1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数学试卷 （理科） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 ） 1已知全集为 R，集合 A=x|（ ） x1，B=x|x2，A （ RB）=（ ） A0，2） B0，2 C （1，2） D （1，2 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A2+i B2 i C1+2i D12i 3下列说法中正确的是（ ） A命题“若 x y，则 xy”的逆命题是“若xy，则 xy” B若命题 P：xR，x 2+10，则P ：xR ，x 2+10 C设
2、 l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 D设 x，yR，则“ （xy）x 20”是“ xy”的必要而不充分条件 4设随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，若 P（X4）=P（X0） ，则 =（ ） A2 B3 C9 D1 5已知 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 6为了得到函数 y=3cos2x 的图象，只需把函数 y=3sin（ 2x+ ）的图象上所有的点（ ） A向右平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D向左平行移动 个单位长度 7已知 f（x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x（0，2时，f（x）=2 x+l
3、og2x，则 f A2 B C2 D5 8函数 f（x）=3cosxln（x 2+1）的部分图象可能是（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足 AFB= 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 的最大值是（ ） A B C D 10已知函数 f（x）= x3 ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值，在 x2 处取得极小值，满足 x1（1 ，0） ，x 2（0，1） ，则 的取值范围是（ ） A （0，2） B （1，3） C0，3 D1，3 二、填空题：本大题共 5 小题，每
4、小题 5 分，共 25 分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 11已知函数 y=2sinx（ ）的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，那 么此封闭图形的面积为_ 12如图给出的是计算 + + + 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 _ 13将边长为 2 的正ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 BADC，则三棱锥 BACD 的外接球的表面积为_ 第 3 页（共 21 页） 14若多项式 ，则 a9=_ 15已知函数 f（x）= x +2e 有且只有一个零点，则 k=_ 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 75 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 16已知向量
5、，函数 （1）若 ，求 cos2x 的值； （2）在ABC 中，角 A，B，C 对边分别是 a，b，c ，且满足 ，求 f（B）的取值范围 17甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得 3 分， 负者得 0 分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜 丙的概率为 （1）求甲获第一名且丙获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲得分为 ，求 的分布列和数学期望 18在如图所示的空间几何体中，平面 ACD平面 ABC，ACD 与ACB 是边长为 2 的 等边三角形，BE=2 ，BE 和平面 ABC 所成的角为 60，且点 E 在平面 ABC 上
6、的射影落在 ABC 的平分线上 （1）求证：DE平面 ABC； （2）求二面角 EBCA 19已知数列a n是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 （）求数列a n的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 2n 项和 T2n 20已知函数 f（x）= 在点（ 1，f （ 1） ）的切线方程为 x+y+3=0 第 4 页（共 21 页） （I）求函数 f（x）的解析式； （II）设 g（x）=lnx，当 x1，+）时，求证：g（x）f（x） ； （III）已知 0 ab，求证： 21已知椭圆的焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4y 的焦点，离心率 ， 过椭圆的右焦点 F
7、作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B 两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点 M（m，0）是线段 OF 上的一个动点，且 ，求 m 的取值范围； （3）设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 C、B、N 三 点共线？若存在，求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 第 5 页（共 21 页） 2015-2016 学年山东省临沂市临沭县高三（上）期末数 学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的 ） 1已知全集为 R，集合 A=
8、x|（ ） x1，B=x|x2，A （ RB）=（ ） A0，2） B0，2 C （1，2） D （1，2 【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】求出集合 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 的补集，即可确定出所求的集合 【解答】解：由集合 A 中（ ） x1，得到 x0，即 A=0，+） ， B=x|x2， （ RB）=x |x2= （， 2） ， 则 A（ RB） =0，2） ， 故选：A 2复数 z= 的共轭复数是（ ） A2+i B2 i C1+2i D12i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则复数 z= 的共轭复数可求 【解答】
9、解：z= = ， 则复数 z= 的共轭复数是：1+2i 故选：C 3下列说法中正确的是（ ） A命题“若 x y，则 xy”的逆命题是“若xy，则 xy” B若命题 P：xR，x 2+10，则P ：xR ，x 2+10 C设 l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 D设 x，yR，则“ （xy）x 20”是“ xy”的必要而不充分条件 【考点】命题的真假判断与应用 第 6 页（共 21 页） 【分析】运用命题：若 p 则 q 的逆命题：若 q 则 p，即可判断 A； 由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断 B； 运用面面平行的判定定理：同垂直于一条直线的两个平面平行，即可判断 C
10、； 运用充分必要条件的判断，即可判断 D 【解答】解：对于 A命题“若 xy，则 xy”的逆命题是“ 若 xy，则 xy” ，则 A 错误； 对于 B若命题 P：xR，x 2+10，则P ：xR ，x 2+10，则 B 错误； 对于 C设 l 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 l，l，由线面垂直的性质定 理， 垂直于同一直线的两平面平行，则有 ，则 C 正确； 对于 D设 x，yR， “（xy）x 20”可推出“ xy”，但反之，不成立，比如 x=0， 则为充分不必要条件，则 D 错误 故选：C 4设随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，若 P（X4）=P（X0） ，则 =（ ）
11、A2 B3 C9 D1 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】由题意和正态曲线的对称性可得 【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（， 2） ，且 P（X4）=P（X0） ， 由正态曲线的对称性可得曲线关系 x=2 对称，故 =2， 故选：A 5已知 ，则向量 的夹角为（ ） A B C D 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】求出 ，代入夹角公式计算 【解答】解： （ ）= =4， = 4=3 cos = = = = 故选：A 6为了得到函数 y=3cos2x 的图象，只需把函数 y=3sin（ 2x+ ）的图象上所有的点（ ） 第 7 页（共 21 页） A向右平行移
12、动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度 C向左平行移动 个单位长度 D向左平行移动 个单位长度 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【分析】由条件根据诱导公式、函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】解：函数 y=3cos2x=3sin（2x+ ） ，把函数 y=3sin（2x+ ）的图象上所有的点 向左平行移动 个单位长度， 可得函数 y=3sin2（x+ ）+ =3sin（2x+ ） 的图象， 故选：D 7已知 f（x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x（0，2时，f（x）=2 x+log2x，则 f A2 B C2 D5 【考点】函数的周期性
13、【分析】利用函数的周期性及奇偶性即得 f，代入计算即可 【解答】解：f（x）的周期为 4，2015=4 5041， f， 又 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 所以 f=21log21=2， 故选：A 8函数 f（x）=3cosxln（x 2+1）的部分图象可能是（ ） A B C D 【考点】函数的图象 【分析】由函数解析式判断函数的性质，从而利用排除法求解即可 【解答】解：易知函数 f（x） =cosxln（x 2+1）是偶函数， 故排除 B、D； ln（x 2+1）0，cosx 有正有负； 故排除 C； 故选：A 第 8 页（共 21 页） 9抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，
14、准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足 AFB= 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 的最大值是（ ） A B C D 【考点】抛物线的简单性质 【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得 2|MN|=a+b再 由余弦定理得|AB| 2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得 的最大 值 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A 、B 在准线上的射影点分别为 Q、P ， 连接 AQ、BQ 由抛物线定义，得|AF|= |AQ|且|BF|=|BP|， 在梯形 ABPQ 中根据中位线定理，得 2|MN|=|AQ|+
15、|BP|=a+b 由余弦定理得|AB| 2=a2+b22abcos =a2+b2+ab， 配方得|AB| 2=（a+b） 2ab， 又ab（ ） 2， （a+b） 2ab（a+b） 2（ ） 2= （a+b） 2 得到|AB| （a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故选 C 10已知函数 f（x）= x3 ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值，在 x2 处取得极小值，满足 x1（1 ，0） ，x 2（0，1） ，则 的取值范围是（ ） A （0，2） B （1，3） C0，3 D1，3 第 9 页（共 21 页） 【考点】函数在某点取得极值的条件 【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为
16、负，极小值点左边导数为负右边导数为正得 a，b 的约束条件，据线性规划求出最值 【解答】解：f（x）= x3 ax2+bx+c， f（x）=x 2+ax+b 函数 f（x）在区间（1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值， f（x）=x 2+ax+b=0 在（1，0）和（0，1）内各有一个根， f（0）0，f（ 1）0，f （1）0 即 ， 在 aOb 坐标系中画出其表示的区域，如图， =1+2 ， 令 m= ，其几何意义为区域中任意一点与点（ 2，1）连线的斜率， 分析可得 0 1， 则 1 3 的取值范围是（1，3） 故选 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共
17、25 分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 11已知函数 y=2sinx（ ）的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形，那 么此封闭图形的面积为 4 第 10 页（共 21 页） 【考点】定积分在求面积中的应用 【分析】画出函数 y=2sinx（ ）的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形， 相当于由 x= ，x= ，y=0，y=2 围成的矩形面积，即可求出封闭图形的面积 【解答】解析：数形结合，如图所示 y=2sinx 的图象与直线 y=2 围成的封闭平面图形面积相当于由 x= ，x= ，y=0，y=2 围 成的矩形面积，即 S=4 故答案：4 12如图给出的是计算 + + + 的值
18、的程序框图，其中判断框内应填入的是 i2014 【考点】程序框图 【分析】根据流程图写出每次循环 i，S 的值，和 + + + 比较即可确定退出循环 的条件，得到答案 【解答】解：根据流程图，可知 第 1 次循环：i=2，S= ； 第 2 次循环：i=4，S= ； 第 11 页（共 21 页） 第 3 次循环：i=6，S= ； 第 1007 次循环：i=2014 ，S= + + + ； 此时，设置条件退出循环，输出 S 的值 故判断框内可填入 i2014 故答案为：i2014 13将边长为 2 的正ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角 BADC，则三棱锥 BACD 的外接球的表面积为
19、 5 【考点】与二面角有关的立体几何综合题 【分析】根据题意可知三棱锥 BACD 的三条侧棱 BD、DC、DA 两两互相垂直，所以它的 外接球就是它扩展为长方体的外接球，由此可得三棱锥 BACD 的外接球的表面积 【解答】解：根据题意可知三棱锥 BACD 的三条侧棱 BD、DC 、DA 两两互相垂直， 所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 长方体的对角线的长为： = ， 球的直径是 ，半径为 ， 三棱锥 BACD 的外接球的表面积为：4 =5 故答案为：5 14若多项式 ，则 a9= 10 【考点】二项式定理的应用 【分析】先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出（x+1） 9 的系
20、数 【解答】解：x 3+x10=x3+（x+1）1 10， 题中 a9（x+1） 9 只是（x+1） 110 展开式中（x+1） 9 的系数 故 a9=C101（1） 1=10 故答案为：10 15已知函数 f（x）= x +2e 有且只有一个零点，则 k= +e2 第 12 页（共 21 页） 【考点】函数零点的判定定理 【分析】可化为 k= x2+2ex 有且只有一个解，再令 g（x）= x2+2ex，求导 g（x） = ，从而判断函数的单调性及最值，从而解得 【解答】解：函数 f（x）= x +2e 有且只有一个零点， 方程 x +2e=0 有且只有一个解， x2k+2ex=0 有且只有
21、一个解， 即 k= x2+2ex 有且只有一个解， 令 g（x）= x2+2ex， g（x）= ， 故当 x（0，e ）时，g （x）0，当 x（e ，+）时，g （x）0； 故 g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+ ）上是减函数； 而 g（e）= e2+2e2= +e2， 故 k= +e2， 故答案为： +e2 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 75 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 16已知向量 ，函数 （1）若 ，求 cos2x 的值； （2）在ABC 中，角 A，B，C 对边分别是 a，b，c ，且满足 ，求 f（B）的取值范围 【考点】平面向量数量积的运算；正弦
22、定理；余弦定理 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简 = = ，从而可得 ，从而解得； 第 13 页（共 21 页） （2）化简可得 ，从而可得 ，从而解得 【解答】解：（1） = = ， ， ， ， ， = = ； （2）由 得， ， ， ， ， 故 17甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场每场比赛胜者得 3 分， 负者得 0 分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜 丙的概率为 第 14 页（共 21 页） （1）求甲获第一名且丙获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲得分为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散
23、型随机变量的期望与方差 【分析】 （1）甲获第一表示甲胜乙且甲胜丙，这两个事件是相互独立事件，根据相互独立 事件同时发生的概率得到结果丙获第表示丙胜乙，根据对立事件的概率知概率，甲获第 一名且丙获第二名的概率根据相互独立事件同时发生的概率得到结果 （2）由题意知 可能取的值为 O、3、6，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发 生的概率和互斥事件的概率公式，写出变量的概率，写出分布列和期望 【解答】解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙， 甲获第一的概率为 丙获第二，则丙胜乙，其概率为 甲获第一名且丙获第二名的概率为 （2） 可能取的值为 O、3、6 甲两场比赛皆输的概率为 P（=0 ）=
24、甲两场只胜一场的概率为 甲两场皆胜的概率为 的分布列是 0 3 6 P 的期望值是 E= + = 18在如图所示的空间几何体中，平面 ACD平面 ABC，ACD 与ACB 是边长为 2 的 等边三角形，BE=2 ，BE 和平面 ABC 所成的角为 60，且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ABC 的平分线上 （1）求证：DE平面 ABC； （2）求二面角 EBCA 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （1）由题意知，ABC，ACD 都是边长为 2 的等边三角形，取 AC 中点 O，连 接 BO，DO，推导出 DO平面 ABC，作 EF
25、平面 ABC，则 EFDO ，F 落在 BO 上， EBF=60，从而四边形 DEFO 是平行四边形，进而 DEOF，由此能证明 DE平面 ABC （2）以 OA，OB，OD 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出 二面角 EBCA 的余弦值 【解答】证明：（1）由题意知，ABC，ACD 都是边长为 2 的等边三角形， 取 AC 中点 O，连接 BO，DO ， 则 BOAC ，DOAC ， 又平面 ACD平面 ABC， DO平面 ABC，作 EF平面 ABC， 那么 EFDO，根据题意，点 F 落在 BO 上， BE 和平面 ABC 所成的角为 60， EBF
26、=60， BE=2，EF=DO= ， 四边形 DEFO 是平行四边形， DEOF ， DE 不包含于平面 ABC，OF平面 ABC， DE平面 ABC （2）以 OA，OB，OD 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， B（0， ，0） ，C（ 1，0，0） ，E（0， ， ） ， =（ 1， ，0） ， =（0， 1， ） ， 平面 ABC 的一个法向量为 =（0，0，1） ， 设平面 BCE 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则 ，取 z=1，得 =（3， ，1） ， cos = = = ， 又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 二面角 EBCA 的余弦值为
27、 第 16 页（共 21 页） 19已知数列a n是首项为正数的等差数列，数列 的前 n 项和为 （）求数列a n的通项公式； （）设 ，求数列b n的前 2n 项和 T2n 【考点】数列的求和 【分析】 （I）利用等差数列的通项公式即可得出； （II）由题意知， ，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】解：（I）设数列a n的公差为 d， 令 n=1，得 ，所以 a1a2=3 令 n=2，得 ，所以 a2a3=15 解得 a1=1，d=2，所以 an=2n1 （II）由题意知， ， 所以 =（121）+（ 231）+ （341）+（45 1）+2（n1）2n1+2n（2n+2）
28、1 =4+8+4n= 第 17 页（共 21 页） 20已知函数 f（x）= 在点（ 1，f （ 1） ）的切线方程为 x+y+3=0 （I）求函数 f（x）的解析式； （II）设 g（x）=lnx，当 x1，+）时，求证：g（x）f（x） ； （III）已知 0 ab，求证： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （I）将切点横坐标代入切线方程，求出切点，得到关于 a，b 的等式，求出 f（x） 的导数，将 x=1 代入导函数，令得到的值等于切线的斜率 1； （II）将要证的不等式变形，构造新函数 h（x） ，求出其导函数，判断出其符号，判断出 h（
29、x）的单调性，求出 h（x）的最小值，得到要证的不等式； （III）将要证的不等式变形，转化为关于 的不等式，利用（II）得到的函数的单调性， 得到恒成立的不等式，变形即得到要证的不等式 【解答】解：（）将 x=1 代入切线方程得 y=2， f（ 1）= =2， 化简得 ba=4， f（x）的导数为 f（x）= ， f（ 1）= =1， 解得：a=2，b= 2 f（x）= ； （）证明：lnx 在 1，+ ）上恒成立， 即为（x 2+1）lnx2x2， 即 x2lnx+lnx2x+20 在1，+）上恒成立 设 h（x）=x 2lnx+lnx2x+2，h（x）=2xlnx+x+ 2， x1， 第
30、 18 页（共 21 页） 2xlnx0，x+ 2， 即 h（x）0， h（x）在1，+）上单调递增，h（x）h（1）=0， g（x）f（x）在 x1，+）上恒成立； （）证明：0ab， 1， 由（）知有 ln ， 整理得： 当 0ab 时， 21已知椭圆的焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4y 的焦点，离心率 ， 过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B 两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点 M（m，0）是线段 OF 上的一个动点，且 ，求 m 的取值范围； （3）设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得
31、C、B、N 三 点共线？若存在，求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （1）设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求 得椭圆的一个顶点，即 b，利用离心率求得 a 和 c 关系进而求得 a，则椭圆的方程可得 （2）设直线 l 的方程为 y=k（ x2） （k0） ，代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量 积公式，即可求得 m 的取值范围； （3）确定直线 BC 的方程，令 y=0，结合 A，B 在 l 的方程 y=k（x2）上，即可求得结 论 【解答】解：（1）设椭圆 C 的方程为 （a b0） ，
32、抛物线方程化为 x2=4y，其焦点为（0，1）则椭圆 C 的一个顶点为（0，1） ，即 b=1 由 e= = ，a 2=5， 第 19 页（共 21 页） 所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1； （2）由（1）得 F（2，0） ，则 0m 2 设直线 l 的方程为 y=k（x 2） （k0） ，代入椭圆方程，消去 y 可得（5k 2+1） x220k2x+20k25=0 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= y 1+y2=k（x 1+x24） ，y 1y2=k（x 1x2） =0 （x 1+x22m） （x 2x1）+（y 2y1） （y 1+y2）=0 =0 当 时， ； （3）在 x 轴上存在一个定点 N，使得 C、B、N 三点共线 由题意 C（x 1， y1） ，直线 BC 的方程为 令 y=0，则 x= A，B 在 l 的方程 y=k（x2 ）上 y 1=k（x 12） ，y 2=k（x 22） 第 20 页（共 21 页） x= = = = 在 x 轴上存在一个定点 N（ ，0） ，使得 C、B、N 三点共线 第 21 页（共 21 页） 2016 年 9 月 30 日
