1、1 临河三中 2018-2019 学年第二学期期中 高二数学（理科普通）试题 第卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 若复数 z 满 足 z (1 i) i ，则 z 的共轭复数为 A 1 i B 1-i C - 1 i D - 1- i 2. 已 知 向 量 a （ 1， 1， 3） 与 b （ -2 ， ， -6 ）平 行 ， 则 实 数 的值为 A 2 B -2 C 20 D -20 3. 下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是 因为指数函数 y ax ( a 1) 是增函数； 所以 y 2x 是增函数；而 y 2 x 是指数函数 A. B.
2、C. D. 4. 定积分 1 （ 2x 0 ex ) dx = A e B. - e C 2 e D 1 e 5. 若 f (x) ln x 2x ，则 f (x) 的递增区间是 A. （ 0， ） B. 1 2 （ - ， ） 2 1 （ 0 ， ） C. 2 D.（ - , 0 ） （ 1 ， ） 2 6.用数字 1， 2， 3， 4， 5 可以组成没有重复数字的五位偶数共 有 A 36 个 B.18 个 C. 24 个 D 48 个 7. 长 方 体 ABCD A1B1C1 D1 中 , AB AA1 2 , AD 1 , E 为 CC1 的中点，则异面直 线 BC1 与 AE 所成角的
3、余弦值为 A 10 B 10 2 15 10 C 30 D 3 10 10 10 8. 由函数 y x2 1 的图像、 x 轴以及直线 x 1 、 x 3 所围成的封闭图形的面积 是 3 A. 32 B. 3 40 C. 12 D. 9 3 9. 如果函数 y f(x) 的图象如图所示，那么导函数 y f (x) 的图象可能是 10. 高三 （一）班学生要安排毕业晚会的 4 个音乐节目， 2 个舞蹈节目的演出顺序， 要求两个舞 蹈节目不连排，则不同排法的种数是 A. 240 B. 480 C. 288 D. 144 11. 函 数 f x x3 ax 2 在 R上为增函数，则实数 a 的取值范
4、围是 A （ 0， ） B. 0， ） C （ - ， 0 D （ - ， 0） 12. 小 赵 、 小 钱 、 小 孙 、 小 李 四 位 同 学 被 问 到 谁 去 过 长 城 时 ， 小赵说：我没 去过； 小钱说：小李去过； 小 孙 说 ； 小 钱 去 过 ； 小 李 说 ： 我 没 去 过 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是 A. 小赵 B. 小钱 C. 小孙 D. 小李 4 第卷 ( 非选择题 共 60 分 ) 二、 填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 若 复 数 z 1 i ， 则 | z |= 1 i 14. 曲 线 f ( x) 2x - ex
5、 在 点 (0, f (0) 处的切线斜率为 15. 已知 2 2 3 2 2 ， 3 3 3 8 3 3 ， 4 4 8 15 4 4 ， 5 5 5 5 ， 15 24 24 5 类比这些等式，若 7 7 7 7 ， 则 n n n 16.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照 , 要求排成一排 , 2 位老人相邻 但不排在两 端 , 不同的排法共有 种（用数字作答） 三、解答题 ( 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ) 17 （本 题 10 分）已知复数 z （ a2 4) (a 2)i ( a R) . （ 1） 若 z 为纯虚数，求实数 a 的值； （ 2） 若
6、z 在复平面上对应的点在直线 x 2y 1 0 上，求实数 a 的值 18. （本 题 10 分）已知函数 f ( x) x3 ax2 bx 5 ， 曲 线 y f ( x) 在 点 P (1, 4） 处 的切线方程为 y 3x 1 . (1) 求 a , b 的值； (2) 求 函 数 y f (x) 在 - 3,1 上的最大值 . 19 （本 题 10 分） 如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形， 且 PA=AD=4,AB=2,PA 平 面 ABC， E 是 PD的中 6 点 （ 1） 证 明 ： CD PD （ 2） 求二面角 E AC D的余弦值 7 20. （本题 10
7、分）已知 a R ，函数 f ( x) 1 x2 2 a ln x 3x ， g( x) x2 8x ， 且 x 1 是函数 f (x) 的极大值点 （ 1） 求 a 的值， （ 2） 如果函数 y 取值范围 f ( x) 和函数 y g( x) 在 区 间 (b, b 1) 上均为增函数，求实数 b 的 临河三中 2018-2019 学年第二学期期中 高二数学（理科普通）试 题答案 一、 选择题（每题 5 分） ： 1-5 D A C A C 6-10 D C A A B 11-12 B B 二、填空题（每题 5 分） ： 13) 1 14) 1 15) 48 16) 960 三、解答题 (
8、 每题 10 分) 17. 解：（ 1） 若 z 为纯虚数，则 a 2 4 0 ，且 a 2 0 ，解得 : a 2 ； （ 2） z 在复平面上对应的点（ a 2 4 ， a 2 ）， 8 在直线 x 2 y 1 0 上 ， 则 （ a2 4） 2 a 2) 1 0 , 即 (a 1) 2 0 , 解得 a 1 18. 解 ： (1) 因为切点为 P(1,4) ，所以 f (1) 4 即 1 a b 5 4 ， a b 2 ， 又 f (x) 3x2 2ax b， 而由切线方程 y 3x 1 的斜率可知 f (1) 3 ， 3 2a b 3 ，即 2a b 0 9 10 标 系 A xyz
9、， 由 a b2a 2 a 解得 b 0 b 2 4 . (2) 由（ 1）知 f ( x) 3x2 令 f (x) 0 得 x 2 或 x 4x - 4 ， 2 . 3 当 f (x) 0 时，得 - 3 x 2 或 2 3 x 1 ， 即 f ( x) 在 （ - 3， 2） ， （ 2， 1） 上单调递增； 3 当 f (x) 0 时，得 2 x 2 ， 3 即 f ( x) 在 （ ， ）2 23 上单调递减 . 因此 f (x) 的极大值为 f ( 2) 13 ，极小值为 f ( 2 ) 3 95 . 27 又 f ( 3) 8 ， f (1) 4 ， 故函数 y f (x) 在 -
10、 3,1 上的最大值为 13. 19. 解 ： （ 1）因 为 PA 平 面 ABCD， 底 面 ABCD为矩形， 所以 AB、 AD、 AP两两垂直，以 A 为坐标原点， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 则 A（ 0， 0， 0） ， C（ 2， 4， 0） ， D（ 0， 4， 0） ， P （ 0， 0， 4） ， E（ 0,2,2 ） 11 所以 CD =（ -2,0,0 ） ， PD （ 0,4,-4 ） 12 13 CD PD 0 0 0 0 CD PD , 即 CD PD （2）由（ 1）得： AC (2, 4, 0) ， AE (0,2, 2) 设平面 AEC的
11、一个法向量为 m ( x, y, z)， m AE 则 m AC 0 0 ，因此 2 y 2x 2z 0 4 y 0 取 z 1 ，解得 y x 1则 m ( 2, 1, ,1) 2 因 为 PA 平 面 ABCD， 所 以 PA 为 平 面 ACD的一个法向量 又 PA （ 0 ,0, 4)，所以 cos m, PA 46 4 6 6 因为二面角 E AC D为锐角，所以所求二面角的余弦值为 66 20. 解：（ 1） 因为函数 f ( x) 1 x22 a ln x 3x (x 0) ， 所 以 f (x) x ax 2 3 x 3xx a (x 0) ， 又因为 x 1 是函数 f (x
12、) 的极大值点 所以 f (1) 0 ，解得 a 2 检验：当 a 2 时 ， f ( x) x 2 3x x 2 ( x 1)( x x 2) ( x 0) ， 当 x (0,1), (2, ) 时， f ( x) 0 ，当 x (1,2) 时 ， f ( x) 0 ， 所以 x 1 是函数 f ( x) 的极大值点， a 2 符合题意 所以 a 2. 14 （2） g( x) x2 8x (x 4) 2 16 ， 所以函数 g( x) 的单调递增区间是（ - ， 4） . 又由（ 1）可知函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,1), (2, ) ， 2 所以依题意得 1 4 解得 b 0 或 2 b 3. 所以实数 b 的取值范围是 0 2 ，3 b 0 b 1 b 1 1 或 4 b b
