面积相 等，求直线 l的斜率 解：（）依题意，直线 l的斜率存在， 因为 直线 过点 (2,0)，可设直线 l： (2)ykx 因为 P、 两点在圆 1xy上，所以 1OPQ， 因为 2OQ，所以 cos2 所以 10 所以 到直线 l的距离等于 所以 2|1k， 得 51k， 所以 直线 l的方程为 1520xy或 15
12、20xy 6 分 （）因为 OMP与 Q的面积相等，所以 MQP， 设 1(,)xy， 2(,)，所以 2(,)xy， 1(2,)xy 所以 21 即 21y （*） ； 因为 P， Q两点在圆上， 所以 21xy 把（*）代入，得 21214()xy ， 所以 1785y， 所以 直线 l的斜率 159MPk， 即 159k 13 分 19.（本小题满分 14 分） 设函数 2()1ln()fxx （I）求 的单调区间； （II）当 0a2 时，求函数 2()1gxfax在区间 03， 上的最小值 解：（I）定义域为 (1, ()2)1fxx 令 (0，则 20，所以 2x或 0 因为定义域
13、为 (1,)，所以 0x 令 )0fx，则 2，所以 2x 因为定义域为 (,)，所以 1 所以函数的单调递增区间为 (0,)，单调递减区间为 (1,0) 7 分 （ II） ()2)ln(1)gxax （ 1） 2a 因为 0a2，所以 0， 令 ()0gx 可得 2xa 所以函数 在 (,)上为减函数，在 (,)2a上为增函数 当 3a，即 3时， 在区间 0， 上， ()gx在 0,)2a上为减函数，在 (,3)a上为增 函数 所以 min()lnx 当 32a，即 a时， ()gx在区间 (0)， 上为减函数 所以 min()()62l4gx 综上所述，当 0时， min2()lxa；
14、 当 32a时， i63n4g 14 分 20.（本小题满分 13 分） 已知函数 ()1fx，数列 n中， 1a， 1()nnfa*)N当 a取不同 的值时，得到不同的数列 na，如当 时，得到无穷数列 1，3 ， 5， ；当2a 时，得到常数列 2,2,2，；当 2时，得到有穷数列 2，0 （）若 30，求 的值； （）设数列 nb满足 1， 1()nbf*N求证：不论 a取 nb中的任何数， 都可以得到一个有穷数列 na； （）如果当 2n时，都有 53，求 的取值范围 解：（）因为 30a，且 321a， 所以 同理可得 123a，即 3 分 （）证明：假设 a为数列 nb中的第 *()iN项，即 1ib；则211()iiff ；3 2)ii ； 121()(iiaffb ；10iiifa ， 即 1()20iifaf。 故不论 取 nb中的任何数，都可以得到一个有穷数列 na 8 分 （）因为 212()affa，且 253a， 所以 3 又因为当 5n时， 15n， 即 13na， 所以 当 31a时，有 53na 13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）
