1、261 阿习题十一 1设 L为 xOy面内直线 x=a上的一段，证明： 其中 P(x,y)在 L上连续,d0LPxy 证：设 L是直线 x=a上由( a,b1)到( a,b2)这一段， 则 L： ，始点参数为 t=b1，终点参数为 t=b2故12btyt2 21d,d0dbbL aPx,ttPa,t 2设 L为 xOy面内 x轴上从点( a,0)到点( b,0)的一段直线，证明： ，其中 P(x,y)在 L上连续,0dbaxy, 证： L： ，起点参数为 x=a，终点参数为 x=bx 故 ,d,0dbLaPxy 3计算下列对坐标的曲线积分： (1) ，其中 L是抛物线 y=x2上从点(0,0)
2、到点(2,4)的一段弧；2L (2) 其中 L为圆周( x-a)2+y2=a2(a0)及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边dxyA 界(按逆时针方向绕行)； (3) ，其中 L为圆周 x=Rcost， y=Rsint上对应 t从 0到 的一段弧；L 2 (4) ，其中 L为圆周 x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；2dLxyxyA (5) ，其中 为曲线 x=k ， y=acos ， z=asin 上对应 从 0到 z 的一段弧； (6) ，其中 是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；32ddxzyxz (7) ，其中 为有向闭拆线 ABCA，这里 A， B， C依次为点（
3、1,0,0） ，LA (0,1,0)，(0,0,1)； (8) ，其中 L是抛物线 y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧22ddLxyxy 解：(1) L： y=x2， x从 0变到 2， 262 2224350 016dd1Lxyxx (2)如图 11-1所示， L=L1+L2其中 L1的参数方程为 图 11-1cos0inxaty L2的方程为 y=0(0 x2 a) 故 12 20 0322003dd+costincosdsidsi2LL axytxattA (3) 0220dsinicosdcod1sinLyxRttRttt (4)圆周的参数方程为： x=acost， y=a
4、sint， t:02 故 2202d1cosinsicosincosddLxyyattattatt A 263 (5) 2032032dsinicosd1xzykaaka (6)直线 的参数方程是 t从 10 32xyz 故 322013041dd7987xzyxttttt (7) (如图 11-2所示)ABC 图 11-2 ， x从 011:0yABz 01d2ABxdx ， z从 01:Cy 264 10120dd3BCxyzzz ， x从 010:1yCAz 10d1CAxdx 故 d312LABCAyzxyz (8) 21242351dd45Lxyxyx 4计算 ，其中 L是dLxyx
5、y (1)抛物线 y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段； (3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线 x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧 解：(1) L： ， y：12，故22132241d1d3Lxyxyyy (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为 x=3y-2， y：12 265 故 2121d332d045Lxyxyyy (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为 L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为 L2，则 L=L1+L2且 L1：
6、， y：12； L2： ， x：14；xy 故 12211d0d2Lxyy241 42 1d0d27Lxyxyxx 从而 12dd74Lxyxy (4)易得起点(1,1)对应的参数 t1=0，终点(4,2)对应的参数 t2=1，故122031420dd59d32Lxyxytttttt 5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由 (a,0)沿椭圆移动到 B(0,b)，求力所做的功 266 解：依题意知 F=kxi+kyj，且 L： ， t：0cosinxay2 (其中 k为比例系数) 20202202dcosinsicoddcosLWkxyatkbttbtkab
7、 6计算对坐标的曲线积分： (1) ， 为 x2+y2+z2=1 与 y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封dLxyz 限； (2) ， 为 x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，222ddLzxz 方向按曲线依次经过 xOy平面部分， yOz平面部分和 zOx平面部分 解:(1) ： 即 221xyz21zy 其参数方程为： t：02 cos2instyz 故： 20202 2dcosinsicosdd4sin16cod16xyzttttt (2)如图 11-3所示 267 图 11-3 = 1+ 2+ 3 1： t：0 ， cosin0xyz2 故 122203320dddsini
8、cossid43xzyxztttt 又根据轮换对称性知 1222ddd34yzxyxzzy 7应用格林公式计算下列积分： (1) ， 其中 L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三dd24356Axyy 角形正向边界； (2) ，其中 L为正向星形线222dcosinesinex xL yx ；330ya (3) ，其中 L为抛物线 2x= y2上由点(0,0)到(2 2ddcos1sin3Lxyxyx ,1)的一段弧；2 (4) ， L是圆周 上由点 (0,0)到(1,1)的一段弧；22ddsinLxyy 2yx (5) ，其中 m为常数， L为由点( a,0)到(0,0)经过
9、圆esinecoxxm 268 x2+y2=ax上半部分的路线（ a为正数） 图 11-4 解：(1) L所围区域 D如图 11-4所示， P=2x-y+4， Q=3x+5y-6， ， ，由格林公式得3x1ydd24564d132LDDPxyA (2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex， Q=x2sinx-2yex， 则 ，cosin 2i2exQxy 从而 ，由格林公式得Py222ddcosinesined0Ax xLD yxxyQy (3)如图 11-5所示，记 ， ， 围成的区域为 D （其中 =-L）OABABO 图 11-5 P=2xy3-y2cosx， Q=1-2ysin
10、x+3x2y2 ，6cos6cos 269 由格林公式有： dd0LOABDQPPxyxy 故 21200122dddsin343d4LOABABxyxyyy (4)L、 AB、 BO及 D如图 11-6所示 图 11-6 由格林公式有 ddLABODQPPxyxy 而 P=x2-y， Q=-(x+sin2y) ， ，即，10x 于是 dd0LABOLABOxyPxQy 从而 22221122003sinddddsinsi3n471si26LLBA OBPQxyxyxyyxy (5)L， OA如图 11-7所示 270 图 11-7 P=exsiny-my， Q=excosy-m， ，ecos
11、ecosxQy 由格林公式得： 2dd18LOADDPPxyxyma 于是： 202ddd0esin0ecos8d8 LOAaxxmPxQyPQyxmma 8利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线 x=acos3t， y=asin3t； (2)双纽线 r2=a2cos2 ； (3)圆 x2+y2=2ax 解：(1) 232024 200202dsincosdin3ico1ss26dco4cos43+s26168LAtattattattta (2)利用极坐标与直角坐标的关系 x=rcos ， y=rsin 得 ，cosxsinco2ya 从而 xdy-ydx=a2cos2 d
12、 于是面积为： 271 24421dcosinLAxyaa (3)圆 x2+y2=2ax的参数方程为cos02in 故 2021dda+cossind1iLAxya 9证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1) ；1,0dxy (2) ；3,423221 d663xyx (3) 沿在右半平面的路径；,2dy (4) 沿不通过原点的路径；6,8210x 证：(1) P=x-y， Q=y-x显然 P， Q在 xOy面内有连续偏导数，且 ，故积分与1PQyx 路径无关取 L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则 L的方程为： y=x， x：01于是 11, 00 dd (2) P=6xy2-
13、y3， Q=6x2y-3xy2显然 P， Q在 xOy面内有连续偏导数，且 ，213Pxy ，有 ，所以积分与路径无关1x 取 L为从(1,2)(1,4)(3,4)的折线，则3,42322121433212dd669486yxyx 272 (3) ， ， P， Q在右半平面内有连续偏导数，且 ， ，在右半2yPx1x 21Pyx2Qx 平面内恒有 ，故在右半平面内积分与路径无关 取 L为从(1,1)到(1,2)的直线段，则21,21ddxyy (4) ， ，且 在除原点外恒成立，故曲线2P2Qx32PQxyy 积分在不含原点的区域内与路径无关， 取 L为从(1,0)(6,0)(6,8)的折线，
14、则686,81022210 80dddxyx36+y59 10验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个 xOy面内是某一函数 u(x,y)的全微分，并求这样 的一个函数 u(x,y)： (1)(x+2y)dx+(2x+y)dy； (2)2xydx+x2dy； (3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy； (4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy 解：证：(1) P=x+2y， Q=2x+y ，所以( x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个 xOy面内的函数 u(x,y)的全微 分 ,00220d,xyyuxx (
15、2)P=2xy,Q=x2, ，故 2xydx+x2dy是某个定义在整个 xOy面内的函数 u(x,y)Pxy 的全微分 ,2002d,xyuxy 273 (3)P=3x2y+8xy2， Q=x3+8x2y+12yey， ，故(3 x2y+8xy2)2316PQxy dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个 xOy面内函数 u(x,y)的全微分，, 23203032d,88ed1e4yxyyyux (4)P=2xcosy+y2cosx， Q=2ysinx- x2siny， ， ，sincos2cosinyxy 有 ，故(2 xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2si
16、ny)dy是某一个定义在整个 xOy面内的函 数 u(x,y)的全微分，, 2 20022ddcossinidinisinsxyxyyx 11证明： 在整个 xOy平面内除 y的负半轴及原点外的开区域 G内是某个二元函2xy 数的全微分，并求出这样的一个二元函数 证： ， ，显然 G是单连通的， P和 Q在 G内具有一阶连续偏导数，2Pxy2Qxy 并且 ，( x,y) G2yx 因此 在开区域 G内是某个二元函数 u(x,y)的全微分2dy 由 22211lnxxdxyy 知 2ln,u 12设在半平面 x0中有力 构成力场，其中 k为常数， ，证3kFxiyjr2rxy 明：在此力场中场力
17、所做的功与所取的路径无关 证：场力沿路径 L所作的功为 其中 ， ，则 P、 Q在单连通区域 x0内具有一阶33dLkWxyr 3kxPr3kyr 连续偏导数，并且 5(0)PQyrx 274 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关 13当 为 xOy面内的一个闭区域时，曲面积分 与二重积分有什么关系？d,Rxyz 解：因为 ： z=0，在 xOy面上的投影区域就是 故 dd, ,0RxyRxy 当 取的是上侧时为正号， 取的是下侧时为负号 14计算下列对坐标的曲面积分： (1) ，其中 是球面 x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧； 2dxyz (2) ，其中 是柱面 x2
18、+y2=1被平面 z=0及 z=3所截得的在第封dyz 限内的部分的前侧； (3) ，其中 f(x,y,z)为连2dd, , ,fxzfzfzxyzxy 续函数， 是平面 x-y+z=1在第封限部分的上侧； (4) ，其中 是平面 x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域ddxzA 的整个边界曲面的外侧； (5) ，其中 为曲面 与平面 z=h(h0)所dyzzxy 2z 围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6) ，其中 为 x=y=z=0， x=y=z=a所围成的正方22dAzzx 体表面，取外侧为正向； 解：(1) ： ，下侧， 在 xOy面上的投影区域 Dxy为：
19、x2+y2 R222zRxy 2 224220 22202 3542 2203542 2ddcosin1idd8 dcs6135xyDRRxy xyrrRrrr Rrrr 7207205 RrR (2) 如图 11-8所示， 在 xOy面的投影为一段弧， 275 图 11-8 故 ， 在 yOz面上的投影d0zxy Dyz=(y,z)|0 y1，0 z3，此时 可表示为： ，( y,z) Dyz，21 故 23102ddyzxzy 在 xOz面上的投影为 Dxz=(x,z)|0 x1，0 z3，此时 可表示为： ，( x,z) Dxz，21y 故 23102ddxzx 因此： 120dd364
20、32zxyzyx (3) 如图 11-9所示，平面 x-y+z=1上侧的法向量为 n=1,-1,1， n的方向余弦为 ， ， ，1cos31cos31cos3 276 图 11-9 由两类曲面积分之间的联系可得： d2dd, , ,cos()cos()(2)()dd1 xyDfxyzfyzxfzxyzxyff zffyzxyxz12xy (4)如图 11-10所示： 图 11-10 = 1+ 2+ 3+ 4其方程分别为 1： z=0， 2： x=0， 3： y=0， 4： x+y+z=1， 故 123410d0d1d24xyDxzyxzyyA 由积分变元的轮换对称性可知 zdxyzxA 277
21、 因此 dyd13248xzzxA (5)记 所围成的立体为 ，由高斯公式有：ddd0yzzxxyzxyz (6)记 所围的立方体为 ， P=y(x-z)， Q=x2， R=y2+xz 由高斯公式有 200200 4 dddddaaaazxyzxyxyzxyxaA 15.设某流体的流速 V=(k,y,0)，求单位时间内从球面 x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为 ，球面为 ，则流量 （由高斯公式）3 dd42dkyzxPQyzxzA 16利用高斯公式，计算下列曲面积分： (1) ，其中 为平面 x=0， y=0， z=0， x=a， y=a， z=a所围成222dxyzxz
22、yA 的立体的表面的外侧； (2) ，其中 为球面 x2+y2+z2=a2的外侧；333dzz (3) ，其中 为上半球体 x2+y2 a2，22 2ddxyxyz 的表面外侧；0za 278 (4) ，其中 是界于 z=0和 z=3之间的圆柱体 x2+y2=9的整个表ddxyzxzyA 面的外侧； 解：(1)由高斯公式 222004d6d3aazxyvyxyz对 称 性 (2)由高斯公式： 333224005dd3dsind1axyzxzyPQRvxyzrA (3)由高斯公式得 22322200245ddddsindsinaxzyzxxyyzPQRvzxyrraA (4)由高斯公式得： 2d
23、d381xyzxzyPQRvvA 17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1) ，其中 为圆周 x2+y2+z2=a2， x+y+z=0，若从 x轴的正向看去，这dyxzA 279 圆周是取逆时针的方向； (2) ，其中 是用平面 截立方2 22dddxyzyzxA 32xyz 体：0 x1，0 y1，0 z1 的表面所得的截痕，若从 Ox轴的正向看去，取逆时针方 向； (3) ，其中 是圆周 x2+y2=2z， z=2，若从 z轴正向看去，这圆周23z 是取逆时针方向； (4) ，其中 是圆周 x2+y2+z2=9， z=0，若从 z轴正向看去，这圆周22ddAyx 是取逆时针方向 解
24、：(1)取 为平面 x+y+z=0被 所围成部分的上侧， 的面积为 a2（大圆面积） ， 的单位法向量为 1,cos,cs3n 由斯托克斯公式 2dcoscoscosd3d3yxzRQQPPRxyzxsa A (2)记为 为平面 被 所围成部分的上侧，可求得 的面积为 （是一32xyz 34 个边长为 的正六边形） ；2 的单位法向量为 1,cos,cs3n 由斯托克斯公式 280 2 22ddd1112d3334d324392xyzyzxyszsxy A (3)取 ： z=2， Dxy： x2+y24 的上侧，由斯托克斯公式得：223dd0d35d0AxyDyxzxyz (4)圆周 x2+y
25、2+z2=9， z=0实际就是 xOy面上的圆 x2+y2=9， z=0，取 ： z=0， Dxy： x2+y29 由斯托克斯公式得：2d3dd0032d39AxyDzzxy 18把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中 L为：d,LPxQyy (1)在 xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线 y=x2从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周 x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1) 解：(1) L的方向余弦 ，2coscos4 281 故 d,d2LPxQyys (2)曲线 y=x2上点( x,y)处的切向量 T=1,2x其方向余弦为 ，21cos4
26、x2cos14x 故 2d,d14LPQyysx (3)上半圆周上任一点处的切向量为 其方向余弦为 ，21,x2cosxcos1x 故 2d,d,1LPQyysxx 19设 为曲线 x=t， y=t2， z=t3上相应于 t从 0变到 1的曲线弧，把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分dRz 解：由 x=t， y=t2， z=t3得 dx=dt，d y=2tdt=2xdt，d z=3t2dt=3ydt， 2149dsxyt 故 2221cos49d3cos149yxyzx 因而 23ddPxQyRPxQRs 20把对坐标的曲面积分 d,yzzxxyx z 化成对面积的曲面积分，其中： 282 (1) 是平面 在第封限的部分的上侧；326xyz (2) 是抛物面 z=8-(x2+y2)在 xOy面上方的部分的上侧 解：(1)平面 ： 上侧的法向量为 n=3，2， ，单位向量为 n0=33 ， ， ，即方向余弦为 ， ， 352cos5cscos5 因此： ddd,coscs3235PyzQzxRxyx z (2) ： F(x,y,z)=z+x2+y2-8=0， 上侧的法向量 n= Fx， Fy， Fz= 2x，2 y，1 其方向余弦： ， ，2cos142cos142cs14xy 故 2ddd,coscos14PzQzxRxyzxyR
