1、 福建省福州市 2011 届高三上学期期末质量检查 数学试题（文科） （满分 50 分：完卷时间：120 分钟） 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 则 等于（ 2|1,|1,MyxRNyxRMN ） A （0，1 ） ， （1，2） B| （0，1） ， （1 ，2）| C D|y或 |y 2复数 ，则实数 a 等于 （ ）()iaR A1 B1 C0 D 1 3如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的 茎叶图（其中 m 为数字 09 中的一个） ，去掉一个最高分和一 个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为 ，则一定有 12,a （ ） A B C
2、 D 的大小不确定12a21a1212,a 4已知实数 的最小值为 （ ）,0xyxy满 足 则 A2 B3 C4 D5 5如图，在一个边长为 3cm 的正方形内部画一个边长为 2cm 的 正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形 内的概率为 （ ） A B913 C D42 6已知向量 平行，则实数 x 的值为 （ ）(1,)(,)42abxab若 与 A2 B0 C1 D2 7将函数 的图象上的所 有点向左平移 个单位长度， 再把所得图像向上平移 1cosy 6 个单位长度，所得图象的函数解析是 （ ） A Bcos(2)16yxcos(2)13yx C D36 8已知 的 （
3、 ）2:|;:0,pxqxpq则 是 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必条件 9若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 21xyab （ ） A B5 C D252 10如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在 P 处有一棵树 与两墙的距离分别是 、4m，不考虑树的粗细， (01)am 现在用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的共圃 ABCD， 设此矩形花圃的面积为 Sm2， S 的最大值为 ，若将这()fa 棵树围在花圃的，则函数 的图象大致是 （ ）()uf 11黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去
4、了，现在只 能看到：在ABC 中，角 A、 B、C 的对边分别为 a、b 、c ，已知 ，解得2,a ，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件 （ 6b ） A B30,45 1,cos3C C D6Bc 754A 12定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点” ，过函数 图象上任意两个29yx “左整点”作直线，则倾斜角大于 45的直线条数为 （ ） A10 B11 C12 D13 二、填空题（每小题 4 分，满分 16 分） 13若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 p 的值为 。2ypx213xy 14如图所示的算法流程图，其输出的结果是 。 15在数列 ，2
5、 *1,(2,)nnaanNp中 若 为 常 数 则 称为“等方差数列” ，下列是对“等方差数列”的 判断： 若 是等方差数列，则 是等差数列 ；na2na 是等方差数列；(1) 若 是等方差数列，则 也是n *(,)knN为 常 数 等方差数列；其中正确命题序号为 。 （将所有正 确的命题序号填在横线上） 16若函数 在区间1，1上没有零点，则函数()32fxa 的递减区间是 。14)g 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列，其前 n 项的和为na .nS （I）求数列
6、 的通项公式 ；nnaS及 前 项 和 （II）设 的通项公式,nbb求 数 列 .nbT及 前 项 和 18 （本小题满分 12 分） 已知函数 的最小正周期为2()sin3sin()2fxxx(0. （I）求 的值； （II）求函数 上的取值范围。()0,f在 区 间 19 （本小题满分 12 分） 一个袋中有 4 个大小质地都相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个，黑球 1 个，现 从袋中有放回地取球，每次随机取一个。 （I）求连续取两次都是白球的概率； （II）若取一个红球记 2 分，取一个白球记 1 分，取一个黑球记 0 分，求连续取两次分数 之和大于 1 分的概率。 20 （本
7、小题满分 12 分） 某货轮匀速 行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费 用和 其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为 0.5） ，其它费用为每小时 800 元，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时。 （I）请将从甲地到乙地的运输成本 y（元）表示为航行速度 x（海里/ 小时）的函数； （II）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 的图像过点（1，3） ，且 对任2()fxmn(1)()fxfx 意实数 x 都成立，函数 的图像关于原点对称。()()ygxf
8、与 （I）求 的解析式；()f与 （II）若 在1，1 上是增函数，求实数 的取值范围。()Fxfx 22 （本小题满分 14 分） 如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且 ODAB，Q 为线段 O D 的 中点，已知|AB|=4 ，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB| 的值不变。 （I）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程； （II）过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，与 OD 所在直线交于 E 点， 为定值。1212,:EMB求 证 参考答案 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1 D 2A 3B
9、 4A 5 C 6D 7C 8A 9A 10C 1 1D 12 B 所以 2，解得 1 7 分 （）由（）得 1)62sin()(xf 因为 203x ，所以 7266x ， 9 分 所以 1sin1 ，因此 31)sin(0x， 即 ()fx的取值范围为 3,0 12 分 19解：（）连续取两次所 包含的基本事件有：（红，红） ， （红，白 1） ， （红，白 2） ， （红，黑） ；（白 1，红） （白 1，白 1） （白 1，白 2） ， （白 1，黑） ；（白 2，红） ， （白 2，白 1） ， （白 2，白 2） ， （白 2，黑） ；（黑，红） ， （黑，白 1） ， （黑，白
10、2） ， （黑， 黑） ， 所以基本事件的总数 6M 2 分 设事件 A：连续取两次都 是白球， 则事件 A 所包含的基本事件有： （白 1，白 1） （白 1，白 2） ， （白 2，白 1） ， （白 2，白 2）共 4 个 4 分 所以， 4)(P 6 分 （）解法 1：由（）连续取两次的事件总数为 16M， 设事件 B：连续取两次分数之和为分， 则 ()6； 8 分 设事件 C：连续取两次分数之和为 1 分， 则 41()P10 分 设事件 D：连续取两次分数之和大于分， 则 ()()6BP 12 分 （）解法 2：设事件 B：连续取两次分数之和为 2 分， 则 6()1P； 8 分
11、设事件 C：连续取两次分数之和为 3 分，则 4()16PC 设事件 D：连续取两次分数之和为 4 分，则 D 10 分 设事件 E：连续取两次分数 之和大于分， 则 1()()6PB 12 分 20解：（）由题 意，每小时的燃料费用为 20.5(0)x， 从甲地到乙地所用的时间为 3x小时， 2 分 则从甲地到乙地的运输成本 xy3805.， (5) 分 故所求的函数为 230160.585()yxx， (50)x 分 （）解法：由（） 1212， 分 当且仅当 160x，即 4x时取等号 11 分 故当货轮航行速度为0 海里 /小时时，能使该货轮运输成本最少 12 分 （）解法 2：由（）
12、 )50)(160(5xy 分.120 .80)(,40;)(,0)(,54(), ,),(16(min 2y xfxxffxfxf 令令令令令令 11 分 故当货轮航行速度为0 海里 /小时时，能使该货轮运输成本最少 12 分 21解 : （）解法 1：由题意知：f（x）=x 2+mx+n 的对称轴为 x=1, 故 .0,23)(nmf f（x）=x 2+2x 2 分 设函数 y=g（x）图象上的任意一点 P（x,y） ，P 关于原点的对称点为 Q（x 0,y0） 依题意得 0y 4 分 因为点 Q（x 0,y0） 在函数 y=f（x）的图象上, y=x22x，即 y=x 2+2x, g（x
13、）= x 2+2x, 7 分 （）解法 2:：取 x=1，由 f（1+x）=f （1x）得 f（ 0）=f（2） 由题意知： 13,.40mnf（x）=x 2+2x 2 分 下同解法 1 （）解法 3： f（1+x）=（1+x） 2+m（1+x）+n， f（1 x）=（1x） 2+m（1 x）+n， 又 f（ 1+x）=f（1x ）对任意实数 x 都成立， 2mx=4x 恒成立,m=2 而 f（1）=1+m+n=3+n=3, n=0 f（x）=x 2+2x 2 分 下同解法 1 （）解法 1：F （x）=g（x ） f（x）= x 2+2x （ x2+2x）= （1+ ） x2+2（1 ）x
14、F（x）在1，1上是连续的递增函数, 0)1(2)() xxF在1，1上恒成立 8 分 即 21()() 9 分 0时,F（x）=g （x） f（x）在1，1 上是增函数 12 分 （）解法 2：F （x）=g（x ） f（x）= x 2+2x （ x2+2x）= （1+ ） x2+2（1 ）x F（x）在1，1上是连续的递增函数, 0)1()() 在1，1上恒 成立 8 分 2x在 ,上恒成立 9 分 又函数 y=1上为减函 数， 10 分 当 x=1 时 y= x取最小值 0， 11 分 0时,F（x）=g （x） f（x）在1，1 上是 增函数 12 分 （）解法 3：当 时， F（x）
15、=4x，符合题意 8 分 当 1，即 )(时，由二次函数图象和性质， 只需满足 1)(20 ，解得： 1 10 分 当 1，即 0时，由二次函数图象和性质， 只需满足： 1)(2 ，解得： 0 综上， 0时 ,F（x）=g（x ） f（x）在1，1上是增函数 12 分 22解：（）以 AB、OD 所在直 线分别为 x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系， 动点 P 在曲线 C 上运动且保持| PA|+|PB|的值不变且点 Q 在曲线 C 上, |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 52 |AB|=4 曲线 C 是为以原点为中心，A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为
16、b,半焦距为 c,则 2a=2 ,a= 5,c=2,b=1 曲线 C 的方程为 5 2x +y2=1 6 分 （）证法 1：设 ,MNE点的坐标分别为 120(,)(,)(,)MxyNEy， 易知 B点的坐标为 (20)且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交 1EMB， 1011(,)(2,)xyxy 112x， 1 10 分 将 M 点坐标代入到椭圆方程中得： 1)()2(5201y， 去分母整理，得 10202y 11 分 同理，由 2ENB可得：51002y 12 分 ， 2是方程 05122yx的两个根， 1 14 分 （）证法 2：设 ,MNE点的坐标分别为 120(,)(,)(,)MxyNEy， 易知 B点的坐标为 (0)且点 B 在椭圆 C 内, 故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，则直线 的方程是 )2(xky 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 y 并整理得0520)51(2kxk 10 分 221x， 21 11 分 又 1EMB， 则 1011(,)(,)xyxy 12x， 同理，由 2N， 22x 12 分 10)(24211211 xx 14 分
