1、2016-2017 学年湖北省黄石市大冶市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 2如图，平行四边形 ABCD 中，若A=60 ，则 C 的度数为（ ） A120 B60 C30 D15 3甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试 10 次，平均成绩均为 9.2 环， 方差如表所示（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 5
2、如图，正方形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 BD 上， 且 BE=CD，则 BEC 的度数为（ ） A22.5 B60 C67.5 D75 6如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线折叠，点 C 落在同一平面内， 落点记为 C，BC 与 AD 交于点 E，若 AB=6，BC=8，则 DE 的长为（ ） A6.25 B6.35 C6.45 D6.55 7如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2xax+4 的解集为（ ） Ax3 Bx3 Cx Dx 8已知直线 y=kx+k，那么该直线一定经过点在（ ） Ax 轴的正
3、半轴 Bx 轴的负半轴 Cy 轴的正半轴 Dy 轴的负半轴 9五名学生投篮球，规定每人投 20 次，统计他们每人投中的次数得到五个 数据若这五个数据的中位数是 6唯一众数是 7，则他们投中次数的总和可能 是（ ） A20 B28 C30 D31 10如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图的位置开始，匀 速向右平移，到图的位置停止运动如果设运动时间为 x，大小正方形重叠 部分的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共分） 11若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 12将直线 y=2
4、x 向下平移 5 个单位后，得到的直线解析式为 13如图，ABC 中，AB=BC，ADAB，垂足为 D，已知 AB=10，BC=16， 则 AD 的长为 14如图，在直角三角形 ABC 中，ACB=90，D ，E ，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，若 CD=5，则 EF 的长为 15某校开展了“ 书香校园 ”的活动，小腾班长统计了本学期全班 40 名同学课外 图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这 40 名学 生的图书阅读数量中，中位数是 16如图，在ABCD 中，ABC 的平分线交 AD 于点 E，且 AE=3.5，ED=2， 则ABCD 的周长是 17如图，在
5、平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别 为（3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 18中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元 3 世纪三国时期的赵 爽，他为了证明勾股定理，创制了一副”弦图“ ，后人称其为 “赵爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成将图中正 方形 MNKT，正方形 EFGH，正方形 ABCD 的面积分别记为 S1，S 2，S 3，若 S1+S2+S3=18，则正方形 EFGH 的面积为 三、解答题（共 66 分） 19（8 分）计算： （1） +（ +1）（ 1） （2）
6、 20（8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 AB、CD 上，且 BE=DF，EF 与 AC 相交于点 P，求证：PA=PC 21（8 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0， 2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC =2，求点 C 的坐标 22（8 分）某乡镇企业生产部有技术工人 15 人，生产部为了合理制定产品的 每月生产定额，统计了这 15 人某月的加工零件个数（如下表） 每人加工零件 数 54 45 30 24 21 12 人 数 1 1 2 6 3 2 （1）写出这
7、 15 人该月加工零件数的平均数、中位数和众数； （2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为 24 件，你认为是否合 理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由 23（8 分）如图，ABC 中，BCA=90，CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C，D 作 BA 和 BC 的平行线，两线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若B=60，BC=6，求四边形 ADCE 的面积 24（8 分）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售 价 13%的政府补贴某市农机公司筹集到资金 130 万元，
8、用于一次性购进 A，B 两种型号的收割机 30 台根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全 部销售后利润不少于 15 万元其中，收割机的进价和售价见下表： A 型收割机 B 型收割机 进价（万元/台） 5.3 3.6 售价（万元/台） 6 4 设公司计划购进 A 型收割机 x 台，收割机全部销售后公司获得的利润为 y 万 元 （1）试写出 y 与 x 的函数关系式； （2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？ （3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种 情况下，购买这 30 台收割机的所有农户获得的政府补贴总额 W 为多少万元？ 25（9 分）如图 1，正方
9、形 ABCD 的边长为 6cm，点 F 从点 B 出发，沿射线 AB 方向以 1cm/秒的速度移动，点 E 从点 D 出发，向点 A 以 1cm/秒的速度移 动（不到点 A）设点 E，F 同时出发移动 t 秒 （1）在点 E，F 移动过程中，连接 CE，CF ，EF，则 CEF 的形状是 ，始终保持不变； （2）如图 2，连接 EF，设 EF 交 BD 移动 M，当 t=2 时，求 AM 的长； （3）如图 3，点 G，H 分别在边 AB，CD 上，且 GH=3 cm，连接 EF，当 EF 与 GH 的夹角为 45，求 t 的值 26（9 分）平面直角坐标系中，直线 l1：y= x+3 与 x
10、 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，直线 l2：y=kx +2k 与 x 轴交于点 C，与直线 l1 交于点 P （1）当 k=1 时，求点 P 的坐标； （2）如图 1，点 D 为 PA 的中点，过点 D 作 DEx 轴于 E，交直线 l2 于点 F， 若 DF=2DE，求 k 的值； （3）如图 2，点 P 在第二象限内， PMx 轴于 M，以 PM 为边向左作正方形 PMNQ，NQ 的延长线交直线 l1 于点 R，若 PR=PC，求点 P 的坐标 2016-2017 学年湖北省黄石市大冶市八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 3 分
11、，共 30 分） 1下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可 【解答】解：A. 是最简二次根式，所以此选项正确； B. =2 ，所以此选项错误； C. = ，所以此选项错误； D. =3，所以此选项错误， 故选 A 【点评】本题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 2如图，平行四边形 ABCD 中，若A=60 ，则 C 的度数为（ ） A120 B60 C30 D15 【分析】直接利用平行四边形的对角相等即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行
12、四边形， C=A=60， 故选：B 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角性质是解 题关键 3甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人测试 10 次，平均成绩均为 9.2 环， 方差如表所示（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.56 0.60 0.50 0.45 则在这四个选手中，成绩最稳定的是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先比较四个选手的方差的大小，根据方差的性质解答即可 【解答】解：0.600.560.500.45， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁， 故选：D 【点评】本题考查的是方差的性质，方差反映了一组数据的波动大小，方差越 大，波动性越大，反之也成立
13、4下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案 【解答】解：A、 =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误； B、 = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确； C、 =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误； D、 = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键 5如图，正方形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 在 BD 上， 且 BE=CD，则 BEC 的度数为（ ） A22.5 B60 C67.5 D75 【分析】
14、由正方形的性质得到 BC=CD，DBC=45，证出 BE=BC，根据三角 形的内角和定理求出BEC=BCE=67.5即可 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BC=CD，DBC=45， BE=CD， BE=BC， BEC= BCE=（18045 ）2=67.5， 故选 C 【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质 等知识；熟练掌握正方形的性质，证出 BE=BC 是解决问题的关键 6如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 所在直线折叠，点 C 落在同一平面内， 落点记为 C，BC 与 AD 交于点 E，若 AB=6，BC=8，则 DE 的长为（ ） A6.25
15、B6.35 C6.45 D6.55 【分析】由翻转变换的性质得到EBD=CBD，根据平行线的性质得到 EDB= CBD，得到 EB=ED，设 DE=x，根据勾股定理列方程，解方程即 可 【解答】解：由翻转变换的性质可知，EBD=CBD ， ADBC， EDB= CBD， EDB= EBD， EB=ED， 设 DE=x，则 BE=x，AE=8x， 在 Rt ABE 中，x 2=62+（8x） 2， 解得，x=6.25 ， 故选：A 【点评】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变 换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 7如图，函数 y=2x 和 y=
16、ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2xax+4 的解集为（ ） Ax3 Bx3 Cx Dx 【分析】首先利用待定系数法求出 A 点坐标，再以交点为分界，结合图象写出 不等式 2xax +4 的解集即可 【解答】解：函数 y=2x 的图象过点 A（m，3）， 将点 A（m，3）代入 y=2x 得，2m=3 ， 解得，m= ， 点 A 的坐标为（ ，3）， 由图可知，不等式 2xax+4 的解集为 x 故选：D 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图 中得到结论关键是求出 A 点坐标 8已知直线 y=kx+k，那么该直线一定经过点在（ ） Ax 轴的正
17、半轴 Bx 轴的负半轴 Cy 轴的正半轴 Dy 轴的负半轴 【分析】分为三种情况：k0 或 k0 或 k=0，说出经过的象限，即可得出选 项 【解答】解：当 k0 时，图象过第一、二、三象限； 当 k0 时，图象过第二、三、四象限； 当 k=0 时，y=0，即图象是 x 轴； 直线 y=kx+k，那么该直线一定经过点在 x 轴的负半轴上， 故选 B 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是求 出符合条件的所有情况，用了分类讨论思想 9五名学生投篮球，规定每人投 20 次，统计他们每人投中的次数得到五个 数据若这五个数据的中位数是 6唯一众数是 7，则他们投中次数的总和
18、可能 是（ ） A20 B28 C30 D31 【分析】根据题意，可得最大的三个数的和是：6+7+7=20，两个较小的数一定 是小于 6 的非负整数，且不相等，则可求得五个数的和的范围，进而判断 【解答】解：中位数是 6唯一众数是 7， 则最大的三个数的和是：6+7+7=20，两个较小的数一定是小于 6 的非负整数， 且不相等，即，两个较小的数最大为 4 和 5， 总和一定大于等于 21 且小于等于 29 故选：B 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力一些 学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中 位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数
19、和偶数个来确定中位数，如果 数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平 均数 10如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图的位置开始，匀 速向右平移，到图的位置停止运动如果设运动时间为 x，大小正方形重叠 部分的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【分析】小正方形运动过程中，y 与 x 的函数关系为分段函数，即当 0x完 全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于 x 轴的线段；当不 再完全重叠时，函数为为减函数即按照自变量 x 分为三段 【解答】解：依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，
20、 面积由“增加 不变减少 ”变化 故选：C 【点评】本题考查了动点问题的函数图象关键是理解图形运动过程中的几个 分界点本题也可以通过分析 s 随 x 的变化而变化的趋势及相应自变量的取值 范围，而不求解析式来解决问题 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共分） 11若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x2 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得，2x0， 解得 x2 故答案为：x2 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方 数是非负数 12将直线 y=2x 向下平移 5 个单位后，得到的直线解析式为 y=2x 5
21、 【分析】根据“ 上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“ 上加下减 ”的原则可知，将直线 y=2x 向下平移 5 个单位后，得 到的直线解析式为：y=2x5 故答案为 y=2x5 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减” 的原则是 解答此题的关键 13如图，ABC 中，AB=BC，ADAB，垂足为 D，已知 AB=10，BC=16， 则 AD 的长为 6 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出 BD 的长，再利用勾股定理得出 AD 的长 【解答】解：在ABC 中，AB=BC ，ADAB，AB=10，BC=16 ， BD=DC=8， 在 RtABD 中， AD= =
22、=6 故答案为：6 【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，正确得出 BD 的长 是解题关键 14如图，在直角三角形 ABC 中，ACB=90，D ，E ，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，若 CD=5，则 EF 的长为 5 【分析】根据直角三角形的性质求出 AB 的长，根据三角形中位线定理计算即 可 【解答】解：ACB=90，点 D 是 AB 的中点， AB=2CD=10， 点 E、F 分别是 AC、BC 的中点， EF= AB=5， 故答案为 5 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并 且等于第三边的一半 15某校开展了“ 书香校园 ”的活动，
23、小腾班长统计了本学期全班 40 名同学课外 图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这 40 名学 生的图书阅读数量中，中位数是 23 【分析】根据中位数的定义求解即可 【解答】解：由折线统计图可知，阅读 20 本的有 4 人，21 本的有 8 人，23 本 的有 20 人，24 本的有 8 人，共 40 人， 其中位数是第 20、21 个数据的平均数，即 =23， 故答案为：23 【点评】此题考查了折线统计图及中位数的知识，关键是掌握寻找中位数的方 法，一定不要忘记将所有数据从小到大依此排列再计算 16如图，在ABCD 中，ABC 的平分线交 AD 于点 E，且 AE=3
24、.5，ED=2， 则ABCD 的周长是 18 【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=CD，BC=AD，ADBC，求出 CBE=AEB ，推出ABE=AEB，求出 AE=AB=3.5，即可求出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD， BC=AD，AD BC， CBE= AEB， BE 平分ABC ， CBE= ABE， ABE= AEB， AE=AB=3.5 ， BC=AD=AE+DE=2+3.5=5.5， ABCD 的周长是 2（3.5+5.5）=18， 故答案为：18 【点评】本题考查了平行四边形的性质，能求出 AB 的长度是解此题的关键， 注意：平行四边形的对边平
25、行且相等 17如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别 为（3，0），（2，0），点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是 （5，4） 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长，进而求出 C 点坐标 【解答】解：菱形 ABCD 的顶点 A，B 的坐标分别为（ 3，0），（2，0）， 点 D 在 y 轴上， AB=5， DO=4， 点 C 的坐标是：（5，4） 故答案为：（5，4） 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出 DO 的长是 解题关键 18中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元 3 世纪三国时期的赵 爽，他为
26、了证明勾股定理，创制了一副”弦图“ ，后人称其为 “赵爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成将图中正 方形 MNKT，正方形 EFGH，正方形 ABCD 的面积分别记为 S1，S 2，S 3，若 S1+S2+S3=18，则正方形 EFGH 的面积为 6 【分析】设四边形 MTKN 的面积为 x，八个全等的三角形面积一个设为 y，构 建方程组，利用整体的思想思考问题，求出 x+4y 即可 【解答】解：设四边形 MTKN 的面积为 x，八个全等的三角形面积一个设为 y， 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S 2，S 3
27、，S 1+S2+S3=18， 得出 S1=8y+x，S 2=4y+x，S 3=x， S 1+S2+S3=3x+12y=18，故 3x+12y=18， x+4y=6， 所以 S2=x+4y=6，即正方形 EFGH 的面积为 6 故答案为 6 【点评】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识， 解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题 三、解答题（共 66 分） 19（8 分）计算： （1） +（ +1）（ 1） （2） 【分析】（1）先化简二次根式、根据平方差公式去括号，再合并同类二次根式 可得； （2）先化简，再计算乘除法可得 【解答】解：（1）原式=3 2 +31 =
28、 +2； （2）原式=2 =8 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质化简各 二次根式是解题的关键 20（8 分）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 AB、CD 上，且 BE=DF，EF 与 AC 相交于点 P，求证：PA=PC 【分析】首先连接 AF，CE，由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ABCD，AB=CD，又由 BE=DF，证得 AE=CF，即可证得四边形 AECF 是平 行四边形，继而证得结论 【解答】证明：连接 AF，CE， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD ，AB=CD ， BE=DF， ABBE=CDDF ， AE=CF
29、， 四边形 AECF 是平行四边形， PA=PC 【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定注意准确作出辅助线，证得四 边形 AECF 是平行四边形是解此题的关键 21（8 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴交于点 B（0， 2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC =2，求点 C 的坐标 【分析】（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0）、点 B（0， 2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到 AB 的解析式； （2）设点 C 的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及 SBOC =2
30、求出 C 的 横坐标，再代入直线即可求出 y 的值，从而得到其坐标 【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0）， 直线 AB 过点 A（1，0）、点 B（0， 2）， ， 解得 ， 直线 AB 的解析式为 y=2x2 （2）设点 C 的坐标为（x，y）， S BOC =2， 2x=2， 解得 x=2， y=2 22=2， 点 C 的坐标是（2，2） 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象 上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式 22（8 分）某乡镇企业生产部有技术工人 15 人，生产部为了合理制定产品的 每月生产定额，统计了这 15 人某月
31、的加工零件个数（如下表） 每人加工零件 数 54 45 30 24 21 12 人 数 1 1 2 6 3 2 （1）写出这 15 人该月加工零件数的平均数、中位数和众数； （2）假设生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为 24 件，你认为是否合 理？为什么？如果不合理，请你设计一个较为合理的生产定额，并说明理由 【分析】（1）先根据加权平均数公式即可求得平均数，再将表中的数据按照从 大到小的顺序排列，根据中位数和众数的概念求解即可； （2）应根据（1）中求出的中位数和众数综合考虑 【解答】解：（1）平均数 = = =26（件）， 将表中的数据按照从大到小的顺序排列，可得出第 8 名工人的加
32、工零件数为 24 件，且零件加工数为 24 的工人最多， 故中位数为：24 件，众数为：24 件 答：这 15 人该月加工零件数的平均数为 26 件，中位数为 24 件，众数为 24 件 （2）24 件较为合理，24 既是众数，也是中位数，且 24 小于人均零件加工数， 是大多数人能达到的定额 【点评】本题主要考查了众数和中位数的概念：（1）一组数据中出现次数最多 的数据叫做众数（2）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这 组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 23（8 分）如图，ABC
33、中，BCA=90，CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C，D 作 BA 和 BC 的平行线，两线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）若B=60，BC=6，求四边形 ADCE 的面积 【分析】（1）欲证明四边形 ADCE 是菱形，需先证明四边形 ADCE 为平行四 边形，然后再证明其对角线相互垂直； （2）根据勾股定理得到 AC 的长度，由含 30 度角的直角三角形的性质求得 DE 的长度，然后由菱形的面积公式：S= ACDE 进行解答 【解答】（1）证明：DEBC，ECAB， 四边形 DBCE 是平行四边形 ECDB ，且 EC
34、=DB 在 Rt ABC 中，CD 为 AB 边上的中线， AD=DB=CD EC=AD 四边形 ADCE 是平行四边形 ED BC AOD=ACB ACB=90 ， AOD=ACB=90 平行四边形 ADCE 是菱形； （2）解：RtABC 中，CD 为 AB 边上的中线，B=60，BC=6， AD=DB=CD=6 AB=12，由勾股定理得 四边形 DBCE 是平行四边形， DE=BC=6 【点评】此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运 用菱形知识解决有关问题 24（8 分）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售 价 13%的政府补贴某市农机公司筹集到
35、资金 130 万元，用于一次性购进 A，B 两种型号的收割机 30 台根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全 部销售后利润不少于 15 万元其中，收割机的进价和售价见下表： A 型收割机 B 型收割机 进价（万元/台） 5.3 3.6 售价（万元/台） 6 4 设公司计划购进 A 型收割机 x 台，收割机全部销售后公司获得的利润为 y 万 元 （1）试写出 y 与 x 的函数关系式； （2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？ （3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种 情况下，购买这 30 台收割机的所有农户获得的政府补贴总额 W 为多少万元？ 【分析】
36、（1）y=（A 型收割机售价 A 型收割机进价）x+（B 型收割机售价 B 型收割机进价）（30x ）； （2）购买收割机总台数为 30 台，用于购买收割机的总资金为 130 万元，总的 销售后利润不少于 15 万元可得到两个一元一次不等式 （3）利用 y 与 x 的函数关系式 y=0.3x+12 来求最大利润 【解答】解：（1）y=（65.3）x+（4 3.6）（30x）=0.3x+12 （2）依题意，有 即 x 为整数，x=10，11，12， 即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择： 方案 1：购进 A 型收割机 10 台，购进 B 型收割机 20 台； 方案 2：购 A 型收割机 11
37、 台，购 B 型收割机 19 台； 方案 3：购进 A 型收割机 12 台，购 B 型收割机 18 台 （3）0.30， 一次函数 y 随 x 的增大而增大 即当 x=12 时， y 有最大值，y 最大值 =0.312+12=15.6（万元）， 此时，W=613% 12+413%18=18.72（万元） 答：选择第三种方案获利最大，最大利润为 15.6 万元，获得的政府补贴为 18.72 万元 【点评】解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际 问题有意义 25（9 分）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 F 从点 B 出发，沿射线 AB 方向以 1cm/秒的速
38、度移动，点 E 从点 D 出发，向点 A 以 1cm/秒的速度移 动（不到点 A）设点 E，F 同时出发移动 t 秒 （1）在点 E，F 移动过程中，连接 CE，CF ，EF，则 CEF 的形状是 等腰直 角三角形 ，始终保持不变； （2）如图 2，连接 EF，设 EF 交 BD 移动 M，当 t=2 时，求 AM 的长； （3）如图 3，点 G，H 分别在边 AB，CD 上，且 GH=3 cm，连接 EF，当 EF 与 GH 的夹角为 45，求 t 的值 【分析】（1）通过证明CDECBF 得到 CF=CE，DCE=BCF，则易推 知CEF 是等腰直角三角形； （2）过点 E 作 ENAB
39、，交 BD 于点 N，END=ABD=EDN=45， EN=ED=BF可证EMNFMB，则其对应边相等：EM=FM所以在 Rt AEF 中，由勾股定理求得 EF 的长度，则 AM= EF； （3）如图 3，连接 CE，CF，设 EF 与 GH 交于 P购进平行四边形 GFCH，则 其对边相等：CF=GH=3 所以在 RtCBF 中，由勾股定理得到：BF= =3，故 t=3 【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下： 如图 1，在正方形 ABCD 中，DC=BC，D= ABC=90 依题意得：DE=BF=t 在CDE 与CBF 中， ， CDECBF（SAS）， CF=CE，DCE=BCF， E
40、CF=BCF+BCE=DCE+BCE= BCD=90， CEF 是等腰直角三角形 故答案是：等腰直角三角形 （2）如图 2，过点 E 作 ENAB，交 BD 于点 N，则NEM=BFM END=ABD=EDN=45， EN=ED=BF 在EMN 与FMB 中， ， EMNFMB（AAS）， EM=FM Rt AEF 中， AE=4，AF=8， =EF= =4 ， AM= EF=2 ； （3）如图 3，连接 CE，CF，设 EF 与 GH 交于 P 由（1）得CFE=45 ，又EPQ=45， GHCF ， 又AFDC， 四边形 GFCH 是平行四边形， CF=GH=3 ， 在 Rt CBF 中，
41、得 BF= = =3， t=3 【点评】本题考查了四边形综合题解题过程中，涉及到了平行四边形的判定 与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用解答该类题目时，要 巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角 形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题 26（9 分）平面直角坐标系中，直线 l1：y= x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，直线 l2：y=kx +2k 与 x 轴交于点 C，与直线 l1 交于点 P （1）当 k=1 时，求点 P 的坐标； （2）如图 1，点 D 为 PA 的中点，过点 D 作 DEx 轴于 E，交直线 l2
42、于点 F， 若 DF=2DE，求 k 的值； （3）如图 2，点 P 在第二象限内， PMx 轴于 M，以 PM 为边向左作正方形 PMNQ，NQ 的延长线交直线 l1 于点 R，若 PR=PC，求点 P 的坐标 【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可求解； （2）过点 P 作 PGDF 于点 G，易证PDGADE，点 P 作 PHCA 于点 H，可以证明 H 是 AC 的中点，则 H 的坐标即可求得，进而求得 P 的坐标，进 而求得 k 的值； （3）RtPMC Rt PQR，则 RQ=MC，设 NR=NC=a，则 R（a2，a ），代入 y= x+3，求得 a 的值，设 P（m，n
43、），根据 P 在直线 l1 上和 RQ=MC 即可列 方程组求解 【解答】解：（1）当 k=1 时，直线 l2 为 y=x+2 解方程组 ， 解得 ， P（ ， ）； （2）当 y=0 时，kx+2k=0， k0， x=2， C（ 2，0）则 OC=2， 当 y=0 时， x+3=0， x=6， A（6，0），OA=6， 过点 P 作 PGDF 于点 G， 在PDG 和ADE 中， ， PDGADE， 得 DE=DG= DF， PD=PF， PFD=PDF PFD+PCA=90 ， PDF+PAC=90 PCA=PAC， PC=PA 过点 P 作 PHCA 于点 H， CH= CA=4， OH=2， 当 x=2 时，y= 2+3=2 代入 y=kx+2k，得 k= ； （3）直角PQR 和直角PMC 中， ， Rt PMC RtPQR ， CM=RQ， NR=NC， 设 NR=NC=a，则 R（a2 ，a ）， 代入 y= x+3， 得 （ a2） +3=a，解得 a=8， 设 P（m，n），则 ， 解得 ， P（ ， ） 【点评】本题是一次函数和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线， 构造全等的三角形，证明 H 是 AC 的中点是解决本题的关键
