1、 2014-2015 海淀区初三 数学第一学期期末练习 2015.1 一、选择题 1方程 的根的情况是 2350x A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定是否有实数根 2.在Rt ABC中，C=90， ，则 的值为 35BA， sin A. B. C. D. 3545443 3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几 何体是 A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥 4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分 别为1号、4号、6号、3号、5号和2号若小丁从中随机抽取一个，则抽到 的座位号是偶数的概率是 A. B. C. D
2、. 6131223 5如图，ABC和A 1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB =4，则A 1B1 的长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6已知点A( x1，y 1)，B(x 2， y2)是反比例函数 的图象上的两点，3yx 若x 10x 2，则下列结论正确的是 Ay 10y 2 By 2 0y 1 Cy 1y 20 Dy 2y 10 7如图，AB 是半圆 O 的直径， AC 为弦，ODAC 于 D，过点 O 作 OEAC 交半圆 O 于点 E，过点 E 作 EFAB 于 F若 AC=2， 则 OF 的长为 A B C1 D21234 8如图 1，在矩
3、形 ABCD 中，ABBC，AC ，BD 交于点 O点 E 为线段 AC 上的一个动点，连接 DE，BE，过 E 作 EFBD 于 F设 AE=x，图 1 中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 的函数关系的 图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图 1 中的 FEBOAC OFDBACE xyO 图 1 图 2 A线段 EF B线段 DE C线段 CE D线段 BE 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9若扇形的半径为3cm，圆心角为120 ，则这个扇形的面积为 _ cm2 10在某一时刻，测得一根高为 2m 的竹竿的影长为 1m，同时测得一栋建筑物的影长为 12m，那 么这
4、栋建筑物的高度为 m. 11如图，抛物线 与直线 ybx c 的两个交点坐标分别为2yax ， ，则关于 x 的方程 的解为2,4A1,B20abx _ 12对于正整数 ，定义 ，其中 表示n 21()=0， ， nFf()fn 的首位数字、末位数字的平方和例如： ，263F 2(123)13Ff 规定 ， （ 为正整数）例如： ，()n()()kkFn 12310F 21()0 （1）求： _， _；2(42015(4) （2）若 ，则正整数 m 的最小值是_3)89mF 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13.计算： . 120150sin3.42 14.如图，ABC 中，A
5、B =AC，D 是 BC 中点，BEAC 于 E. 求证：ACDBCE EDCBA 15.已知 是一元二次方程 的实数根，求代数式 的值m230x(1)m 16.抛物线 平移后经过点 ， ，求平移后的抛物线的表达式2yx(0,3)A(2,)B 17.如图，在平面直角坐标系 xOy中，正比例函数 与反比例函2yx 数 的图象交于 A，B 两点，A 点的横坐标为 2，ACx 轴于点kyx C，连接 BC. （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 是反比例函数 图象上的一点，且满足OPC 与kyx ABC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标 18.如图，ABC 中，ACB=90， ， BC=
6、8，D 是 AB 中点，过点 B4sin5A 作直线 CD 的垂线，垂足为 E （1）求线段 CD 的长； EDABC （2）求 的值cosABE 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19已知关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 220mxx12,x （1）求 m 的取值范围； （2）若 ，且 ，求整数 m 的值2012x 来源:学+科+ 网 Z+X+X+K 20. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件 利润如下表所示（其中 x 为正整数，且 1x10）： 质量档次 1 2 x 10 日产量（件） 95 90 105 50
7、 单件利润（万元） 6 8 24 24 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品当生产质量档次为 x 的产品时，当天的利 润为 y 万元 （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值 21.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A，B，C 在O 上，AD 与O 相切，射线 AO 交 BC 于 点 E，交O 于点 F点 P 在射线 AO 上，且PCB=2BAF （1）求证：直线 PC 是O 的切线； （2）若 AB= ，AD=2，求线段 PC 的长10 P DCBEFOA 22阅读下面材料： 小明观察一个由 正方形点阵
8、组成的点 阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间1 的距离都是 1他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直 的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值 请回答： （1）如图 1，A 、 B、 C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点 D，作出线段 CD，使得 CDAB； （2）如图 2，线段 AB 与 CD 交于点 O为了求出 的 正切值，小明在点阵中找到了点 E，A 连接 AE，恰好满足 ED于 F，再作出点阵中 的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推 理和计算能够使问题得到解决 请你帮小明计算：OC=_； = _；tan CAB
9、 FOEDBAC 图 1 图 2 图 3 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，计算： =_tanAOD ODBAC 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 小题 8 分） 23.在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 的图象经过点 ， .kyx(1,4)A(,)Bmn （1） 求代数式 mn 的值； （2） 若二次函数 的图象经过点 B，求代数式 的值；2(1)32n （3） 若反比例函数 的图象与二次函数 的图象只有一个交点，且该交点在直kyx2(1)yax 线 的下方，结合函数图象，求 的取值范围.yx 12345-2-34-5-54-
10、32154321y xO 24如图 1，在ABC 中，BC=4，以线段 AB 为边作ABD，使得 AD=BD， 连接 DC，再以 DC 为边作 CDE，使得 DC = DE，CDE=ADB= （1）如图 2 ，当ABC=45且 =90时，用等式表示线段 AD，DE 之间的数量关系； （2）将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF， 连接 BF，AF 若 =90，依题意补全图 3， 求线段 AF 的长； 请直接写出线段 AF 的长（用含 的式子表示） 图 2 图 3 备用图 EABCDE ABCD EABCDEABCD图 1 x y图3BOA 25. 在平面直角坐标系 xOy 中
11、，设点 ， 是图形 W 上的任意两点1,Pxy2,Qxy 定义图形 W 的测度面积：若 的最大值为 m， 的最大值为 n，则 为图212Sm 形 W 的测度面积 例如，若图形 W 是半径为 1 的O 当 P，Q 分别是O 与 x 轴的交点时，如图 1， 2x 取得最大值，且最大值 m=2；当 P，Q 分别是O 与 y 轴的交点时，如图 2， 取得最y 大值，且最大值 n=2则图形 W 的测度面积 4Smn （1）若图形 W 是等腰直角三角形 ABO，OA =OB=1. 如图 3，当点 A，B 在坐标轴上时，它的测度面积 S= ； 如图 4，当 ABx 轴时，它的测度面积 S= ； （2）若图形
12、 W 是一个边长为 1 的正方形 ABCD，则此图形测度面积 S 的最大值为 ； （3）若图形 W 是一个边长分别为 3 和 4 的矩形 ABCD，求它的测度面积 S 的取值范围x y图4ABOC x y1图1PQO x y1图2QPO 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知: 1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程 正确写出即可. 2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到步应得的累加分数。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
13、答 案 A A D C B B C B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9 ； 10 24 ； 3 11 ； 12 （1）37，26； （每个答案 1 分）（2）6.（2 分） 12,x 三、解答题：（本题共 30 分，每小题 5 分） 13（本小题满分 5 分） 解：原式 4 分12 5 分 14. （本小题满分 5 分） 证明：AB=AC，D 是 BC 中点， ADBC， ADC=90 1 分 BEAC， BEC=90 ADC=BEC 2 分 在ACD 和BCE 中，ACDBE， ACDBCE5 分 15. （本小题满分 5 分） 解：由已知，可得 1 分230m 2 分2
14、 原式= 5 分 213 16. （本小题满分 5 分） 解：设平移后抛物线的表达式为 1 分2yxbc 平移后的抛物线经过点 ， ，(0,3)A(2,)B 3 分 3,82.cb 解得 4 分 4,3.c 所以平移后抛物线的表达式为 5 分243yx 解二：平移后的抛物线经过点 ， ，(0,)A(,)B 平移后的抛物线的对称轴为直线 . 1 分1 设平移后抛物线的表达式为 2 分2yxk .3 分231k .4 分k 所以平移后抛物线的表达式为 5 分21yx 17. （本小题满分 5 分） 解：（1）将 代入 中，得 2xyx4 点 A 坐标为 1 分(,4) 点 A 在反比例函数 的图象
15、上，kyx 2 分28k 反比例函数的解析式为 3 分8 （2） 或 5 分1,8P, 18. （本小题满分 5 分） 解：（1）ABC 中，ACB=90， ， BC=8，4sin5A 1 分8104sin5BCA ABC 中，ACB=90 ，D 是 AB 中点， 2 分2D （2）法一：过点 C 作 CFAB 于 F，如图 CFD=90 在 RtABC 中，由勾股定理得 221086ACB ，FAB 3 分245C BECE， BED=90 BDE=CDF， ABE =DCF 4 分 5 分 245coscsCFABED 法二：D 是 AB 中点，AB =10， 3 分152 BDCABS
16、在 RtABC 中，由勾股定理得 221086CAB 16824ABC DS 12E ，5 4 分4B BECE， BED=90 5 分 245cosEABD 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19（本小题满分 5 分）来源:学&科&网 Z&X&X&K 解：（1）由已知，得 且 ，0m2 22440mm 且 2 分2 FEDABCE DABC （2）原方程的解为 2mx 或 3 分1x ，20 ， 1x2m ，12x 2m 又 ，0且 4 分 m 是整数， 5 分1 20. （本小题满分 5 分） 解：（1） 2 分202410840yxx （ 且 x 为整数）1 （2） 3 分
17、22891 又 且 x 为整数，0 当 时，函数取得最大值 1210 9 答：工厂为获得最大利润，应生产第 9 档次的产品，当天的最大利润为 1210 万元 5 分 21. （本小题满分 5 分） 解：（1）连接 OC AD 与O 相切于点 A， FAAD 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， FABC FA 经过圆心 O， F 是 的中点，BE=CE，OEC=901 分ABC COF=2BAF PCB=2 BAF ， PDCBEFOA PCB= COF OCE+COF=180-OEC=90， OCE+PCB=90 OCPC 点 C 在O 上， 直线 PC 是O 的切线2 分 （2）
18、四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=2 BE=CE=1 在 RtABE 中， AEB=90， AB= ，10 23AEB 设O 的半径为 r，则 ， OCAr3Er 在 RtOCE 中，OEC=90， 22C 31r 解得 3 分5 COE=PCE，OEC=CEP =90 OCECPE4 分 OECP 531 5 分4CP 22.（本小题满分 5 分） （1）如图，线段 CD 即为所求；1 分 （2）OC= ， =5；3 分42tanAOD （3） = 5 分ta7 五、解答题：（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23（本小题满分
19、7 分） D B A C 解：（1）反比例函数 的图象经过点 ，kyx(1,4)A 1 分4k 反比例函数的解析式为 yx 反比例函数 的图象经过点 ，4(,)Bmn 2 分mn （2）二次函数 的图象经过点 ，2(1)yx(,) 3 分2() n 21m 由（1）得 ，4 原式 28n（ ）(1)n 4 分 （3）由（1）得反比例函数的解析式为 4yx 令 ，可得 ，解得 yx242 反比例函数 的图象与直线 交于y 点 ， 5 分(2,),) 当二次函数 的图象经过点 时，可得 ；2(1yax(2,)2a 当二次函数 的图象经过点 时，可得 )9 二次函数 的顶点为 ，2(yx(,0) 由
20、图象可知，符合题意的 的取值范围是 或 7 分（注：a2a9 只写 或只写 ， 减 1 分.）02a9 12345-2-34-5-54-3215432y xO 24. （本小题满分 7 分） （1） AD+DE=41 分 （2） 补全图形，如右图所示2 分 解： 设 DE 与 BC 相交于点 H，连接 AE， 交 BC 于点 G，如图 ADB= CDE =90， ADE=BDC 在 ADE 与BDC 中，,ADBEC ADE BDC3 分 AE= BC ，AED =BCD DE 与 BC 相交于点 H，GHE=DHC EGH= EDC=904 分 线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线
21、段 EF， EF = CB =4， EF / CB AE= EF CB/EF， AEF=EGH= 90 AE=EF， AE F=90， AFE=45 AF= =4 5 分cos45EF2 7 分 8inA 25.（本小题满分 8 分） 解：（1） 1；1 分 12 分 （2） 2 4 分 （3）不妨设矩形 ABCD 的边 AB=4，BC=3 由已知可得，平移图形 W 不会改变其测度面积 S 的大小，将矩形 ABCD 的其中一个顶点 B 平移至 x 轴上 当顶点 A，B 或 B，C 都在 x 轴上 时，如图 5 和图 6，矩形 ABCD 的 测度面积 S 就是矩形 ABCD 的面积， 此时 S
22、取得最小值，且最小值为 12 5 分 当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，如图 7 过 A 作直线 AEx 轴于点 E，过 C 作直线 CFx 轴于点 F， x yFEHGCDAOB 图 7 HGFCBDAE x yCDAOB 图 5 图 6 x yADCOB F EDAB C 过 D 作直线 GHx 轴，与直线 AE，CF 分别交于点 H 和点 G，则可得四边形 EFGH 是矩形 当点 P，Q 分别与点 A，C 重合时， 取得最大值 ，12xm 且最大值 ；mEF 当点 P，Q 分别与点 B，D 重合时， 取得最大值 ，且最大值 12ynGF 图形 W 的测度面积 SG ABC=90 ， 来源:Z,xx,k.Com ABE +CBF =90 AEB =90， ABE +BAE=90 BAE =CBF 又 ，90AEBFC ABE BCF6 分 43 设 ，则 ，,ab0,3,BFaCb 在 RtABE 中，由勾股定理得 22AE 即 ，216161a0b21 易证ABE CDG 4CGa ， 43EFBb3F S25ab21a215a4215a+214 当 ，即 时，测度面积 S 取得最大值 7 分2 195 ， 0,ab240a12 当顶点 A，C 都不在 x 轴上时，S 的范围为 49S 综上所述，测度面积 S 的取值范围是 2
