1、1 2 2018-2019 学年江苏省宿迁市高二下学期期末考试 数学（文科） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需写出解题过程，请把答 案 直 接填写在答 题 卡 相 应 位 置 上 1 设全集 U 1,2,3 , 集合 A 1, 3 , 则 U A 2. 已知 i 是虚数单位，则复数 2 i 的实部为 i 3. 命题 “ x R , x 1 x ”的否定为 4. 已知幂函数 f ( x) 的图象过点 3,3 3 ，则满足方程 f ( x) 8 的 x 的值为 5. 函数 f (x) ln( 2 x2 ) 的定义域为 6. 若 x R , 则“ x 3 ”是“
2、x2 9 ”的 条件 （ 从 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充 要” 、 “既不充分又不必要 ”中选填） 7. 已知函数 f ( x) ln x x 6 的零点 x0 k, k 1 ，则整数 k 的值为 8 8. 计算 32 log 的结果为 27 9 1 x ( ) 3, x 0， 9. 设函数 f ( x) 2 若 f ( m) f ( 2) ，则实数 m 的取值范围是 2 2 x 2 2, x 0， 10 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x 3) f ( x) ， 且 f (- 1)=2019 ， 则 f (2020) 1. 函数 f ( x) 为 R 上
3、的奇函数，若对任意的 x1, x2 0, 且 x1 x ，都 有 f (x1 ) f (x 2 ) 0 x1 x2 已 知 f (2) 0 , 则不等式 xf ( x 2) 0 的解集为 12. 如图，把数列 n 中的所有项按照从小到大，从左 到右 的顺序写成如图所示的数表，且第 k 行有 2k 1 个数若第 k 行从左边起的第 s 个数记为 k, s ， 则 2019 这个数可记为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 x 31. 已知点 A 在函数 y 3 的图象上，点 B, C 在函数 y 9 3 的图象上，若 ABC 是 以 A 为直角顶点的等腰直
4、角三角形，且点 A, C 的纵坐标相同，则点 B 的横坐标的值为 14. 已知函数 f (x) x 2 2，x 1， 若函数 y f ( x) a 1 恰有 2 个零点，则实数 a 的 x3 ax2 a, x 1 取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，第 15-17 题每小题 14 分，第 18-20 题每小题 16 分，共计 90 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 15 （本题满分 14 分） 已知复数 z1 ( m 1) 2 mi, z2 1 i ，其中 m R , i 为虚数单位
5、（ 1） 若复数 z1z2 为纯虚数，求实数 m 的值； （ 2） 在复平面内，若复数 z z1 2 z2 对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围 16 （本题满分 14 分） 已知 m R ， p ： 1 2 m 8 ； q ：不等式 x2 mx 4 0 对任意实数 x 恒成立 （ 1） 若 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； x 4 （ 2） 如果“ p q ”为真命题，且“ p q ”为假命题，求实数 m 的取值范围 5 17 （本题满分 14 分） 如图，已知海岛 A 与海岸公路 BC 的距离 AB 为 50 km ， B, C 间的距离为 50 km ， 从 A 到 C ，需
6、先乘船至海岸公路 BC 上的登陆点 D ，船速为 25 km/h ，再乘汽车至 C ， 车速为 50 km/h ,设 BAD . （1） 用 从海岛 A 到 C 所用的时间 f ( ) ，并指明 的取值范围； （2） 登陆点 D 应选在何处，能使从 A 到 C 所用的时间最少？ 18 （本题满分 16 分） 已知函数 f (x) 1 x3 x2 3x 1 （1 ） 计算 f (0) 3 3 f (2) 、 f ( 1) f (3) 、 f ( 1 ) f 3 的值； 2 2 （2 ） 结合（ 1） 的结果，试从中归纳出函数 f (x) 的一般结论，并证明这个结论； （3 ） 若实数 x0 满足
7、 f ( f ( x0 ) x0 ，求证： f ( x0 ) x0 6 19 （本题满分 16 分） 1 a 2x 2 已知函数 f (x) x 是 R 上的奇函数（ a 为常数） ， g(x) x 2x m ， m R 1 2 （1 ） 求实数 a 的值； （2 ） 若对任意 x1 1,2 ，总存在 x2 0,3 ，使得 f ( x1 ) g(x2 ) 成立，求实数 m 的取 值范围； （3 ） 若不等式 f ( ln t) f ( ln t 2) 2 ln t 2 成立，求正实数 t 的取值范围 7 x 20 （本题满分 16 分） 已知函数 f (x) a ln x（ a R ）, g(
8、x) 1 2 2 4x （ 1） 若函数 f ( x) 的图象与直线 y 2 x 相切，求实数 a 的值； （ 2） 设函数 h( x) f ( x) g( x) 在区间 （ 1,3） 内有两个极值点 x1, x2 x1 x2 . 求实数 a 的取值范围； 若 h(x1) h(x2 ) m x1x2 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 8 数学（文科）答案及评分标准 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分 1 2 21 3 x R, x2 1 x 42 5 ( 2 , 2 ) 1 6 充分不必要 7 4 8 2 1 9 ( , 2) ( 3 , 33 2 ) 10 2019
9、 11(2,4) 12 (11,996) 13 log3 4 14 , ( 1, ) 2 二、解答题： 本大题共 14小题，每小题 5分，共计 90分 15. 解 ： 由 z1 (m 1) 2mi , z2 1 i 得 (1) z1z2 = ( - m+1)+(3 m+1)i 3分 又 z1z2为纯虚数，所以 - m+1= 0， 且3m+10 所以m= 1 7分 （2） z z1 2 z2 =(m+3)+2 mi ， 10分 又复数 z z1 2 z2 对应的点在第四象限 所 以 m+30 ， 且 2m0 所以 m 的取值范围是 3,0 14分 16. 解 ： (1) 由“不等式 x2 mx
10、40对任意实数 x 恒成立” 为真 9 得 m 2 16 0 ， 解 得 4m4 故实数 m 的取值范围为 4, 4 4分 (2) 由“ 1 2m 8 ”为真得 m 的取值范围为 0m 3 6分 由“ p q ”为真，且“ p q ”为假 知 p, q 一真一假 8分 当 p 真 q 假 时 ， 有 0 m 3 m 4或 m ，此时 m 无解； 10分 4 当 p 假 q 真 时 ， 有 m 0或 m 4 m 4 3 ，解得 4 m 0或 3 m 4 ； 12分 综上所述， m 的取值范围为 4,0 3,4 14分 17. 解：（ 1） 在 Rt ABD 中， AB 50, BAD , AD
11、50 cos , BD 50 tan , CD 50 3 50 tan 2分 f AD CD 25 50 2 cos 3 tan ， 10 即 f ta n 2 cos BAC 3 tan 3， BAC , 3 4分 0, （若写成开区间不扣分） 6分 3 (2) f 2 cos 3 tan 2 sin 3， cos f ( ) cos 2 2 cos sin 2 sin 2 sin 1 8分 cos2 当 0， 时， f 6 0 ，当 ， 时， f 0 6 3 10分 时， f ( 所以 6 ) 取最小值，即从海岛 A 到 C 的时间最少 此时 BD AB tan 6 50 3 3 12分
12、答：（ 1） f 2 cos 3 tan ， 0, 3 （ 2） ）登 陆 点 D 与 B 的距离为 50 3 3 km 时，从海岛 A 到 C 的时间最少 14分 18（ 1） f (0) f (2) 1 8 4 6 1 4 3 3 3 f ( 1) f (3) 1 1 3 1 3 3 9 9 9 1 4 3 11 3分 5分 证明： f ( x) f (2 x) 1 x3 3 x2 3x 1 1 (2 3 3 x)3 (2 x)2 3(2 x) 1 3 1 ( x 3 2 x) x ( 2 x) x( 2 x) 2x 4x 4 6 2 3 2 (3x2 3 6x 4) 2x2 4x 2 2
13、 3 4 9分 （ 3） ） 由 f (x) x2 2x 3 ( x 1) 2 2 0 知 ， f (x) 为 R 上的单调增函 数 11分 假 设 f ( x0 ) x0 ，则 f ( x0 ) x0 或 f ( x0 ) x0 若 f (x0 ) x0 ， 由 f ( x) 为 R 上的单调增函数知， f ( f ( x0 ) f ( x0 ) x0 ； 13分 2 2 2 1f ( ) 3f ( ) 1 1 3 1 9 9 9 1 4 2 2 24 4 2 3 8 4 2 3 （ 2） 对任意实数 x 都有 f (x) f (2 x) 4 12 若 f (x0 ) x0 ，由 f ( x
14、) 为 R 上的单调增函数知， f ( f ( x0 ) f ( x0 ) x0 ， 15分 则 f ( f ( x0 ) x0 ， 与 条 件 f ( f ( x0 ) x0 矛盾， 故假设不成立原命题 f ( x0 ) x0 成立 16分 19. 解 ： (1) 因 为 f (x) 为 R上的奇函数 所以 f (0) 0 ，即 1 a 3 0 ，解得得 a 1 2分 当 a 1 时，由 f ( x) 1 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 1 f ( x) 得 f ( x) 为奇函数 所以 a 1 (2) 因 为 x2 0,3 ，且 4分 g (x) 在 0,1 上 是 减 函 数 ，
15、 在 1,3 上为增函数 m 1, m 所以 g(x) 3 在 0， 3 上的取值集合为 6分 2 x ln 2(1 2 x) (1 2x ) 2 x ln 2 2 x 1 ln 2 由 f (x) x 2 x 2 0 得f(x) 是减函数， (1 2 ) (1 2 ) 所 以 f( x) 在 - 1， 2上是减函数， 所以 f( x) 在 - 1， 2 上的取值集合为 - 3， 1. 8分 5 3 由“对任意 x1 1,2 ，总存在 x2 0,3 ，使得 f (x1 ) g( x2 ) 成立”得 f(x)在 - 1， 2 上 的 取 值 集 合 是 g(x)在 0 ， 3 上的取值集合的子集
16、 13 即 - 3， 1 m 1, m 3 5 3 3 1 8 2 则 有 m 1 - 5， 且 m+33， 解 得 ： - 3 m 5 即实数 m 的取值范围是 8 , 2 10分 3 5 (3)记 h(x)=f(x) x， 则 h(x)=f(x) 1 f (2 lnt ) (2 ln t) 即 h(ln t ) 因 为 h(x)是 减 函 数 所 以 ln t 2 lnt 解得 0 te h(2 ln t) 14分 所以实数 t 的取值范围是 0， e 16分 20. 解 ： (1) 由 f ( x) a 2 得 x a 2分 x 2 所以切点为 ( a , a) ， 代 入 2 f (
17、x) a ln x 14 即 a ln a 2 a ， 得 a 2e 4分 （ 2） h(x) f ( x) g( x) a ln x 1 x2 4x 2 h (x) a x 4 x x2 4x a 6分 x 由题意知方程 x 2 4x a 0 在 （ 1,3） 内有两个不等实根， 可得 12 32 16 4a 4 a 12 a 0 0 ，解得 3 a 4 0 故实数 a 的取值范围为 3,4 8分 因为 h( x1) h( x2 ) m x1x2 恒成立 所 以 m h( x1) h( x2 ) 恒成立 由 知 x1 x1x 2 x2 4, x1 x2 a ( x1 x2 ,3 a 4 )
18、当 x x , x , x2 4 x a 0,所以 h x 0 ， 则 h(x) 在区间 x , x 上为单调减函数， 1 2 故 h( x1 ) h(x2 ) 1 2 a(ln x ln x ) 1 (x 2 x 2 ) 4( x x ) 15 10分 h( x1 ) h( x2 ) 1 2 2 1 2 1 2 x1 x2 1 (x 2 x 2 ) ( x x1 x2 x )( x x ) = ln x1 x 2 = ln x1 2 1 2 x1 x2 1 2 1 2 x1 x2 12分 x2 2x2 2x1 令 x1 x2 t ，由 1 x1 2 x2 3 得 1 x1 1 3 x2 记 g (t ) ln t t 2 1 1 1 ( 1 2t 3 1 t 1) ( t 1) 2 14分 因 为 g (t ) t 2 2t 2 0 2t 2 所以 g(t) 在 ( 1 ,1) 3 上为减函数，所以 g(t) 在 ( 1 ,1) 3 上的取值集合为 (0, 4 3 ln 3) h( x1 ) h( x2 ) 因为 m 恒成立 x1 x2 所以 m 4 ln 16 3 3 故实数 m 的取值范围为 4 ln 3, 3 16分
