1、高一数学第一学期期末学科竞赛 试题 （本 试卷满分 150 分，用 时 120 分钟） 一、选择题（本题共 6 个小题，每小题 5 分满分 30 分） 1、若关于 x 的方程 有负数根，则实数 a 的取值范围为 （ ax3207 ） A、 B、 2(,)(5,)33(,)(5,)4 C、 D、 2 2、已知 的小数部分为 a，则 的小数部分为 （ lgx21lgx ） A、 的小数部分 B、 的小数部分 a 12a C、 的小数部分 D、以上都不正确 3、过空间一定点 P 的直线中，与长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的 直 线共有 （ ） A、0 条 B、1
2、 条 C、4 条 D、无数多条 4、已知集合 是集合 的子集，且对任意 ，都有 ，则集合 中0,2 xBx2 的元素最多有 （ ） A、67 个 B、68 个 C、69 个 D、70 个 5、已知P 为直线y = x + 1 上的一点,M、N 分别为圆C 1: ( x - 4) 2 + ( y - 1) 2 = 4 与圆C 2 : x2 + ( y - 2) 2 = 1 上的点. 则| PM| -| PN| 的最大值为 （ ） A、 4 B、 5 C、 6 D、 7 6、在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 的圆形硬币总可以盖住其中的 23 个点，则 n 的最小值是 （ ）
3、A、17 B、16 C、11 D、10 二、填空题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分） 7、已知函数 ，设 ， ， ，其中 0z _。 8、已知实数 x、y 满足 ，则 _ 5154xxy 9、用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架 能容纳得下的最大球的半径为 ，能包容此框架的最小球的半径为 ，则 等于 1R2R1 10、若关于 x 的方程 有正数解，则实数 a 的取值范围为_( 2，0)(log2ax _。 11、已知集合 A=(x，y)| x2+y22xcos+2(1+sin)(1y)=0， R，B=(x ，y)| y=kx+3，
4、kR若 AB 为单元素集，则 k=_ _.3 12、对于实数 x，当且仅当 nxn1（nN ）时，规定xn，则不等式 的解集为 0453642 12、解 得 ，故 所以253x7x82x 13、在ABC 中，AB ，AC ，BC ，有一个点 D 使得 AD 平分 BC 并且61 ADB 是直角，比值 能写成 的形式，这里 m,n 是互质的正整数，则ABCDSnm mn 13、设 BC 中点为 E，AD ，由中线公式得 AE2x257 故 ，2 )()15()30( 16x 所以 mn273865n387ADSEB 14、对任意实数x、y定义运算x*y 为：x*y=ax+by+cxy 其中a、b
5、、c 为常数，等式右 端运算是通常的实数的加法和乘法现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d，使得对 D B C A E 于任意实数x，都有x*d=x，则d=_ 【题说】1985 年全国联赛一试题 2(4)原题为填空题 【解】由所设条件，有 1*2=a+2b+2c=3(1) 2*3=2a+3b+6c=4(2) x*d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x(3) 由(3)得 a+cd=1(4) bd=0(5) 因d0，故由(5)式得b=0再解方程(1)及(2)，得a=5，c=-1，最 后由(4)式得d=4 三、解答题（本题共 4 小题，每小题 20 分，满分 8 0 分，解答应
6、写出文字说明，演算步骤 或证明过程） 15、设 a0，函数 f : (0，) R 满足 f（a）1如果对任意正实数 x，y 有 ， 2xfyfxyx 求证： f（x）为常数 （朱华伟提供） 证： 在中令 xy 1，得 f2（1）f 2（a）2 f（1） ， （f（ 1）1） 20， f（1）1。 在中令 y1 ，得 f（x）f （1）f（ ）f（a）2 f（x） ， f（x）f（ ） ，x0。 在中取 y ，得ax f（x）f （ ）f（ ）f（x）2 f （a） ，a f（x）f（ ）1。 由， 得： f2（x）1，x0。 在中取 xy ，得t f2（ ）f 2（ ）2 f （t ） ，ta
7、t f（t）0。 故 f（x）1，x0。 14.(20 分) 如图,四边形 内接于圆, 是 的中点,ABCDPAB , , , 是线段 和 的交点,求证:PEADFPGMGEF .M 证:作 , ( 为垂足)11E1F 则 .设 PG2 K M F 1 E1 P C A B D E F G k,因 共圆, .1EF1AB1CFEAC 故 是 的中点.( 因 为等腰三角形),DPK1P1EF 为平行四边形,(因 P、 E、K 、F 为四边形 各边中点). .(对角线PK1BM 互相平分). 17、已知 、 是关于 的二次方程 的两个根，且 ，若函数x02tx 14)(2xtf （）求 的值；)(
8、ff （）对任意的正数 、 ，求证： 1x2 |2)()(| 121 xxf （13） 【解】 （）由书籍，根据韦达容不得有 ，t ，)(41)(22tf ，2 5 分)(ff （）已知函数 ，142xtf 2)1()(xtf 而且对 ， ，于是 ，,x 0t 0)(xf 函数 在 上是增函数 10)(2f, 分 注意到对于任意的正数 、1x2 ，0)(221 x 0)(2121 xx 即 ，同理 15 分 ， ，)()21fxff )(21fxff 于是 ，)()()()( 2121 ffxfxfff |21 x 而 ，|)(ff 20|2)()(| 121 xxf 分 16、8 个人参加一
9、次聚会. (1)如果其中任何 5 个人中都有 3 个人两两认识. 求证：可以从中找出 4 个人两两认识； (2)试问, 如果其中任何 6 个人中都有 3 个人两两认识, 那么是否一定可以找出 4 个人 两两认识? （苏 淳提供） 解法 1： (1) 用 8 个点表示 8 个人，相识二人之间连一线段。按图论语言，这些点称为图的顶点， 线段称为图的边。 按照题意，该图的每个 5 点子图中均有一个三角形，而每个三角形属于 10 个不同的 5 点子图。我们知道，这些三角形共有283C25 3 35616858C 条边，其中每条边至多被重复计算了 10 次。这样一来，即知：每个顶点至少连出21640 条
10、边。所以存在一个顶点 A，由它至少连出 5 条边。 假设由顶点 A 有边连向 B，C，D，E，F 这 5 个顶点，而由题意在这 5 个点中又存在一 个三角形，不妨设为BCD。于是 A，B，C ，D 这 4 个点中的任何二点之间均有连线，所 以它们所代表的 4 个人两两认识。 (2) 如果其中任何 6 个人中都有 3 个人两两彼此认识, 则不一定可以找出 4 人两两彼此 认识, 例子为: 在正八边形中连出 8 条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相 应二人相互认识. 不难验证: 其中任何 6 个人中都有 3 个人两两彼此认识, 但是却找不出 4 人两两彼此认识. 解法 2
11、： (1)分情形讨论. 情形(i)如果存在 3 个人两两互不认识. 那么其余 5 个人必然两两都认识 . 因若不然, 假 如他们之中有二人互不认识, 则在他们与原来的 3 个人一起构成的 5 人组中就找不出 3 个 人两两认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立. 情形(ii)在剩下的情形中, 任何 3 人中, 都有某两个人相互认识. (a)如果 8 个人中有 1 个人 A 至多认识 3 个人, 那么他至少不认识 4 个人. 显然这 4 个人 中的任何二人都彼此认识. 因若不然, 这两个人与 A 一起构成的 3 人组中就没有二人互相 认识, 导致矛盾. 所以此时题中结论成立. (b)如果存在
12、1 个人 A 至少认识 5 个人. 那么这 5 个人中有 3 个人两两彼此认识, 他们又 都认识 A, 所以他们与 A 一起即为所求之 4 人. 情形(iii)只需再考虑每个人都恰好有 4 个熟人, 并且任何 3 人中都有两人相互认识的情 形. 任取其中一人 A. 假如 A 的 4 个熟人两两认识, 那么他们即为所求 . 否则, 其中就有 B,C 二人互不认识. 易知, 此时 A 有 3 个不认识的人 F,G.,H, 而这 3 个人中的任何两人都与 A 构成 3 人组, 所以 F,G.,H 中的任何两人都相互认识. 如果 B,C 之一与 F,G.,H 中的每个人都 彼此认识,那么此人与 F,G
13、.,H 一起构成所求的 4 人组. 否则, B,C 二人分别不认识 F,G.,H 中 的一个人. 易知, B 和 C 不可能不认识他们中的同一个人 , 否则该人与 B,C 所成的 3 人组中 任何二人均互不认识, 导致矛盾. 这就表明, B 和 C 分别不认识 F,G.,H 中的两个不同的人, 不妨设 B 不认识 F, 而 C 不认识 G. 现在把 B,F,A,G,C 依次排在一个圆周上 , 于是任何两个 相邻放置的人都互不认识. 然而他们中的任何三个人中都一定有在圆周上相邻的两个人, 从 而在他们之中找不到 3 个人两两认识, 导致矛盾, 所以这种情况不可能存在. 综合上述, 在一切可能的情况下, 都能找出 4 个人两两都彼此认识. (2) 如果其中任何 6 个人中都有 3 个人两两彼此认识, 则不一定可以找出 4 人两两彼此 认识, 例子为: 在正八边形中连出 8 条最短的对角线. 每个顶点代表一个人, 有线段相连的顶点表示相 应二人相互认识. 不难验证: 其中任何 6 个人中都有 3 个人两两彼此认识, 但是却找不出 4 人两两彼此认识.
