1、高三数学第一学期期末抽查试卷 一、填空题： 1 函数 的定义域为 。xy54log.05,4 2 已知集合 ，则集合 。MaNM2,21 N2,0 3 函数 的最小正周期是 。xysinc 4 设复数 ，则 。iw2312w0 5 函数 的最大值为 。Rxycossin5 6 方程 的解是 。021lg3lo22 x 217x或 7 已知数列 的前 项和 ，则 的最小值为 （结果用数值表示） 。nanSnS0 8 将名教师分配到所中学任教，每所中学至少名教师，则不同的分配方案共有 种。36 9 已知直线 过点 ，当直线 与圆 有两个公共点时，其斜率 的取值范围是l0,2lxy22k 。4, 1
2、0、计算： 。 （其中 为虚数单位）112limnnni5i 11、设双曲线 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列（公差不为零） ，则双曲线一个可0,2bayx 能的方程为 。169 12、关于 的方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 。xax52 a4,0 13、若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是 。pf,1p,1 14、对任意实数 ，定义运算 ，其中 为常数，等号右边的运算是通常意义的加、yx, cxybyx*cb, 乘运算。现已知 ，且有一个非零实数 ，使得对任意实数 ，都有 ，则 。6324*mxxm*5 二、选择题： 15、函数 的反函数是 （ B ）1xy 、
3、、 、 D、22122xxy 12xy 12xy 16、点 P 从 出发，沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 的坐标为 （ A ）0, 12yx32 A、 B、 C、 D、23, ,3,121,3 17、 中，若 ，则 为 （ C ）BCAcosin A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 18、已知 ，则数列 的通项公式 等于 （ D ）nnaa11, nana A、 B、 C、 D、2 12n 三、解答题 19、解不等式组： 2130862x 解： 。 5,42,1540154xx或 20、已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且 ，求数列 的通项公na
4、1nnS,211nSn na 式。 解： ，两式相减，得 ，525211 SSnnn 1211 nnnna 。311naa 21、已知函数 ZkRxxkxkxf ,23sin26cos26cos （1）求函数 的最小正周期；f （2）求函数 在 上的值域。xf85,6 解：（1） xxkxkf 23sin23cos23cos cos46si4in2 函数 的最小正周期 。xfT （2） ， ， ， 。85,645,32x21,cosx2,4cosxf 22、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为 ，贷款的利率0k 为 6%，又银行吸收的存款能全部放贷出去。
5、（1）若存款的利率为 ，试分别写出存款数量 及银行应支付给储户的利息 与存款利率06.,xxgxh 之间的关系式；x （2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？ 解：（1）存款量 ，银行应支付的利息 。xgkxh2kx （2）设银行可获得收益为 ，则 ，y 222 03.06.06.06. kxk 当且仅当 ，即 时取到最大值。x06. .,3. 答：当存款利率定为 时，银行可获得最大收益。% 23.已知 抛物线 M 的方程为baba 02cossin,2cossin2 242xy （1）求抛物线 M 的准线 的方程；l （2）求证：对任意 ，经过两点 的直线与一定圆 C 想切，并求出圆
6、C 的方程；Rb,2,a （3）设 AB 为定圆 C 的任意一条被直线 平分的弦，求证：所有这些弦所在的直线都与某一条抛物线有且仅有一l 个公共点。 （1）解：抛物线 M 的准线 的方程为 ，即 。l1xx （2）证明： ，baba 02cossin,02cossin2 经过两点 的直线方程为 ,biny 原点到这条直线的距离 ， 定圆 C 的方程为 。2sico2d 42yx （3）证明：设 AB 与直线 的交点为 ，则 ，AB 的方程为 ，ltN,1tkAB1012tty 由题意设抛物线方程为 ，把 代入 AB 的方程，得02xny02xny ，由 ，得 ，1022xttyn1,40 即所
7、有这些弦所在的直线都与抛物线 有且仅有一个公共点。2xy 24.已知函数 且,2Rxxf （1）求 的单调区间；f （2）若函数 与函数 在 时有相同的值域，求 的值；axxg2f1,0xa （3）设 ，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得a,532ah 1,0x1,0x 成立，求 的取值范围。10xfha 解：（1） ，4222 xxf 易得 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 。xf ,0, 4,2,0 （2） 在 上单调递减，其值域为 ，即 ， 。1,00,11x01xg 为最大值，最小值只能为 或 ，gga 若 ；若 。综上得 。1121aa 121a1a （3）设 的值域为 ,由题意知， 。以下先证 的单调性：设 ，xhA0,Axh021x ，33 221212123121 axax （ ， ） ， 在 上单调递减。a3, ， 的取值范围是 。 2153102minx aah ,2
