高中数学椭圆题型归纳.doc

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1、Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳 一椭圆标准方程及定义 1已知椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆一个焦点距离为 3,则点 P 到另一个焦点距离为( ) A2 B3 C5 D7 2、已知椭圆标准方程为 ,并且焦距为 6,则实数 m 值为 3求满足下列条件椭圆标准方程 (1)焦点分别为(0,2) , (0,2) ,经过点(4, ) (2)经过两点(2, ) , ( ) 4求满足下列条件椭圆方程: (1)长轴在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率等于 ; (2)椭圆经过点(6,0)和(0,8) ; (3)椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为 10 和 4 5设 F1,F 2分别是椭圆 + =1 左

2、,右焦点,P 为椭圆上任一点, 点 M 坐标为(6,4) ,则|PM|+|PF 1|最大值为 Fpg Fpg 二、离心率 1、已知 F1、F 2是椭圆两个焦点,P 是椭圆上一点,F 1PF2=90, 则椭圆离心率取值范围是 2设 F1、F 2是椭圆 E: + =1(ab0)左右焦点,P 是直线 x= a 上一点,F 2PF1是底角为 30等腰三角形,则椭圆 E 离 心率为( ) A B C D 3已知点 F1、F 2是双曲线 C: =1(a0,b0)左、右焦 点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线 C 右支上,且满足 |F1F2|=2|OP|,|PF 1|3|PF 2|,则双曲线 C 离心率取值

3、范围为 ( ) A (1,+) B ,+) C (1, D (1, 三、焦点三角形 1、已知椭圆 + =1 左,右焦点分别为 F1,F 2,点 P 是椭圆上一点, 且F 1PF2=60 求PF 1F2周长 求PF 1F2面积 Fpg Fpg 2已知点(0, )是中心在原点,长轴在 x 轴上椭圆一个 顶点,离心率为 ,椭圆左右焦点分别为 F1和 F2 (1)求椭圆方程; (2)点 M 在椭圆上,求MF 1F2面积最大值; (3)试探究椭圆上是否存在一点 P,使 =0,若存在,请求 出点 P 坐标;若不存在,请说明理由 四、弦长问题 1、已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m (1)当直线

4、与椭圆有公共点时,求实数 m 取值范围 (2)求被椭圆截得最长弦长度 2、设 F1,F 2分别是椭圆 左、右焦点,过 F1 斜率为 1 直线 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF 2|,|AB|,|BF 2|成 等差数列 (1)求 E 离心率; (2)设点 P(0,1)满足|PA|=|PB|,求 E 方程 五、中点弦问题 Fpg Fpg 1、 已知椭圆 + =1 弦 AB 中点 M 坐标为(2,1) ,求直 线 AB 方程,并求 AB 长 六、定值、定点问题 1、已知椭圆 C:9x 2+y2=m2(m0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于 坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 A

5、B 中点为 M (1)证明:直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 斜率;若不能,说明理由 七、对称问题 1已知椭圆方程为 ,试确定 m 范围,使得椭圆上有不同 两点关于直线 y=4x+m 对称 Fpg Fpg 高中数学椭圆题型归纳 参考答案与试题解析 一选择题(共 3 小题) 1 (2016 春马山县期末)已知椭圆 + =1 上一点 P 到椭圆一 个焦点距离为 3,则点 P 到另一个焦点距离为( ) A2 B3 C5 D7 【分析】先根据条件求出 a=5;再根据椭圆定义

6、得到关于所求距离 d 等式即可得到结论 【解答】解:设所求距离为 d,由题得:a=5 根据椭圆定义得:2a=3+dd=2a3=7 故选 D 【点评】本题主要考查椭圆定义在解决涉及到圆锥曲线上点 与焦点之间关系问题中,圆锥曲线定义往往是解题突破 口 2 (2015 秋友谊县校级期末)设 F1、F 2是椭圆 E: + =1(ab0)左右焦点,P 是直线 x= a 上一点, F2PF1是底角为 30等腰三角形,则椭圆 E 离心率为( ) A B C D Fpg Fpg 【分析】利用F 2PF1是底角为 30等腰三角形,可得 |PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= a 上一点,可建立方程,由

7、此可求 椭圆离心率 【解答】解:F 2PF1是底角为 30等腰三角形, |PF 2|=|F2F1| P 为直线 x= a 上一点 2( ac)=2c e= = 故选:B 【点评】本题考查椭圆几何性质,解题关键是确定几何量之间 关系,属于基础题 3 (2016衡水模拟)已知点 F1、F 2是双曲线 C: =1(a0,b0)左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在 双曲线 C 右支上,且满足|F 1F2|=2|OP|,|PF 1|3|PF 2|,则双曲 线 C 离心率取值范围为( ) Fpg Fpg A (1,+) B ,+) C (1, D (1, 【分析】由直角三角形判定定理可得PF 1F2为直

8、角三角形,且 PF1PF 2,运用双曲线定义,可得|PF 1|PF 2|=2a, 又|PF 1|3|PF 2|,可得|PF 2|a,再由勾股定理,即可得到 c a,运用离心率公式,即可得到所求范围 【解答】解:由|F 1F2|=2|OP|,可得|OP|=c, 即有PF 1F2为直角三角形,且 PF1PF 2, 可得|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 由双曲线定义可得|PF 1|PF 2|=2a, 又|PF 1|3|PF 2|,可得|PF 2|a, 即有(|PF 2|+2a) 2+|PF2|2=4c2, 化为(|PF 2|+a) 2=2c2a 2, 即有 2c2a 24a 2, 可得

9、 c a, 由 e= 可得 1e , 故选:C 【点评】本题考查双曲线离心率范围,注意运用双曲线定义 和直角三角形性质,考查运算能力,属于中档题 二填空题(共 3 小题) 4已知椭圆标准方程为 ,并且焦距为 6,则实数 m Fpg Fpg 值为 4 或 【分析】由题设条件,分椭圆焦点在 x 轴上和椭圆焦点在 y 轴 上两种情况进行讨论,结合椭圆中 a2b 2=c2进行求解 【解答】解:椭圆标准方程为 , 椭圆焦距为 2c=6,c=3, 当椭圆焦点在 x 轴上时,25m 2=9, 解得 m=4; 当椭圆焦点在 y 轴上时,m 225=9, 解得 m= 综上所述,m 取值是 4 或 故答案为:4

10、或 【点评】本题考查椭圆简单性质,是基础题解题时要认真审题, 仔细解答,注意分类讨论思想合理运用 5 (2016漳州一模)设 F1,F 2分别是椭圆 + =1 左,右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 坐标为(6,4) ,则|PM|+|PF 1|最大值 为 15 【分析】由椭圆定义可得, |PM|+|PF1|=2a+|PM|PF 2|2a+|MF 2|,由此可得结论 【解答】解:由题意 F2(3,0) ,|MF 2|=5, 由椭圆定义可得, Fpg Fpg |PM|+|PF1|=2a+|PM|PF 2|=10+|PM|PF 2|10+|MF 2|=15, 当且仅当 P,F 2,M 三点共线时取

11、等号, 故答案为:15 【点评】本题考查椭圆定义,考查学生分析解决问题能力,属 于基础题 6已知 F1、F 2是椭圆两个焦点,P 是椭圆上一点,F 1PF2=90, 则椭圆离心率取值范围是 【分析】根据题意,点 P 即在已知椭圆上,又在以 F1F2为直径圆 上因此以 F1F2为直径圆与椭圆有公式点,所以该圆半径 c 大 于或等于短半轴 b 长度,由此建立关于 a、c 不等式,即可求得 椭圆离心率取值范围 【解答】解P 点满足F 1PF2=90, 点 P 在以 F1F2为直径圆上 又P 是椭圆上一点, 以 F1F2为直径圆与椭圆有公共点, F 1、F 2是椭圆 焦点 以 F1F2为直径圆半径 r

12、 满足:r=cb, 两边平方,得 c2b 2 即 c2a 2c 22c2a 2 两边都除以 a2,得 2e21, Fpg Fpg e ,结合 0e1, e1,即椭圆离心率取值范围是 ,1) 故答案为: ,1) 【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于 90 度情况下, 求椭圆离心率,着重考查了椭圆基本概念和解不等式基本知 识,属于中档题 三解答题(共 9 小题) 7 (2013 秋琼海校级月考)已知椭圆 + =1 左,右焦点分别为 F1,F 2,点 P 是椭圆上一点,且F 1PF2=60 求PF 1F2周长 求PF 1F2面积 【分析】根据椭圆方程求得 c,利用PF 1F2周长 L=2a

13、+2c, Fpg Fpg 即可得出结论; 设出|PF 1|=t1,|PF 2|=t2,利用余弦定理可求得 t1t2值,最后利 用三角形面积公式求解 【解答】解:a=5,b=3,c=4 PF 1F2周长 L=2a+2c=18; 设|PF 1|=t1,|PF 2|=t2, 则由椭圆定义可得:t 1+t2=10 在F 1PF2中F 1PF2=60, t 12+t222t 1t2cos60=28, 可得 t1t2=12, = =3 【点评】解决此类问题关键是熟练掌握椭圆标准方程、椭圆 定义,熟练利用解三角形一个知识求解问题 8 (2015 秋揭阳月考)已知点(0, )是中心在原点,长轴在 x 轴上椭圆

14、一个顶点,离心率为 ,椭圆左右焦点分别为 F1 和 F2 (1)求椭圆方程; (2)点 M 在椭圆上,求MF 1F2面积最大值; (3)试探究椭圆上是否存在一点 P,使 =0,若存在,请求 出点 P 坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)由题意设出椭圆标准方程,根据顶点坐标和离心率 Fpg Fpg 得 b= ,根据 a2=b2+c2求出 a 值,即求出椭圆标准方程; (2)根据(1)求出椭圆标准方程,求出点 M 纵坐标范围,即 求出三角形面积最大值; (3)先假设存在点 P 满足条件,根据向量数量积得 ,根 据椭圆焦距和椭圆定义列出两个方程,求出 S 值,结 合(2)中三角形面积最大值,

15、判断出是否存在点 P 【解答】解:(1)由题意设椭圆标准方程为 + =1, 由已知得,b= (2 分) 则 e2= = =1 = , 解得 a2=6(4 分) 所求椭圆方程为 + =1(5 分) (2)令 M(x 1,y 1) , 则 S = |F1F2|y1|= 2|y1|=|y1|(7 分) 点 M 在椭圆上, y 1 , 故|y 1|最大值为 , (8 分) 当 y1= 时,S 最大值为 (9 分) (3)假设存在一点 P,使 =0, , , , (10 分) PF 1F2为直角三角形,|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 (11 分) 又|PF 1|+|PF2|=2a=2

16、(12 分) Fpg Fpg 2,得 2|PF1|PF2|=20, |PF1|PF2|=5, (13 分) 即 S =5,由(1)得 S 最大值为 ,故矛盾, 不存在一点 P,使 =0 (14 分) 【点评】本题考查了椭圆方程求法以及椭圆性质、向量数量积 几何意义,利用 a、b、c、e 几何意义和 a2=b2+c2求出 a 和 b 值, 根据椭圆上点坐标范围求出相应三角形面积最值,即根据此范 围判断点 P 是否存在,此题综合性强,涉及知识多,考查了分析 问题和解决问题能力 9 (2015 秋葫芦岛校级月考)求满足下列条件椭圆标准方程 (1)焦点分别为(0,2) , (0,2) ,经过点(4,

17、) (2)经过两点(2, ) , ( ) 【分析】 (1)设出椭圆标准方程,代入点坐标,结合 c=2,即 可求得椭圆标准方程; (2)设出椭圆标准方程,代入点坐标,即可求得椭圆标准方 程 【解答】解:(1)依题意,设所求椭圆方程为 =1(ab0) 因为点(4,3 ) ,在椭圆上,又 c=2,得 , 解得 a=6,b=4 ( 10 分) Fpg Fpg 故所求椭圆方程是 =1; (2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1,则 经过两点(2, ) , ( ) , , ,n= , 椭圆方程为 =1 【点评】本题考查椭圆标准方程,考查学生计算能力,属于基 础题 10 (2012 秋西安期末)求满足下列条件

18、椭圆方程: (1)长轴在 x 轴上,长轴长等于 12,离心率等于 ; (2)椭圆经过点(6,0)和(0,8) ; (3)椭圆一个焦点到长轴两端点距离分别为 10 和 4 【分析】 (1)设椭圆方程为 + =1(ab0) ,运用离心率公式 和 a,b,c 关系,解得 a,b,即可得到椭圆方程; (2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1, (m,n0) ,由题意代入点 (6,0)和(0,8) ,解方程即可得到椭圆方程; (3)讨论椭圆焦点位置,由题意可得 ac=4,a+c=10,解方 程可得 a,c,再由 a,b,c 关系解得 b,即可得到椭圆方程 【解答】解:(1)设椭圆方程为 + =1(ab0)

19、 , Fpg Fpg 由题意可得,2a=12,e= , 即有 a=6, = ,即有 c=4, b= = =2 , 即有椭圆方程为 + =1; (2)设椭圆方程为 mx2+ny2=1, (m,n0) , 由题意代入点(6,0)和(0,8) ,可得 36m+0=1,且 0+64n=1, 解得 m= ,n= , 即有椭圆方程为 + =1; (3)当焦点在 x 轴上时,可设椭圆方程为 + =1(ab0) , 由题意可得 ac=4,a+c=10, 解得 a=7,c=3, b= =2 , 即有椭圆方程为 + =1; 同理,当焦点在 y 轴上时,可得椭圆方程为 + =1 即有椭圆方程为 + =1 或 + =

20、1 【点评】本题考查椭圆方程和性质,主要考查椭圆方程求法, 注意运用椭圆方程正确设法,以及椭圆性质运用,属于基础 题 Fpg Fpg 11 (2010宁夏)设 F1,F 2分别是椭圆 左、 右焦点,过 F1斜率为 1 直线 与 E 相交于 A,B 两点,且 |AF2|,|AB|,|BF 2|成等差数列 (1)求 E 离心率; (2)设点 P(0,1)满足|PA|=|PB|,求 E 方程 【分析】 (I)根据椭圆定义可知|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a,进而根据 |AF2|,|AB|,|BF 2|成等差数表示出|AB|,进而可知直线 l 方程, 设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y

21、 2) ,代入直线和椭圆方程,联立消去 y,根 据韦达定理表示出 x1+x2和 x1x2进而根据 ,求得 a 和 b 关系,进而求得 a 和 c 关系,离心率可得 (II)设 AB 中点为 N(x 0,y 0) ,根据(1)则可分别表示出 x0和 y0,根据|PA|=|PB|,推知直线 PN 斜率,根据 求得 c,进 而求得 a 和 b,椭圆方程可得 【解答】解:(I)由椭圆定义知|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|, 得 ,l 方程为 y=x+c,其中 设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 A、B 两点坐标满足方程组 化简(a 2

22、+b2)x 2+2a2cx+a2(c 2b 2)=0 Fpg Fpg 则 因为直线 AB 斜率为 1,|AB|= |x1x 2|= , 得 ,故 a2=2b2 所以 E 离心率 (II)设 AB 中点为 N(x 0,y 0) ,由(I)知 , 由|PA|=|PB|,得 kPN=1, 即 得 c=3,从而 故椭圆 E 方程为 【点评】本题主要考查圆锥曲线中椭圆性质以及直线与椭圆位 置关系,涉及等差数列知识,考查利用方程思想解决几何问题能 力及运算能力 12 (2014 春广水市校级月考)已知椭圆 + =1 弦 AB 中点 M 坐标为(2,1) ,求直线 AB 方程,并求 AB 长 【分析】首先,

23、根据椭圆对称轴,得到该直线斜率存在,设其 方程为 y1=k(x2) ,然后联立方程组,利用一元二次方程根与 系数关系,并且借助于中点坐标公式,确定斜率 k 值,然后, Fpg Fpg 利用两点间距离公式或弦长公式,求解 AB 长 【解答】解:当直线 AB 斜率不存在时,不成立, 故直线 AB 斜率存在, 设其方程为 y1=k(x2) , 联立方程组 ,消去 y 并整理,得 (1+4k 2)x 2+8k(12k)x+4(12k) 216=0, x 1+x2= , , 2k(2k1)=1+4k 2, k= , 直线 AB 方程:x+2y4=0 将 k= 代人(1+4k 2)x 2+8k(12k)x

24、+4(12k) 216=0, 得 x24x=0, 解得 x=0,x=4, A(0, ) ,B(4, ) , |AB|= AB 长 2 【点评】本题属于中档题,重点考查了椭圆简单几何性质、直线 与椭圆位置关系、弦长公式、两点间距离公式等知识,属于高 考热点和重点问题 Fpg Fpg 13 (2015新课标)已知椭圆 C:9x 2+y2=m2(m0) ,直线 l 不过 原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点 为 M (1)证明:直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为

25、平行四边形?若能,求此时 l 斜率;若不能,说明理由 【分析】 (1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应直线斜率即可 得到结论 (2)四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平 分,即 xP=2xM,建立方程关系即可得到结论 【解答】解:(1)设直线 l:y=kx+b, (k0,b0) ,A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) ,M(x M,y M) , 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2(m0) ,得(k 2+9)x 2+2kbx+b2m 2=0, 则判别式=4k 2b24(k 2+9) (b 2m 2)0, 则 x1+x2= ,则 xM= = ,y

26、 M=kxM+b= , 于是直线 OM 斜率 kOM= = , 即 kOMk=9, 直线 OM 斜率与 l 斜率乘积为定值 (2)四边形 OAPB 能为平行四边形 直线 l 过点( ,m) , 由判别式=4k 2b24(k 2+9) (b 2m 2)0, Fpg Fpg 即 k2m29b 29m 2, b=m m, k 2m29(m m) 29m 2, 即 k2k 26k, 则 k0, l 不过原点且与 C 有两个交点充要条件是 k0,k3, 由(1)知 OM 方程为 y= x, 设 P 横坐标为 xP, 由 得 ,即 xP= , 将点( ,m)坐标代入 l 方程得 b= , 即 l 方程为

27、y=kx+ , 将 y= x,代入 y=kx+ , 得 kx+ = x 解得 xM= , 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM, 于是 =2 , 解得 k1=4 或 k2=4+ , k i0,k i3,i=1,2, 当 l 斜率为 4 或 4+ 时,四边形 OAPB 能为平行四边形 Fpg Fpg 【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线相交问题,联立方程组转 化为一元二次方程,利用根与系数之间关系是解决本题关 键综合性较强,难度较大 14 (2013 秋阜城县校级月考)已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m (1)当直线与椭圆有公共点时

28、,求实数 m 取值范围 (2)求被椭圆截得最长弦长度 【分析】 (1)当直线与椭圆有公共点时,直线方程与椭圆方程构成 方程组有解,等价于消掉 y 后得到 x 二次方程有解,故0, 解出即可; (2)设所截弦两端点为 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,由(1)及韦达 定理可把弦长|AB|表示为关于 m 函数,根据函数表达式易求弦长 最大值; 【解答】解:(1)由 得:5x 2+2mx+m21=0, 当直线与椭圆有公共点时,=4m 245(m 21)0,即 4m 2+50, 解得 m , 所以实数 m 取值范围是 m ; (2)设所截弦两端点为 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y

29、 2) , 由(1)知,x 1+x2= ,x 1x2= , 所以弦长|AB|= |x1x 2|= = Fpg Fpg =2 , 当 m=0 时|AB|最大,最大值为: 【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系,考查函数与方程思 想,弦长公式、韦达定理是解决该类题目基础知识,应熟练掌 握 15 (2012 秋裕华区校级期中)已知椭圆方程为 ,试确定 m 范围,使得椭圆上有不同两点关于直线 y=4x+m 对称 【分析】根据对称性可知线段 AB 被直线 y=4x+m 垂直平分,从而可 得直线 AB 斜率 k= ,直线 AB 与椭圆有两个交点,且 AB 中点 M 在直线 y=4x+m,可设直线 AB 方

30、程为 y= ,联立方程 整理可得 13x28bx+16(b 23)=0 可求中点 M,由 =64b241316(b 23)0 可求 b 范围,由中点 M 在直线 y=4x+m 可得 m,b 关系,从而可求 m 范围 【解答】解:设椭圆上关于直线 y=4x+m 对称点 A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) , 则根据对称性可知线段 AB 被直线 y=4x+m 垂直平分 可得直线 AB 斜率 k= ,直线 AB 与椭圆有两个交点,且 AB 中 点 M(x 0,y 0)在直线 y=4x+m, 故可设直线 AB 方程为 y= , Fpg Fpg 整理可得 13x28bx+16(b 23)=0, 所以 , , 由=64b 241316(b 23)0 可得, 所以 代入直线 y=4x+m 可得 m= 所以, 【点评】本题主要考查了直线与椭圆位置关系应用,解题关 键是灵活应用已知中对称性设出直线方程,且由中点在 y=4x+m 上 建立 m,b 之间关系,还要注意方程根与系数关系应用

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