1、2015-2016 学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1不等式 2x+1x+2 的解集是（ ） Ax1 Bx 1 Cx1 Dx1 2多项式 2x22y2 分解因式的结果是（ ） A2（x+y） 2 B2 （x y） 2 C2（x+y）（x y） D2（y+x）（yx） 3下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 4如图，ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5cm，BC=4cm，那么 DBC 的周长是（ ） A6cm B7cm C
2、8cm D9cm 5要使分式 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx 3 且 x 3 Cx0 且 x 3 Dx3 6如果关于 x 的不等式（a+1）xa+1 的解集为 x1，那么 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba0 Ca 1 Da0a1 7如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，CE 平分BCD 交 AD 边 于点 E，且 AE=3，则 AB 的长为（ ） A4 B3 C D2 8将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸 带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，如图，则三角板 的最大边的长为（ ） A3
3、cm B6cm C cm D cm 9如图，在平行四边形 ABCD 中，AE B C 于 E，AFCD 于 F，若 AE=4，AF=6，平行 四边形 ABCD 的周长为 40则平行四边形 ABCD 的面积为（ ） A24 B36 C40 D48 10如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2xax+4 的解集 为（ ） Ax Bx 3 Cx Dx3 11已知 a2+b2=6ab，则 的值为（ ） A B C2 D2 12ABC 为等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC=2，P 为线段 AB 上一动点，D 为 BC 上中点，则 PC+PD 的最小值为（
4、） A B3 C D 二、填空题：（本题有 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13分解因式：2x 24x+2= 14一个多边形的内角和与外角和的比是 4：1，则它的边数是 15如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD 的长为 16如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC= ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ADE，连接 BE，则 BE 的长是 三、解答题（本大题有七道题，其中 17 题 6 分，18 题 7 分，19 题 7 分，20 题 7 分，21 题 7 分，22 题 9 分，23 题 9 分，共 52 分；） 17解方程： 18
5、解不等式组： 19先化简，再求值： ，其中 a 满足方程 a2+4a+1=0 20如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点 A、B、C 在 小正方形的顶点上，将ABC 向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A 1B1C1，然 后将A 1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90得到A 1B2C2 （1）在网格中画出A 1B1C1 和A 1B2C2； （2）计算线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算） 21如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 DE 延长线上的点，且 EF=DE （1）图中的平行四边形
6、有哪几个？请选择其中一个说明理由； （2）若AEF 的面积是 3，求四边形 BCFD 的面积 22我县某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降， 今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车， 去年销售额为 100 万元，今年销售额只有 90 万元 （1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进 价 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的 资金购进这两款汽车共 15
7、 辆，有几种进货方案？ （3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时， 哪种方案对公司更有利？ 23已知两个共一个顶点的等腰直角ABC 和等腰直角CEF，ABC= CEF=90 ，连接 AF，M 是 AF 的中点，连接 MB、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证： MBCF； （2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长； （3）如图 2，当BCE=45 时，求证：BM=ME 2015-2016 学年广东省深圳市南山区
8、八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1不等式 2x+1x+2 的解集是（ ） Ax1 Bx 1 Cx1 Dx1 【考点】解一元一次不等式 【分析】先移项，再合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可 【解答】解：移项得，2xx 21， 合并同类项得，x1， 故选 A 【点评】本题考查的是在解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此 题的关键 2多项式 2x22y2 分解因式的结果是（ ） A2（x+y） 2 B2 （x y） 2 C2（x+y）（x y）
9、D2（y+x）（yx） 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】首先提公因式 2，再利用平方差进行分解即可 【解答】解：2x 22y2=2（x 2y2）=2（x+y）（x y）， 股癣：C 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式 进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法 分解 3下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，故 A 选项错误； B、不是中心对称图形，故 B 选项正确； C、是中心对称图形，故 C
10、选项错误； D、是中心对称图形，故 D 选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念中心 对称图形是要寻找对称中心，旋转 180后重合 4如图，ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC=5cm，BC=4cm，那么 DBC 的周长是（ ） A6cm B7cm C8cm D9cm 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】由于 AB 的垂直平分线交 AC 于 D，所以 AD=BD，而DBC 的周长 =BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，而 AC=5cm，BC=4cm，由此即可求出DBC 的周 长 【解答】解：DE 是 AB
11、 的垂直平分线， AD=BD， DBC 的周长=BD +CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC， 而 AC=5cm，BC=4cm， DBC 的周长是 9cm 故选：D 【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两 个端点的距离相等结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键 5要使分式 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx 3 且 x 3 Cx0 且 x 3 Dx3 【考点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求解即可 【解答】解：x 2+6x+90， （x+3） 20， x+30， x3 ， 分式 有意义
12、，x 的取值范围 x3， 故选 D 【点评】本题考查了分式有意义的条件：分母不为 0，掌握不等式的解法是解题的关键 6如果关于 x 的不等式（a+1）xa+1 的解集为 x1，那么 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba0 Ca 1 Da0a1 【考点】解一元一次不等式 【分析】根据不等式的性质，两边同时除以 a+1，a+1 是正数还是负数不确定，所以要分两 种情况，再根据解集为 x1，发现不等号的符号发生了变化，所以确定 a+10，从而得到 答案 【解答】解：（a+1）xa +1， 当 a+10 时，x1， 当 a+10 时，x1， 解集为 x1， a+10， a1 故选：A 【点评】此题主要
13、考查了解不等式，当不等式两边除以同一个数时，这个数的正负性直接 影响不等号 7如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2AB，CE 平分BCD 交 AD 边 于点 E，且 AE=3，则 AB 的长为（ ） A4 B3 C D2 【考点】平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形性质得出 AB=DC，ADBC，推出DEC=BCE，求出 DEC=DCE，推出 DE=DC=AB，得出 AD=2DE 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=DC，ADBC， DEC=BCE， CE 平分DCB， DCE=BCE， DEC=DCE， DE=DC=AB， AD=2AB=2CD，CD=DE，
14、AD=2DE， AE=DE=3， DC=AB=DE=3， 故选：B 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和 判定的应用，关键是求出 DE=AE=DC 8将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸 带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，如图，则三角板 的最大边的长为（ ） A3cm B6cm C cm D cm 【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 【分析】过另一个顶点 C 作垂线 CD 如图，可得直角三角形，根据直角三角形中 30角所 对的边等于斜边的一半，可求出有 45角
15、的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最 大边 【解答】解：过点 C 作 CD AD，CD=3， 在直角三角形 ADC 中， CAD=30， AC=2CD=23=6， 又三角板是有 45角的三角板， AB=AC=6， BC 2=AB2+AC2=62+62=72， BC=6 ， 故选：D 【点评】此题考查的知识点是含 30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求 得直角边，再由勾股定理求出最大边 9如图，在平行四边形 ABCD 中，AE BC 于 E，AFCD 于 F，若 AE=4，AF=6 ，平行 四边形 ABCD 的周长为 40则平行四边形 ABCD 的面积为（ ） A24 B36
16、C40 D48 【考点】平行四边形的性质 【分析】已知平行四边形的高 AE、AF ，设 BC=xcm，则 CD=（20x）cm，根据“ 等面积法” 列方程，求 BC，从而求出平行四边形的面积 【解答】解：设 BC=xcm，则 CD=（20 x）cm，根据“等面积法” 得 4x=6（20 x），解得 x=12， 平行四边形 ABCD 的面积=4x=412=48故选 D 【点评】本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行 四边形的面积=底高，可用两种方法表示 10如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2xax+4 的解集 为（
17、） Ax Bx 3 Cx Dx3 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】先根据函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），求出 m 的值，从而得 出点 A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式 2xax+4 的解集 【解答】解：函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3）， 3=2m， m= ， 点 A 的坐标是（ ，3）， 不等式 2xax+4 的解集为 x ； 故选 A 【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问 题的关键 11已知 a2+b2=6ab，则 的值为（ ） A B C2 D2 【考点】分式的值 【
18、分析】首先由 a2+b2=6ab，即可求得：（a +b） 2=8ab，（ab） 2=4ab，然后代入即可求得 答案 【解答】解：a 2+b2=6ab， a 2+b2+2ab=8ab，a 2+b22ab=4ab， 即：（a+b） 2=8ab，（a b） 2=4ab， a+b=2 ，a b=2 ， 当 a+b=2 ，a b=2 时， = ； 当 a+b=2 ，a b=2 时， = ； 当 a+b=2 ，ab=2 时， = ； 当 a+b=2 ，ab= 2 时， = 故选：B 【点评】本题主要考查完全平方公式注意熟记公式的几个变形公式，还要注意整体思想 的应用 12ABC 为等腰直角三角形，ACB=
19、90，AC=BC=2，P 为线段 AB 上一动点，D 为 BC 上中点，则 PC+PD 的最小值为（ ） A B3 C D 【考点】轴对称-最短路线问题；等腰直角三角形 【分析】作 D 关于 AB 的对称点 F，连接 CF 交 AB 于 P，连接 PD，BF，则 AB 垂直平分 DF，于是可得 PF=PD，BD=BF，即可求得CBF=90 ，根据勾股定理即可得到结论 21 教育网 【解答】解：作 D 关于 AB 的对称点 F，连接 CF 交 AB 于 P，则 CF 的长度=PC+PD 的最 小值，连接 PD，BF， 则 AB 垂直平分 DF， PF=PD ，BD=BF= BC=1，FBP= D
20、BP ， ABC 为等腰直角三角形，AC=BC， ACB=45， CBF=90， CF 2=BC2+BF2=5， CF= ， PC+PD 的最小值是 故选 C 【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点 P 何位置时，使 PC+PD 的值最小是关 键 二、填空题：（本题有 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13分解因式：2x 24x+2= 2（x1） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因数 2，再利用完全平方公式进行二次分解完全平方公式：（ab） 2=a22ab+b2 【解答】解：2x 24x+2， =2（x 22x+1）， =2（x1 ） 2 【点评】本题主要
21、考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要 进行二次分解因式 14一个多边形的内角和与外角和的比是 4：1，则它的边数是 10 【考点】多边形内角与外角 【分析】多边形的外角和是 360 度，内角和与外角和的比是 4：1，则内角和是 1440 度n 边形的内角和是（n2）180 ，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程， 解方程就可以求出多边形的边数 【解答】解：根据题意，得 （n2） 180=1440， 解得：n=10 则此多边形的边数是 10 故答案为：10 【点评】本题考查了多边形内角和定理和外角和定理：多边形内角和为（n2）180，外角 和为 360
22、15如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若 PC=4，则 PD 的长为 2 【考点】含 30 度角的直角三角形 【分析】过 P 作 PE 垂直与 OB，由AOP=BOP，PD 垂直于 OA，利用角平分线定理得 到 PE=PD，由 PC 与 OA 平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又 OP 为角平分线 得到一对角相等，等量代换可得COP=CPO，又ECP 为三角形 COP 的外角，利用三 角形外角的性质求出ECP=30 ，在直角三角形 ECP 中，由 30角所对的直角边等于斜边 的一半，由斜边 PC 的长求出 PE 的长，即为 PD 的长 【解答】解：过 P 作 PEOB，交
23、OB 与点 E， AOP= BOP，PD OA ，PEOB， PD=PE， PC OA， CPO=POD， 又AOP= BOP=15， CPO=BOP=15， 又ECP 为OCP 的外角， ECP=COP +CPO=30 ， 在直角三角形 CEP 中，ECP=30，PC=4， PE= PC=2， 则 PD=PE=2 故答案为：2 【点评】此题考查了含 30角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三 角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键同时注意辅助线的作法 21cnjycom 16如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC= ，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60
24、，得到ADE，连接 BE，则 BE 的长是 2 +2 【考点】旋转的性质 【分析】首先考虑到 BE 所在的三角形并 不是特殊三角形，所以猜想到要求 BE，可能需要 构造直角三角形由旋转的性质可知，AC=AE，CAE=60，故ACE 是等边三角形，可 证明ABE 与CBE 全等，可得到 ABE=45，AEB=30，再证AFB 和AFE 是直 角三角形，然后在根据勾股定理求解 【解答】解：连结 CE，设 BE 与 AC 相交于点 F，如下图所示， RtABC 中，AB=BC，ABC=90 BCA=BAC=45 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 60与 RtADE 重合， BAC=DAE=45，AC
25、=AE 又旋转角为 60 BAD=CAE=60， ACE 是等边三角形 AC=CE=AE=4 在ABE 与CBE 中， ABECBE （SSS ） ABE=CBE=45，CEB=AEB=30 在ABF 中， BFA=180 4545=90 AFB=AFE=90 在 Rt ABF 中，由勾股定理得， BF=AF= =2 又在 RtAFE 中，AEF=30，AFE=90 FE= AF=2 BE=BF+FE=2 +2 故，本题的答案是：2+2 【点评】此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造” 直角三角形在熟练 掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理
26、的 应用 三、解答题（本大题有七道题，其中 17 题 6 分，18 题 7 分，19 题 7 分，20 题 7 分，21 题 7 分，22 题 9 分，23 题 9 分，共 52 分；） 17解方程： 【考点】解分式方程 【分析】找出分式方程的最简公分母为（x+2）（x2），去分母后转化为整式方程，求出 方程的解得到 x 的值，代入最简公分母中检验即可得到原分式方程的解 【解答】解：最简公分母为（x+2）（x2）， 去分母得：（x2） 2（x+2）（ x2）=16， 整理得：4x+8=16， 解得：x= 2， 经检验 x=2 是增根， 故原分式方程无解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程
27、的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 18解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组 【分析】分别解两个不等式得到 x2 和 x2，然后根据同小取小确定不等式组的解集 【解答】解： ， 解得 x4， 解得 x2， 所以不等式的解集为 x2 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大， 同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集 21 世纪教育网版权所有 19先化简，再求值： ，其中 a 满足方程 a2+4a+1=0 【考点】分式的化简求值 【分析】把原式括号里的第二项提取1，然后把
28、原式的各项分子分母都分解因式，找出括 号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分 母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法 则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分 式，把 a 满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值 【解答】解：原式= = = = = ，（6 分） a 2+4a+1=0， a 2+4a=1， 原式= （10 分） 【点评】此题考查了分式的混合运算，以及多项式的运算分式的化简求值题，应先对原 式的分子分母分解因式，在分式的化简运算中，要通观全局，弄清有哪些
29、运算，然后观察 能否用法则，定律，分解因式及公式来简化运算，同时注意运算的结果要化到最简，然后 再代值计算 20如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点 A、B、C 在 小正方形的顶点上，将ABC 向下平移 4 个单位、再向右平移 3 个单位得到A 1B1C1，然 后将A 1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90得到A 1B2C2 （1）在网格中画出A 1B1C1 和A 1B2C2； （2）计算线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算） 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；作图 -平移变换 【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质
30、画出A 1B1C1 及A 1B2C2 即可； （2）根据图形平移及旋转的性质可知，将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是 以 4 为底，以 2 为高的平行四边形的面积；再向右平移 3 个单位 AC 扫过的面积是以 3 为 底以 2 为高的平行四边形的面积；当A 1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90到A 1B2C2 时， A1C1 所扫过的面积是以 A1 为圆心以以 2 为半径，圆心角为 90的扇形的面积，再减去 重叠部分的面积，根据平行四边形的面积及扇形面积公式进行解答即可 【解答】解：（1）如图所示： （2）图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格， AC= =2
31、， 将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为底，以 2 为高的平行四边形的面 积；再向右平移 3 个单位 AC 扫过的面积是以 3 为底以 2 为高的平行四边形的面积；当 A1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90到A 1B2C2 时，A 1C1 所扫过的面积是以 A1 为圆心以 2 为半径，圆心角为 90的扇形的面积，重叠部分是以 A1 为圆心，以 2 为半径，圆心 角为 45的扇形的面积， 线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积=42+32+ =14+ 【点评】本题考查的是旋转变换及平移变换，扇形的面积公式，熟知图形旋转、平移不变 性的特点是解答此题的
32、关键 21如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，F 是 DE 延长线上的点，且 EF=DE （1）图中的平行四边形有哪几个？请选择其中一个说明理由； （2）若AEF 的面积是 3，求四边形 BCFD 的面积 【考点】平行四边形的判定；三角形的面积；三角形中位线定理 【分析】（1）由 E 为 AC 的中点，可得 AE=CE，再由条件 EF=DE 可得四边形 ADCF 是 平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等 可得CEF 的面积和CED 的面积都等于AEF 的面积为 3，从而可得四边形 BCFD 的面 积为 12 【解答】
33、（1）图中的平行四边形有：平行四边形 ADCF，平行四边形 BDFC， 理由是：E 为 AC 的中点， AE=CE， DE=EF， 四边形 ADCF 是平行四边形， ADCF ，AD=CF ， D 为 AB 的中点， AD=BD， BD=CF，BD CF， 四边形 BDFC 是平行四边形 （2）由（1）知四边形 ADCF 是平行四边形，四边形 BDFC 是平行四边形， S CEF=SCED=SAEF=3， 平行四边形 BCFD 的面积是 12 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的判定定理， 掌握平行四边形对角线分成的四个小三角形面积相等 22我县某汽车销售公司经
34、销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降， 今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车， 去年销售额为 100 万元，今年销售额只有 90 万元 （1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进 价 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的 资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货方案？ （3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B
35、款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时， 哪种方案对公司更有利？ 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用 【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系等量关系为：今年的销售数 量=去年的销售数量 （2）关系式为：99A 款汽车总价 +B 款汽车总价105 （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数 x 的系数为 0 即可；多进 B 款 汽车对公司更有利，因为 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，所 以要多进 B 款 【解答】解：（1）设今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 x 万元根据题意得
36、： = ， 解得：x=9， 经检验知，x=9 是原方程的解 所以今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 9 万元 （2）设 A 款汽车购进 y 辆则 B 款汽车每辆购进（15y）辆根据题意得： 解得：6y10， 所以有 5 种方案： 方案一：A 款汽车购进 6 辆； B 款汽车购进 9 辆； 方案二：A 款汽车购进 7 辆； B 款汽车购进 8 辆； 方案三：A 款汽车购进 8 辆； B 款汽车购进 7 辆； 方案四：A 款汽车购进 9 辆； B 款汽车购进 6 辆； 方案五：A 款汽车购进 10 辆； B 款汽车购进 5 辆 （3）设利润为 W 则：W= （8 6）（15y）a （15y）+（9
37、7.5）y =302ya（15y）+1.5y =30a（15y）0.5y 方案一：W=30a （156）0.56=309a 3=279a 方案二：W=30a （157）0.57=308a 3.5=26.58a 方案三：W=30a （158）0.58=307a 4=267a 方案四：W=30a （159）0.59=306a 4.5=25.56a 方案五：W=30a （1510）0.510=305a 5=255a 由 279a=26.58a 得 a=0.5 方案一对公司更有利 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等 关系是解决问题的关键 23已知两个共一个顶
38、点的等腰直角ABC 和等腰直角CEF，ABC= CEF=90 ，连接 AF，M 是 AF 的中点，连接 MB、ME （1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证： MBCF； （2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长； （3）如图 2，当BCE=45 时，求证：BM=ME 【考点】三角形综合题 【分析】（1）如答图 1a 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，证明 BM 为ADF 的中位线即可； （2）如答图 2a 所示，作辅助线，推出 BM、ME 是两条中位线； （3）如答图 3a 所示，作辅助线，推出 BM、ME 是两条中位线：BM= DF，ME= AG；
39、 然后证明ACGDCF，得到 DF=AG，从而证明 BM=ME 【解答】（1）证明：如答图 1a，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知ABC 与BCD 均为等 腰直角三角形， AB=BC=BD， 点 B 为线段 AD 的中点， 又点 M 为线段 AF 的中点， BM 为ADF 的中位线， BMCF； （2）如答图 2a 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知BCD 与ABC 为等腰直角三角形， AB=BC=BD=a，AC=CD= a， 点 B 为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点， BM= DF 分别延长 FE 与 CA 交于点 G，则易知CEF 与CEG 均为等腰直角三角形， C
40、E=EF=GE=2a，CG=CF=2 a， 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点， ME= AG CG=CF=2 a，CA=CD= a， AG=DF= a， BM=ME= a= a （3）如答图 3a，延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，则易知ABC 与BCD 均为等腰直角 三角形， AB=BC=BD，AC=CD ， 点 B 为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点， BM= DF， 延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，则易知CEF 与CEG 均为等腰直角三角形， CE=EF=EG， CF=CG， 点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点， ME= AG， 在ACG 与DCF 中， ， ACGDCF（SAS）， DF=AG， BM=ME 【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性 质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难 点
