1、2015-2016 学年湖北省武汉市部分学校联考九年级（上）期末数 学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1将方程 x28x=10 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为 1，一次项系数、常 数项分别是( ) A8、 10 B 8、10 C8、 10 D8、10 2如图汽车标志中不是中心对称图形的是( ) A B C D 3袋子中装有 10 个黑球、1 个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个 球，则( ) A这个球一定是黑球 B摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C这个球可能是白球 D事先能确定摸到什么颜色的球 4抛物线 y=3（x1） 2+2
2、的对称轴是( ) Ax=1 Bx= 1 Cx=2 Dx= 2 5一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头 看信号灯时是绿灯的概率是( ) A B C D 6如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知 BOD=100，则 BCD 的度数为( ) A50 B80 C100 D130 7圆的直径为 10cm，如果点 P 到圆心 O 的距离是 d，则( ) A当 d=8cm 时，点 P 在 O 内 B当 d=10cm 时，点 P 在 O 上 C当 d=5cm 时，点 P 在O 上 D当 d=6cm 时，点 P 在O 内 8某种植物的主干长出若干数
3、目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干 和小分支的总数是 13，则每个支干长出( ) A2 根小分支 B3 根小分支 C4 根小分支 D5 根小分支 9关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是( ) Am3 Bm3 Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 10如图，扇形 OAB 的圆心角的度数为 120，半径长为 4，P 为弧 AB 上的动点， PMOA，PNOB，垂足分别为 M、N，D 是 PMN 的外心当点 P 运动的过程中，点 M、N 分别在半径上作相应运动，从点 N 离开点 O 时起，到点 M 到达点 O 时止，点 D 运 动的路
4、径长为( ) A B C2 D2 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是_ 12如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次当转盘停止转动时，指针 指向大于 5 的数的概率为_ 13某村种的水稻前年平均每公顷产 7 200kg，今年平均每公顷产 8 450kg设这两年该村 水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，根据题意，所列方程为_ 14在直角坐标系中，将抛物线 y=x22x 先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所 得新抛物线的解析式为_ 15如图，要拧开一个边长为 a=12mm 的六角形螺
5、帽，扳手张开的开口 b 至少要 _mm 16我们把 a、b、c 三个数的中位数记作 Z|a，b，c|，直线 y=kx+ （k0）与函数 y=Z|x21，x+1， x+1|的图象有且只有 2 个交点，则 k 的取值为_ 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17已知 3 是一元二次方程 x22x+a=0 的一个根，求 a 的值和方程的另一根 18有 6 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1、2、3、4、5、6 （1）一次性随机抽取 2 张卡片，用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数” 的概率 （2）随机摸取 1 张后，放回并混在一起，再随机抽取 1 张，直接写出“第二次取出的数字
6、 小于第一次取出的数字”的概率 19如图，AB 为 O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E （1）求证：AC 平分DAB （2）连接 CE，若 CE=6，AC=8 ，直接写出 O 直径的长 20如图，正方形 ABCD 和直角ABE，AEB=90，将ABE 绕点 O 旋转 180得到 CDF （1）在图中画出点 O 和CDF，并简要说明作图过程； （2）若 AE=12，AB=13 ，求 EF 的长 21图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，建立如图所示的平面直角坐 标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面
7、下降 1m 时，则水面的宽度为多少？ 22用一段长 32m 的篱笆和长 8m 的墙，围成一个矩形的菜园 （1）如图 1，如果矩形菜园的一边靠墙 AB，另三边由篱笆 CDEF 围成 设 DE 等于 x m，直接写出菜园面积 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范 围； 菜园的面积能不能等于 110m2？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由； （2）如图 2，如果矩形菜园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成，另三边由篱笆 ADEF 围 成，求菜园面积的最大值 23如图，BAC=60 ， CDE=120，AB=AC，DC=DE，连接 BE，P 为 BE 的中点 （1）如图 1
8、，若 A、C、D 三点共线，求PAC 的度数； （2）如图 2，若 A、C、D 三点不共线，求证：AP DP； （3）如图 3，若点 C 线段 BE 上，AB=1，CD=2 ，请直接写出 PD 的长度 24问题探究： 在直线 y= x+3 上取点 A（2，4） 、B，使AOB=90，求点 B 的坐标 小明同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答： 将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90得到 OC，则点 C 的坐标为：_ 所以，直线 OC 的解析式为：_ 点 B 为直线 AB 与直线 OC 的交点，所以，点 B 的坐标为： _ 问题应用： 已知抛物线 y= 的顶点 P 在一条定直线 l 上运
9、动 （1）求直线 l 的解析式； （2）抛物线与直线 l 的另一个交点为 Q，当POQ=90时，求 m 的值 2015-2016 学年湖北省武汉市部分学校联考九年级（上） 期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1将方程 x28x=10 化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为 1，一次项系数、常 数项分别是( ) A8、 10 B 8、10 C8、 10 D8、10 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即 可 【解答】解：x 28x=10， x28x10=0， 所以一次项系数、常数项
10、分别为8、 10， 故选 A 【点评】本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，把方程换成一般形式是解此题的 关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号 2如图汽车标志中不是中心对称图形的是( ) A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、不是中心对称图形故正确； C、是中心对称图形故错误； D、是中心对称图形故错误 故选 B 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合 3袋子中装有 10 个黑球、1 个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个 球，则(
11、) A这个球一定是黑球 B摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C这个球可能是白球 D事先能确定摸到什么颜色的球 【考点】可能性的大小 【分析】根据概率公式先求出摸出黑球和白球的概率，再进行比较即可得出答案 【解答】解：布袋中有除颜色外完全相同的 11 个球，其中 10 个黑球、1 个白球， 从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为 ，摸出一个球是白球的概率为 ， A、这个球一定是黑球，错误； B、摸到黑球、白球的可能性的大小一样，错误； C、这个球可能是白球，正确； D、事先能确定摸到什么颜色的球，错误； 故选：C 【点评】此题考查了可能性大小以及概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事
12、件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 4抛物线 y=3（x1） 2+2 的对称轴是( ) Ax=1 Bx= 1 Cx=2 Dx= 2 【考点】二次函数的性质 【专题】探究型 【分析】根据二次函数的顶点式直接进行解答即可 【解答】解：令 x1=0，则 x=1 故选 A 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键 5一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头 看信号灯时是绿灯的概率是( ) A B C D 【考点】概率公式 【分析】由一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30
13、秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒， 直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒， 你抬头看信号灯时是绿灯的概率是： = 故选 C 【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比 6如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知 BOD=100，则 BCD 的度数为( ) A50 B80 C100 D130 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出BAD 的度数；然后根据圆内接四边形的 对角互补，用 180减去BAD 的度数，求
14、出BCD 的度数是多少即可 【解答】解：BOD=100 ， BAD=1002=50， BCD=180BAD =18050 =130 故选：D 【点评】 （1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握 （2）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：圆 内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相 邻的内角的对角） 7圆的直径为 10cm，如果点 P 到圆心 O 的距离是 d，则( ) A当 d=8cm 时，点 P 在 O 内 B当 d=10cm 时，点 P 在 O
15、上 C当 d=5cm 时，点 P 在O 上 D当 d=6cm 时，点 P 在O 内 【考点】点与圆的位置关系 【分析】先得到圆的半径为 5cm，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当 d5cm 时， 点 P 在O 外；当 d=5cm 时，点 P 在O 上；当 d5cm 时，点 P 在 O 内，然后对各选 项进行判断 【解答】解：圆的直径为 10cm， 圆的半径为 5cm， 当 d 5cm 时，点 P 在 O 外；当 d=5cm 时，点 P 在O 上；当 d5cm 时，点 P 在O 内 故选 C 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系， 反过来已知点到圆心距
16、离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系 8某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干 和小分支的总数是 13，则每个支干长出( ) A2 根小分支 B3 根小分支 C4 根小分支 D5 根小分支 【考点】一元二次方程的应用 【专题】应用题 【分析】设每个支干长出 x 个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是 13 列方程得到 1+x+xx=13，整理得 x2+x12=0，再利用因式分解法解方程求出 x，然后检验即可得到 x 的 值 【解答】解：设每个支干长出 x 个小分支， 根据题意得 1+x+xx=13， 整理得 x2+x12=0， 解得 x1=3，x 2
17、=4（舍去） 答：每个支干长出 3 个小分支 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意 设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答 9关于 x 的一元二次方程（m 2）x 2+2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是( ) Am3 Bm3 Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac 的意义得到 m20 且0，即 224（m 2） 10，然后解不等式组即可得到 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程（m
18、 2）x 2+2x+1=0 有实数根， m20 且 0，即 224（m2）1 0，解得 m3， m 的取值范围是 m3 且 m2 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0， 方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根 10如图，扇形 OAB 的圆心角的度数为 120，半径长为 4，P 为弧 AB 上的动点， PMOA，PNOB，垂足分别为 M、N，D 是 PMN 的外心当点 P 运动的过程中，点 M、N 分别在半径上作相应运动，从点 N 离开点 O 时起，到点 M 到达点 O 时止，点 D
19、 运 动的路径长为( ) A B C2 D2 【考点】弧长的计算；轨迹 【分析】根据题意画出点 N 离开点 O 时，到点 M 到达点 O 时的图形，得到点 D 运动的轨 迹，根据弧长公式计算即可 【解答】解：当点 N 与点 O 重合时，P OA=30，OD= OP=2， 当点 M 与点 O 重合时，POB=30 ，OD= OP=2， D 是PMN 的外心， 点 D 在线段 PM 的垂直平分线上，又 PMOA， D 为 OP 的中点，即 OD= OP=2， 点 D 运动的轨迹是以点 O 为圆心，2 为半径，圆心角为 60的弧， 弧长为： = 故选：A 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的计
20、算公式 l= 、根据题意确定点 D 的 运动轨迹是解题的关键 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 11在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3， 2） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【专题】数形结合 【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案 【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数， 点（ 3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） ， 故答案为（3，2） 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度 较小 12如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等
21、，任意转动转盘 1 次当转盘停止转动时，指针 指向大于 5 的数的概率为 【考点】概率公式 【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二 者的比值就是其发生的概率 【解答】解：共 8 个数，大于 5 的有 3 个， P（大于 5）= ； 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 13某村种的水稻前年平均每公顷产 7 200kg，今年平均每公顷产 8 450kg设这两年该村 水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，根据题意，所列方程为 7200（1+x
22、） 2=8450 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】由题意得：第一年水稻产量 7200（1+x） ，第二年水稻产量：7200（1+x） （1+x） ， 进而可得方程 7200（1+x） 2=8450 【解答】解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x，根据题意得： 7200（1+x） 2=8450， 故答案为：7200（1+x） 2=8450 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方 法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关 系为 a（1x） 2=b 14在直角坐标系中，将
23、抛物线 y=x22x 先向下平移一个单位，再向右平移一个单位，所 得新抛物线的解析式为 y=x2 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先利用配方法得到抛物线 y=x22x 的顶点坐标为（1，1） ，再根据点利用的规律得 到点（1，1）平移后所得对应点的坐标为（0，0） ，然后根据顶点式写出平移后抛物线的 解析式 【解答】解：抛物线 y=x22x=（x+1 ） 2+1，它的顶点坐标为（ 1，1） ，把点（1，1）先向 下平移一个单位，再向右平移一个单位得到对应点的坐标为（0，0） ，所以新的抛物线解析 式是 y=x2 故答案为 y=x2 【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后
24、的形状不变，故 a 不变，所 以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的 坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 15如图，要拧开一个边长为 a=12mm 的六角形螺帽，扳手张开的开口 b 至少要 12 mm 【考点】正多边形和圆 【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的 2 倍构造一个由半径、半边、边心距 组成的直角三角形，且其半边所对的角是 30 度，再根据锐角三角函数的知识求解 【解答】解：如图所示： 设正多边形的中心是 O，其一边是 AB， AOB=BOC=60， OA=OB=AB=OC=BC， 四边形 ABC
25、O 是菱形， AB=12mm，AOB=60 ， cosBAC= ， AM=12 =6 ， OA=OC，且 AOB=BOC， AM=MC= AC， AC=2AM=12 mm 故答案为：12 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识、三角函数；构造一个由半径、半边、边心距组 成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键 16我们把 a、b、c 三个数的中位数记作 Z|a，b，c|，直线 y=kx+ （k0）与函数 y=Z|x21，x+1， x+1|的图象有且只有 2 个交点，则 k 的取值为 0k 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；中位数 【专题】新定义 【分析】画出函数 y=Z
26、x21， x+1，x+1的图象，要使直线 y=kx+ （k0）与函数 y=Zx21，x+1，x+1的图象有且只有 2 个交点，只需直线经过（2，3）和经过（2， ） 之间 【解答】解：函数 y=Zx21， x+1，x+1的图象如图所示， 直线 y=kx+ （k0）与函数 y=Zx21，x+1，x+1的图象有且只有 2 个交点， 由图象可知： 当直线 y=kx+ （k0）经过点（2，3）时，则 3=2k+ ， 解得 k= ， 当直线 y=kx+ （k0）平行于 x 轴时，k=0， 直线 y=kx+ （k0）与函数 y=Zx21，x+1，x+1的图象有且只有 2 个交点，则 k 的取 值为 0k
27、故答案为 0k 【点评】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关 键 三、解答题（共 8 题，共 72 分） 17已知 3 是一元二次方程 x22x+a=0 的一个根，求 a 的值和方程的另一根 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=3 代入 x22x+a=0 可求出 a 的值，然后把 a 的 值代入方程得到 x22x3=0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根 【解答】解：将 x=3 代入 x22x+a=0 中得 326+a=0， 解得 a=3， 将 a=3 代入 x22x+a=0 中得： x22x3=0， 解
28、得 x1=3，x 2=1， 所以 a=3，方程的另一根为 1 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是 一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一 元二次方程的解也称为一元二次方程的根 18有 6 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1、2、3、4、5、6 （1）一次性随机抽取 2 张卡片，用列表或画树状图的方法求出“两张卡片上的数都是偶数” 的概率 （2）随机摸取 1 张后，放回并混在一起，再随机抽取 1 张，直接写出“第二次取出的数字 小于第一次取出的数字”的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）用列表法举出
29、所有情况，看两张卡片上的数都是偶数的情况占总情况的多少 即可； （2）画出树形图即可求出第二次取出的数字小于第一次取出的数字的概率 【解答】解：（1）依题意列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2，1 3，1 4，1 5，1 6，1 2 1，2 3，2 4，2 5，2 6，2 3 1，3 2，3 4，3 5，3 6，3 4 1，4 2，4 3，4 5，4 6，4 5 1，5 2，5 3，5 4，5 6，5 6 1，6 2，6 3，6 4，6 6，6 由上表可知，随机抽取 2 张卡片可能出现的结果有 30 个，它们出现的可能性相等，其中 “两张卡片上的数都是偶数” 的结果有 6 个， 所以 P
30、（两张卡片上的数都是偶数）= ； （2）画树形图得： 随机抽取 2 张卡片可能出现的结果有 36 个，第二次取出的数字小于第一次取出的数字有 15 种，所以其概率= = 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有 可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时 要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 19如图，AB 为 O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，AD 交O 于点 E （1）求证：AC 平分DAB （2）连接 CE，若 CE=6，AC=8
31、 ，直接写出 O 直径的长 【考点】切线的性质 【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质和已知求出 OCAD，求出 OCA=CAO=DAC，即可得出答案； （2）根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出 CE=BC=6，根据勾股定理求出 AB 即可 【解答】 （1）证明：连接 OC， CD 是O 的切线， CDOC， 又 CDAD， ADOC， CAD=ACO， OA=OC， CAO=ACO， CAD=CAO， 即 AC 平分 DAB； （2）解：CAD= CAO， = ， CE=BC=6， AB 为直径， ACB=90， 由勾股定理得：AB= = =10， 即 O 直径的长是 10 【
32、点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、 弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键 20如图，正方形 ABCD 和直角ABE，AEB=90，将ABE 绕点 O 旋转 180得到 CDF （1）在图中画出点 O 和CDF，并简要说明作图过程； （2）若 AE=12，AB=13 ，求 EF 的长 【考点】作图-旋转变换 【分析】 （1）利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）首先过点 O 作 OGOE 与 EB 的延长线交于点 G，利用正方形的性质结合全等三角形 的判定方法得出EAOGBO （ASA） ，得出GEO 为等腰直
33、角三角形，进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：连接 AC，BD，交于点 O连接 EO 并延长到点 F，使 OF=OE，连接 DF，CF， （2）如图所示：过点 O 作 OGOE 与 EB 的延长线交于点 G， 四边形 ABCD 为正方形 OA=OB，AOB=EOG=90 AOE=BOG 在四边形 AEBO 中 AEB=AOB=90 EAO+EBO=180=EBO+GBO GBO=EAO， 在 EAO 和GBO 中， EAOGBO（ASA） ， AE=BG，OE=OG GEO 为等腰直角三角形， OE= EG= （EB+BG ） = （EB+AE） = EF= 【点评】此题主要考查了旋转变
34、换以及全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性 质等知识，得出GEO 为等腰直角三角形是解题关键 21图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，建立如图所示的平面直角坐 标系： （1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水面下降 1m 时，则水面的宽度为多少？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）设出抛物线的解析式，由图中点在抛物线上，用待定系数法求出抛物线解析 式； （2）把 y=3 代入 y= x2，即可得到结论 【解答】解：（1）设这条抛物线的解析式为 y=ax2（a 0） 由已知抛物线经过点 B（2，2） ， 可得2=a2 2，有 a= ， 故抛物线的解析式为
35、y= x2 （2）当 y=3 时，即 x2=3， 解得：x= ， 故当水面下降 1m 时，则水面的宽度为 2 m 【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过 的点的坐标是解题的关键 22用一段长 32m 的篱笆和长 8m 的墙，围成一个矩形的菜园 （1）如图 1，如果矩形菜园的一边靠墙 AB，另三边由篱笆 CDEF 围成 设 DE 等于 x m，直接写出菜园面积 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范 围； 菜园的面积能不能等于 110m2？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由； （2）如图 2，如果矩形菜园的一边由墙 AB 和一节篱笆
36、BF 构成，另三边由篱笆 ADEF 围 成，求菜园面积的最大值 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）首先表设出 DC= （32x）m，进而利用矩形面积公式得出答案； 利用一元二次方程的解法结合 中自变量取值范围得出答案； （2）首先表示出 AD 的长，再利用矩形面积公式求出答案 【解答】解：（1）由题意可得：设 DE 等于 xm，则 DC= （32 x）m， 故菜园面积 y 与 x 之间的函数关系式为：y= （32x）x= x2+16x， （0x8） ； 若菜园的面积等于 110 m2，则 x2+16x=110 解得：x 1=10，x 2=22 因为 0x8，所以不能围成面积为 110m2
37、 的菜园 （2）设 DE 等于 xm，则菜园面积为： y= x（32+82x） =x2+20x =（x10） 2+100， 当 x=10 时，函数有最大值 100 答：当 DE 长为 10 m 时，菜园的面积最大，最大值为 100 m2 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意正确表示出矩形的边长是解题关键 23如图，BAC=60 ， CDE=120，AB=AC，DC=DE，连接 BE，P 为 BE 的中点 （1）如图 1，若 A、C、D 三点共线，求PAC 的度数； （2）如图 2，若 A、C、D 三点不共线，求证：AP DP； （3）如图 3，若点 C 线段 BE 上，AB=1，CD
38、=2 ，请直接写出 PD 的长度 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】 （1）延长 AP，DE，相交于点 F，利用平行线的判定定理可得 ABDE，由全等三 角形的判定可得ABPFEP，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得结果； （2）延长 AP 到点 F，使 PF=AP，连接 DF，EF，AD，首先由全等三角形的判定定理可得 BPAEPF，由全等三角形的性质可得 AC=FE，利用多边形的内角和定理可得 ACD=FED，可证得ACD FED，可得 AD=FD，可得结论； （3）连接 AP，AD，易知ACD=90，所以 AD= ，在 RtAPD 中，PAD=30 ，所以， PD= 【解答
39、】 （1）解：如图 1，延长 AP，DE ，相交于点 F， BAC=60，CDE=120 BAC+CDE=180， A， C，D 三点共线， ABDE， B=PEF， BAP=EFP， 在ABP 与 FEP 中， ， ABPFEP（AAS） ， AB=FE， AB=AC，DC=DE ， AD=DF PAC=PFE， CDE=120， PAC=30； （2）证明：如图 2，延长 AP 到点 F，使 PF=AP，连接 DF，EF，AD ， 在BPA 与 EPF 中， ， BPAEPF（SAS ） ， AB=FE， PBA=PEF， AC=BC， AC=FE， 在四边形 BADE 中，BAD+ADE
40、+ DEB+EBA=360， BAC=60，CDE=120， CAD+ADC+DEB+EBA=180 CAD+ADC+ACD=180， ACD=DEB+EBA， ACD=FED， 在ACD 与 FED 中， ， ACDFED（SAS ） ， AD=FD， AP=FP， APDP； （3）解：连接 AP，AD， BAC=60，AB=AC， ABC 为等边三角形， ACB=60， DC=DE，CDE=120， DCE=30， ACD=90， AB=AC=1，CD=2， AD= ， 由（2）知，AP PD， A、 C、P、D 四点共圆， PCD=30， PAD=30， 在 RtAPD 中，PAD=3
41、0， PD= 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等，作出恰当 的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键 24问题探究： 在直线 y= x+3 上取点 A（2，4） 、B，使AOB=90，求点 B 的坐标 小明同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答： 将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90得到 OC，则点 C 的坐标为：（4，2） 所以，直线 OC 的解析式为：y= x 点 B 为直线 AB 与直线 OC 的交点，所以，点 B 的坐标为： （3， ） 问题应用： 已知抛物线 y= 的顶点 P 在一条定直线 l 上运动 （1）求直线 l 的解析式； （2）抛物
42、线与直线 l 的另一个交点为 Q，当POQ=90时，求 m 的值 【考点】二次函数综合题 【分析】根据旋转的性质，可得 OA 与 OC 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得 C 点坐标，根据待定系数法，可得 OC 的解析式，根据联立 AB 与 OC，可得方程组，根据 解方程组，可得 B 点坐标； （1）根据配方法，可得 P 点坐标，根据 P 点横坐标与纵坐标的关系，可得直线 l 的解析式； （2）根据联立抛物线与直线 l，可得方程组，根据解方程组，可得 P，Q 点的坐标，根据 旋转的性质，可得 K 点坐标，根据待定系数法，可得 OK 的解析式，根据联立 OK 与直线 l，可得方程组，根据解
43、方程组，可得 m 的值 【解答】解：如图 1 ， 将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90得到 OC， 在OAD 和OCD 中， ， OADOCD（AAS） ， CE=AD=2，OE=OD=4， 点 C 的坐标为：（ 4，2 ） ； 直线 OC 的解析式为：y= x； 联立 OC 与 AB，得 ， 解得 ， 点 B 的坐标为：（ 3， ） ； 故答案为：（4，2） ， （ 3， ） （1）抛物线 y= x2+ mx m2+ m+ = （ x22mx+m2）+ m+ = （x m） 2+ m+ 所以，顶点 P 的坐标为（m ， m+ ） ， 点 P 在直线 y= x+ 上运动 即直线 l 的解析
44、式为：y= x+ （2）因为，点 P，Q 为直线 l 与抛物线的交点， 所以 ， 加减消元，得 x+ = （xm） 2+ m+ 解之，得，x 1=m，x 2=m3 所以，P 的坐标为（m ， m+ ） ，Q 的坐标为（m 3， ） 将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 90得到 OK，得 点 K 的坐标为：（ m ，m） ； 所以，直线 OK 的解析式为：y= x ； 因为当POQ=90 时，点 Q 在直线 OK 上 联立，得 （ m+2）= （m3） 解得 m=1 抛物线与直线 l 的另一个交点为 Q，当POQ=90时，m 的值是 1 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用线段旋转的性质得出 OC=OA 是解题关键，又 利用全等三角形的性质得出 C 点坐标，再利用解方程得出 B 点坐标；利用配方法得出顶点 坐标所在直线是解题关键
