1、Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳 一椭圆标准方程及定义 1已知椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆一个焦点距离为 3，则点 P 到另一个焦点距离为（ ） A2 B3 C5 D7 2、已知椭圆标准方程为 ，并且焦距为 6，则实数 m 值为 3求满足下列条件椭圆标准方程 （1）焦点分别为（0，2） ， （0，2） ，经过点（4， ） （2）经过两点（2， ） ， （ ） 4求满足下列条件椭圆方程： （1）长轴在 x 轴上，长轴长等于 12，离心率等于 ； （2）椭圆经过点（6，0）和（0，8） ； （3）椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为 10 和 4 5设 F1，F 2分别是椭圆 + =1 左
2、，右焦点，P 为椭圆上任一点， 点 M 坐标为（6，4） ，则|PM|+|PF 1|最大值为 Fpg Fpg 二、离心率 1、已知 F1、F 2是椭圆两个焦点，P 是椭圆上一点，F 1PF2=90， 则椭圆离心率取值范围是 2设 F1、F 2是椭圆 E： + =1（ab0）左右焦点，P 是直线 x= a 上一点，F 2PF1是底角为 30等腰三角形，则椭圆 E 离 心率为（ ） A B C D 3已知点 F1、F 2是双曲线 C： =1（a0，b0）左、右焦 点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 右支上，且满足 |F1F2|=2|OP|，|PF 1|3|PF 2|，则双曲线 C 离心率取值
3、范围为 （ ） A （1，+） B ，+） C （1， D （1， 三、焦点三角形 1、已知椭圆 + =1 左，右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是椭圆上一点， 且F 1PF2=60 求PF 1F2周长 求PF 1F2面积 Fpg Fpg 2已知点（0， ）是中心在原点，长轴在 x 轴上椭圆一个 顶点，离心率为 ，椭圆左右焦点分别为 F1和 F2 （1）求椭圆方程； （2）点 M 在椭圆上，求MF 1F2面积最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点 P，使 =0，若存在，请求 出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 四、弦长问题 1、已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m （1）当直线
4、与椭圆有公共点时，求实数 m 取值范围 （2）求被椭圆截得最长弦长度 2、设 F1，F 2分别是椭圆 左、右焦点，过 F1 斜率为 1 直线 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成 等差数列 （1）求 E 离心率； （2）设点 P（0，1）满足|PA|=|PB|，求 E 方程 五、中点弦问题 Fpg Fpg 1、 已知椭圆 + =1 弦 AB 中点 M 坐标为（2，1） ，求直 线 AB 方程，并求 AB 长 六、定值、定点问题 1、已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l 不过原点 O 且不平行于 坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 A
5、B 中点为 M （1）证明：直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值； （2）若 l 过点（ ，m） ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 斜率；若不能，说明理由 七、对称问题 1已知椭圆方程为 ，试确定 m 范围，使得椭圆上有不同 两点关于直线 y=4x+m 对称 Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳 参考答案与试题解析 一选择题（共 3 小题） 1 （2016 春马山县期末）已知椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆一 个焦点距离为 3，则点 P 到另一个焦点距离为（ ） A2 B3 C5 D7 【分析】先根据条件求出 a=5；再根据椭圆定义
6、得到关于所求距离 d 等式即可得到结论 【解答】解：设所求距离为 d，由题得：a=5 根据椭圆定义得：2a=3+dd=2a3=7 故选 D 【点评】本题主要考查椭圆定义在解决涉及到圆锥曲线上点 与焦点之间关系问题中，圆锥曲线定义往往是解题突破 口 2 （2015 秋友谊县校级期末）设 F1、F 2是椭圆 E： + =1（ab0）左右焦点，P 是直线 x= a 上一点， F2PF1是底角为 30等腰三角形，则椭圆 E 离心率为（ ） A B C D Fpg Fpg 【分析】利用F 2PF1是底角为 30等腰三角形，可得 |PF2|=|F2F1|，根据 P 为直线 x= a 上一点，可建立方程，由
7、此可求 椭圆离心率 【解答】解：F 2PF1是底角为 30等腰三角形， |PF 2|=|F2F1| P 为直线 x= a 上一点 2（ ac）=2c e= = 故选：B 【点评】本题考查椭圆几何性质，解题关键是确定几何量之间 关系，属于基础题 3 （2016衡水模拟）已知点 F1、F 2是双曲线 C： =1（a0，b0）左、右焦点，O 为坐标原点，点 P 在 双曲线 C 右支上，且满足|F 1F2|=2|OP|，|PF 1|3|PF 2|，则双曲 线 C 离心率取值范围为（ ） Fpg Fpg A （1，+） B ，+） C （1， D （1， 【分析】由直角三角形判定定理可得PF 1F2为直
8、角三角形，且 PF1PF 2，运用双曲线定义，可得|PF 1|PF 2|=2a， 又|PF 1|3|PF 2|，可得|PF 2|a，再由勾股定理，即可得到 c a，运用离心率公式，即可得到所求范围 【解答】解：由|F 1F2|=2|OP|，可得|OP|=c， 即有PF 1F2为直角三角形，且 PF1PF 2， 可得|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2， 由双曲线定义可得|PF 1|PF 2|=2a， 又|PF 1|3|PF 2|，可得|PF 2|a， 即有（|PF 2|+2a） 2+|PF2|2=4c2， 化为（|PF 2|+a） 2=2c2a 2， 即有 2c2a 24a 2， 可得
9、 c a， 由 e= 可得 1e ， 故选：C 【点评】本题考查双曲线离心率范围，注意运用双曲线定义 和直角三角形性质，考查运算能力，属于中档题 二填空题（共 3 小题） 4已知椭圆标准方程为 ，并且焦距为 6，则实数 m Fpg Fpg 值为 4 或 【分析】由题设条件，分椭圆焦点在 x 轴上和椭圆焦点在 y 轴 上两种情况进行讨论，结合椭圆中 a2b 2=c2进行求解 【解答】解：椭圆标准方程为 ， 椭圆焦距为 2c=6，c=3， 当椭圆焦点在 x 轴上时，25m 2=9， 解得 m=4； 当椭圆焦点在 y 轴上时，m 225=9， 解得 m= 综上所述，m 取值是 4 或 故答案为：4
10、或 【点评】本题考查椭圆简单性质，是基础题解题时要认真审题， 仔细解答，注意分类讨论思想合理运用 5 （2016漳州一模）设 F1，F 2分别是椭圆 + =1 左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 坐标为（6，4） ，则|PM|+|PF 1|最大值 为 15 【分析】由椭圆定义可得， |PM|+|PF1|=2a+|PM|PF 2|2a+|MF 2|，由此可得结论 【解答】解：由题意 F2（3，0） ，|MF 2|=5， 由椭圆定义可得， Fpg Fpg |PM|+|PF1|=2a+|PM|PF 2|=10+|PM|PF 2|10+|MF 2|=15， 当且仅当 P，F 2，M 三点共线时取
11、等号， 故答案为：15 【点评】本题考查椭圆定义，考查学生分析解决问题能力，属 于基础题 6已知 F1、F 2是椭圆两个焦点，P 是椭圆上一点，F 1PF2=90， 则椭圆离心率取值范围是 【分析】根据题意，点 P 即在已知椭圆上，又在以 F1F2为直径圆 上因此以 F1F2为直径圆与椭圆有公式点，所以该圆半径 c 大 于或等于短半轴 b 长度，由此建立关于 a、c 不等式，即可求得 椭圆离心率取值范围 【解答】解P 点满足F 1PF2=90， 点 P 在以 F1F2为直径圆上 又P 是椭圆上一点， 以 F1F2为直径圆与椭圆有公共点， F 1、F 2是椭圆 焦点 以 F1F2为直径圆半径 r
12、 满足：r=cb， 两边平方，得 c2b 2 即 c2a 2c 22c2a 2 两边都除以 a2，得 2e21， Fpg Fpg e ，结合 0e1， e1，即椭圆离心率取值范围是 ，1） 故答案为： ，1） 【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于 90 度情况下， 求椭圆离心率，着重考查了椭圆基本概念和解不等式基本知 识，属于中档题 三解答题（共 9 小题） 7 （2013 秋琼海校级月考）已知椭圆 + =1 左，右焦点分别为 F1，F 2，点 P 是椭圆上一点，且F 1PF2=60 求PF 1F2周长 求PF 1F2面积 【分析】根据椭圆方程求得 c，利用PF 1F2周长 L=2a
13、+2c， Fpg Fpg 即可得出结论； 设出|PF 1|=t1，|PF 2|=t2，利用余弦定理可求得 t1t2值，最后利 用三角形面积公式求解 【解答】解：a=5，b=3，c=4 PF 1F2周长 L=2a+2c=18； 设|PF 1|=t1，|PF 2|=t2， 则由椭圆定义可得：t 1+t2=10 在F 1PF2中F 1PF2=60， t 12+t222t 1t2cos60=28， 可得 t1t2=12， = =3 【点评】解决此类问题关键是熟练掌握椭圆标准方程、椭圆 定义，熟练利用解三角形一个知识求解问题 8 （2015 秋揭阳月考）已知点（0， ）是中心在原点，长轴在 x 轴上椭圆
14、一个顶点，离心率为 ，椭圆左右焦点分别为 F1 和 F2 （1）求椭圆方程； （2）点 M 在椭圆上，求MF 1F2面积最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点 P，使 =0，若存在，请求 出点 P 坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点坐标和离心率 Fpg Fpg 得 b= ，根据 a2=b2+c2求出 a 值，即求出椭圆标准方程； （2）根据（1）求出椭圆标准方程，求出点 M 纵坐标范围，即 求出三角形面积最大值； （3）先假设存在点 P 满足条件，根据向量数量积得 ，根 据椭圆焦距和椭圆定义列出两个方程，求出 S 值，结 合（2）中三角形面积最大值，
15、判断出是否存在点 P 【解答】解：（1）由题意设椭圆标准方程为 + =1， 由已知得，b= （2 分） 则 e2= = =1 = ， 解得 a2=6（4 分） 所求椭圆方程为 + =1（5 分） （2）令 M（x 1，y 1） ， 则 S = |F1F2|y1|= 2|y1|=|y1|（7 分） 点 M 在椭圆上， y 1 ， 故|y 1|最大值为 ， （8 分） 当 y1= 时，S 最大值为 （9 分） （3）假设存在一点 P，使 =0， ， ， ， （10 分） PF 1F2为直角三角形，|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11 分） 又|PF 1|+|PF2|=2a=2
16、（12 分） Fpg Fpg 2，得 2|PF1|PF2|=20， |PF1|PF2|=5， （13 分） 即 S =5，由（1）得 S 最大值为 ，故矛盾， 不存在一点 P，使 =0 （14 分） 【点评】本题考查了椭圆方程求法以及椭圆性质、向量数量积 几何意义，利用 a、b、c、e 几何意义和 a2=b2+c2求出 a 和 b 值， 根据椭圆上点坐标范围求出相应三角形面积最值，即根据此范 围判断点 P 是否存在，此题综合性强，涉及知识多，考查了分析 问题和解决问题能力 9 （2015 秋葫芦岛校级月考）求满足下列条件椭圆标准方程 （1）焦点分别为（0，2） ， （0，2） ，经过点（4，
17、） （2）经过两点（2， ） ， （ ） 【分析】 （1）设出椭圆标准方程，代入点坐标，结合 c=2，即 可求得椭圆标准方程； （2）设出椭圆标准方程，代入点坐标，即可求得椭圆标准方 程 【解答】解：（1）依题意，设所求椭圆方程为 =1（ab0） 因为点（4，3 ） ，在椭圆上，又 c=2，得 ， 解得 a=6，b=4 （ 10 分） Fpg Fpg 故所求椭圆方程是 =1； （2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1，则 经过两点（2， ） ， （ ） ， ， ，n= ， 椭圆方程为 =1 【点评】本题考查椭圆标准方程，考查学生计算能力，属于基 础题 10 （2012 秋西安期末）求满足下列条件
18、椭圆方程： （1）长轴在 x 轴上，长轴长等于 12，离心率等于 ； （2）椭圆经过点（6，0）和（0，8） ； （3）椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为 10 和 4 【分析】 （1）设椭圆方程为 + =1（ab0） ，运用离心率公式 和 a，b，c 关系，解得 a，b，即可得到椭圆方程； （2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1， （m，n0） ，由题意代入点 （6，0）和（0，8） ，解方程即可得到椭圆方程； （3）讨论椭圆焦点位置，由题意可得 ac=4，a+c=10，解方 程可得 a，c，再由 a，b，c 关系解得 b，即可得到椭圆方程 【解答】解：（1）设椭圆方程为 + =1（ab0）
19、 ， Fpg Fpg 由题意可得，2a=12，e= ， 即有 a=6， = ，即有 c=4， b= = =2 ， 即有椭圆方程为 + =1； （2）设椭圆方程为 mx2+ny2=1， （m，n0） ， 由题意代入点（6，0）和（0，8） ，可得 36m+0=1，且 0+64n=1， 解得 m= ，n= ， 即有椭圆方程为 + =1； （3）当焦点在 x 轴上时，可设椭圆方程为 + =1（ab0） ， 由题意可得 ac=4，a+c=10， 解得 a=7，c=3， b= =2 ， 即有椭圆方程为 + =1； 同理，当焦点在 y 轴上时，可得椭圆方程为 + =1 即有椭圆方程为 + =1 或 + =
20、1 【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程求法， 注意运用椭圆方程正确设法，以及椭圆性质运用，属于基础 题 Fpg Fpg 11 （2010宁夏）设 F1，F 2分别是椭圆 左、 右焦点，过 F1斜率为 1 直线 与 E 相交于 A，B 两点，且 |AF2|，|AB|，|BF 2|成等差数列 （1）求 E 离心率； （2）设点 P（0，1）满足|PA|=|PB|，求 E 方程 【分析】 （I）根据椭圆定义可知|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据 |AF2|，|AB|，|BF 2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线 l 方程， 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y
21、 2） ，代入直线和椭圆方程，联立消去 y，根 据韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2进而根据 ，求得 a 和 b 关系，进而求得 a 和 c 关系，离心率可得 （II）设 AB 中点为 N（x 0，y 0） ，根据（1）则可分别表示出 x0和 y0，根据|PA|=|PB|，推知直线 PN 斜率，根据 求得 c，进 而求得 a 和 b，椭圆方程可得 【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a，又 2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得 ，l 方程为 y=x+c，其中 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 A、B 两点坐标满足方程组 化简（a 2
22、+b2）x 2+2a2cx+a2（c 2b 2）=0 Fpg Fpg 则 因为直线 AB 斜率为 1，|AB|= |x1x 2|= ， 得 ，故 a2=2b2 所以 E 离心率 （II）设 AB 中点为 N（x 0，y 0） ，由（I）知 ， 由|PA|=|PB|，得 kPN=1， 即 得 c=3，从而 故椭圆 E 方程为 【点评】本题主要考查圆锥曲线中椭圆性质以及直线与椭圆位 置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题能 力及运算能力 12 （2014 春广水市校级月考）已知椭圆 + =1 弦 AB 中点 M 坐标为（2，1） ，求直线 AB 方程，并求 AB 长 【分析】首先，
23、根据椭圆对称轴，得到该直线斜率存在，设其 方程为 y1=k（x2） ，然后联立方程组，利用一元二次方程根与 系数关系，并且借助于中点坐标公式，确定斜率 k 值，然后， Fpg Fpg 利用两点间距离公式或弦长公式，求解 AB 长 【解答】解：当直线 AB 斜率不存在时，不成立， 故直线 AB 斜率存在， 设其方程为 y1=k（x2） ， 联立方程组 ，消去 y 并整理，得 （1+4k 2）x 2+8k（12k）x+4（12k） 216=0， x 1+x2= ， ， 2k（2k1）=1+4k 2， k= ， 直线 AB 方程：x+2y4=0 将 k= 代人（1+4k 2）x 2+8k（12k）x
24、+4（12k） 216=0， 得 x24x=0， 解得 x=0，x=4， A（0， ） ，B（4， ） ， |AB|= AB 长 2 【点评】本题属于中档题，重点考查了椭圆简单几何性质、直线 与椭圆位置关系、弦长公式、两点间距离公式等知识，属于高 考热点和重点问题 Fpg Fpg 13 （2015新课标）已知椭圆 C：9x 2+y2=m2（m0） ，直线 l 不过 原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点 为 M （1）证明：直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值； （2）若 l 过点（ ，m） ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为
25、平行四边形？若能，求此时 l 斜率；若不能，说明理由 【分析】 （1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应直线斜率即可 得到结论 （2）四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平 分，即 xP=2xM，建立方程关系即可得到结论 【解答】解：（1）设直线 l：y=kx+b， （k0，b0） ，A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，M（x M，y M） ， 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2（m0） ，得（k 2+9）x 2+2kbx+b2m 2=0， 则判别式=4k 2b24（k 2+9） （b 2m 2）0， 则 x1+x2= ，则 xM= = ，y
26、 M=kxM+b= ， 于是直线 OM 斜率 kOM= = ， 即 kOMk=9， 直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值 （2）四边形 OAPB 能为平行四边形 直线 l 过点（ ，m） ， 由判别式=4k 2b24（k 2+9） （b 2m 2）0， Fpg Fpg 即 k2m29b 29m 2， b=m m， k 2m29（m m） 29m 2， 即 k2k 26k， 则 k0， l 不过原点且与 C 有两个交点充要条件是 k0，k3， 由（1）知 OM 方程为 y= x， 设 P 横坐标为 xP， 由 得 ，即 xP= ， 将点（ ，m）坐标代入 l 方程得 b= ， 即 l 方程为
27、y=kx+ ， 将 y= x，代入 y=kx+ ， 得 kx+ = x 解得 xM= ， 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP=2xM， 于是 =2 ， 解得 k1=4 或 k2=4+ ， k i0，k i3，i=1，2， 当 l 斜率为 4 或 4+ 时，四边形 OAPB 能为平行四边形 Fpg Fpg 【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线相交问题，联立方程组转 化为一元二次方程，利用根与系数之间关系是解决本题关 键综合性较强，难度较大 14 （2013 秋阜城县校级月考）已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m （1）当直线与椭圆有公共点时
28、，求实数 m 取值范围 （2）求被椭圆截得最长弦长度 【分析】 （1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成 方程组有解，等价于消掉 y 后得到 x 二次方程有解，故0， 解出即可； （2）设所截弦两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由（1）及韦达 定理可把弦长|AB|表示为关于 m 函数，根据函数表达式易求弦长 最大值； 【解答】解：（1）由 得：5x 2+2mx+m21=0， 当直线与椭圆有公共点时，=4m 245（m 21）0，即 4m 2+50， 解得 m ， 所以实数 m 取值范围是 m ； （2）设所截弦两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y
29、 2） ， 由（1）知，x 1+x2= ，x 1x2= ， 所以弦长|AB|= |x1x 2|= = Fpg Fpg =2 ， 当 m=0 时|AB|最大，最大值为： 【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查函数与方程思 想，弦长公式、韦达定理是解决该类题目基础知识，应熟练掌 握 15 （2012 秋裕华区校级期中）已知椭圆方程为 ，试确定 m 范围，使得椭圆上有不同两点关于直线 y=4x+m 对称 【分析】根据对称性可知线段 AB 被直线 y=4x+m 垂直平分，从而可 得直线 AB 斜率 k= ，直线 AB 与椭圆有两个交点，且 AB 中点 M 在直线 y=4x+m，可设直线 AB 方
30、程为 y= ，联立方程 整理可得 13x28bx+16（b 23）=0 可求中点 M，由 =64b241316（b 23）0 可求 b 范围，由中点 M 在直线 y=4x+m 可得 m，b 关系，从而可求 m 范围 【解答】解：设椭圆上关于直线 y=4x+m 对称点 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ， 则根据对称性可知线段 AB 被直线 y=4x+m 垂直平分 可得直线 AB 斜率 k= ，直线 AB 与椭圆有两个交点，且 AB 中 点 M（x 0，y 0）在直线 y=4x+m， 故可设直线 AB 方程为 y= ， Fpg Fpg 整理可得 13x28bx+16（b 23）=0， 所以 ， ， 由=64b 241316（b 23）0 可得， 所以 代入直线 y=4x+m 可得 m= 所以， 【点评】本题主要考查了直线与椭圆位置关系应用，解题关 键是灵活应用已知中对称性设出直线方程，且由中点在 y=4x+m 上 建立 m，b 之间关系，还要注意方程根与系数关系应用
