1、2015-2016 学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1在下列四个标志中，是轴对称图形的是( ) A B C D 2下列计算正确的是( ) A （2a 2） 4=8a6 Ba 3+a=a4 Ca 2a=a D （ab） 2=a2b2 3下列命题中，正确的是( ) A三角形的一个外角大于任何一个内角 B三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形 C两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 D三角形的三条高都在三角形内部 4化简 的结果是( ) A B C D 5代数式 ， ， ， ， ， 中是分式的有( ) A2 个
2、 B3 个 C4 个 D5 个 6已知：如图，AB=CD，ABD= CDB，则图中全等三角形共有( ) A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 7下列各式中，能用平方差公式计算的有( ) （a 2b） （ a+2b） ； （a 2b） （ a2b） ； （a 2b） （a+2b） ； （a 2b） （2a+b） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8将一副三角板按如图所示摆放，图中 的度数是( ) A75 B90 C105 D120 9如图，在ABC 中， CAB=65，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ADE 的位置，连接 EC，满足 ECAB，则BAD 的度数为( ) A50 B40 C
3、35 D30 10若 4a2kab+9b2 是完全平方式，则常数 k 的值为( ) A6 B12 C 6 D12 11三角形中，三个内角的比为 1：3：6，它的三个外角的比为( ) A1：3：6 B6：3：1 C9：7：4 D4：7：9 12若 x1，y0，且满足 ，则 x+y 的值为( ) A1 B2 C D 二、填空题：（每小题 4 分，共 24 分） 13可以把代数式 2ax212ax+18a 分解因式为：_ 14若三角形的两边长是 7 和 4，且周长是偶数，则第三边长可能是_ 15如图所示，其中 BCAC， BAC=30，AB=10cm，CB 1AB，B 1C1AC1，垂足分别 是 B
4、1、C 1，那么 B1C1=_cm 16用一条长为 25cm 的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为 7cm，则该等腰 三角形的腰长为_ 17若分式方程：3 无解，则 k=_ 18如图，BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点 D，DE AB，DF AC，垂足分别 为 E、F ，AB=11，AC=5 ，则 BE=_ 三、解下列各题： 19计算： （1） （ 3.14） 032+（ ） 2； （2） （4a 4b7a6b7） （ab 2） 3 20先化简，再求值： （x+3 ） ，其中 x= 21解分式方程： （1） 2； （2） 22如图，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3
5、） ，B （3，1） ，C（1， 2） （1）直接写出点 A、B、C 关于 y 轴对称的点 A1、B 1、C 1 坐标： A1（_，_ ） 、B 1（_，_） 、 C1（_，_ ） ；直接写出点 A1、B 1 关于 y=1 对称的点 A2、B 2 坐标： A2（_，_ ） 、B 2（_，_） （2）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1 23如图，AC 和 BD 相交于点 O，OA=OC ，OB=OD，求证：ABCD 24如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一 点直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F，交 CD 于点 G 求
6、证：AE=CG 25华联”超市准备从上海购进甲、乙两种商品进行销售，若每件甲的商品进价比每件乙种 商品的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种商品的数量与用 100 元购进乙种商品的数量相同 （1）求每件甲种商品、每件乙种商品的进价分别为多少元？ （2）若该“华联” 超市本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的 3 倍还少 5 个，购 进两种商品的总数量不超过 95 个，该超市每件甲商品销售价格为 12 元，每件乙种商品的 销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种全部售出后，可使销售两种商品的总利润 （利润=售价 进价）超过 371 元，通过计算求出“华联”超市本次从上海购进甲、乙两
7、种商 品有几种方案？请你设计出来 26在等腰直角ABC 中，BAC=90，AB=AC， （1）如图 1，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，AF BE 交 BC 于点 F，连结 EF、CD 交 于点 H求证：EFCD ； （2）如图 2，AD=AE，AFBE 于点 G 交 BC 于点 F，过 F 作 FPCD 交 BE 的延长线于点 P，试探究线段 BP，FP，AF 之间的数量关系，并说明理由 2015-2016 学年重庆市江津区八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分） 1在下列四个标志中，是轴对称图形的是( ) A B C D 【考点】轴
8、对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分析各图形的特征求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选 B 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分沿对称轴折叠后可重合 2下列计算正确的是( ) A （2a 2） 4=8a6 Ba 3+a=a4 Ca 2a=a D （ab） 2=a2b2 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的
9、乘方；完全平方公式 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方的知识求 解即可求得答案 【解答】解：A、 （2a 2） 4=16a8，故 A 选项错误； B、a 3+a，不是同类项不能计算，故 B 选项错误； C、a 2a=a，故 C 选项正确； D、 （ab） 2=a2+b22ab，故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘 方的知识，解题的关键是熟记法则及公式 3下列命题中，正确的是( ) A三角形的一个外角大于任何一个内角 B三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形 C两边和其中一边的对角
10、分别相等的两个三角形全等 D三角形的三条高都在三角形内部 【考点】命题与定理 【分析】根据三角形外角性质对 A 进行判断； 根据三角形中线性质和三角形面积公式对 B 进行判断； 根据三角形全等的判定对 C 进行判断； 根据三角形高线定义对 D 进行判断 【解答】解：A、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以 A 选项错误； B、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，所以 B 选项正确； C、两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，所以 C 选项错误； D、钝角三角形的高有两条在三角形外部，所以 D 选项错误 故选 B 【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；
11、正确的命题称为真命题；错误的命题 称为假命题 4化简 的结果是( ) A B C D 【考点】分式的加减法 【分析】先通分，化为同分母的分式，再进行加减即可 【解答】解：原式= = = 故选 A 【点评】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母 不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同 分母分式，然后再相加减 5代数式 ， ， ， ， ， 中是分式的有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】分式的定义 【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式 【解答】解：在代数式 ， ， ， ， ，
12、中是分式的有 ， ， ，共 3 个 故选 B 【点评】本题主要考查分式的定义，注意 不是字母，是常数，所以 不是分式，是 整式 6已知：如图，AB=CD，ABD= CDB，则图中全等三角形共有( ) A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【考点】全等三角形的判定 【专题】应用题 【分析】根据已知，利用全等三角形的判定方法来求得全等三角形，共有 3 对，可以通过 证明得到做题时，要从已知条件开始思考，结合全等的判定方法逐个验证，注意要由易 到难，不重不漏 【解答】解：ABDCDB， 证明：AB=CD ，ABD= CDB，BD=BD ， ABDCDB； BOADOC， ADB=CBD， BAD=
13、DCB AB=CD，BOA=DOC BOADOC； BACDCA， OA=OC OAC=OCA BAO=DCO BAC=DCA AB=CD，AC=AC BACDCA 故选 B 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、SSA、HL注意： AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 7下列各式中，能用平方差公式计算的有( ) （a 2b） （ a+2b） ； （a 2b） （ a2b） ； （a 2b） （a+2b） ； （a 2b） （2a+b） A1 个 B2 个 C
14、3 个 D4 个 【考点】平方差公式 【专题】计算题 【分析】利用平方差公式的结构特殊判断即可得到结果 【解答】解：（a 2b） （a+2b ）不能用平方差公式化简； （a 2b） （ a2b）能用平方差公式化简； （a 2b） （a+2b）能用平方差公式化简； （a 2b） （2a+b）不能用平方差公式化简， 则能用平方差公式计算的有 2 个 故选 B 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 8将一副三角板按如图所示摆放，图中 的度数是( ) A75 B90 C105 D120 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【专题】探究型 【分析】先根据直角三角形的性质
15、得出BAE 及 E 的度数，再由三角形内角和定理及对顶 角的性质即可得出结论 【解答】解：图中是一副直角三角板， BAE=45， E=30， AFE=180BAEE=105， =105 故选 C 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是 180 9如图，在ABC 中， CAB=65，将ABC 绕点 A 逆时针旋转到ADE 的位置，连接 EC，满足 ECAB，则BAD 的度数为( ) A50 B40 C35 D30 【考点】旋转的性质 【专题】计算题 【分析】根据旋转的性质得 AC=AE，BAD= CAE，再利用等腰三角形的性质得 ACE=AEC，接着根据平行线的性质由 ECAB
16、得到 ACE=CAB=65，则可根据三角形 内角和定理计算出CAE=50 ，从而得到BAD=50 【解答】解：ABC 绕点 A 逆时针旋转到ADE 的位置， AC=AE，BAD= CAE， ACE=AEC， ECAB， ACE=CAB=65， CAE=1806565=50， BAD=50 故选 A 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等解决本题的关键是判断PCE 为等腰三 角形 10若 4a2kab+9b2 是完全平方式，则常数 k 的值为( ) A6 B12 C 6 D12 【考点】完全平方式 【分析】利用完
17、全平方公式的结构特征判断即可得到结果 【解答】解：4a 2kab+9b2 是完全平方式， k=12 故选：D 【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式的结构特征 11三角形中，三个内角的比为 1：3：6，它的三个外角的比为( ) A1：3：6 B6：3：1 C9：7：4 D4：7：9 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】由三角形中，三个内角的比为 1：3：6，根据三角形的外角的性质，即可求得它 的三个外角的比 【解答】解：三角形中，三个内角的比为 1：3：6， 它的三个外角的比为：（3+6）：（1+6 ）：（1+3）=9：7：4 故选 C 【点评】此题考
18、查了三角形的外角的性质注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和 12若 x1，y0，且满足 ，则 x+y 的值为( ) A1 B2 C D 【考点】同底数幂的乘法 【专题】计算题 【分析】首先将 xy=xy 变形，得 y=xy1，然后将其代入 ，利用幂的性质，即可求得 y 的值，则可得 x 的值，代入 x+y 求得答案 【解答】解：由题设可知 y=xy1， x=yx3y=x4y1， 4y1=1 故 ， 从而 x=4 于是 故选 C 【点评】此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同 二、填空题：（每小题 4 分，共 24 分） 13可以把代数式 2ax212
19、ax+18a 分解因式为：2a（x3） 2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取公因式 2a，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式： a22ab+b2=（ab） 2 【解答】解：2ax 212ax+18a =2a（x 26x+9） =2a（x 3） 2 故答案为 2a（x3） 2 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进 行二次分解，注意分解要彻底 14若三角形的两边长是 7 和 4，且周长是偶数，则第三边长可能是 5 或 7 或 9 【考点】三角形三边关系 【分析】首先设第三边长为 x，根据三角形的三边关系定理可得 74x7+4，再
20、根据周长 为偶数，确定 x 的值 【解答】解：设第三边长为 x，由题意得： 74 x 7+4， 3x11， 周长是偶数， x=5，7，9， 故答案为：5 或 7 或 9 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三 角形的两边差小于第三边 15如图所示，其中 BCAC， BAC=30，AB=10cm，CB 1AB，B 1C1AC1，垂足分别 是 B1、C 1，那么 B1C1=3.75cm 【考点】含 30 度角的直角三角形 【分析】根据直角三角形的性质：30角所对的直角边等于斜边的一半解答 【解答】解：在 RtABC 中， CAB=30，AB=10cm ， B
21、C= AB=5cm， CB1AB， B+BCB1=90， 又A+ B=90， BCB1=A=30， 在 RtACB1 中，BB 1= BC=2.5cm， AB1=ABBB1=102.5=7.5cm， 在 RtAB1C1 中，A=30， B1C1= AB1= 7.5=3.75cm 故答案为：3.75 【点评】本题考查三角形的性质和直角三角形的性质，本题是一道综合性较强的题目，需 要同学们用 30角所对的直角边等于斜边的一半解答 16用一条长为 25cm 的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为 7cm，则该等腰 三角形的腰长为 7cm 或 9cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【
22、分析】分已知边 7cm 是腰长或底边两种情况讨论求解 【解答】解：7cm 是腰长时，底边为 2572=11， 7+711， 7cm、7cm、11cm 能组成三角形； 7cm 是底边时，腰长为 （257）=9cm， 7cm、9cm、9cm 能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为 7cm 或 9cm 故答案为：7cm 或 9cm 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用 三角形的三边关系判断是否能组成三角形 17若分式方程：3 无解，则 k=3 或 1 【考点】分式方程的解 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的 解使原
23、方程的分母等于 0 【解答】解：方程去分母得：3（x3）+2kx= 1， 整理得（3k） x=6， 当整式方程无解时，3k=0 即 k=3， 当分式方程无解时，x=3，此时 3k=2，k=1， 所以 k=3 或 1 时，原方程无解 故答案为：3 或 1 【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式 方程产生增根 18如图，BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点 D，DE AB，DF AC，垂足分别 为 E、F ，AB=11，AC=5 ，则 BE=3 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质 【分析】连接 CD，BD，由BAC
24、 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于点 D，DEAB，DF AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得 CD=BD，DF=DE，继而可得 AF=AE，易证得 RtCDFRtBDE，则可得 BE=CF，继而求 得答案 【解答】解：如图，连接 CD，BD， AD 是 BAC 的平分线，DEAB，DFAC， DF=DE，F=DEB=90 ，ADF=ADE ， AE=AF， DG 是 BC 的垂直平分线， CD=BD， 在 RtCDF 和 RtBDE 中， ， RtCDFRtBDE（HL ） ， BE=CF， AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， AB=11，AC
25、=5， BE= （115） =3 故答案为：3 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性 质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 三、解下列各题： 19计算： （1） （ 3.14） 032+（ ） 2； （2） （4a 4b7a6b7） （ab 2） 3 【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂 【分析】 （1）根据零指数幂、负整数指数幂以及乘方进行计算即可； （2）先算乘方，再用多项式除以单项式的法则进行计算即可 【解答】解：（1）原式=1 + =1； （2）原式=（4a 4b7a6b7） a3b6 =4a4b7 a6b
26、7 =12ab3a3b 【点评】本题考查了整式的混合运算以及零指数幂的运算、负整数指数幂运算，掌握它们 的运算法则是解题的关键 20先化简，再求值： （x+3 ） ，其中 x= 【考点】分式的化简求值 【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，然后进行乘法计算即可 化简，然后代入数值计算即可 【解答】解：原式= = = = ， 当 x= 时，原式= = 【点评】本题考查了分式的化简求值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式 21解分式方程： （1） 2； （2） 【考点】解分式方程 【分析】 （1）观察可得最简公分母是（x3） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转 化
27、为整式方程求解； （2）观察可得最简公分母是 x（x+1） （x1） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转 化为整式方程求解 【解答】解：（1） 2， 方程的两边同乘（x3） ，得 2x=12（x3） ， 解得 x=3 检验：把 x=3 代入 x3=0 故原方程无解 （2） ， 方程的两边同乘 x（x+1） （x1） ，得 7（x1） +5（x+1）=6x， 解得 x= 检验：把 x= 代入 x（x+1 ） （ x1）0 故原方程的解为 x= 【点评】考查了解分式方程，注意： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 22如图，
28、ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（2，3） ，B （3，1） ，C（1， 2） （1）直接写出点 A、B、C 关于 y 轴对称的点 A1、B 1、C 1 坐标：A 1（2，3） 、B 1（3，1） 、 C1（1，2） ；直接写出点 A1、B 1 关于 y=1 对称的点 A2、B 2 坐标：A 2（2， 5） 、 B2（3，3） （2）在图中作出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1 【考点】作图-轴对称变换 【分析】 （1）根据关于 y 轴对称的点的坐标变化特点可得 A1、B 1、C 1 的坐标，然后根据 关于 y=1 对称的点的特征即可得到 A2、B 2 坐标 （2）根据关于 y 轴对称
29、的点的坐标变化特点可得 A1、B 1、C 1 的坐标，再连接即可 【解答】解：（1）A（ 2， 3） ，B（3，1） ，C （1，2） ， 关于 y 轴对称的点 A1、B 1、 C1 坐标：A 1（ 2，3 ） 、 B1（ 3，1 ） 、C 1（ 1，2 ） ； 关于 y=1 对称的点 A2、B 2 坐标：A 2（ 2， 5 ） 、B 2（ 3， 3 ） ； 故答案为：2，3，3，1，1， 2，2，5，3，3； （2）如图所示： 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，关键是找出对称点的坐标，掌握关于 y 轴对称 的点的坐标变化特点：纵坐标不变，横坐标变相反数 23如图，AC 和 BD 相交于点
30、 O，OA=OC ，OB=OD，求证：ABCD 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定 【专题】证明题 【分析】根据条件证明AOBCOD 就可以得出A=C 就可以得出结论 【解答】证明：在AOB 和COD 中 ， AOBCOD（ASA） ， A=C， ABCD 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质的运用，内错角相等两直线平行的判定方法的 运用，解答时证明三角形全等是关键 24如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AB 边上一 点直线 BF 垂直于直线 CE 于点 F，交 CD 于点 G 求证：AE=CG 【考点】全等三角形的判定与性质 【专
31、题】证明题 【分析】根据题意得到三角形 ABC 为等腰直角三角形，且 CD 为斜边上的中线，利用三线 合一得到 CD 垂直于 AB，且 CD 为角平分线，得到 CAE=BCG=45，再利用同角的余角 相等得到一对角相等，AC=BC，利用 ASA 得到三角形 AEC 与三角形 CGB 全等，利用全 等三角形的对应边相等即可得证 【解答】证明：点 D 是 AB 中点，AC=BC，ACB=90， CDAB，ACD=BCD=45， CAD=CBD=45， CAE=BCG， 又 BFCE， CBG+BCF=90， 又ACE+BCF=90 ， ACE=CBG， 在AEC 和CGB 中， ， AECCGB（
32、ASA） ， AE=CG 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本 题的关键 25华联”超市准备从上海购进甲、乙两种商品进行销售，若每件甲的商品进价比每件乙种 商品的进价少 2 元，且用 80 元购进甲种商品的数量与用 100 元购进乙种商品的数量相同 （1）求每件甲种商品、每件乙种商品的进价分别为多少元？ （2）若该“华联” 超市本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的 3 倍还少 5 个，购 进两种商品的总数量不超过 95 个，该超市每件甲商品销售价格为 12 元，每件乙种商品的 销售价格为 15 元，则将本次购进的甲、乙两种全部售出后，可使销售两
33、种商品的总利润 （利润=售价 进价）超过 371 元，通过计算求出“华联”超市本次从上海购进甲、乙两种商 品有几种方案？请你设计出来 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 【分析】 （1）设每件乙种商品的进价为 x 元，则每件甲种商品的进价为（x2）元，根据题 意建立方程求出其解就可以了 （2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过 95 个”可得出关于数量的不等式，根据“使销 售两种商品的总利润（利润=售价进价）超过 371 元”可以得出关于利润的不等式，组成不 等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案 【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为 x
34、元，则每件甲种商品的进价为（x2）元， 根据题意，得 ， 解得：x=10，经检验，x=10 是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：102=8 答：每件甲种商品的进价为 8 元，每件乙种商品件的进价为 10 元 （2）设购进乙种商品 y 个，则购进甲种商品（3y5）个 由题意得： 解得：23y25 y 为整数 y=24 或 25 共有 2 种方案 方案一：购进甲种商品 67 个，乙商品件 24 个； 方案二：购进甲种商品 70 个，乙种商品 25 个 【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确 地找出相等关系与不等关系 26在等腰直角ABC 中，BAC=90，
35、AB=AC， （1）如图 1，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，AF BE 交 BC 于点 F，连结 EF、CD 交 于点 H求证：EFCD ； （2）如图 2，AD=AE，AFBE 于点 G 交 BC 于点 F，过 F 作 FPCD 交 BE 的延长线于点 P，试探究线段 BP，FP，AF 之间的数量关系，并说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 （1）据ABE 和CAM 全等求得 AE=CM，5= M，由于 AE=EC 得出 EC=CM， 从而求得EFC MCF，进一步求得 AD=AE，6= M，所以 6=5；由ABE ACD 得 出1=3，由已知可得
36、1+5=90，所以3+ 6=90即可求得 （2）据QCFMCF 求得 FQ=FM，从而求得 BP=BE+PE=AM+PQ=（AF+FM ） +PQ=AF+FM+PQ=AF+FP，即 BP=AF+FP 【解答】 （1）证明：如图，过点 C 作 CMAC 交 AF 延长线于点 M， BAC=90，AF BE 于 G， 1+5=2+5=90， 1=2 又BAC=ACM=90，AB=AC 在ABE 和CAM 中， ， ABECAM（ASA） ， AE=CM，5=M AE=EC EC=CM AB=AC，BAC=90 ABC=ACB=45 ACM=90 4=9045=45=ACF 在EFC 和MFC 中，
37、 ， EFCMCF（SAS） ， 6=M 6=5 AB=AC，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点 AD=AE 在ABE 与ACD 中， ， ABEACD（SAS） 1=3 3+6=90 EHC=90 EFCD （2）证明：如图，过点 C 作 CMAC 交 AF 延长线于点 M， 由（1）得ABECAM AE=CM，5= M，BE=AM 由（1）得ABEACD 1=3 FPCD 于 H， BAC=90 3+6=1+5 6=5 6=8，7=5 7=8 EP=QP 6=5，5=M 6=M AB=AC，BAC=90 ABC=ACB=45 ACM=90 4=9045=45=ACF 在QCF 和 MCF 中， QCFMCF（ASA ） FQ=FM BP=BE+PE =AM+PQ =（AF+FM）+PQ =AF+FM+PQ =AF+FP BP=AF+FP 【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，难度不大，熟练 掌握三角形全等的判定方法并找出全等的条件是解题的关键
