1、导数题型一：证明不等式 不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧 性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引 入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高 考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究, 使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操 作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思 路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。 一构造形似函数型 例 1求证下列不等式 （1） （相减）)1(2)1ln(2xxx),0( （2） （
2、相除两边同除以 x 得 ）x2sin),0(2sin （3） xxtansi )2,0( （4）已知： ，求证 ；（换元：设 ）)0(xxx1ln1xt1 （5）已知函数 ， ，证明：()ln1)fxx11ln()x 巩固练习： 1.证明 时，不等式1xx132 2. ，证明： 0ex 3. 时，求证：x)1ln(2x 4.证明: ).(,3)1ln( xx 5.证明: ， .3axt)2,0( 二、需要多次求导 例 2.当 时,证明:)10(x 22)1(ln)(xx 例 3.求证:x0 时, 21xxe 例 4.设函数 f(x)ln x x2(a1)x (a0，a 为常数)若 a1，证明：
3、当 x1 时，f(x) x2 .1 三、作辅助函数型 例 5.已知：a、b 为实数，且 bae,其中 e 为自然对数的底，求证： abb a. 例 6.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx, (i)求函数 f(x)的最大值； (ii)设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g( )(b-a)ln2.2ba 巩固练习 6、证明 (1) )0(lnbabab (2) ,证明02 （3）若 ,证明:21x12tanx 四、同增与不同增 例 7.证明：对任意 .21ln0,1eexx 例 8.已知函数 证明： .1(),()lnxfgxe21)(fe 五、极值点偏移（理科） 例
4、 9.已知函数 ()()xfeR如果 12,x且 12(),fxf证 明 12x 例 10.已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若 ，且()1exfxR， e12x ，求证：12()fxf124. 六、放缩法 例 11.已知： ，求证： 。2nN且 121ln31n 例 12.当 且 时，证明： .2n*Nnl13ln21 例 13.求证： 127513)ln( n （ *N） 巩固练习 7.证明:对任意的正整数 ,不等式 都成立.n342921ln() 8.已知 且 ，求证: .nN3+1l+5 9.求证： (n2，nN *)l2ln4 10.证明：对任意的 ，有 .N)1(2ln1l(2l1 七、综合题型 例 13.已知函数 .()1lnfxx （）证明： .0f 例 14. 为实数，函数a()2,xfeaR （1）求 的单调区间()fx （2）求证：当 且 时，有12lna0x21xea 例 15.已知函数 （ 且 ）.21()()lnxfaxa01 （1）当 时，求证: 在 上单调递增；aef0, （2）当 且 时,求证: .21,)t2(21)(3ftfte
